PELUANG. Drs. Marsudi Raharjo, M.Sc.Ed JENJANG LANJUT

Transkripsi

1 DIKLAT INSTRUKTUR PENGEMBANG MATEMATIKA SMA JENJANG LANJUT PELUANG JENJANG LANJUT Drs Marsudi Raharjo, MScEd DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIDK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA YOGYAKARTA 00

2 Daftar Isi Kata Pegatar i Daftar Isi ii Kompetesi/Sub Kompetesi Iii Pete Baha Ajar Iv BAB I PENDAHULUAN A Latar Belaag B Tujua C Ruag Ligup BAB II DISTRIBUSI PELUANG A Distribusi Biomial B Distribusi Hipergeometri C Distribusi Multiomial 7 Latiha Model Soal-soal Ebtaas BAB III RUMUS BAYES 5 A Peurua Rumus Bayes 5 B Tei Perhituga Rumus Bayes 0 Latiha LAMPIRAN 5 Kuci Jawaba Soal-soal latiha DAFTAR PUSTAKA 55 ii

3 KOMPETENSI PELUANG SMA LANJUT Memilii emampua megembaga pegetahua da etrampila siswa SMA megguaa osep-osep pecacaha (prisip peralia), ruag sampel, titi sampel, peristiwa da peluag muculya suatu peristiwa dalam pemecaha masalah SUB KOMPETENSI Mejelasa da memberi cotoh: Pemecaha masalah peluag yag bereaa dega distribusi peluag Disribusi Biomial utu peluag suses dalam pegudia da peristiwa pegambila sampel beberapa ali dega pegembalia (atar pegambila sampel salig bebas, da hasil pegudiaya haya dibedaa dalam ategori: suses atau gagal (tida suses) Disribusi Hipergeometri yag bereaa dega peluag pada pegambila sampel sealigus da pegambila sampel satu demi satu tapa pegembalia Disribusi Multiomial yag bereaa dega peluag pada pegambila sampel satu demi satu dega pegembalia Pemecaha masalah peluag bereaa dega soal-soal Ebtaas Pemecaha masalah peluag bereaa dega rumus Bayes PETA BAHAN AJAR No Poo Bahasa Sub Poo Bahasa Distribusi Peluag Distribusi Biomial (suses da gagal) pada pegudia da pada pegambila sampel satu demi satu tapa pegembalia Distribusi Hipergeometri pada pegambila sampel sealigus da pegambila sampel satu demi satu tapa pegembalia Distribusi Multiomial pegambila sampel satu demi satu dega pegembalia Rumus Bayes Peluag terambilya suatu obye esperime berasal dari elompo tertetu, jia obye esperimrya terdiri dari beberapa elompo iii

4 PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA BAB I PENDAHULUAN A LATAR BELAKANG Peluag merupaa bagia matematia yag membahas tetag uura etidapastia terjadiya suatu peristiwa yag ada dalam ehidupa (Smith, :) Memag baya peristiwa yag tida dapat dipastia terjadi atau tida terjadi di suatu saat Namu dega megetahui uura berhasil da tidaya suatu peristiwa yag diharapa aa terjadi emudia, orag aa lebih yai dapat megambil eputusa terbai da bijasaa tetag apa yag seharusya ia laua Materi peluag secara sederhaa mulai dieala di SMP lebih diperdalam di SMA da ditigata lagi di pergurua tiggi Karea luasya terapa peluag bai dalam ehidupa sehari-hari maupu dalam pegembaga statisa da ebutuha dalam egiata dilat, maa dipadag perlu utu meyediaa modul lajut utu baha dilat peluag Melalui esempata ii peulis berupaya meyusu materi dilat lajut peluag yag bersifat memberia tutua pemahama epada peserta Dilat Guru Matematia SMA jejag lajut yag dipadag perlu dietahui utu memperaya pegetahua Sajia materiya diusahaa dapat memberia ecaapa hidup (life sill) yag bersifat aademi megguaa prisip learig to ow, learig to do, learig to be, learig to live together da learig to cooperate (Depdias, 00:) Diharapa para pembaca (guru matematia SMA) dalam memahami modul ii dapat beerjasama dega tema-tema seprofesi: salig membaca, mecoba soal, berdisusi da megadaa ofirmasi (meyampaia argumetasi/alasa pemecaha masalahya) B TUJUAN Baha ajar ii ditulis sebagai baha rujua pelatiha di seluruh Idoesia dega masud utu memberia baha pemahama pedalama materi peluag yag perlu Marsudi R: PeluagSMA Lajut 00

5 PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA diuasai guru matematia SMA agar lebih berhasil dalam megajara materi itu epada para siswaya Kepada para alumi peatara guru iti MGMP matematia SMA diharapa utu dapat megguaaya sebagai baha tida lajut peatara dega paradigma baru sesuai ajura pemeritah saat ii Setelah dipelajariya materi ii diharapa agar para alumi dapat: megimbasa pegetahuaya epada guru-guru di wilayah MGMP-ya da rearea seprofesi laiya megajara epada para siswaya secara lacar, lebih bai da lebih jelas megembaga soal-soal yag lebih variatif da meyetuh ehidupa yata C RUANG LINGKUP Materi peluag yag ditulis ii merupaa materi miimal yag harus diuasai oleh guru SMA Materi yag dibahas meliputi: Pemahama osep peluag lajut berupa distribusi peluag: distribusi biomial, distribusi hipergeometri, da distribusi multiomial beriut cotoh-cotoh terapaya Rumus Bayes da peerapaya dalam perhituga peluag Modul ii dimasuda utu dapat dibaca da dipahami sediri termasu megerjaa soal-soal latiha da merujuya pada uci jawaba Utu itu lagah-lagah peguasaa materiya adalah Pelajari materiya (bersama tema) Bahas soal-soalya da lihat uci jawabaya Adaa Problem Posig: Ciptaa variasi soal laiya beriut jawabaya Marsudi R: PeluagSMA Lajut 00

6 BAB II DISTRIBUSI PELUANG A Distribusi Biomial Distribusi biomial adalah distribusi (sebara) ilai peluag utu percobaa/ esperime berulag yag salig bebas yag haya terdiri dari ategori : suses atau gagal, merah atau bua merah, putih atau bua putih, da sejeisya Utu memudaha pemahama, sebelum dibicaraa betu umumya, secara husus diberia cotoh seperti beriut Misala sebuah dadu diudi (empat) ali maa peristiwa muculya salah satu mua dadu misal mua pada udia pertama da peristiwa muculya mua pada udia edua, etiga, higga eempat adalah salig bebas, sebab peluag muculya hasil pada percobaa sesudahya tida tergatug/tida dipegaruhi oleh peluag muculya hasil sebelumya Sebagai cotoh misalya peluag muculya mua 5 pada udia pertama tida dipegaruhi/tida tergatug pada peluag muculya mua 5 pada udia pertama Peluagmasig-masig tetap, yaitu P({5 pada udia I}) P({5 6 pada udia II}) P({5 pada udia III}) P({5 pada udia IV}) 6 Kii misala ita megicar mua dadu, maa diataa suses jia mua yag ita icar itu mucul da gagal jia mua yag ita icar itu tida mucul Peluag suses muculya mua dalam setiap ali pegudia adalah P(suses) P({}) 6 Peluag gagal adalah peluag muculya mua dadu selai, yaitu P(gagal) P({,,,5,6}) P({}) + P({}) + P({}) + P({}) + P({5}) + P({6}) (megigat prisip pejumlaha bahwa peluag muculya suatu peristiwa pada ruag sampel berhigga sama dega jumlah peluag muculya masig-masig titi sampel dalam peristiwa itu) Cara lai yag lebih cepat adalah P(gagal) P(suses) sebab suses da gagal adalah dua peristiwa ompleme Sehigga jia P(suses) 6, maa P(gagal) Masalah pertama yag harus ita etahui adalah berapaah bayaya aggota ruag sampel jia sebuah dadu diudi (empat) ali? Jawabaya tetu 6 6, yai mulai dari s, s,,s 6 6, s 7, s 8,, s 6, da seterusya higga yag terahir adalah e Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

7 Jadi ruag sampel dari esperime itu adalah S {s, s, s,, s 6 } sehigga (S) 6 Nilai peluag dari masig-masig titi sampel tersebut adalah sama yaitu P({s }) P({s }) P({s }) P({s 6 }) 6 Nah dari titi sampel yag berjumlah 6 itu sebara (distribusi) peluag muculya mua dalam ali percobaa berulag adalah sebagai beriut 0 suses gggg macam (g) ({,,,5,6}) 5, sehigga 0 (gggg) (g)(g)(g)(g) Dega demiia ( 0 suses) 5 65 suses sggg (sggg) gsgg (gsgg) ggsg (ggsg) gggs (gggs) ( suses) suses ssgg (ssgg) sgsg (sgsg) gssg (gssg) gsgs (gsgs) ggss (ggss) sggs (sggs) ( suses) Sejala dega itu maa suses sssg ssgs sgss gsss suses ssss pola ( suses) 5 0 pola ( suses) Total 6 (S) Bayaya pola mulai dari 0 suses,suses, higga suses masig-masig adalah,, 6,, da Pola itu tida lai adalah pola bilaga pada segitiga pascal yag merupaa pola oefisie suu dua (biom) berpagat empat, yaitu: Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

