Pengantar OPTIMASI
|
|
- Bambang Hartono
- 8 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Pengantar OPTIMASI NO Li ier namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) ole Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., P.D. Peneliti di Laboratorium Hidraulika Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Gadja Mada Mei 3
2 PRAKATA namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Dalam keidupan seari-ari, baik disadari maupun tidak, orang selalu melakukan optimasi untuk memenui kebutuannya. Optimasi yang dilakukan ole masyarakat awam lebi banyak dilandasi ole intuisi daripada teori optimasi. Dalam bidang kerekayasaan optimasi sangat dibutukan, sering kita diadapkan pada persoalan mencari penyelesaian termura dengan memenui segala kendala yang ada. Untuk memiliki teknologi optimasi, seorang perencana perlu mendalami teknik-teknik optimasi baik yang sederana untuk mendapatkan pengertian mendasar maupun yang canggi untuk menyelesaikan permasalaan nyata di lapangan. Topik mengenai optimasi di negara-negara berkembang merupakan bidang kealian tersendiri yang membutukan waktu yang tidak sedikit untuk mendalaminya. Riset-riset mengenai optimasi masi terus berlanjut sampai sekarang seingga banyak temuan teknik baru yang lebi canggi dan efisien. Baan penataran ini dimaksudkan untuk memberikan pengenalan dan penyegaran mengenai teknik optimasi, kususnya optimasi nonlinier. Pada kulia ini untuk topik optimasi nonlinier tersedia waktu tuju kali pertemuan masing-masing menit. Dalam waktu sesingkat itu penyusun berusaa untuk mengenalkan optimasi nonlinier secara garis besar seefisien mungkin, seingga ide dasar mengenai optimasi nonlinier dapat dipaami. Beberapa teknik numeris akan dijelaskan pula seingga berguna untuk penyelesaian permasalaan di lapangan. Baan kulia ini merupakan terjemaan bebas dari beberapa pustaka yang digunakan untuk menyusun baan kulia ini. Penyusun berarap baan penataran ini berguna. Kritik membangun sangatla diarapkan agar baan kulia makin sempurna. PRAKATA Yogyakarta, Mei Penyusun Djoko Luknanto al. ii
3 DAFTAR ISI alaman namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) HALAMAN JUDUL...i. METODE OPTIMASI ANALITIS Satu Variabel tanpa Kendala Multi Variabel Tanpa Kendala Multi Variabel dengan Kendala Persamaan Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI Teknik Eliminasi Pencarian bebas Dengan langka tetap Dengan percepatan langka Pencarian lengkap Pencarian Dikotomi Pencarian Fibonacci Pencarian Rasio Emas Teknik Pendekatan Metode Newton (Kuadratik) PERANGKAT LUNAK OPTIMASI SATU DIMENSI Subprogram: MNBRAK Subprogram: GOLDEN Subprogram: BRENT Subprogram: DBRENT Program Utama Subprogram F Subprogram DF Conto Hasil DAFTAR ISI al. iii
4 DAFTAR TABEL alaman Tabel.. Syarat untuk Maimum Lokal Tabel.. Syarat untuk Minimum Lokal Tabel.. Lebar Interval pada Pencarian Dikotomi namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) DAFTAR TABEL al. iv
5 DAFTAR GAMBAR alaman Gambar.. Bungkus makanan ringan pada penataran di JTS FT UGM Gambar.. Grafik dari V(), V'(), dan V"() Gambar.3. Plot dari f ( ) = Gambar.4. Plot dari f (, ) = Gambar.. Bagan alir Pencarian Percepatan Langka Gambar.. Teknik Pencarian Bebas Lengkap Gambar.3. Pencarian Dikotomi Gambar.4. Pencarian Fibonacci... - Gambar.5. Pencarian Rasio Emas Gambar.6. Metode Newton namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) DAFTAR GAMBAR al. v
6 . METODE OPTIMASI ANALITIS Suatu permasalaan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada sala satu atau keduanya, contonya adala sebagai berikut: Ma f (,, 3) = , 5 3 (.) kendala , 3, 3 Penyelesaian permasalaan optimasi nonlinier seperti conto di atas secara analitis akan dijelaskan secara rinci dalam bab berikut.. Satu Variabel tanpa Kendala namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Optimasi nonlinier ditinjau dari pandangan matematis adala topik lanjutan dan secara konsepsual sulit. Dibutukan pengetauan aktif mengenai kalkulus diferensial dan aljabar linier. Dalam optimasi nonlinier terdapat kemampuan untuk menangani masala sulit yaitu fungsi tujuan nonlinier yang tidak mempunyai nilai minimum yang unik serta mempunyai daera penyelesaian dengan batas nonlinier ataupun tidak konve. Secara umum tidak terdapat teknik penyelesaian yang terbaik, tetapi ada beberapa teknik yang mempunyai masa depan cera dibandingkan dengan yang lain. Banyak teknik penyelesaian optimasi nonlinier yang anya efisien untuk menyelesaikan masala yang mempunyai struktur matematis tertentu. Hampir semua teknik optimasi nonlinier modern mengandalkan pada algoritma numeris untuk mendapatkan jawabannya. Sangatla tidak mungkin untuk mendiskusikan teknik-teknik optimasi lanjutan dengan rinci karena diperlukannya pengetauan matematis canggi dalam waktu yang singkat. Pada penataran anya akan dikenalkan konsep-konsep dasar pembentuk algoritma-algoritma modern beserta penggunaannya secara sederana. Dalam kesederanaannya ini dimaksudkan agar konsep dasarnya lebi muda difaami. METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
7 Untuk memulai topik optimasi nonlinier akan dibaas teknik optimasi pada fungsi-funsi satu dimensi, karena teknik ini merupakan satu kesatuan dalam ampir setiap teknik optimasi nonlinier multi variabel. Dimisalkan adala variabel penentu dan f() adala fungsi tujuan dari suatu masala. Metode optimasi menyelesaikan masala Maimumkan f ( ) atau Minimumkan f ( ) (.) Untuk menyelesaikan permasalaan seperti tertera dalam Pers.(.) dapat dipakai kalkulus diferensial yang dinyatakan seperti di bawa ini: Teorema: Misalkan f adala fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b). (i) Jika f () > untuk seluru dalam (a,b), maka f adala menanjak pada [a,b]. (ii) Jika f () < untuk seluru dalam (a,b), maka f adala menurun pada [a,b]. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Test derivasi pertama: Misalkan f adala fungsi yang menerus dalam interval tertutup [a,b] dan dapat diderivasikan pada interval terbuka (a,b) kecuali mungkin di titik c yang berada didalam (a,b). (i) Jika f () > untuk a < < c dan f () < untuk c < < b, maka f(c) adala sebua maimum lokal dari f. (ii) Jika f () < untuk a < < c dan f () > untuk c < < b, maka f(c) adala sebua lokal minimum dari f. (iii) Jika f () < atau f () > untuk setiap dalam (a,b) kecuali = c, maka f(c) BUKAN sebua nilai ekstrim. METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
