Hendra Gunawan. 27 November 2013

Transkripsi

1 MA0 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester I, 03/04 7 November 03

2 Latihan (Kuliah yang Lalu) d. Tentukan (0 ). d. Hitunglah 3 5 d. 0 a 3. Buktikan bahwa y, a, monoton. a Tentukan inversnya. /7/03 (c) Hendra Gunawan

3 Sasaran Kuliah Hari Ini 6.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan dan peluruhan eksponensial. 66F 6.6 FungsiTi TrigonometriInvers Menentukan turunan fungsi trigonometri invers (dan integral yang bersesuaian). /7/03 (c) Hendra Gunawan 3

4 MA0 MATEMATIKA A 6.5 PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN EKSPONENSIAL Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan dan peluruhan eksponensial. /7/03 (c) Hendra Gunawan 4

5 Pertumbuhan Eksponensial Misalkan suatu populasi p bertambah sebesar yy dalam waktu t, dan pertambahan populasi tsb sebanding dengan banyaknya penduduk pada waktu itu dan dengan lebar selang waktu, yakni y = k y t. dengan y = y(t) menyatakan jumlah populasi pada saat t, dan k konstanta. Jadi dy y lim ky dt t0 dy k. dt /7/03 (c) Hendra Gunawan y 5

6 Integralkan kd kedua ruas, kitaperoleh lh ln y kt C y e ktc Ae kt Misalkan diketahui jumlah populasi awal y(0) = y 0. Maka y 0 0 = Ae = A, sehingga y = y 0 e kt. Nilai k dapat ditentukan apabila kita mempunyai informasi tambahan, misalnya y(0) = y 0 (waktu melipat ganda = 0 satuan waktu). /7/03 (c) Hendra Gunawan 6

7 Contoh Misalkan suatu koloni bakteri berkembang biak dengan laju sebanding dengan banyaknya bakteri pada saat itu. Bila pada awal pengamatan terdapat bakteri dan setelah 0 hari terdapat bakteri, berapa banyaknya bakteri setelah 5 hari? Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknya bakteri pada saat t. Maka (seperti tadi) dy kt ky y Ae /7/03 dt (c) Hendra Gunawan 7

8 Pd Padasaat t = 0, diketahui i y = Jdi Jadi = A.e 0 = A, sehingga y = 0.000e kt. Pada saat t = 0, diketahui y = Jadi = 0.000e 0k, 0k sehingga,4 k Pada saat t =5, y 0.000e e k 0k 0 (,5)ln,4 ln,4 ln, (,4) /7/03 (c) Hendra Gunawan 8,5.

9 Peluruhan Eksponensial Mirip dengan pertumbuhan eksponensial yang terjadi pada suatu populasi, peluruhan ekspo nensial terjadi pada zat radioaktif. Zat radioaktif meluruh dengan laju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu. Jika y = y(t) menyatakan banyaknya zat yang tersisa pada saatt, maka dy kt ky ; y Ae ( k 0) dt /7/03 (c) Hendra Gunawan 9

10 Hukum Pendinginan Newton Jika suatu benda dimasukkan ke dalam ruangan dengan suhu tetap T, maka menurut Newton benda tsb akan mengalami pendinginan dengan laju sebanding dengan selisih suhunya (T) dengan suhu ruangan (T ), yakni dt kt T ). ( dt kt Jadi kita peroleh T T Ae. /7/03 (c) Hendra Gunawan 0

11 Latihan Misalkan suatu zat radioaktif meluruh dengan laju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu. Diketahui pada awal pengamatan terdapat 0 gram dan setelah tahun tersisa 5 gram. Tentukan waktu paruh zat tsb. Jawab: Misalkan y= y(t) menyatakan banyaknya zat pada saat t. Maka /7/03 (c) Hendra Gunawan

12 MA0 MATEMATIKA A 6.6 FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS Menentukan turunan fungsi trigonometri invers (dan integral yang bersesuaian). /7/03 (c) Hendra Gunawan

13 Fungsi Trigonometri Invers Fungsi y = sin naik pada [ π/, π/], karena itu mempunyai invers = sin y pada [, ]. = sin y, y j.h.j. j y = sin, π/ π/. Fungsi y = cos turun pada [0, π], karena itu mempunyai invers = cos y pada [, ]. = cos y, y jhj j.h.j. y = cos, 0 π. /7/03 (c) Hendra Gunawan 3

14 Fungsi Trigonometri Invers Fungsi y = tan naik pada ( π/, π/), karena itu mempunyai invers = sin y pada (, ). = tan y, < < j.h.j. j y = tan, π/ < < π/. Fungsi y = sec pada [0, π] {π/}, karena itu mempunyai invers = sec y pada {y : y }. = sec y, y jhj j.h.j. y = sec, 0 π, π/. /7/03 (c) Hendra Gunawan 4

15 Grafik Fungsi Trigonometri Invers y y = sin y = sin /7/03 (c) Hendra Gunawan 5

16 Contoh sin ( ) cos ( ) 3 tan () 4 sec ( ). 4 /7/03 (c) Hendra Gunawan 6

17 Beberapa Kesamaan sin(cos ) cos(sin ) sec(tan ) tan(sec ) ( jika : ; jika : ) /7/03 (c) Hendra Gunawan 7

18 Contoh.sin(cos 3) sin(cos 3) cos(cos 3) ( 3)...tan(sin ) sin(sin ) cos(sin ). /7/03 (c) Hendra Gunawan 8

19 Turunan Fungsi Trigonometri Invers Turunan Fungsi Trigonometri Invers, sin d d d d, cos d, tan d d, sec d d /7/03 9 (c) Hendra Gunawan, sec d

20 d Bukti bahwa sin d Misal y = sin. Maka = sin y. Turunkan kedua ruas secara implisit terhadap, diperoleh Jadi dy d = cos y.(dy/d). cos y. /7/03 (c) Hendra Gunawan 0

21 Integral yang Menghasilkan Fungsi Trigonometri Invers d sin C cos d tan C d sec C D /7/03 (c) Hendra Gunawan

22 Contoh Hitung Jawab: d. d tan tan () tan ( ) ( ). 4 4 /7/03 (c) Hendra Gunawan

23 Latihan Seseorang yang tingginya ~,60 m berdiri ditepiatastebing, melihat lh ke laut yang berada ~8,40 m di bawahnya. Pada saatitu terdapat perahu yang menjauhi tebing dengan laju 5 m/det. Bila θ menyatakan besar sudut pandangnya (terhadap garis horisontal), berapakah hbesarnya lj lajuperubahan bh θ terhadap waktu, pada saat perahu tsb berjarak 50 m dari tebing? /7/03 (c) Hendra Gunawan 3 θ