8 (a + b) a + a b + 6 a b + ab + b Pola dari masig-masig oefisie yag ditadai dega bulata di atas adalah C 0 0, C, 6 C, C, da C Karea masig-masig titi sampel dalam ruag sampel S berpeluag sama utu mucul, maa berdasara data di atas, peluag suses muculya mua dadu sebaya 0 ali (0 suses), ali, ali, higga ali berturut-turut adalah P( 0 suses) ( 0 suses) (S) 65 6 ( pola) C 0 6 P( suses) ( suses) (S) ( pola) C 6 6 P( suses) ( suses) (S) 50 6 (6 pola) C 6 6 P( suses) ( suses) (S) 0 6 ( pola) C 6 6 P( suses) ( suses) (S) Total 6 0 ( pola) C 6 6 Model distribusi (peyebara) peluag mulai dari 0 suses, suses, da seterusya higga suses dalam empat ali percobaa berulag dega jumlah seluruhya sama dega seperti cotoh di atas disebut distribusi biomial Secara umum, misala adalah bayaya suses dalam percobaa yag salig bebas (atara percobaa yag satu dega percobaa beriutya) Misala p adalah peluag suses muculya peristiwa yag diigia dalam setiap percobaa da q p adalah peluag muculya peristiwa yag diigia gagal dalam setiap ali percobaa Maa peluag suses dalam percobaa adalah : P( suses dalam percobaa) p q Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 5

9 Buti : Misal s suses da g gagal, maa peluag suses da gagal dalam setiap ali percobaa berturut-turut adalah P(s) p da P(g) q Utu memudaha dalam memberia gambara pembutia rumus ii secara umum, diberia cotoh misalya utu sehigga 0,,,, Jia dalam empat ali percobaa itu misal mua tida perah mucul, maa uruta hasil percobaaya adalah gggg Karea masig-masig percobaa dari pertama, edua, etiga higga eempat salig bebas maa P(gggg) P(g)P(g)P(g)P(g) qqqq q Pealara yag sama berlau utu hasil-hasil lai yag mugi terjadi Hasil-hasil yag mugi selegapya adalah 0 suses gggg pola P(0 suses) p 0 q 0 0 suses sggg gsgg pola P( suses) ggsg p q gggs suses ssgg sgsg gssg gsgs ggss sggs 6 pola P( suses) p q suses sssg ssgs sgss gsss pola P( suses) p q suses ssss pola P( suses) 0 p q Meurut pola sebelumya maa P(0 suses) + P( suses) + + ( suses) + Dari cotoh itu dega mudah dapat dibayaga bahwa bayaya macam ragaia utu pola suses dalam percobaa adalah sama dega Karea setiap macam ragaia dari suses dalam percobaa itu fator susesya sebaya da fator gagalya sebaya, sedaga percobaa pertama, edua, higga e- salig bebas maa ilai peluag utu masig-masig ragaia suses-gagal dalam hal ii adalah : Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 6

10 P(ss s gg g) P(s) P(s) P(s) P(g) P(g) P(g) fator p p p q q q ( ) fator fator ( ) fator p q Dega demiia maa ilai peluag dari P( suses dalam percobaa) bayaya macam ragaia dialia dega ilai peluag masig-masig ragaia p q Cotoh Jia sebuah dadu diudi empat ali, berapaah peluag muculya mua dadu sebaya a ali b ali c miimal ali d masimal ali Jawab Karea muculya mua dadu dalam setiap percobaa adalah 6, da hasil percobaa pertama, edua, etiga, da eempat tida salig mempegaruhi maa relasi atara percobaa pertama, edua, etiga, da eempat adalah salig bebas Karea salig bebas peluag muculya peristiwa suses dalam percobaa pada esperime di atas megiuti distribusi biomial, yaitu P( suses dalam percobaa) p q Dega demiia maa peluag muculya mua sebaya a ali, adalah sama dega P( ali suses dalam percobaa) ( ) ( ) 6 6! 5 ( )( ) ( )!! ( )( ) Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 7

11 b ali, adalah sama dega P( ali suses dalam percobaa) ( ) ( ) 6 6! 5 ( ) ( ) ( )!! 6 6 c miimal ali, adalah P( dalam percobaa) P( atau ) 5 0 ( )( ) P( dalam ) + P( dalam ) d masimal ali, adalah P( dalam percobaa) P(0, atau, atau ) P(0 dalam ) + P( dalam ) + P( dalam ) Cotoh Sebuah ota berisi 0 bola, satu diataraya berwara putih Dari dalam ota diambil bola satu demi satu dega pegembalia Tetua peluag terambilya bola putih sebaya dua ali Jawab Karea percobaa dilaua dega pegembalia maa peluag terambilya bola putih pada percobaa pertama, edua, etiga da seterusya tetap, yai 0 Dega demiia atara percobaa yag satu dega yag lai bersifat idepede (bebas), da hasil percobaaya haya dibedaa dalam macam (putih da bua putih) maa distribusi peluagya merupaa distribusi biomial Utu itu maa peluag terambilya bola putih sama artiya dega peluag muculya ali suses dalam percobaa Sehigga Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 8

12 P( suses, percobaa) p q, dega p 0, da q 0, Maa 0 P( suses, percobaa) 0, 0, 6(0,0)(0,) 6(0,0(0,8) 0,086 B Distribusi Hipergeometri (Harett, 8 : ) Utu memudaha pemahama tetag distribusi hipergeometri yag lebih umum, secara husus dapat diberia gambara sebagai beriut Cotoh PENGAMBILAN SEKALIGUS Misala dalam suatu ota terdapat bola merah, bola putih, da 5 bola uig Dari dalam Kota diambil secara aca (tiga) bola sealigus Tetua hasil-hasil pegambila yag mugi pada esperime tersebut Jawab bola m p 5 Gambar ambil aca dari dalam ota bola sealigus, hasil-hasil yag mugi? Gambara tetag hasil-hasil yag mugi dari esperime pegambila aca bola sealigus tersebut di atas adalah seperti beriut bola Cara Esp Obye Esp m Ambil bola p sealigus 5p Gambar A A A A A 5 Peristiwa-peristiwa yag mugi (m,p) (m,p) (m,) (m,) (p,) A 6 (p,) A 7 (m, p, ) A 8 (m) (m, 0p, 0) A (p) (0m, p, 0) A 0 () (0m, 0p, ) S Misal dalam suatu ota terdapat bola yag terdiri dari wara : wara pertama, edua, etiga, higga wara e masig-masig sebaya,,,, Searag jia dari Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

13 0 Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 PPPPTK MATEMATIKA, DITJEN PMPTK, DEPDIKNAS dalam ota diambil secara aca bola sealigus, maa peluag terambilya bola dari bola yag ada, da bola dari bola yag ada, da seterusya higga bola dari bola yag ada adalah : dari,, dari, dari P dega Buti Misala: (S) bayaya cara megambil secara aca bola sealigus dari bola atau dega otasi laiya ditulis (S) C (A) bayaya cara utu dapat terambil bola dari bola, bola dari bola, da seterusya higga bola dari bola dalam betu lai (A) C C C Karea bola-bolaya seuura maa masig-masig titi sampel dalam peristiwa A berpeluag sama utu mucul, sehigga: S A dari,, dari, dari P Utu memberia gambara seilas tetag distribusi hipergeometri tersebut diberia cotoh sebagai beriut Cotoh a PENGAMBILAN SEKALIGUS Misala dalam sebuah ota terdapat bola, terdiri atas bola berwara merah sebaya, putih sebaya, da uig sebaya Dari dalam ota diambil bola sealigus Tetua sebara ilai peluag yag dihasila

14 Jawab bola m p Gambar ambil aca bola sealigus Sebara peluagya? Perhatia bahwa alau ita megambil bola sealigus, peristiwa-peristiwa yag mugi dihasila adalah (m, p, ), (m, p), (m, p), (m, ), (m,), (p, ), (p, ), (m), da (p) Sedaga () ta mugi terjadi sebab bola uigya haya buah Sehigga haya ada peristiwa yag mugi Gambara peluag dari masigmasig peristiwa tersebut adalah sebagai beriut A (m, p,) P(A ) A (m, p) (m, p, 0) P(A ) A (m,p) (m, p, 0) P(A ) m p Cm Cp C bola C bola m p Cm Cp C0 bola C bola m p Cm Cp C0 bola C bola ()()() 8 ()()() 8 (6)()() A (m, ) (m, 0p, ) P(A ) m p Cm C0p C bola C bola ()()() 8 8 A 5 (m,) (m, 0p,) P(A 5 ) m m Cm C0m C bola C bola (6)()() 8 8 A 6 (p, ) (0m, p, ) P(A 6 ) m p C0m Cp C bola C bola ()()() 8 8 A 7 (p, ) (0m, p, ) P(A 7 ) A 8 (m) (m, 0p, 0) P(A 8 ) m p C0m Cp C bola C bola m p p Cm C0p C0 bola C bola ()()() 8 ()()() A (p) (0m, p, 0) P(A ) m p p C0m Cp C0p bola C bola ()()() Total 8 Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