8 Test derivasi kedua: Misalkan f adala fungsi yang dapat diderivasikan pada interval terbuka yang berisi titik c dan f (c) =, (i) Jika f (c) <, maka f(c) adala sebua maimum lokal dari f. (ii) Jika f (c) >, maka f(c) adala sebua minimum lokal dari f. Agar terdapat gambaran yang lebi jelas bagaimana optimasi satu variabel/dimensi dilaksanakan, maka disajikan satu conto pemakaiannya. Conto. Sebua perusaaan catering (makanan ringan yang menyediakan konsumsi untuk suatu penataran di JTS FT UGM) berusaa mengurangi pengeluaran untuk keperluan pembungkus. Bungkus tersebut terbuat dari kertas karton seperti tampak pada Gambar.. Keempat pojoknya akan dipotong segi empat samasisi sedemikian rupa seingga volumenya menjadi maksimum. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Penyelesaian: Sebagai peserta penataran yang baik, maka kita akan menyelesaikan tantangan di atas dengan metode kalkulus seperti yang tela dijelaskan di atas. Volume pembungkus dapat dinyatakan sebagai V = (6 )( ) = ( Persamaan di atas merupakan persamaan volume sebagai fungsi dari. Untuk mendapatkan nilai volume yang maksimum atau minimum, kita arus mengadakan beberapa peritungan. Derivasi V teradap mengasilkan dv d = ( = 4( ) = 4(3 8)( 3) ) 3 ) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -3
9 L = cm - 6- L = 6 cm Gambar.. Bungkus makanan ringan pada penataran di JTS FT UGM namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Dari persamaan di atas nilai yang mungkin mengakibatkan volumenya menjadi ekstrim adala 8 3 dan 3. Nilai = 8 3 adala tidak mungkin (kenapa ya?), jadi nilai yang dipakai adala 3. Pada Gambar. disajikan plot dari volume sebagai fungsi dari beserta derivasi pertama dan keduanya. Untuk mengetaui apaka volume menjadi maksimum atau minimum kita gunakan Test Derivasi kedua sbb: d V d = ( 74 + ) = 4(6 37) Substitusi = 3 kedalam persamaan di atas mengasilkan d V d = 4(8 37) = 76 < jadi V mempunyai nilai maksimum untuk nilai = 3. Sekarang arus kita ceck apaka volume menjadi maksimum pada nilai ekstrim dari. Tampak dari Gambar., bawa 8, karena untuk nilai = maupun = 8 nilai V =, maka dapat ditarik kesimpulan bawa volume maksimum tidak terjadi pada daera batas. Jadi untuk METODE OPTIMASI ANALITIS al. -4
10 mengemat baan, maka pembungkus makanan ringan di atas arus dipotong berbentuk segi empat pada keempat pojoknya dengan sisisisinya adala 3 satuan. 4 3 y y=v() y=v () - y=v () Gambar.. Grafik dari V(), V'(), dan V"() Secara formal dalam teknik optimasi persoalan di atas dapat ditulis sebagai berikut: namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Maimumkan f 8 = ( Dari conto di atas tampak bawa dengan cara analitis kalkulus diferensial nilai yang memberikan nilai f maimum dapat dicari tanpa mengetaui nilai dari f itu sendiri. Untuk melengkapi teorema optimasi nonlinier satu variabel yang tela dijelaskan di atas disajikan teorema yang dapat digunakan untuk menentukan titik-titik ekstrem dari suatu fungsi satu variabel. Teorema: Misalkan f (c) = f (c) = = f (n-) (c) =, tetapi f (n) (c). Maka f(c) adala: (i) nilai minimum dari f(), jika f (n) (c) > dan n adala bilangan genap, 3 ) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -5
11 (ii) nilai maimum dari f(), jika f (n) (c) < dan n adala bilangan genap, (iii) bukan minimum dan maimum jika n adala bilangan gasal. Conto. Tentukan maimum dan minimum dari fungsi di bawa ini (liat Gambar.3): f ( ) = Penyelesaiannya: 4 3 Karena f ( ) = 6( 3 + ) = 6 ( )( ), maka f ( ) =, pada =, = dan =. 3 Derivasi kedua adala f ( ) = 6( ) 4 y namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) 3 Titik belok -,5,5,5 - Maimu Minimu y=f() Gambar.3. Plot dari f ( ) = Pada =, f () = -6, seingga = adala sebua maimum relatif yang memberikan nilai f ma = f(=) = Pada =, f () = 4, seingga = adala sebua minimum relatif yang memberikan nilai f min = f(=) = METODE OPTIMASI ANALITIS al. -6
12 Pada =, f () =, seingga arus diadakan penyelidikan pada derivasi berikutnya: f (3) = 6( 8+4) = 4 pada =. Karena f (3) pada =, maka = bukanla sebua maimum maupun minimum, = adala sebua titik belok.. Multi Variabel Tanpa Kendala Cara analitis yang diterapkan pada permasalaan optimasi satu variabel dapat pula diterapkan kepada permasalaan multi variabel. Secara umum teknik yang digunakan pada optimasi satu dimensi dapat digunakan dalam optimasi multi variabel. Untuk memberikan padanan dengan bab di atas dan untuk memberikan kemudaan dan kejelasan dalam penulisan persamaan, akan didefinisikan beberapa simbol yang akan dipakai selanjutnya. (i) f(,,, n ) akan ditulis sebagai f(x) dengan X = {,,, n } t (ii) f(x * ) = f( *, *,, n* ) * * (iii) f ( X ) = f (,,..., n ) untuk j =,,,n j namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) f f f (iv) f(x * ) = C setara dengan,,..., = { c, c,..., cn} n Teorema: Jika f(x) mempunyai sebua titik ekstrem (minimum maupun maimum) pada X = X * dan jika derivasi pertama dari f(x) mempunyai nilai pada titik X *, maka f(x * ) = PERHATIAN: Kebalikannya belum tentu benar yaitu jika f(x * ) = maka X * adala titik ekstrem. Teorema: Titik X * disebut titik maksimum lokal dari f(x) jika dan anya jika: (i) f(x * ) = METODE OPTIMASI ANALITIS al. -7
13 (ii) H(X * ) < definit negatif dengan H = matrik Hessian yang didefinisikan sebagai: H = n n nn dengan ij = f i j H adala definit negatif jika dan anya jika (-) j H j > untuk j =,,,n dengan H j = det j j jj, seingga 3 <, >, 3 < namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Teorema: >, dst, (-) j H j > Titik X * disebut titik minimum lokal dari f(x) jika dan anya jika: (i) f(x * ) = (ii) H(X * ) > definit positif atau H j > untuk j =,,,n, seingga METODE OPTIMASI ANALITIS al. -8
14 3 >, >, 3 > >, dst, H j > Tabel.. Syarat untuk Maimum Lokal Keadaan yang dipenui. f(x * ) =. H(X * ) < (definit negatif). f(x * ) =. H(X * ). f(x * ) =. H(X * ) tak tentu X * adala maimum lokal PASTI MUNGKIN MUSTAHIL namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Tabel.. Syarat untuk Minimum Lokal Keadaan yang dipenui. f(x * ) =. H(X * ) > (definit positif). f(x * ) =. H(X * ). f(x * ) =. H(X * ) tak tentu Conto.3 X * adala minimum lokal PASTI MUNGKIN MUSTAHIL Untuk mendemonstrasikan teknik umum untuk mendapatkan titiktitik ekstrem dari suatu fungsi dipakai sebua conto fungsi sebagai berikut: METODE OPTIMASI ANALITIS al. -9
15 6 4 ), ( = f Titik-titik ekstrem arus memenui syarat: 4) (3 4 3 = + = + = f dan 8) (3 8 3 = + = + = f Persamaan di atas dipenui ole titik-titik (, ); (, 8/3); ( 4/3, ); dan ( 4/3, 8/3) Untuk mengetaui titik yang mana yang maimum dan yang mana yang minimum, arus diselidiki matrik Hessiannya. Derivasi kedua dari f adala: = f, = f, dan = f Jadi matrik Hessiannya menjadi + + = H namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) seingga H = [6 +4] dan + + = H Nilai matrik Hessian untuk masing-masing titik-titik ekstrem disajikan di bawa ini. (, ) Matri H H H Sifat H Sifat (, ) f(, ) (, ) Definit positip Minimum 6 METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
16 (, 8/3) 4 8 ( 4/3, ) 4 8 ( 4/3, 8/3) Tak tentu Titik belok 48/7 4 3 Tak tentu Titik belok 94/ Definit negatif Maimum 5/3 Grafik f(x) dalam ruang tiga-dimensi disajikan dalam Gambar.4. Hasil itungan di atas diperkuat dengan visualisasi yang terliat pada Gambar.4. Titik belok (, 8/3) Maimum ( 4/3, 8/3) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) ( ) Minimum (, ) ( ) Titik belok ( 4/3, ) Gambar.4. Plot dari f (, ) = METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
17 .3 Multi Variabel dengan Kendala Persamaan Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan f = f(x) (.3) kendala g j (X) =, dengan j =,,, m (.4) dengan X = {,,, n } t namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) disini m n, jika terjadi bawa m > n, maka biasanya tidak dapat diselesaikan. Tidak seluru teknik optimasi yang terdapat dalam pustaka akan diterangkan disini, tetapi anya metode pengali Lagrange saja akan dibaas. Hal ini dipili dengan pertimbangan bawa penyelesaian optimasi secara analitis jarang dipakai pada permasalaan di lapangan yang sangat komplek. Biasanya metode yang digunakan pada saat sekarang adala metode numeris. Ole karena itu pada bab optimasi secara analitis ini anya dimaksudkan untuk memberikan dasar-dasar pengertian optimasi yang disertai dengan conto-conto sederana. Metode pengali Lagrange dipili karena prinsip kerjanya sederana dan muda dimengerti. Metode pengali Lagrange dapat dipakai untuk menyelesaikan permasalaan optimasi yang dirumuskan dalam Pers.(.3) dan (.4). Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai: Teorema: L( X, λ) = f ( X) + λ ( X) m j= j g j Syarat perlu bagi sebua fungsi f(x) dengan kendala g j (X) =, dengan j =,,, m agar mempunyai minimum relatif pada titik X * adala derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L = L(,,, n, (.5) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
18 λ, λ,, λ m )teradap setiap argumennya mempunyai nilai nol. Teorema: Syarat arus bagi sebua fungsi f(x) agar mempunyai minimum (atau maimum) relatif pada titik X * adala jika fungsi kuadrat, Q, yang didefinisikan sebagai Q = n n i= j= i L did j j dievaluasi pada X = X * arus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dx yang memenui semua kendala. (.6) Syarat perlu agar Q = n n i= j = i j L did j menjadi definit positif (atau negatif) untuk setiap variasi nilai dx adala setiap akar dari polinomial, z i, yang didapat dari determinan persamaan di bawa ini arus positif (atau negatif). namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) ( L L g g z) n m ( L z) n m 3 3 L g L L g g n3 dengan L ij g i L L L g g g j 3 3 m3 * L( X, λ) = L n g g g m Ln g g g n ( Lnn z) g m g m g mn g n g n g mn * gi ( X ) dan gij = j = (.7) Conto.4 Sebua perusaaan pelumas ingin membuat kaleng pelumas dari seng. Kaleng berbentuk silinder dengan baan yang terpakai seluas METODE OPTIMASI ANALITIS al. -3
19 A = 4π. Berapa maimum volume kaleng yang dapat dibuat dari baan yang tersedia? Penyelesaian: Jika r dan adala radius dan tinggi dari kaleng tersebut, maka permasalaan di atas dapat dinyatakan sebagai: Maimumkan f(r,) = πr dengan kendala πr +πr = A = 4π Fungsi Lagrange-nya adala L(r,,λ) = πr +λ(πr +πr-a ), dan syarat perlu untuk memaksimumkan f adala: L r L = π r + λ(4πr + π) = (E.) = π r + πλr = (E.) L = πr + πr A λ = (E.3) Dari Pers.(E.) dan (E.) didapat: r r λ = = atau r + r = (E.4) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) dan Pers.(E.3) dan (E.4) mengasilkan: * A r =, 6π * A = 3π dan λ = * A Nilai di atas memberikan nilai maimum dari 4π 3 * A f = Jika A = 4π, penyelesaian optimum mengasilkan r * =, * = 4, λ * =, dan f * = 6π. Untuk meliat apaka asil di atas memberikan nilai maimum dari f, kita ceck syarat pada Pers.(.7). L L = = π + 4πλ = 4π r ( X, λ ) 54π METODE OPTIMASI ANALITIS al. -4
20 L L = = L = πr + πλ = π r * * ( X, λ ) L = L ( X, λ ) = g g = = 4πr + π = 6π r ( X, λ ) g g = = πr * = 4π ( X, λ ) Seingga Pers.(.7) menjadi ( L L g z) ( L L g z) g g (4π z) π 6π = atau π ( z) 4π = 6π 4π menjadi ( z) 4π π 4π π ( z) ( 4π z ) π + 6π = 4π 6π 6π 4π (4π z)( 6π ) π ( 64π ) + 6π (8π + 6πz) = namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) π + 6π z + 8π + 8π + 56π z = atau 7 π z + 9 π 3 =, seingga z = 7 π Karena nilai z adala negatif, maka penyelesaian di atas yaitu r * =, * = 4, λ * = adala penyelesaian maimum dengan nilai f * = 6π. Arti dari pengali Lagrange. Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik untuk dibaas sebagai penutup dalam bab ini. Untuk membaas ini maka dimisalkan terdapat permasalaan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut: Minimumkan f = f(x) (.8) kendala g(x) = b (.9) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -5
21 Fungsi Lagrange-nya adala ( b g( )) L( X, λ ) = f ( X) + λ X (.) Syarat perlu untuk penyelesaian diatas adala L i = untuk i =,,, n dan (.a) L = λ (.b) Pers.(.) dan (.) mengasilkan: f g λ = untuk i =,,, n (.a) i i b g(x) = atau b = g (.b) Dari Pers.(.a) didapat: f i d i g λ i d i = untuk i =,,, n n n f g atau di λ di = i= i i= i namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) atau atau n f d = λ n g d i i= i i= i n f di = i i df = i n g λ di (.3) i= i dg Pers.(.3) dan (.b) mengasilkan asil yang final yaitu df = λ db atau df * = λ db (.4) Dari Pers (.4) dapat ditarik kesimpulan bawa: pada penyelesaian optimum, perubaan fungsi tujuan, f, berbanding lurus dengan perubaan kendala, b dengan faktor sebesar pengali Lagrange, λ. METODE OPTIMASI ANALITIS al. -6
22 .4 Multi Variabel dengan Kendala Pertidak-samaan Pada bab ini akan didiskusikan teknik optimasi multi variabel dengan kendala pertidak-samaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan f = f(x) dengan X = {,,, n } t (.5) kendala g j (X), dengan j =,,, m Kunci dari penanganan permasalaan di atas adala meruba kendala pertidak-samaan menjadi persamaan dengan menamba variabel slack. Jadi permasalaan optimasi di atas dapat ditulis kembali sebagai: Minimumkan f = f(x) dengan X = {,,, n } t = j j = kendala G ( X, Y) g ( X) + y, dengan j =,,, m (.6) j dengan Y = { y, y,, y m } t adala vektor variabel slack. Permasalaan ini dapat diselesaikan metode pengali Lagrange. Untuk itu, dibentuk fungsi Lagrange sebagai berikut: namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) m L X, Y, λ) = f ( X) + j= ( λ ( X, Y) j G j (.7) Syarat perlu untuk suatu penyelesaian optimum Pers.(.7) diperole dari penyelesaian sistem persamaan di bawa ini. m L f g j ( X, Y, λ) = ( X) + λ j ( X) =, i =,,, n (.8) i L ( X, Y, λ) = G λ j L y j i j j= ( X, Y, λ) = g j i ( X) + y j =, j =,,, m (.9) ( X, Y, λ) = λ y =, j =,,, m (.) j j METODE OPTIMASI ANALITIS al. -7