15 Perhatia bahwa dari gambara di atas, berarti ruag sampel S memuat 8 aggota atau (S) 8, yai bayaya bayaya semua hasil yag mugi jia ita megambil bola dari obye esperime sebaya bola berupa merah, putih, da uig jia bola-bolaya diberi omor ides Jia bola-bolaya diberi ides maa himpua obye esperime yag dimasud adalah O {m, m, m, m, p, p, p,, } Perhatia bahwa peristiwa A, A, A,, A masig-masig adalah peristiwa yag salig lepas, megapa? Sebab ambil cotoh misalya peristiwa A da A dega A (m, p, ) da A (m, p, 0) maa (A ) da (A ) Gambara visual masig-masig peristiwa adalah seperti beriut: m p s m p s A m p s (A ) A m p p s 5 m p p s 6 m p p s 7 (A ) m p s Gambar m p p s 6 Atau secara sederhaa terjadiya peristiwa: cuup dibayaga bahwa pada pegambila sealigus, A (m, p, ) terambilya bola merah, bola putih, da bola uig, tida mugi terjadi secara bersamaa dega terambilya A (m, p, 0) terambilya bola merah, bola putih, da 0 bola uig, Dega demiia maa A da adalah (dua) peristiwa lepas Sejala dega dega pemiira tersebut aa beraibat bahwa A, A, A,, A adalah peristiwa yag salig lepas Karea ruag sampel S merupaa gabuga dari esembila peristiwa tersebut, maa A, A, A,, A masig-masig merupaa partisi dari S Yai () A A A A da () A A, A A S Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

16 Gambara selegapya yag lebih jelas lagi adalah seperti beriut Distribusi peluag secara husus seperti yag dicotoha di atas, meggambara: 8 P(A ), P(A ) 8 8, da seterusya higga P(A8 ) 8, da P(A ) 8 Selidii bahwa jumlah ilai peluagya sama dega Distribusi peluag seperti itu selajutya disebut distribusi hipergeometri Permasalaha ita searag adalah bagaimaa jia obye esperimeya sama sedaga esperimeya berbeda yai pegambila sampel satu demi satu tapa pegembalia? Cotoh b Obye Esp m m m m p p p m,p, bola Cara Es Ambil aca bola sealigus Gambar 5 (Soal sama dega cotoh a haya esperimeya yag berbeda) PENGAMBILAN SATU DEMI SATU TANPA PENGEMBALIAN Hasil-hasil yag mugi m p s m p s m p s m p p m p p Pada sebuah ota terdapat bola, terdiri atas bola berwara merah sebaya, putih sebaya, da uig sebaya Dari dalam ota diambil bola satu demi satu tapa pegembalia Tetua sebara (distribusi) ilai peluag yag dihasila s 5 s 6 m p p s 6 m m m s 80 m m m m m m m m m p p p s 8 s 8 s 8 s 8 A (A ) A (A ) A 8 (A 8 ) A (A ) S (S) 8 Jawab bola m p Gambar 6 Misala peristiwa yag terambil adalah B (p,) yai bola berwara putih da bola berwara uig Karea pegambila satu demi satu tapa pegembalia sesuai dega permutasi, maa bayaya aggota ruag sampelya adalah S dega (S) P 87 (sebaya fator) 50 Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

17 Maa gambara tetag titi-titi sampelya s, s, s,, s 50 adalah seperti beriut I II III Hasil-hasil yag mugi Obye Esp m m m m p p p Cara Es Ambil aca bola tapa pegemb m m m m m m m m m m m m s m m m s m m s 7 S m,p, bola Gambar 7 m m m m S 7 m m S 8 m (S) 50 p p S 50 Jia peristiwa-peristiwa yag didefiisia sama dega cotoh, maa A (m, p, ), A (m, p), A (m, p), A (m, ), A 5 (m,), A 6 (p, ), A 7 (p, ), A 8 (m), da A (p) Peristiwa terambil () ta mugi terjadi sebab bola uigya haya buah Perhatia salah satu peristiwa yag mucul pada esperime tersebut misalya A (m, p, ) Jia omposisi susua bola-bola yag terambil pada peristiwa A tida diberi ides aa terdapat 6 cara Sedaga jia diberi ides masig-masig susua mp aa mejadi cara/titi sampel (lihat gambar) Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

18 I II III m p m p p m m m m m p p p p p p m p s m p s m p s m p s A 6 cara Gambar 8 p m m p p m cara m m m m cara p p p p p p m p S m p S cara m p S 0 m p S A (A ) Karea sebelum diberi ides terdapat 6 cara!!!! (permutasi dega beberapa usur sama) da setelah bola-bolaya diberi ides (meurut bayaya wara) maa baya aggota A dega (A ) 6 tersebut masig-masig aggotaya aa berubah mejadi Megapa? Sebab dari gambar dapat disimpula bahwa ({mp}) (merah) (putih) (uig) Karea sebelum diberi ides (A ) 6 da setelah diberi ides masig-masig aggota mejadi, maa bayaya aggota A searag mejadi (A ) 6( ) Berdasara diagram poho, maa peristiwa A da bayaya aggotaya memilii pola seperti beriut A (m, p, ) (A )! (merah I)(putih I) (uig I)!!! 6 ( ) Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 5

19 Dega pealara yag sama, maa peristiwa selegapya pada ruag sampel S hasil esperime pegambila aca bola satu demi satu tapa pegembalia adalah sebagai beriut A (m, p, ) (A )! (merah I)(putih I) (uig I)!!! A (m, p) (A ) A (m, p) (A ) A (m, ) (A ) A 5 (m,) (A 5 ) A 6 (p, ) (A 6 ) A 7 (p, ) (A 7 ) A 8 (m) (A 8 ) A (p) (A )! (merah) (putihi, putih II) () 7!!!!! (merah I, merah II)(putih) ( ) 08!!! (merah) (uig I, uig II) ()! (merah I, merah II) (uig) ( ) 7!!!!! (putih) (uig I, uig II) ( ) 8!!! (putih I, putih II)(uig I) 6! (merah I, merah II, merah III) ( )!!! (putih I, putih II, putih III) 6 Total 50 + Selidii bahwa ilai peluag muculya peristiwa A, A, higga A pada pegambila bola satu demi satu tapa pegembalia pada esperime ii sama dega ilai peluagya pada pegambila sealigus yag telah diemuaa sebelumya Megguaa Tei Pedataa Permutasi Dega Beberapa Usur sama Cara lai utu melihat ilai peluag muculya suatu peristiwa pada esperime berupa pegambila sampel satu demi satu tapa pegembalia da pegambila sampel satu demi satu dega pegembalia adalah dega haya melihat uruta susua wara yag mugi mucul dalam esperime itu Dega cara seperti itu maa diagram poho yag diperhatia hayalah sebatas pada peristiwa berdasara muculya permutasi (uruta) dari beberapa usur sama yag mugi terjadi pada esperime tersebut Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 6

20 Perhatia bahwa pada pegambila sampel bola satu demi satu tapa pegembalia seperti yag ditujua pada cotoh b tersebut terdapat peristiwa lepas yag merupaa partisi dari S Sebab A, A, A,, A memeuhi syarat yag didefiisia yaitu () A A A A yai salig lepas, da () A A A A S Yai gabuga seluruhya adalah S Utu memahami bagaimaa pealaraya dalam meetua ilai peluag misalya utu peristiwa A da A dega A {(m, p, )} da A {(m,p)} dapat dilihat pada diagram poho beriut ii mp s mp s A {(m, p, )} A pm s pm s (A ) 6 Gambar a mp s 5 pm s 6 mpp s 7 A {(m, p)} A pmp s 8 (A ) Gambar b ppm s Searag bagaimaa meetua P(A ) da P(A )? Pealaraya dalam meetua peluag edua peristiwa itu adalah seperti beriut Perhatia misalya peluag muculya titi sampel s Yai P({s }) Perhatia: s mp artiya adalah pada pegambila I terambil merah pegambila II terambil putih, da pegambila III terambil uig s mp artiya adalah pada pegambila I terambil merah pegambila II terambil uig, da pegambila III terambil putih Itulah sebabya megapa s s (s dibedaa dega s area uruta hasil pegambilaya mempuyai maa/diperhatia) Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 7