23 Teknik yang dijelaskan pada bab sebelumnya dapat dipakai untuk menyelesaikan sistem persamaan Pers.(.8) s/d (.). Syarat perlu agar persamaan optimasi, Pers.(.5), mencapai titik minimumnya dapat pula dicari dengan syarat Kun-Tucker. Syarat ini perlu tetapi secara umum bukan merupakan syarat cukup untuk mencapai minimum. Tetapi untuk problema jenis konve, syarat Kun- Tucker menjadi syarat perlu dan cukup untuk sebua minimum global. Syarat Kun-Tucker untuk Pers.(.5): Minimumkan f = f(x) dengan X = {,,, n } t (.5) kendala g j (X), dengan j =,,, m dapat dinyatakan dalam satu set pernyataan sebagai berikut: f i + m j= g j λ j =, i =,,, n (.a) i λ j g j =, j =,,, m (.b) g j, j =,,, m (.c) λ j, j =,,, m (.d) namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) PERHATIAN: Jika permasalaannya adala memaksimumkan {bukan meminimumkan seperti pada Pers.(.5)}, maka λ j dalam Pers.(.d). Jika kendalanya adala g j, maka λ j dalam Pers.(.d). Jika permasalaannya adala memaksimumkan dan jika kendalanya adala g j, maka λ j dalam Pers.(.d). Conto.5 Sebua perusaaan pembuat komputer mendapat kontrak untuk menyediakan 5 unit komputer pada akir bulan pertama, 5 unit komputer pada akir bulan kedua, dan 5 unit komputer pada akir bulan ketiga. Biaya produksi bua komputer tiap bulannya adala. Perusaaan ini dapat memproduksi komputer lebi dari yang dipesan METODE OPTIMASI ANALITIS al. -8
24 dan menyimpannya di gudang untuk diserakan pada bulan berikutnya. Biaya gudang adala sebesar satuan arga untuk tiap komputer yang disimpan dari bulan yang lalu kebulan berikutnya. Diandaikan bawa pada permulaan pesanan di gudang tidak terdapat persediaan komputer. Tentukan jumla produksi komputer tiap bulannya agar biaya pembuatannya minimum. Penyelesaian: Dimisalkan a, b, dan c adala produksi komputer selama tiga bulan berurutan, maka biaya total yang arus diminimumkan adala Biaya total = biaya produksi + biaya gudang atau f ( a, b, c) = a + b + c + ( a 5) + ( a + b ) dengan kendala: = a + b + c + 4a + b 3 g (a, b, c) = a 5 g (a, b, c) = a + b g 3 (a, b, c) = a + b + c 5 Syarat Kun-Tucker nya dapat dinyatakan sbb: namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) f i g g g 3 + λ + λ + λ3 = i =,, 3 i i atau a λ + λ + λ 3 = (E.) b + + λ + λ 3 = (E.) c + λ 3 = (E.3) λ j g j = j =,, 3 atau λ (a - 5) = (E.4) λ (a + b - ) = (E.5) λ 3 (a + b + c - 5) = (E.6) g j j =,, 3 atau a - 5 (E.7) a + b - (E.8) i METODE OPTIMASI ANALITIS al. -9
25 a + b + c - 5 (E.9) λ j j =,, 3 atau λ (E.) λ (E.) λ 3 (E.) Dari Pers.(E.4) tampak bawa λ = atau a = 5. Kasus (i): Jika λ = Pers.(E.) dan (E.3) memberikan c =,5λ3 b =,5λ,5λ3 c =,5λ,5λ3 (E.3) Substitusi Pers.(E.3) kedalam Pers.(E.5) dan (E.6), didapat λ ( 3 λ λ3) = λ3( 8 λ,5λ 3) = (E.4) Empat kemungkinan penyelesaian Pers.(E.4) adala namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) () λ =, 8 λ,5λ 3 = atau λ =, λ 3 = Jadi a = 4, b = 5, c = 6 Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.8). () 3 λ λ 3 =, λ 3 =, atau λ = 3, λ 3 = Jadi a = 45, b = 55, c = Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.9). (3) λ =, λ 3 = Jadi a =, b =, c = Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7) dan (E.9). METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
26 (4) 3 λ λ 3 =, 8 λ,5λ 3 = atau λ = 3, λ 3 = Jadi a = 45, b = 55, c = 5 Penyelesaian ini bertentangan dengan Pers.(E.7). Kasus (ii): Jika a = 5 Pers.(E.) dan (E.3) memberikan λ3 = c λ = b λ3 = b + c λ = 4 a = a + b = + b λ λ3 (E.5) Substitusi Pers.(E.5) kedalam Pers.(E.5) dan (E.6) mengasilkan ( b + c)( a + b ) = c( a + b + c 5) = (E.6) Dari Pers.(E.6) diperole empat kemungkinan penyelesaian () b + c =, a + b + c 5 = Jadi a = 5, b = 45, c = 55 namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) Penyelesaian ini bertentangan dari (E.8). () b + c =, c = Jadi a = 5, b =, c = Penyelesaian ini bertentangan dari (E.8) dan (E.9). (3) a + b =, c = Jadi a = 5, b = 5, c = Penyelesaian ini bertentangan dari (E.9). (4) a + b =, a + b + c 5 = Jadi a = 5, b = 5, c = 5 METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
27 Penyelesaian terakir inila yang memenui setiap persamaan. Nilai dari λ, λ, dan λ 3 sesuai dengan penyelesaian di atas adala λ =, λ =, λ 3 = namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) METODE OPTIMASI ANALITIS al. -
28 . TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI Tela kita liat dalam Bab, bawa untuk mencari nilai optimum suatu fungsi tujuan diitung terlebi daulu titik optimumnya. Setela titik optimum diketaui, maka nilai optimum fungsi tujuannya diitung dari nilai fungsi di titik optimum. Jadi nilai fungsi tujuan diitung terakir. Pada metode numeris langka itungan yang dilakukan justru kebalikan dari metode analitis. Pada metode ini letak titik optimum ditentukan dengan menyelidiki nilai fungsinya. Titik yang mempunyai nilai fungsi terbesar atau terkecil dibandingkan dengan nilai fungsi pada titik-titik yang lain itula titik optimumnya. Jadi letak titik optimum diitung terakir. Dalam bab ini akan dibaas metode numeris dalam optimasi satu variabel tanpa kendala, yang secara garis besar dibagi sebagai berikut. A. Teknik Eliminasi. Pencarian bebas (i) (ii) Dengan langka tetap Dengan percepatan langka. Pencarian lengkap 3. Pencarian dikotomi namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) 4. Pencarian Fibonacci 5. Pencarian Rasio Emas B. Teknik Pendekatan Newton (Kuadratik) Metode numeris yang akan dibaas disini anya berlaku untuk suatu fungsi unimodal. Fungsi unimodal yaitu suatu fungsi yang anya mempunyai satu puncak (maimum) atau satu lemba (minimum). Jika ternyata fungsi tujuan yang akan dioptimasikan bersifat multimodal (berpuncak banyak) pada interval yang menjadi peratian, maka interval tersebut arus dibagi menjadi interval-interval yang lebi kecil sedemikian rupa seingga pada interval-interval kecil tersebut fungsi tujuan bersifat unimodal. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI al. -
29 . Teknik Eliminasi.. Pencarian bebas Teknik eliminasi pencarian bebas adala teknik yang paling sederana dan muda difaami, tetapi tidak efisien ditinjau dari segi numeris. Teknik ini dibagi menjadi dua metode yang berbeda dalam pemilian langka itungan.... Dengan langka tetap. Pendekatan paling dasar dari permasalaan optimasi adala penggunaan langka tetap berangkat dari titik tebakan pertama dan bergerak keara yang dikeendaki. Diandaikan permasalaan yang diadapi adala minimisasi suatu fungsi tujuan, maka teknik ini dapat dijabarkan sebagai berikut:. Mulai dengan tebakan titik pertama, misalkan.. Hitung f = f( ). 3. Pili sebua ukuran langka misalkan s, itung = + s. 4. Hitung f = f( ). namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) 5. Jika f < f, maka pencarian dapat diteruskan keara ini sepanjang titik-titik 3, 4, dengan melakukan tes pada setiap dua titik yang terakir. Cara ini ditempu terus sampai dicapai suatu keadaan dimana i = + (i )s memperliatkan kenaikan pada nilai fungsinya. 6. Pencarian dientikan pada i, dan i atau i dapat dianggap sebagai titik optimum. 7. Jika f > f, pencarian arus dilakukan keara yang berlawanan yaitu sepanjang titik-titik, 3, dengan j = (j )s. 8. Jika f = f, maka titik optimum terletak diantara titik-titik dan. 9. Jika ternyata f dan f mempunyai nilai lebi besar dari f, maka titik optimum terletak diantara titik-titik dan. TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI al. -
30 Conto. Cari maimum dari fungsi f ( ) = + 3 untuk untuk > dengan menggunakan teknik pencarian bebas dengan = dan s =.4. Penyelesaian: Penyelesaiannya dilakukan dengan tabel di bawa ini: i i f i f i f i namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) ya balik ara tidak 4.. tidak 5.. tidak tidak 7..5 tidak tidak tidak..8 y a Dari tabel di atas tampak pada i = terjadi pembalikan ara pencarian karena nilai fungsinya menurun. Pada ara yang sebaliknya nilai fungsi bertamba besar, sampai i =, nilainya menurun. Jadi nilai optimum terjadi diantara i = 9 dan i = atau dapat dianggap bawa nilai optimum adala 9 atau.... Dengan percepatan langka. Walaupun pencarian dengan langka tetap sangat sederana dan muda, tetapi sangat tidak efisien. Sebagai ilustrasi ketidak-efisienannya diandaikan suatu pencarian dimulai dari nilai = dan s =. sedangkan optimum mempunyai nilai 5., maka untuk dapat TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI al. -3
31 menyelesaikannya dengan teknik pencarian langka tetap membutukan 5 kali itungan. Sala satu cara untuk mempercepat proses pencarian titik optimum tersebut adala dengan memperbesar langka pencarian sampai titik optimum terkurung. Pada permasala maimisasi fungsi tujuan, maka teknik pencarian percepatan langka dilakukan dengan memperbesar langka dua kali lipat sepanjang ara gerakan yang mengasilkan bertambanya nilai fungsi tujuan. Beberapa perbaikan dari teknik ini dapat dikembangkan dari ide yang serupa. Sala satunya adala dengan mengurangi besar langka pada saat titik optimum suda terkurung dalam ( i, i ). Dengan mulai lagi itungan dari titik i atau i- prosedur di atas dapat diulangi lagi dengan langka pencarian diperkecil sampai dicapai pengurungan titik optimum dalam suatu interval yang cukup kecil sesuai dengan kebutuan. Prosedur pencarian titik optimum dengan teknik ini dijelaskan dalam bagan alir dalam Gambar.. namafile: D:\My Documents\Publikasi\Optimasi\Non-linier\Nonlinier 3.doc (676 Kb) tidak Set i=i+, s=s i = +s f i =f( i ) f i f i-? STOP opt terletak antara i- dan i Conto. ya tidak Pili nilai awal dan langka awal s Hitung f =( ) Set i=, = +s, f =f( ) f f? ya Set i= - = -s f - =f( - ) tidak Gambar.. Bagan alir Pencarian Percepatan Langka STOP opt terletak antara - dan ya f - f? tidak Set i=i+, s=s - i= -s f - i=f( - i) f -i f -(i-)? ya STOP opt terletak antara -( i -) dan - i TEORI OPTIMASI NUMERIS SATU DIMENSI al. -4
Turunan Fungsi. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi
8 Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan ; Penggunaan Turunan untuk Menentukan Karakteristik Suatu Fungsi ; Model Matematika dari Masala yang Berkaitan dengan ; Ekstrim Fungsi Model Matematika dari Masala
Lebih terperinci19, 2. didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus perlu memaami baasan tentang system bilangan real karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifatsifatnya. Sistem bilangan yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan menggunakan multiplier lagrange serta penerapannya yang akan digunakan sebagai landasan
Lebih terperinciLimit Fungsi. Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Menghitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri
7 Limit Fungsi Limit Fungsi di Suatu Titik dan di Tak Hingga ; Sifat Limit Fungsi untuk Mengitung Bentuk Tak Tentu ; Fungsi Aljabar dan Trigonometri Cobala kamu mengambil kembang gula-kembang gula dalam
Lebih terperinciBAB III STRATIFIED CLUSTER SAMPLING
BAB III STRATIFIED CUSTER SAMPING 3.1 Pengertian Stratified Cluster Sampling Proses memprediksi asil quick count sangat dipengarui ole pemilian sampel yang dilakukan dengan metode sampling tertentu. Sampel
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim 0 f ( x ) f( x) KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) SMA Santa Angela Bandung Taun Pelajaran 04-05 XI IPA Semester Taun Pelajaran 04 05 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini kami
Lebih terperinciMOTIVASI. Secara umum permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Solusi persamaan : 1. analitis 2.
KOMPUTASI NUMERIS Teknik dan cara menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan Mencakup sejumlah besar perhitungan aritmatika yang sangat banyak dan menjemukan Diperlukan komputer MOTIVASI
Lebih terperinciMENYELESAIKAN TURUNAN TINGKAT TINGGI DENGAN MENGGUNAKAN METODE SELISIH ORDE PUSAT BERBANTUAN PROGRAM MATLAB
MENYELESAIKAN TURUNAN TINGKAT TINGGI DENGAN MENGGUNAKAN METDE SELISIH RDE PUSAT BERBANTUAN PRGRAM MATLAB Arwan Maasiswa Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisa Prodi Matematika, FST-UINAM Irwan Prodi Matematika,
Lebih terperinciSeri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer. FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR
Seri : Modul Diskusi Fakultas Ilmu Komputer FAKULTAS ILMU KOMPUTER Sistem Komputer & Sistem Informasi HANDOUT : KALKULUS DASAR Ole : Tony Hartono Bagio 00 KALKULUS DASAR Tony Hartono Bagio KATA PENGANTAR
Lebih terperinciPenyelesaian Model Matematika Masalah yang Berkaitan dengan Ekstrim Fungsi dan Penafsirannya
. Tentukan nilai maksimum dan minimum pada interval tertutup [, 5] untuk fungsi f(x) x + 9 x. 4. Suatu kolam ikan dipagari kawat berduri, pagar kawat yang tersedia panjangnya 400 m dan kolam berbentuk
Lebih terperinciuntuk i = 0, 1, 2,..., n
RANGKUMAN KULIAH-2 ANALISIS NUMERIK INTERPOLASI POLINOMIAL DAN TURUNAN NUMERIK 1. Interpolasi linear a. Interpolasi Polinomial Lagrange Suatu fungsi f dapat di interpolasikan ke dalam bentuk interpolasi
Lebih terperinciBAB III INTEGRASI NUMERIK
Bab BAB III INTEGRASI NUMERIK Integrasi numerik mengambil peranan penting dalam masala sains dan teknik. Hal ini menginat di dalam bidang sains sering ditemukan ungkapan-ungkapam integral matematis yang
Lebih terperinciMATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : 2 (DUA)
MATEMATIKA MODUL 4 TURUNAN FUNGSI KELAS : XI IPA SEMESTER : (DUA) Muammad Zainal Abidin Personal Blog SMAN Bone-Bone Luwu Utara Sulsel ttp://meetabied.wordpress.com PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI Modul ini
Lebih terperinciMatematika ITB Tahun 1975
Matematika ITB Taun 975 ITB-75-0 + 5 6 tidak tau ITB-75-0 Nilai-nilai yang memenui ketidaksamaan kuadrat 5 7 0 atau atau 0 < ITB-75-0 Persamaan garis yang melalui A(,) dan tegak lurus garis + y = 0 + y
Lebih terperinciAKAR PERSAMAAN Roots of Equations