21 Selajutya bagaimaa cara pealaraya dalam meetua ilai-ilai peluagya? Misal P({s }), P({s }), P({s 7 })? Perhatia pealaraya dega melihat diagram poho dari peristiwa A I II III Obye Esp m m m m p p p m,p, Ambil aca bola tapa pegemb m p mp s p mp s p m pm s m pm s A P({s }) P({s }) (m, p, ) P(A )? bola Gambar 0 m p mp s p m 7 pm s 6 P({s 5}) P({s 6 }) Perhatia peluag muculya titi sampel yag pertama P({s }) Karea pegambilaya satu demi satu tapa pegembalia, maa jia pada pegambila I bola dalam ota masih utuh buah, sedaga pada pegambila II da III berturutturut bolaya tiggal 8 da 7 Selajutya area bola putih da uig pada pegambila II da III jumlahya masih utuh masig-masig buah da buah Maa peluag muculya titi sampel s adalah P({s }) Bagaimaa searag dega P({s })? Karea bola uig yag terambil pada pegambila II da bola putih yag terambil pada pegambila III sebelumya belum perah terambil, maa jumlah masig-masig bola pada pegambila II da III berturut-turut adalah da Selajutya area pada pegambila II da III bola yag tersisa berturut-turut tiggal 8 da 7, maa peluag terambilya bola II berwara uig da bola III berwara putih berturut-turut adalah P(II ) da P(III p) Sehigga P({s }) Dega pealara yag sama aa dipeoleh P({s 5 }), da P({s6 }) Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 8

22 Karea ilai-ilai P({s }), P({s }), P({s }), higga P({s 6 }) masig-masig dalam betu pecaha yag bagia peyebutya tetap da haya pembilagya saja yag dibola-bali, maa hasil peraliaya tetap yai 50 Karea masig-masig titi sampel dalam peristiwa A berpeluag sama utu mucul yai da bayaya titi sampel 6, maa P(A ) Selajutya perhatia peluag muculya peristiwa edua, yai P(A ) A {(m, p)} A mpp s 7 pmp s 8 ppm s (A ) Gambar a Obye Esp m m m m p p p m,p, bola Ambil aca bola tapa pegemb P({s 7 }) m p p mpp s Gambar b I II III p m p pmp s p m ppm s 7 A (m, p) P(A )? P({s }) Dega cara da pealara yag sama maa peluag muculya peristiwa A adalah P(A ) Selajutya secara lebih legap utu ruag sampel S da beberapa peristiwa partisi yag ada di dalamya diberia gambara seperti beriut ii Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

23 I II III Obye Esp m m m m p p p m,p, Ambil aca bola tapa pegemb m p mp s p 7 mp s p m pm s m pm s A (m, p, ) P(A )? bola m p mp s p m 7 pm s 6 Obye Esp m m m m p p p m,p, bola Ambil aca bola tapa pegemb I II III m p p mpp s p m p pmp s p m ppm s 7 A (m, p) P(A )? S (S) 6 Obye Esp Cara Esp m m m m p p p Ambil aca bola tapa pegemb p 8 p 7 p ppp s 6 A (p) 6 P(A ) 50 m,p, bola Gambar Gambar di atas memperlihata bagaimaa ruag sampel S tersebar (terdistribusi) edalam peristiwa A, A, A,, A yag salig lepas Kesembila peristiwa salig lepas tersebut merupaa partisi dari S area salig lepas da gabuga seluruhya sama dega S, yai () salig lepas A A A A, da () gabugaya S A A A A S Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 0

24 Karea pada setiap peristiwa partisi masig-masig titi sampelya bepeluag sama utu mucul, sedaga betu titi sampelya berupa permutasi dega beberapa usur sama, maa bayaya titi sampel dihitug megguaa rumus permutasi dega beberapa usue sama Yai ( )!! A (m, p, )(A ) 6 P(A!!!!!! ) 6 P(Im,Ip,I) A (m, p) (A ) A (m, p)(a ) ( )!!! ( )!!!! P(A ) P(Im, Ip, IIp)!!!!! P(A ) P(Im, IIm, Ip) ( )! A (m, ) (A )!! ( )! A 5 (m, ) (A )!!!!! P(A ) P(Im, I, II)!!! P(A5 ) P(Im, IIm, I) ( )! A 6 (p, )(A 6 )!!!!! P(A6 ) P(Ip, I, II) A 7 (p, ) (A 7 ) ( )!!!! P(A7 ) P(Ip, IIp, I)!! A 8 (m) (A 8 ) A (p)(a 8 ) ( )!! ( )!! P(A 8 ) P(Im, IIm, IIIm) P(A ) P(Ip, IIp, IIIp) Total Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

25 Arti dari perhituga-perhituga di atas adalah sebagai beriut Jia usur-usur obye esperimeya dibedaa semuaya/satu sama lai maa a Usur-usur obye esperimeya harus diberi ides, sehigga tampa bahwa obye esperime bola ( merah, putih, da uig) O {m, m, m, m, p, p, p,, }, yai) merah putih uig b Jia esperimeya adalah megambil aca bola satu demi satu tapa pegembalia maa ruag sampelya memuat 50 titi sampel Sehigga (S) 50 Ruag sampel S adalah ruag sampel homogi sebab masig-masig titi sampel dalam S berpeluag sama utu mucul c Ruag sampel S hasil esperime itu memuat macam peristiwa partisi Kesembila peristiwa pertisi itu adalah A, A, A,, A Bayaya tit sampel dari masig-masig peristiwa partisi itu selegapya adalah seperti beriut A {(m, p, )} yai terambilya bola merah, bola putih, da bola uig {m p s, m p s,, m p s, m p s } Sehigga (A ) Secara jelas dapat dilihat pada gambar 8 halama 5 Peristiwa-peristiwa partisi laiya adalah (coba jelasa alasaya) A {(m, p)} dega (A ) 7 A {(m, p)} dega (A ) 08 A {(m, )} dega (A ) A 5 {(m, )} dega (A 5 ) 7 A 6 {(p, )} dega (A 6 ) 8 A 7 {(p, )} dega (A 7 ) 6 A 8 {(m)} dega (A 8 ) A {(p)} dega (A ) 6 A 0 {()} tida mugi terjadi sebab bola uigya haya buah Jadi A 0 Jia usur-usur obye esperimeya dibedaa meurut waraya, maa a Obye esperimeya ditulis O {m, p, } yai himpua bola terdiri dari bola merah, bola putih, da bola uig Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

26 b Esperime yag dilaua sama, yai megambil aca bola satu demi satu tapa pegembalia Esperime tersebut tida lagi memuat 50 titi sampel amu haya memuat 6 titi sampel Kita itulis S { s, s, s,, s 6 } c Ruag sampel S { s, s, s,, s 6 } tersebut terbagi dalam peristiwa partisi A, A, A,, A dega baya aggota masig-masig partisi adalah (A ) 6, (A ) (A ) (A ) (A 5 ) (A 6 ) (A 7 ), da (A 8 ) (A ) d Kedua puluh eam titi sampel itu ii tida lagi homogi sebab tida semua titi sampelya berpeluag sama utu mucul Perhatia: A {s, s,, s 6 } { mp, mp, pm, pm, mp, pm }, (A ) 6 peristiwa terambilya bola merah, bola putih, da bola uig P(A ) maa P({s }) P({s }) P({s 6 }) A {s 7, s 8, s } { mpp, pmp, ppm }, (A ) peristiwa terambilya bola merah da bola putih P(A ) 7 maa P({s7 }) P({s 8 }) P({s }) A {s 0, s, s } { mmp, mpm, ppm }, (A ) peristiwa terambilya bola merah da bola putih P(A ) 08 maa P({s0 }) P({s }) P({s }) A {s, s, s 5 } { m, m, m }, (A ) peristiwa terambilya bola merah da bola uig P(A ) maa P({s }) P({s }) P({s 5 }) A 5 {s 6, s 7, s 8 } { mm, mm, mm }, (A 5 ) peristiwa terambilya bola merah da bola uig P(A 5 ) 7 maa P({s6 }) P({s 7 }) P({s 8 }) A 6 {s, s 0, s } { p, p, p }, (A 6 ) peristiwa terambilya bola putih da bola uig Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

27 P(A 6 ) 8 maa P({s }) P({s 0 }) P({s }) A 7 {s, s, s } { pp, pp, pp }, (A 7 ) peristiwa terambilya bola putih da bola uig P(A 7 ) 6 maa P({s }) P({s 0 }) P({s }) A 8 {s 5 } { mmm }, (A 8 ) peristiwa terambilya bola semuaya merah P(A 8 ) maa P({s }) P({s 0 }) P({s }) A {s 6 } { ppp }, (A ) peristiwa terambilya bola semuaya merah P(A ) 6 50 maa P({s }) P({s 0 }) P({s }) Berdasara uraia di atas tampa mejadi semai jelas bahwa tida semua titi sampel s i S berpeluag sama utu mucul Peluag muculya masig-masig titi sampel dalam S yag berilai sama adalah: P({s i }) utu si A, A, da A 5, P({s i }) utu si A 7, P({s i }) utu si A 6 da A 8 P({s i }) 8 utu si A 6, P({s i }) utu si A 5, P({s i }) 6 utu si A Dega eraga berpiir seperti di atas, maa secara umum disimpula bahwa Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

28 Pegambila sealigus Pegambila satu demi satu Fata yag dari, dari,, tapa pegembalia diperoleh dari dari, dari,, dari Ruag sampelya S da Ruag sampelya S da S S baya aggotaya (S ) baya aggotaya (S ) (S ) (S ) Ruag sampel S memuat Ruag sampel S memuat (S ) > (S ) peristiwa-partisi A i sebaya (A i ) dega peristiwa-partisi A j sebaya (A j ) dega (A i ) (A j ) i {,,,, } j {,,,, } (A i) (S ) C C C C C (A i)! z! z! z z +z + + z (z )(z )! ( Ai) ( Ai) ( S) ( S ) P (A i) P (A i) Peluag muculya A i P (A i) ( A i ) ( S ) (S ) P (ilai peluagya sama) Peluag muculya A i P (A i) ( A i ) ( S ) Teorema Pegambila Sampel Pegambila sampel secara aca bola sealigus dari dalam ota yag berisi bola ( ), ilai peluagya sama dega pegambla secara aca bola satu demi satu tapa pegembalia Buti Utu lebih memudaha pemahama, misalya ota itu berisi ategori wara saja yaitu merah, putih, da uig Dega demiia gambara dari isi ota itu adalah sebagai beriut Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 5

29 6 Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 PPPPTK MATEMATIKA, DITJEN PMPTK, DEPDIKNAS bola uig putih merah diambil bola sealigus, terea uig dari uig putih dari putih merah dari merah + + () Jia bola diambil sealigus maa dari da, dari, dari P () () Jia bola itu diambil satu demi satu tapa pegembalia, maa pada gambar diagram poho ta legap, bayaya cabag yag diperhituga ilai peluagya aa sama dega ilai permutasi beberapa usur sama dari!!!!,,,, P P Perhatia lebih lajut bahwa ilai peluag dari masig-masig cabag adalah sama yaitu sama dega P P P P! C! C! C! C atau!!!! Karea ilai peluag masig-masig cabag sama, maa ilai peluag terambilya dari, dari, dari adalah sama dega bayaya cabag dialia ilai peluag dari masig-masig cabag, yai :!!!!!!!! dari da, dari, dari P Terbuti sama ilaiya dega pegambila sampel sealigus Gambar

30 Geeralisasi Secara umum utu ategori wara, pada pegambila bola satu demi satu tapa pegembalia dari seluruhya sebaya bola, ilai peluag terambilya dari, dari,, dari sama dega P dari, dari,, dari bayaya cabag dialia ilai peluag masig-masig cabag bayaya cabag dialia ilai peluag cabag yag pertama (megigat ilai peluag masig-masig cabag adalah sama) ( ) P (,,, ) P P P P C! C! P! P (,,, C!, atau!!!!!!!! Dega demiia secara umum terbuti bahwa Peluag terambilya dari, dari,, dari dega pada pegambila bola sealigus dega,,,, sama dega peluag terambilya bola satu demi satu tapa pegembalia dari ota yag berisi bola C Distribusi Multiomial (Pitma, : 55) (Rumusa peluag percobaa berulag yag salig bebas utu ategori atau lebih) Cotoh c Soal sama dega cotoh a da b haya pegambila bolaya saja yag berbeda Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 7

31 PENGAMBILAN SAMPEL SATU DEMI SATU DENGAN PENGEMBALIAN Sebuah ota berisi bola merah bola putih da bola uig Dari dalam ota diambil bola satu demi satu dega pegembalia Berapaah peluag terambilya bola merah, bola putih, da bola uig? Jawab Beriut adalah gambara pegambila 6 bola satu demi satu dega pegembalia Karea bola-bolaya terdiri dari bola merah, bola putih, da bola uig, maa bola seluruhya sebaya + + Peristiwa yag ditayaa adalah P(m, p, )? I II III Obye Esp m m m m p p p m,p, bola Cara Esp Ambil aca bola tapa pegemb m p m p m p m mmms 5 p mmp s 0 m mms 6 m mpm s p mpp s 7 mp s m mm s 7 p mp s m s m pmm s p pmp s 8 pm s m ppm s p ppp s 6 pp s S A 8 A A A A Gambar m pm s p pp s p s A m p m mms 8 p mp s 5 m s m pm s 6 p pp s p s 0 m m s 5 p p s A 5 A 7 A 6 Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 8

32 Perhatia bahwa ruag sampel S memuat 6 titi sampel, sehigga (S) 6 ruag sampel S berdistribusi seragam, peluag masig-masig titi sampelya P({s i i{,,,, 6}}) ruag sampel S memuat 0 peristiwa partisi A, A, A,, A 0 Yai: 6 A {(m, p, )} (A ) 6 P(A ) 6 cabag A {(m, p)} (A ) P(A ) cabag 7 7 A {(m, p)} (A ) P(A ) cabag A {(m, )} (A ) P(A ) cabag 7 6 A 5 {(m, )} (A 5 ) P(A 5 ) cabag 7 6 A 6 {(p, )} (A 6 ) P(A 6 ) cabag A 7 {(p, )} (A 7 ) P(A 7 ) cabag A 8 {(m)} (A 8 ) P(A 8 ) cabag 7 7 A {(p)} (A ) P(A ) cabag A 0 {()} (A 0 ) P(A 0 ) cabag 7 + Catata 7 Total 7 Peristiwa A 0 {()} mugi terjadi sebab esperimeya adalah pegambila satusatu dega pegembalia Oleh sebab itu mesipu bola uigya haya buah amu area pegambilaya dega pegembalia, maa mejadi memugia muculya peristiwa A 0 Karea setaiap ali megambil sebuah bola, bola uigya tetap ada sebaya buah da jumlah bolaya tetap buah Maa setiap ali megambil, peluag terambilya bola uig adalah Ruag sampel S yag tersebar (terdistribusi) mejadi 0 peristiwa partisi itu masigmasig partisiya disebut distribusi multiomial Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

33 Secara umum Jia dalam sebuah ota terdapat bola yag terdiri dari wara : wara pertama, wara edua, wara etiga,, higga wara e masig-masig sebaya,,, Jia dari dalam ota diambil secara aca sebaya bola satu demi satu dega pegembalia, maa peluag terambilya bola dari bola yag ada, bola dari bola yag ada, da seterusya higga bola dari bola yag ada ialah :! P!!! dari, dari,, dari p p p disebut rumus umum distribusi multiomial Keteraga : p,p,,p Buti Karea pegambila bola dilaua satu demi satu dega pegembalia, aibatya peluag terambilya masig-masig wara pada setiap ali percobaa (percobaa pertama, edua, da seterusya higga e-) adalah tetap yaitu: p utu peluag muculya wara pertama, p utu peluag muculya wara edua, da seterusya higga p utu peluag muculya wara e- Selajutya ita bayaga diagram pohoya Bayaya cabag (bayaya titi sampel) pada diagram poho yag dihitug ilai peluagya ialah sebaya, (A i ) P,,! P,,,!!! Bayaga lagi bahwa tiap-tiap partisi mempuyai aggota yag setiap aggotaya berpeluag sam utu mucul Maa peluag muculya masig-masig cabag (masigmasig titi sampel) pada partisi yag sama adalah sama, yaitu P(sA i ) p p p p p p p p p p p p fator fator fator Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00 0

34 Karea bayaya cabag pada setiap peristiwa partisi adalah (A i )!,!!! da setiap cabag ilai peluagya adalah P(sA i ) p p p Maa ilai peluag yag ditayaa adalah jumlah ilai peluag dari masig-masig cabag yaitu bayaya cabag dialia ilai peluag masig-masig cabag Yai P dari, dari,, dari bayaya cabag dialia ilai peluag masig-masig cabag (A i ) P(sA i ) Terbuti! p p p!!! LATIHAN Seepig mata uag logam diudi 5 ali Berapa ilai peluag muculya mua aga a sebaya dua ali? b palig baya satu ali? Sepasag pegati megharapa aa (tida ada yag embar) Berapa peluagya merea medapata? a dua aa lai-lai b miimal seorag aa lai-lai Sebuah dadu diudi sebaya ali Tetua peluagya utu mucul a mata dadu sebaya ali b mata dadu miimal satu ali Apaah ruag sampelya sama atara megudi sebuah dadu ali dega megudi dadu sealigus? 5 Sebuah ota berisi bola merah da bola putih Dari dalam ota diambil satu demi satu sebaya bola dega pegembalia Tetua peluag terambilya : Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