AKAR PERSAMAAN Roots o Equations Akar Persamaan 2 Acuan Capra, S.C., Canale R.P., 1990, Numerical Metods or Engineers, 2nd Ed., McGraw-Hill Book Co., New York. n Capter 4 dan 5, lm. 117-170. 3 Persamaan
Lebih terperincidapat dihampiri oleh:
BAB V PENGGUNAAN TURUNAN Setela pada bab sebelumnya kita membaas pengertian, sifat-sifat, dan rumus-rumus dasar turunan, pada bab ini kita akan membaas tentang aplikasi turunan, diantaranya untuk mengitung
Lebih terperinciJURNAL. Oleh: ELVYN LELYANA ROSI MARANTIKA Dibimbing oleh : 1. Dian Devita Yohanie, M. Pd 2. Ika Santia, M. Pd
JURNAL PENINGKATAN HASIL BELAJAR DAN RESPON SISWA DENGAN MENGGUNAKAN MODEL PEMBELAJARAN KUMON PADA MATERI PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR KELAS VIII SMP NEGERI 8 KOTA KEDIRI PADA TAHUN PELAJARAN 2016/2017 THE
Lebih terperinciProgram Studi S1 Teknik Industri, Fakultas Rekayasa Industri, Universitas Telkom
PERENCANAAN KEBIJAKAN PERSEDIAAN BAHAN BAKU DENGAN MENGGUNAKAN METODE CONTINUOUS REVIEW (s,s) DAN METODE CONTINUOUS REVIEW (s,q) UNTUK MEMINIMASI TOTAL BIAYA PERSEDIAAN PADA PT. XYZ Selvia Dayanti 1, Ari
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. turun pada interval 1. x, maka nilai ab... 5
TURUNAN FUNGSI. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 009 Jika kurva y a b turun pada interval, maka nilai ab... 5 A. B. C. D. E. Solusi: [D] 5 5 5 0 5 5 0 5 0... () y a b y b b a b b 6 6a 0 b 0 b 6a 0 b 5 b a
Lebih terperinciSUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI
Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 009 SUATU CONTOH INVERSE PROBLEMS YANG BERKAITAN DENGAN HUKUM TORRICELLI Suciati
Lebih terperinciE-learning Matematika, GRATIS
Penyusun : Arik Murwanto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. Standar Kompetensi: Menggunakan konsep turunan fungsi dalam pemecaan masala Kompetensi
Lebih terperinciGambar 1. Gradien garis singgung grafik f
D. URAIAN MATERI 1. Definisi dan Rumus-rumus Turunan Fungsi a. Definisi Turunan Sala satu masala yang mendasari munculnya kajian tentang turunan adala gradien garis singgung. Peratikan Gambar 1. f(c +
Lebih terperinciStudi Pencarian Akar Solusi Persamaan Nirlanjar Dengan Menggunakan Metode Brent
Studi Pencarian Akar Solusi Persamaan Nirlanjar Dengan Menggunakan Metode Brent Tommy Gunardi / 13507109 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciPengkajian Metode Extended Runge Kutta dan Penerapannya pada Persamaan Diferensial Biasa
JURNAL SAINS DAN SENI ITS Vol. 4, No.2, (215 2337-352 (231-928X Print A-25 Pengkajian Metode Extended Runge Kutta dan Penerapannya pada Persamaan Diferensial Biasa Singgi Tawin Muammad, Erna Apriliani,
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Hasil Penelitian Penelitian ini menggunakan metode eksperimen kuantitati dengan desain posttest control group design yakni menempatkan subyek penelitian kedalam
Lebih terperinciKALKULUS. Laporan Ini Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc. Disusun Oleh :
KALKULUS Laporan Ini Disusun Untuk Memenui Mata Kulia KALKULUS Dosen Pengampu : Ibu Kristina Eva Nuryani, M.Sc Disusun Ole : 1. Anggit Sutama 14144100107 2. Andi Novantoro 14144100111 3. Diya Elvi Riana
Lebih terperinciSetiap mahasiswa yang pernah mengambil kuliah kalkulus tentu masih ingat dengan turunan fungsi yang didefenisikan sebagai
Bab 7 Turunan Numerik Lebi banyak lagi yang terdapat di langit dan di bumi, Horatio, daripada yang kau mimpikan di dalam ilosoimu. (Hamlet) Setiap maasiswa yang perna mengambil kulia kalkulus tentu masi
Lebih terperinciBAB 5 DIFFERENSIASI NUMERIK
BAB 5 DIFFERENSIASI NUMERIK 5.1. Permasalaan Differensiasi Numerik Sala satu peritungan kalkulus yang banyak digunakan adala differensial, dimana differensial ini banyak digunakan untuk keperluan peritungan
Lebih terperinciStaff Pengajar Jurusan Teknik Mesin, FT-Universitas Sebelas Maret Surakarta
DESAIN OPTIMASI UNGSI TAK LINIER MENGGUNAKAN METODE PENYELIDIKAN IBONACCI Yemi Kuswardi Nurul Muhayat Abstract: optimum design is an action to design the best product based on the problem. Theoretically,
Lebih terperinciBAB III METODE PENELITIAN
BAB III METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adala penelitian komparasi. Kata komparasi dalam baasa inggris comparation yaitu perbandingan. Makna dari
Lebih terperinciMatematika Lanjut 2 SISTIM INFORMASI FENI ANDRIANI
Matematika Lanjut SISTIM INFORMASI FENI ANDRIANI . SOLUSI PERSAMAAN NON LINIER Metode Biseksi Fungsi kontinu pada [a,b] Akarnya = p & p [a,b] Untuk setiap iterasi akan membagi interval yang memuat = p
Lebih terperinciKata Kunci: Persediaan, Analisis ABC, Overstock, Continous Review (s,s), Continous Review (s,q) ABSTRACT
PERANCANGAN KEBIJAKAN PERSEDIAAN PRODUK KATEGORI CHEMICAL DENGAN MENGGUNAKAN METODE PROBABILISTIK CONTINOUS REVIEW (s,s) DAN CONTINOUS REVIEW (s,q) UNTUK MEMINIMASI TOTAL BIAYA PERSEDIAAN DI PT XYZ Dimas
Lebih terperinciMETODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1. Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 8
METODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 Moamad Sidiq PERTEMUAN : 8 DIFERENSIASI NUMERIK METODE NUMERIK TEKNIK INFORMATIKA S1 3 SKS Moamad Sidiq MATERI PERKULIAHAN SEBELUM-UTS Pengantar Metode Numerik
Lebih terperinciA. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan
A. Penggunaan Konsep dan Aturan Turunan. Turunan Fungsi Aljabar a. Mengitung Limit Fungsi yang Mengara ke Konsep Turunan Dari grafik di bawa ini, diketaui fungsi y f() pada interval k < < k +, seingga
Lebih terperinciROOTS OF NON LINIER EQUATIONS
ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS ROOTS OF NON LINIER EQUATIONS Metode Bagi dua (Bisection Method) Metode Regula Falsi (False Position Method) Metode Grafik Iterasi Titik-Tetap (Fi Point Iteration) Metode
Lebih terperinciBAB III METODE STRATIFIED RANDOM SAMPLING
BAB III METODE STRATIFIED RADOM SAMPIG 3.1 Pengertian Stratified Random Sampling Dalam bukunya Elementary Sampling Teory, Taro Yamane menuliskan Te process of breaking down te population into rata, selecting
Lebih terperinciTurunan Fungsi Aljabar
Turunan Fungsi Aljabar Fungsi Limit Turunan Fungsi Aljabar Materi Prasyarat Definisi Turunan Rumus-rumus Turunan Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar Persamaan Garis Singgung Kurva Fungsi Naik dan Fungsi Turun
Lebih terperinciDifferensiasi Numerik
Dierensiasi Numerik Yuliana Setiowati Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2007 1 Topik DIFFERENSIASI NUMERIK Mengapa perlu Metode Numerik? Dierensiasi dg MetNum Metode Selisi Maju Metode Selisi Tengaan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan di
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pemrograman Linier (Linear Programming) Pemrograman linier (linear programming) merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non linier Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model