35 a dua bola merah b satu bola putih c palig sediit sebuah bola putih 6 Sebuah ota memuat elereg, merah elereg putih da 5 elereg uig Dari dalam ota diambil sebaya elereg satu demi satu tapa pegembalia Tetua peluag dari elereg yag termbil itu : a memuat elereg merah, putih da uig masig-masig satu elereg b haya memuat satu elereg merah da dua elereg uig c elereg diataraya berwara merah 7 Misala terdapat tawara beasiswa utu eam orag siswa, teryata yag medaftara diri ada lima orag pria da lima orag waita Selajutya merea diudi secara aca Tetua peluag terpilihya peerima beasiswa itu : a terdiri dari pria da waita b siswa pria lebih baya dari pada siswa waita 8 Misala didalam sebuah atog terdapat 0 batu baterai, tiga diataraya mati Sampel sebaya baterai diambil secara aca satu demi satu dari 0 baterai yag ada didalam atog itu Berapaah peluag diperolehya sebuah baterai mati jia pegambila sampelya a tapa pegembalia b dega pegembalia Dari seperagat artu bridge ditari secara aca artu secara berturut-turut Tetua peluag terambilya artu jatug, seop, berlia da eritig masig-masig sebuah jia pegambilaya a tapa pegembalia b dega pegembalia 0 Sebuah atog berisi 5 bola merah, 6 bola putih, bola uig, da 5 bola hijau Dari dalam ota diambil 0 bola satu demi satu Tetua peluag terambilya bola merah, bola putih, bola uig, da bola hijau jia pegambilaya a tapa pegembalia b dega pegembalia Misala sebuah ota berisi bola merah, bola putih, bola uig da bola biru Dari dalam ota diambil aca bola Jia S adalah ruag sampel dari esperime tersebut Tetua Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

36 a Semua peristiwa partisi dalam S jia esperimeya adalah pegambila satu demi satu tapa pegembalia Berapa macam peristiwa partisi yag mugi terjadi dalam esperime itu? b Peluag muculya salah satu peristiwa partisi dalam S yai terambilya bola merah da bola putih c Semua peristiwa partisi dalam S jia esperimeya adalah pegambila satu demi satu dega pegembalia Berapa macam peristiwa partisi yag mugi terjadi dalam esperime itu? d Peluag muculya salah satu peristiwa partisi dalam S yai terambilya bola merah da bola putih Misala sebuah ota berisi bola merah, bola putih da bola uig Dari dalam ota diambil aca 5 bola Jia S adalah ruag sampel dari esperime tersebut Tetua a Semua peristiwa partisi dalam S jia esperimeya adalah pegambila satu demi satu tapa pegembalia Berapa macam peristiwa partisi yag mugi terjadi dalam esperime itu? b Peluag muculya salah satu peristiwa partisi dalam S yai terambilya bola merah, bola putih, da bola uig c Semua peristiwa partisi dalam S jia esperimeya adalah pegambila satu demi satu dega pegembalia Berapa macam peristiwa partisi yag mugi terjadi dalam esperime itu? d Peluag muculya salah satu peristiwa partisi dalam S yai terambilya bola merah, bola putih, da bola uig Soal-Soal EBTANAS Sebuah mata uag da sebuah dadu dilempar diudi sealigus Tetua peluag muculya mua aga pada mata uag da bilaga prima gajil pada dadu (EBTANAS /) Dalam sebuah ota terdapat 0 bola putih da 5 bola merah Dari ota tersebut diambil satu bola berturut-turut sebaya dua ali tapa pegembalia Tetua peluag terambilya edua bola berwara putih (EBTANAS 8/) Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

37 Sebuah atog berisi elereg merah, 8 elereg biru da 0 elereg uig Jia sebuah elereg diambil secara aca dari atog itu, peluag terambilya elereg uig atau merah adalah (EBTANAS /) Sebuah ota A berisi elereg merah da elereg putih Kota B berisi 6 elereg merah da elereg putih Dari masig-masig ota diambil sebuah elereg, tetua peluag yag terambil elereg merah dari ota A da elereg putih dari ota B (EBTANAS /) 5 Dalam sebuah ota terdapat bola merah da 6 bola putih Dari ota itu diambil bola sealigus secara aca Peluag terambil seurag-uragya bola putih adalah (EBTANAS 6/7) 6 Pada sebuah ota terdapat 0 elereg yag terdiri dari 7 elereg berwara merah da elereg berwara biru Jia diambil buah elereg secara aca, maa peluag terambilya etiga elereg tersebut berwara merah adalah (EBTANAS /5) 7 Dalam sebuah atog terdapat mai-mai uig da 6 mai-mai biru Dua maimai diambil satu demi satu dega pegembalia Tetua peluag terambil eduaya berwara uig (EBTANAS 6/7) 8 Dalam pelempara buah dadu secara bersama-sama, peluag muculya jumlah edua mata dadu sama dega 7 atau adalah (EBTANAS 88/8) Dalam sebuah atog terdapat elereg merah da 7 elereg putih Diambil sealigus dua elereg secara aca Peluag muculya dua elereg merah adalah (EBTANAS /) 0 Suatu ota berisi 5 elereg merah da elereg putih Dua elereg diambil satu persatu dimaa elereg pertama yag diambil diembalia lagi dalam ota Tetua peluag terambilya elereg pertama da edua berwara merah (EBTANAS /) Marsudi R: Peluag Dilat SMA Lajut 00

38 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS BAGIAN III RUMUS BAYES A PENURUNAN RUMUS Pada bagia ii ita aa membahas suatu tei utu meyelesaia permasalahapermasalaha peluag (probabilitas) bereaa dega pecaria ilai peluag atas suatu peristiwa yag disebaba oleh beberapa fator Tei yag dimasud dieal sebagai rumus Bayes Pada tahu 76 Thomas Bayes (70 76) seorag pedeta juga matematiawa meerbita paperya berjudul A Essay Toward Solvig a Problem i the Doctrie of Chaces Pada paper tersebut Bayes meurua rumus petig yag meghubuga atara peluag bersyarat P(A B) dega P(B A) yai P(B A) P(A B)P(B) P(A) () Dega megguaa teori himpua, buti dari () tersebut jauh lebih mudah dari pada buti asliya yag diemuaa oleh Bayes Berdasara teori himpua buti dari formula () di atas adalah sebagai beriut P(B A) P(B A) defiisi peluag bersyarat P(A) P(A B) sebab B A A B P(A) Catata : P(A B)P(B) sebab dari rumus defiisi probabilitas/peluag P(A) bersyarat aa diperoleh P(A B) P(A B) P(B) Dalam beberapa hal sulit bagi ita utu mecari P(B A), semetara utu mecari P(A B) sagat mudah Hal ii disebaba area P(A B) dapat ditujua secara lagsug represetasiya pada diagram poho Semetara P(B A) represetasiya tida dapat ditujua secara lagsug pada diagram itu Perlu dietahui bahwa P(B A) haya dapat dihitug tetapi tida dapat direpresetasia pada diagram poho P(B A) dihitug berdasara ompoe-ompoe peluag yag diperoleh dari diagram poho Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00 6

39 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS Cotoh beriut adalah gambara bagaimaa mudahya meetua P(A B) dibadiga dega meetua P(B A) Cotoh Sebuah ota berisi 0 bola terdiri dari 6 bola berwara merah da bola berwara putih Dari dalam ota diambil berturut-turut sebaya bola tapa pegembalia Tetua peluag a terambilya bola edua merah dega syarat pertama terambil putih b terambilya bola pertama putih jia bola edua yag terambil teryata merah (tapa melihat hasil pegambila pertama) Jawab : Misala A da B adalah peristiwa sebagai beriut A bola edua yag terambil berwara merah (IIm) B bola pertama yag terambil berwara putih (Ip) Dari soal tersebut yag ditayaa masig-masig adalah a P(A B) (P(IIm Ip) b P(B A) P(Ip IIm) Utu memperjelas permasalaha tersebut dapat diperlihata melalui diagram-diagram poho beriut ii Im Ip Dega meyima ilustrasi pada edua diagram poho tersebut, maa jawaba dari masigmasig masalah yag ditayaa adalah sebagai beriut a P(A B) P(IIm Ip) IIm P(IIm Im) IIp P(IIp Im) IIm P(IIm Ip) IIp P(IIp Ip) 6 Im 0 IIm IIp 6 (lihat esesuaia diagram iri da aa) 0 Ip 5 6 IIm IIp Total 0 + Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00 7

40 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS b P(B A) P(I p II m ) P(A B)P(B) P(A) P(IIm Ip)P(Ip) P(IIm) ( / 0) (5 / 0) 5 Rumus Bayes () perhatia P(IIm) ada tempat P(IIm) jalur I da III Lebih lajut aa ditujua bahwa dari rumus Bayes () tersebut di atas aa diturua rumus Bayes yag lebih legap da lebih bersifat umum Rumus Bayes itu amat bergua utu meyelesaia masalah peluag dari suatu esperime yag memuat beberapa fator yag mempegaruhiya Cotoh beriut memberia gambara bereaa dega masalah probabilitas/peluag seperti apa yag pemecahaya megguaa rumus Bayes Cotoh Sebuah ardus berisi barag dagaga berupa ballpoi Misala ballpoi-ballpoi yag ada pada ardus itu : 0% diataraya diprodusi oleh perusahaa I, 0% diataraya diprodusi oleh perusahaa II, da 50% laiya diprodusi oleh perusahaa III Selajutya dari etiga perusahaa tersebut diperoleh data % dari ballpoi yag diprodusi perusahaa I mati % dari ballpoi yag diprodusi perusahaa II mati % dari ballpoi yag diprodusi perusahaa III mati Misala ita secara aca megambil sebuah ballpoi dari dalam ardus itu Setelah di tes teryata ballpoi yag terambil itu mati Berapa peluag bahwa ballpoi yag terambil da teryata mati itu: (a) berasal dari perusahaa I? (b) berasal dari perusahaa II? (c) berasal dari perusahaa III? Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00 8

41 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS Jawab Utu mempermudah pemahama, peristiwa-peristiwa yag ita buat pemisalaya adalah sebagai beriut : A peristiwa ballpoi yag terambil itu mati B peristiwa ballpoi yag terambil berasal dari perusahaa I B peristiwa ballpoi yag terambil berasal dari perusahaa II B peristiwa ballpoi yag terambil berasal dari perusahaa III Dari pemisala tersebut maa permasalaha yag ditayaa masig-masig adalah : (a) P(B A) (b) P(B A) (c) P(B A) Gambara dari soal di atas adalah sebagai beriut a Obye Esp 00% Cara p % p % p % A (B A (B A (B A B B B Ambil aca obye teryata hasilya A Berapaah P(B A)? P(B A)? P(B A)? b Khusus cotoh Obye Esp 00% Cara 0% 0% 50% A mati (B A (B A (B A B B B % dari % dari % dari Ambil aca obye teryata hasilya A Berapaah P(B A)? P(B A)? P(B A)? P(B A) P(A) P(B A) P(A) P(B A) P(A) Karea 0% barag berasal dari perusahaa I, maa P(B ) 0, Sejala dega itu aa diperoleh P(B ) 0, da P(B ) 0,5 Selajutya area % dari semua barag yag berasal dari perusahaa I mati, maa P(A B ) 0,0 Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00

42 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS Sejala dega itu aa diperoleh P(A B ) 0,0 da P(A B ) 0,0 Obye Esp 00% p % p % p % A (B A (B A (B A Cara Esp Ambil aca lampu teryata mati (A) ) ) A A P(A B ) P(B A) P(A B ) P(B A) P(B P(B A) P(A) A) P(A) Maa B B B ) P(B A P(A B ) P(B A) A) P(A) + + Total P(A) Total Obye Esp 00% 0% 0% 50% A (B A (B A (B A Cara Esp Ambil aca lampu teryata mati (A) 0 % 0,0 0,0 A A 0,0,0 0,006 0, 0,0 0,006 0, 006 P(B A) 0, 0 0, 006 P(B A) 0, B B B Total 00% 0,0 + A 0,50,0 0,00 + Total 0,0 P(A) P(B A) 0,00 0 0,0 6 Total + Utu memecaha pertayaa-pertayaa (a) P(B A) (b) P(B A) (c) P(B A), yag diperlua ilai-ilai dari : P(B ), P(B ), P(B ), P(A B ), P(A B ), da P(A B ) (), sebab berdasara rumus () maa utu pertayaa (a) aa diperoleh betu P(B A) P (A B)P(B ) P(A) () Perhatia bahwa A adalah peristiwa terjadiya bola yag terambil mati, semetara bola yag mati dapat berasal dari perusahaa B, B, atau B Sehigga: A (B A) (B A) (B A) Sedaga etiga peristiwa (B A), (B A), da (B A) salig lepas sehigga masig-masig dari (B A), (B A), da (B A) merupaa partisi dari A Sebab irisaya berupa himpua osog da gabugaya sama dega diriya sediri Yai (B A)(B A)(B A) Ø da (B A) (B A) (B A) A Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00 0

43 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS Karea (B A), (B A), da (B A) merupaa partisi dari A, maa P(A) P(A B ) + P(A B ) + P(A B ) () Perhatia bahwa suu-suu pada persamaa () berdasara defiisi peluag bersyarat maa masig-masig dari (A B i ) dapat ditulis dalam betu sebagai beriut : P(A B ) P(A B ) P(B ) P(A B ) P(A B ) P(B ) P(A B ) P(A B ) P(B ) Substitusia etigaya e persamaa () aa diperoleh P(A) P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) (5) Substitusia lagi dari (5) e () aa diperoleh P(B A) (A B P P(A) ) P(A B )P(B Dega pealara yag sama aa diperoleh : P(A B ) P(A B ) P(B) )P(B ) P(A B )P(B (6) ) P(B A) P(B A) P (A B P(A) P (A B P(A) ) ) P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) P(A B )P(B da P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) ) Dega demiia peyelesaia dari masig-masig ilai peluag yag ditayaa adalah sebagai beriut : P(B A) (0,0)(0,) 0,006 (0,0)(0,) (0,0)(0,) (0,0)(0,5) 0,006 0,006 0,00 0,006 0,0 6 P(B A) P(B A) (0,0)(0,) (0,0)(0,) (0,0)(0,) (0,0)(0,5) 0,006 0,0 (0,0)(0,5) 0,00 0 (0,0)(0,) (0,0)(0,) (0,0)(0,5) 0,0 6 6 Dari rumus (6) tersebut maa secara umum rumus Bayes yag dimasud adalah: Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00

44 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS Rumus Bayes Jia ruag sampel S dapat dibagi dalam peristiwa yag salig lepas yai B, B,, B da A adalah suatu peristiwa yag ilai peluagya tida ol, maa utu masig-masig B i ilai peluagya adalah : P(B i A) P(A Bi )P(B i ) P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) P(A B )P(B i i i P(A B )P(B ) P(A B )P(B ) i i ) B TEKNIK PERHITUNGAN RUMUS BAYES Bagi ita tida begitu petig utu megigat-igat rumus Bayes tersebut, sebab ada cara yag lebih mudah utu megatasiya Cara yag dimasud terdiri dari tahap, yaitu Tahap Dari titi perseutua umum di iri tarilah cabag-cabag yag melambaga masigmasig peristiwa B, B,, B da tadailah cabag-cabag itu dega masig-masig ilai P B Tahap B Dari ujug masig-masig cabag tarilah cabag tuggal yag melambaga peristiwa A da tadailah cabag-cabag baru itu dega peluag-peluag bersyarat P(A B ), P(A B ), da seterusya higga P(A B ) B Tahap Tadailah masig-masig titi ujug aa dega hasil ali ilai-ilai peluag yag ada pada masig-masig jalur yag ditujua sebelumya Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00

45 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS Obye esp B P(A B ) B P(A B ) P(A B ) A A A P(A B ) P(B ) P(A B ) P(B ) P(A B ) P(B ) + Total P(A) P(B A) P(B A) P(B A) P(B P(B P(B Total A) P(A) A) P(A) A) P(A) + Dari diagram poho itu mudah dipahami bahwa yag dimasud dega P(A) P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) + P(A B ) P(B ) + + P(A B ) P(B ) P( AIB i ) P( Bi ) i Perhatia pula bahwa ilai ujug cabag yag pertama jia dibagi dega P(A) hasilya adalah P(B IA) yai P(B IA) P( AIB) P( B) P( A) P( B A) P( A) P( A B) P( A) P( A B ) P( B P( A B) P( B ) P( A B ) P( B ) ) P( A B ) P( B ) Hasilya teryata adalah peluag bolpoi yag terambil mati itu berasal dari pabri B Sejala dega itu maa utu meetua P(B IA), P(B IA), P(B IA), da seterusya higga P(B IA), cuup dega membagi ilai peluag di ujug cabag edua dega P(A), ujug cabag etiga dega P(A), ujug cabag eempat dega P(A), da seterusya higga ujug cabag e- dega P(A), atau secara umum berbetu P(B i IA) P( AIBi ) P( Bi) P( A) Diagram yag digambara seperti di atas disebut diagram poho Bayes Dari diagram poho itu secara umum dapat diataa bahwa ilai peluag dari soal yag ditayaa yaitu P(B i A) dapat diperoleh dega cara: Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00