Lebih terperinciLEMBAR KERJA SISWA 1. : Menggunakan Konsep Limit Fungsi Dan Turunan Dalam Pemecahan Masalah
BAB V T U R U N A N 1. Menentukan Laju Perubaan Nilai Fungsi. Menggunakan Aturan Turunan Fungsi Aljabar 3. Menggunakan Rumus Turunan Fungsi Aljabar 4. Menentukan Persamaan Garis Singgung Kurva 5. Fungsi
Lebih terperinciRangkuman Materi dan Soal-soal
Rangkuman Materi dan Soal-soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, S.Pd matikzone@gmail.com / www.matikzone.co.cc Rangkuman Materi dan Conto Soal. Definisi dy df Turunan dari fungsi y f ( adala y ' f '( ( y'
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciSTATISTICS WEEK 8. By : Hanung N. Prasetyo POLTECH TELKOM/HANUNG NP
STATISTICS WEEK 8 By : Hanung N. Prasetyo BAHASAN Pengertian Hypotesisdan Hypotesis Testing Tipe Kesalaan dalam Pengujian Hipotesis Lima Langka Pengujian Hipotesis Pengujian: Dua Sisi dan Satu Sisi Uji
Lebih terperinciBAB V ALINYEMEN VERTIKAL
BB V INYEMEN VERTIK linyemen vertikal adala perpotongan bidang vertikal dengan bidang permukaan perkerasan jalan melalui sumbu jalan untuk jalan lajur ara atau melalui tepi dalam masing masing perkerasan
Lebih terperinciDisarikan dari Malatuni Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi
Disarikan dari Malatuni 7 Topik Baasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi y f Ditulis: f L L X Amati ara terbang dua ekor burung menuju sangkar dari ara yang berbeda. Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat
Lebih terperinciIII. METODE PENELITIAN. Subjek penelitian ini adalah siswa kelas VII B MTs Al Hikmah Bandar
26 III. METODE PENELITIAN A. Subjek Penelitian Subjek penelitian ini adala siswa kelas VII B MTs Al Hikma Bandar Lampung semester genap taun pelajaran 2010/2011 pada pokok baasan Gerak Lurus. Dengan jumla
Lebih terperinciMAKALAH TURUNAN. Disusun oleh: Agusman Bahri A1C Dosen Pengampu: Dra. Irma Suryani, M.Pd
MAKALAH TURUNAN Disusun ole: Agusman Bari A1C214027 Dosen Pengampu: Dra. Irma Suryani, M.P PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI 2015 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciMETODE MULTIGRID UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN POISSON DUA DIMENSI DENGAN METODE BEDA HINGGA ABSTRACT
METODE MULTIGRID UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN POISSON DUA DIMENSI DENGAN METODE BEDA HINGGA M. Taufik 1, Samsudua 2, Zulkarnain 2 1 Maasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Optimasi Non-Linier Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinier
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan, terlebih dahulu
Lebih terperinci4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1
4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinci65 Soal dengan Pembahasan, 315 Soal Latihan
Galeri Soal Soal dengan Pembaasan, Soal Latian Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April MatikZone s Series Email : matikzone@gmailcom Blog : HP : 8 8 8 Hak Cipta Dilindungi Undang-undang Dilarang mengkutip
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. 1. Turunan Fungsi
TURUNAN FUNGSI. Turunan Fungsi Turunan fungsi f disembarang titik dilambangkan dengan f () dengan definisi f ( ) f ( ) f (). Proses mencari f dari f disebut penurunan; dikatakan bawa f diturunkan untuk
Lebih terperinciOPTIMASI FUNGSI MULTI VARIABEL DENGAN METODE UNIVARIATE. Dwi Suraningsih (M ), Marifatun (M ), Nisa Karunia (M )
OPTIMASI FUNGSI MULTI VARIABEL DENGAN METODE UNIVARIATE Dwi Suraningsih (M2, Marifatun (M53, Nisa Karunia (M6 I. Pendahuluan Latar Belakang. Dalam kehidupan sehari-hari disa maupun tidak, sebenarnya manusia
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinci(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
Lebih terperinciOptimasi Non-Linier. Metode Numeris
Optimasi Non-inier Metode Numeris Pendahuluan Pembahasan optimasi non-linier sebelumnya analitis: Pertama-tama mencari titi-titi nilai optimal Kemudian, mencari nilai optimal dari fungsi tujuan berdasaran
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciLengkung lingkaran untuk berbagai kecepatan rencana besar jari-jari minimum yang diijinkan ditinjau dari:
Lengkung Horisontal Lengkung lingkaran untuk berbagai kecepatan rencana besar jari-jari minimum yang diijinkan ditinjau dari: 1. Gaya sentrifugal diimbangi sepenunya ole gaya berat. G. Sin α C. Cos α C.
Lebih terperinciISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.4, No.1 April 2017 Page 997
ISSN : 2355-9365 e-proceeding of Engineering : Vol.4, No.1 April 2017 Page 997 USULAN KEBIJAKAN PERSEDIAAN PRODUK KATEGORI KAWAT TEMBAGA UNTUK MEMINIMASI STOCK OUT DENGAN PENDEKATAN METODE CONTINUOUS REVIEW
Lebih terperinciREPRESENTASI DAN TEORI APOS UNTUK MENGEKSPLORASI PEMAHAMAN MATEMATIKA MAHASISWA PADA KONSEP LIMIT
1 REPRESENTASI DAN TEORI APOS UNTUK MENGEKSPLORASI PEMAHAMAN MATEMATIKA MAHASISWA PADA KONSEP LIMIT Disusun ole: Ela Nurlaela Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA A. Pendauluan
Lebih terperinciRegularitas Operator Potensial Layer Tunggal
JMS Vol. No., al. 8-5, April 997 egularitas Operator Potensial Layer Tunggal Wono Setya Budi Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Bandung Jl. Ganesa 0 Bandunng, 403 Abstrak egulitas operator =
Lebih terperinciGaleri Soal. Dirangkum Oleh: Anang Wibowo, S.Pd
Galeri Soal Dirangkum Ole: Anang Wibowo, SPd April Semoga sedikit conto soal-soal ini dapat membantu siswa dalam mempelajari Matematika kususnya Bab Limit Kami mengusaakan agar soal-soal yang kami baas
Lebih terperinciModul 5. METODE BIDANG-PARUH (BISECTION) untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL
Modul 5 METODE BIDANG-PARUH (BISECTION) untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL A. Pendahuluan Persamaan Aljabar Non-Linier Tunggal atau PANLT merupakan sembarang fungsi atau persamaan aljabar
Lebih terperinciPertemuan ke 4. Non-Linier Equation
Pertemuan ke 4 Non-Linier Equation Non-Linier Equation Persamaan Kuadrat Persamaan Kubik Metode Biseksi Metode Newton-Rapshon Metode Secant 1 Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pengoptimalan merupakan ilmu Matematika terapan dan bertujuan untuk mencapai suatu titik optimum. Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya
Lebih terperinciPERSAMAAN NON LINIER
PERSAMAAN NON LINIER Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan non linier 2. Mengerti metode biseksi dan regulafalsi 3. Mampu menggunakan metode biseksi dan regula falsi untuk mencari solusi PENGANTAR
Lebih terperinciEFEKTIVITAS MODEL PEMBELAJARAN STUDENT TEAMS ACHIEVEMENT DIVISIONS
JURNAL EFEKTIVITAS MODEL PEMBELAJARAN STUDENT TEAMS ACHIEVEMENT DIVISIONS (STAD) TERHADAP HASIL BELAJAR SISWA KELAS VIIIA PADA MATERI OPERASI BENTUK ALJABAR DI SMP NEGERI 5 KEDIRI THE EFFECTIVENESS OF