46 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS P(B i A) Peluag dari cabag Jumlah peluag dari seluruh yag melalui A da B cabag i Dega cara itu maa peyelesaia dari cotoh yag diuraia secara pajag lebar di atas aa mejadi sagat sederhaa da mudah Gambara selegapya yaitu : 0, 0,0 (0,0)(0,) 0,006 0, 0,5 0,0 0,0 (0,0)(0,) 0,006 (0,0)(0,5) 0,00 Total P(cacat/mati) 0,0 + Dari cabag masig-masig maa yag dimasud dega : P(Bola lampu mati berasal dari pabri I) P(Bola lampu mati berasal dari pabri II) P(Bola lampu mati berasal dari pabri III) cabag Total cabag Total cabag Total 0,006 0,0 6 6 PB A 0,006 0,0 6 6 PB A 0, ,0 6 PB A Cara yag sama dapat ita laua pula utu cotoh, yai dari diagram semula Im IIm P(IIm Im) IIp P(IIp Im) 6 Im 0 5 IIm IIp Ip IIm P(IIm Ip) IIp P(IIp Ip) 0 Ip 6 IIm IIp Total 0 + Karea yag ditayaa adalah terambilya bola pertama putih jia bola edua yag terambil teryata merah (tapa melihat hasil pegambila pertama), maa diagram semula itu ita ubah mejadi betu diagram poho Bayes seperti beriut Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00

47 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS Total P (II merah) 0 Sehigga P(Bola I putih Bola II merah) ( / 0) (5 / 0) 5 Artiya adalah peluag terambilya bola pertama putih jia dietahui bola yag terambil pada pegambila edua adalah merah LATIHAN Pada sebuah pabri ba terdapat jariga perait A, B, da C yag masig-masig meagai 60%, 0%, da 0% dari produsi secara eseluruha Dari sistem peraita tersebut teryata jariga A, B, da C meghasila ba yag cacat berturut-turut sebaya 0,%, 0,6%, da 0,8% Jia dari pabri ba tersebut diambil secara aca sebuah ba da teryata cacat Tetua peluag ba yag cacat itu berasal dari : a jariga A b jariga B c jariga C Dalam sebuah atog terdapat ota Kota I berisi bola merah da 8 bola putih, ota II berisi bola merah da 5 bola putih, sedag ota III berisi bola merah da 8 bola putih Misala ita ambil aca sebuah bola dari atog tersebut Teryata bola yag terambil berwara merah Berapaah peluagya bahwa bola yag terambil merah itu a berasal dari ota I b berasal dari ota II c berasal dari ota III Misala dalam sebuah atog terdapat buah ota Dari etiga ota tersebut ota I semuaya berisi 5 bola merah Kota II berisi bola uig da bola putih sedaga ota III berisi bola uig da 6 bola putih Dari dalam atog ita ambil secara aca sebuah bola Teryata bola yag terambil berwara merah Berapaah peluag bola yag terambil itu a berasal dari ota I b berasal dari ota II c berasal dari ota III Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00 5

48 PPPPTK MATEMATIKA, PMPTK, DEPDIKNAS Jia bola yag teambil itu bua bola merah tetapi bola putih, berapaah peluag bola yag terambil itu d berasal dari ota I e berasal dari ota II f berasal dari ota III Sebuah perusahaa asurasi mecatat bahwa seorag sopir baru yag lulus uji, di tahu pertama merea beerja peluag megalami ecelaaa 0,% semetara utu sopir yag ta lulus uji 0,% Jia 60% dari semua sopir baru telah lulus uji, berapaah peluag seorag sopir yag terlibat dalam ecelaaa di tahu pertama meyopir berasal dari: a merea yag lulus uji b merea yag belum lulus uji 5 Suatu tes didesai utu medetesi pegguaa aroba oleh pelajar seolah meegah Teryata bagi seorag peggua atau yag perah megguaa aroba peluag merea aa terdetesi adalah 80% Semetara bagi merea yag merasa belum perah megguaa secara megejuta peluag terdetesi megadug aroba sebaya 5% Jia 0% dari siswa seolah meegah yag diduga sebagai peggua dites teryata positip megadug aroba Berapaah peluag orag yag dites itu berasal dari merea yag merasa belum perah megguaa aroba 6 Sebuah ota berisi 00 bola, terdiri dari 0 bola berwara merah, 0 bola berwara putih, 0 bola berwara uig da 0 bola berwara biru Dari bola-bola itu persetase cacat masig-masig adalah % utu bola merah, % utu bola putih, % utu bola uig, da % utu bola biru Dari dalam ota diambil secara aca sebuah bola (tapa melihat wara bola yag terambil) emudia bola dijatuha e latai Teryata dari buyi beturaya dietahui bahwa bola itu cacat Berapaah peluag bola yag terambil itu a berwara putih b berwara uig 7 Sebuah atog berisi 50 lembar ertas gambar bergambar tooh-tooh film artu Dari ertas-ertas gambar itu 0 lembar diataraya gambarya dobel (ada di edua sisiya) Dari atog tersebut diambil secara aca lembar emudia dilempara e udara sebaya ali, teryata jatuhya berupa sisi yag ada gambarya Berapaah peluag lembara ertas yag terambil itu berasal dari ertas gambar yag gambarya dobel Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00 6

49 PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA DAFTAR PUSTAKA Ato, H Kolma, B (8) Applied Fiite Mathematics ( rd Editio) Ato Tetboos, Ic: New Yor Depdias (00) Pola Pelasaaa Broad Based Educatio (BBE) Buu II Departeme Pedidia Nasioal: Jaarta (00) Kuriulum 00 (Stadar Kompetesi Mata Pelajara Matematia Seolah Meegah Atas da Madrasah Aliyah) Departeme Pedidia Nasioal: Jaarta (006) Kuriulum Tigat Satua Pedidia (KTSP) Matematia Seolah Meegah Atas da Madrasah Aliyah) Departeme Pedidia Nasioal: Jaarta Haret, Doald L (8) Statistical Methods ( rd Editio) Addiso Wesley Publishig Compay, Ic: Philiphies Pitma, Jim () Probability Spriger-Verlag Ic: New Yor Smith, Gary () Statistical Reasoig ( rd Editio) Ally ad Baco, A Divisio of Simo ad Schuster Ic: 60 Gould Street, Needham Height, Massachusetts 0 Spiegel, Murary B (8) Probability ad Statistics (Theory ad Problem) Mc Graw Hill Boo Compay: Sigapore Marsudi R, Peluag SMA Lajut 00 5

50 Marsudi R; Peluag SMA Lajut 00 7 PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA LAMPIRAN Kuci Latiha halama a b a 8 b 6 5 lelai) P(ol a b 6 67 ali) P(ol ya 5 a 5 5 b 5 5 c a b 6 c 5 7 a 0 b 8 a 0 b !!! a b!!!!! 0 a 06 0, b , 0, !!!! 0! a 0 macam b 5 c macam d

51 PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA a 0 peristiwa b 7 c peristiwa d 50 Kuci Soal-soal EBTANAS halama Kuci Latiha halama 6 Ilustrasi Jariga I Jariga II Jariga III 0,% 0,6% 0,8% 60 % 0 % 0 % P(AІB ) 0,00 Ba cacat A cacat a 8/ / b / c / 0,6 0,00 0,008 P(AІB ) 0,006 A cacat 0, 0,006 0,008 P(AІB ) 0,008 A cacat 0, 0,008 0,0008 Total P(A) 0,00 Yag ditayaa adalah P(B ІA) (cacat yag berasal dari jariga, B ) P(B ІA) (cacat yag berasal dari jariga, B ) P(B ІA) (cacat yag berasal dari jariga, B ) Marsudi R; Peluag SMA Lajut 00 8

52 PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA a a b b c c Ilustrasi Lulus uji Ta lulus uji 8 Kuci: 5 0,% 0,% 60% 0% Kecelaaa P(AІB ) 0,00 A: Kecelaaa 0,6 0,00 0,008 P(AІB ) 0,00 A: Kecelaaa 0, 0,00 0,006 + Total 0,005 P(B І A) (lulus І ecelaaa) 0,008 0,005 5 Ilustrasi Peggua aroba Bua peggua 50 Kuci: % 5% Terdetesi 0% % Memag peggua, tapi positif A: Terdetesi Diduga peggua (B) Merasa b peggua, tapi positif A: Terdetesi Marsudi R; Peluag SMA Lajut 00

53 PPPPTK MATEMATIKA YOGYAKARTA P(B) 0% P(AІB ) 80% P(AІB ) 05% 0% 80% 0,0800 0% 5% 0,0050 Total P(A) 0, Ilustrasi Merah Putih Kuig Biru % % % % Cacat/reta Kuci : a 0 b merah 0 putih 0 uig 0 biru 00 7 Ilustrasi P(AІB ) 0,0 P(A ІB ) 0,0 P(A ІB ) 0,0 P(A ІB ) 0,0 0,0 0,0 0,06 0,0 0,0 0,00 0,0 0,0 0,00 0,0 0,0 0,00 Total P(A) 0,00 Mucul gambar P(A) 5 5 Mucul gambar P(A) 5 5 Total 5 + Marsudi R; Peluag SMA Lajut 00 50