Lebih terperinciModul 8. METODE SECANT untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL. A. Pendahuluan
Modul 8 METODE SECANT untuk Solusi Akar PERSAMAAN ALJABAR NON-LINIER TUNGGAL A. Pendahuluan Pada modul 7 terdahulu, telah dijelaskan tentang keunggulan komparatif Metode Newton-Raphson dibanding metode-metode
Lebih terperinciPENINGKATAN HASIL BELAJAR SISWA KELAS V/A DENGAN MENGGUNAKAN MEDIA GRAFIS KARTU PADA PEMBELAJARAN IPS DI SD PT. BINTARA TANI NUSANTARA
PENINGKATAN HASIL BELAJAR SISWA KELAS V/A DENGAN MENGGUNAKAN MEDIA GRAFIS KARTU PADA PEMBELAJARAN IPS DI SD PT. BINTARA TANI NUSANTARA Abdul Hamid 1, Pebriyenni 1, Niniwati 1 1 Program Studi Pendidikan
Lebih terperinciBAB III PEMODELAN DENGAN METODE VOLUME HINGGA
BAB III PEMODELAN DENGAN METODE VOLUME HINGGA 3.1 Teori Dasar Metode Volume Hingga Computational fluid dynamic atau CFD merupakan ilmu yang mempelajari tentang analisa aliran fluida, perpindaan panas dan
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semester II 016/017 4 Maret 017 Kulia ang Lalu 1.1 Fungsi dua atau lebi peuba 1. Turunan Parsial 1.3 Limit dan Kekontinuan 1.4 Turunan ungsi dua peuba 1.5 Turunan berara
Lebih terperinciPERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI
PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI Perbandingan Beberapa Metode Numerik dalam Menghitung Nilai Pi Aditya Agung Putra (13510010)1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinciMODEL REGRESI PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) (Studi Kasus : Kinerja Satuan Kerja Sekretariat Daerah Kabupaten Tegal)
(Studi Kasus : Kinerja Sekretariat Daera Kabupaten Tegal MODEL REGRESI PARTIAL LEAST SQUARES (PLS) (Studi Kasus : Kinerja Satuan Kerja Sekretariat Daera Kabupaten Tegal) Ole Imam Tayudin Dosen STMIK Amikom
Lebih terperinciIntegrasiNumerik. Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I. Oleh; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) (Bag. 1)
IntegrasiNumerik (Bag. ) Baan Kulia IF458 Topik Kusus Informatika I Ole; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode PersoalanIntegrasiNumerik Hitungla nilai Integral-Tentu yang
Lebih terperinciPENETAPAN MODEL BANGKITAN PERGERAKAN UNTUK BEBERAPA TIPE PERUMAHAN DI KOTA PEMATANGSIANTAR
PENETAPAN MODEL BANGKITAN PERGERAKAN UNTUK BEBERAPA TIPE PERUMAHAN DI KOTA PEMATANGSIANTAR Muammad Efrizal Lubis 1 (Dosen FT USI / Dinas PU Pengairan Kab. Simalungun) Novdin M Sianturi 2 (Dosen FT USI)
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinci4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non Linier Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya
Lebih terperinciOlimpiade Sains Nasional Eksperimen Fisika Tingkat Sekolah Menengah Atas Agustus 2008 Waktu: 4 jam
Olimpiade Sains Nasional 008 Eksperimen Fisika Hal dari Olimpiade Sains Nasional Eksperimen Fisika Tingkat Sekola Menenga Atas Agustus 008 Waktu: 4 jam Petunjuk umum. Hanya ada satu soal eksperimen, namun
Lebih terperinciUPAYA PENINGKATAN MOTIVASI DAN PRESTASI BELAJAR IPS MELALUI MODEL COOPERATIVE SCRIPT
Seminar Nasional Universitas PGRI Yogyakarta 01 UPAYA PENINGKATAN MOTIVASI DAN PRESTASI BELAJAR IPS MELALUI MODEL COOPERATIVE SCRIPT Sutarma 1), Jon Sabari ) 1) Pascasarjana, Universitas PGRI Yogyakarta
Lebih terperinciISSN : e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 2016 Page 2450
ISSN : 2355-9365 e-proceeding of Engineering : Vol.3, No.2 Agustus 2016 Page 2450 PENENTUAN KEBIJAKAN PERSEDIAAN CRITICAL SPARE PART DI DIPO BANDUNG PT. KERETA API INDONESIA DENGAN PENDEKATAN METODE CONTINUOUS
Lebih terperinciImtiyaz, et al, Analisis Nomor P-IRT pada Label Pangan Produksi IRTP di Kecamatan...
Analisis Nomor P-IRT pada Label Pangan Produksi IRTP di Kecamatan Kaliwates Kabupaten Jember (Analysis of P-IRT Number on Te Food Label IRTP Production in Kaliwates District Jember Regency) Andi Hilman
Lebih terperinciUSULAN SISTEM PENGENDALIAN BAHAN BAKU DENGAN METODE CONTINUOUS REVIEW (Q,r) BACKORDER PADA PT. KARUNIATAMA POLYPACK
Jurnal Ilmia Teknik Industri Taun 2013, Vol. 1 No.1: 1-11 USULAN SISTEM PENGENDALIAN BAHAN BAKU DENGAN METODE CONTINUOUS REVIEW (,r) BACKORDER PADA PT. KARUNIATAMA POLYPACK Program Studi Teknik Industri
Lebih terperinci4 SIFAT-SIFAT STATISTIK DARI REGRESI KONTINUM
4 SIFA-SIFA SAISIK DAI EGESI KONINUM Abstrak Matriks pembobot W pada egresi Kontinum diperole dengan memaksimumkan fungsi kriteria umum ternata menimbulkan masala dari aspek statistika. Prinsip dari fungsi
Lebih terperinciProfil Keakuratan Komunikasi Matematis Mahasiswa Calon Guru Ditinjau dari Perbedaan Jender
Jurnal Didaktik Matematika ISSN: 355-4185 Profil Keakuratan Komunikasi Matematis Maasiswa Calon Guru Ditinjau dari Perbedaan Jender Jurusan Matematika Universitas Negeri Medan Email: dewi_lubis6@yaoo.co.id
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear
BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear dan langkah-langkah penyelesaiannya
Lebih terperinciMasalah maksimisasi dapat ditinjau dari metode minimisasi, karena
Lecture 2: Optimization of Function of One Variable A. Pendahuluan Ide dasar dari masalah optimisasi adalah mengoptimumkan (memaksimumkan/ meminimumkan) suatu besaran skalar yang merupakan harga suatu
Lebih terperinciJurnal Berkala Ilmiah Efisiensi Volume 16 No. 03 Tahun 2016
ANALISIS KINERJA KEUANGAN PEMERINTAH KABUPATEN KUTAI BARAT KALIMANTAN TIMUR (STUDI KASUS PADA BADAN PENGELOLAAN KEUANGAN DAN ASET DAERAH KABUPATEN KUTAI BARAT KALIMANTAN TIMUR TAHUN 2011-2014) THE FINANCIAL
Lebih terperinciDIFERENSIASI & INTEGRASI NUMERIK
DIFERENSIASI & INTEGRASI NUMERIK Pada bab ini dibaas konsep dasar dierensiasi dan integrasi numerik, meliputi teknik pendekatan atau pengampiran, metode komputasi numerik berkaitan dengan bentuk dierensial
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciSetelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan mampu:
Operasi Geometri () Kartika Firdaus UAD tpcitra@ee.uad.ac.id blog.uad.ac.id/kartikaf Setela mempelajari materi ini, maasisa diarapkan mampu: menerapkan aplikasi pada operasi geometri aitu: pencerminan
Lebih terperinciBAB IV LAPORAN HASIL PENELITIAN
64 BAB IV LAPORAN HASIL PENELITIAN A. Gambaran Umum Lokasi Penelitian 1. Sejara Singkat Berdirinya Madrasa Tsanawiya Negeri I Candi Laras Utara Madrasa Tsanawiya pada awal didirikan pada taun 1983, ini
Lebih terperinciImplementasi Metode Pembelajaran inquiry Untuk Meningkatkan Aktivitas dan Hasil Belajar Fisika Siswa Kelas VIII Mts. Hidayatullah Mataram
Implementasi Metode Pembelajaran inquiry Untuk Meningkatkan Aktivitas dan Hasil Belajar Fisika Siswa Kelas VIII Mts. Hidayatulla Mataram Ainun Mardia, Saiful Prayogi, Samsun Hidayat Program Studi Pendidikan
Lebih terperinci