BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh intuisi daripada teori optimasi. Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk optimasi yaitu fungsi optimasi tak bersyarat dan fungsi optimasi bersyarat. Banyak aplikasi dari pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh suatu solusi optimal. Syarat ini yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Persoalan dengan model tersebut dinamakan optimasi bersyarat. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Multiplier Lagrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan ini untuk program-program non-linear. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh Joseph Louis Langrange ( ). Teori ini dapat digunakan untuk menangani optimalitas dari permasalahan program non-linear. Dalam diferensial fungsi multivariabel yaitu fungsi dengan turunan untuk fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel bebas dapat juga dilakukan penyelidikan mengenai kedudukan-kedudukan khusus dari sebuah fungsi seperti halnya diferensial pada sebuah fungsi dengan satu variabel bebas. Nilai-nilai ekstrim (maksimum atau minimum) dari sebuah fungsi yang mengandung lebih dari satu macam variabel dapat dicari dengan menggunakan konsep diferensial parsial. Dalam penerapannya sering kali diharuskan untuk mengoptimumkan (menentukan nilai ekstrim) dari sebuah fungsi, yakni menentukan nilai maksimum atau minimum suatu fungsi, tetapi ada syarat yang harus dipenuhi. Dengan kata lain fungsi yang hendak

2 2 dioptimumkan menghadapi suatu kendala (constraint). Kasus optimasi bersyarat semacam ini banyak dijumpai dalam bidang ekonomi, misalnya seseorang hendak memaksimumkan utilitas. Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus-menerus ditambah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas marginal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi atau tingkat kepuasannya tetapi terikat pada fungsi pendapatan, atau sebuah perusahaan yang ingin memaksimumkan labanya namun terikat pada fungsi produksi. Maka suatu cara yang dapat digunakan untuk menentukan titik ekstrim dari suatu fungsi yang bersyarat adalah dengan menggunakan Pengali Lagrange, yakni dengan cara membentuk sebuah fungsi baru yang merupakan penjumlahan dari fungsi yang hendak dioptimumkan di tambah hasil kali pengali Lagrange λ dengan fungsi kendalanya. Berdasarkan uraian optimasi diatas penulis mencoba menuangkannya yang hasilnya akan disajikan dalam bentuk karya ilmiah yang berjudul Optimasi Bersyarat dengan Kendala Persamaan Menggunakan Multiplier Langrange serta Penerapannya.

3 3 1.2 Perumusan Masalah Metode Multiplier Lagrange digunakan untuk menentukan persoalan optimasi dengan kendala menjadi optimasi tanpa kendala. Selanjutnya menerapkan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat yang dimodelkan dalam bentuk optimasi didalam bidang ekonomi. Bentuk umum dari optimasi fungsi dengan kendala adalah sebagai berikut: Tentukan nilai dari variabel keputusan (nilai ekstrim) x = {x 1, x 2,, x n } yang memaksimumkan (meminimumkan) fungsi dari permasalahan: Maksimumkan (Minimumkan) z = f(x) Dengan kendala g 1 (x)(, =, ) b 1 g 2 (x)(, =, ) b 2. g m (x)(, =, ) b m dimana: f(x) merupakan fungsi tujuan (objective function), dan g m (x)(, =, ) b m merupakan fungsi kendala. Untuk menentukan nilai ekstrim dari persoalan tersebut digunakan pangali λ i dengan fungsi kendala ke i dan persamaan fungsi Lagrangenya: L(x, λ) = f(x) + m i 1 λ i g i (x) 1.3 Batasan Masalah Dalam tulisan ini penulis hanya membatasi permasalahannya pada pembahasan tentang masalah optimasi bersyarat dengan metode Lagrange. Metode tersebut digunakan untuk menentukan masalah optimasi dengan kendala menjadi tanpa kendala dan menerapkan metode tersebut untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat yang dimodelkan dalam bentuk optimasi didalam bidang ekonomi.

4 4 1.4 Tinjauan Pustaka Luknanto (2000), dalam bukunya yang berjudul Pengantar Optimasi Non-Linier. Menyatakan bahwa optimasi multi-variabel dengan kendala persamaan mempunyai bentuk umum sebagai berikut: Minimumkan f = f(x) (1) Kendala g j (x) = 0 untuk j=1,2,,m (2) Metode pengali Lagrange dapat dipakai untuk menyelesaikan optimasi yang dirumuskan persamaan (1) dan (2). Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai: L(x, λ) = f(x) + m i 1 λ i g i (x) (3) Teorema: Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(x) dengan kendala g j (x) = 0, untuk j = 1,2,,m agar mempunyai minimum relatif pada titik X* adalah derivasi parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai L(x, λ) = ( x 1,x 2,,x n,, 2,..., 1 m ) terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol. Teorema: Syarat perlu bagi sebuah fungsi f(x) agar mempunyai minimum atau maksimum relatif pada titik X* adalah jika fungsi kuadrat, Q yang didefinisikan sebagai: Q n n i 1 j 1 x i 2 L x j dx dx i j (4) Dievaluasikan pada X = X* harus definit positif (atau negatif) untuk setiap nilai dx yang memenuhi semua kendala. Bronson and wospakrik, (1988) dalam bukunya yang berjudul Teori dan soal-soal operations research. Menyatakan bahwa bentuk umum fungsi lagrange: L(x, λ) = f(x) + m i 1 λ i g i (x) (1) Dimana λ i ( i = 1, 2,., m) adalah tetapan tetapan ( yang tidak diketahui) yang disebut pengali lagrange. Kemudian dibentuk kembali persamaan berikut:

5 5 l x i L i 0,( j 0, ( i 1,2,.., n) 1,2,..., m) Dengan x = {x 1, x 2,, x n } maka bentuk standar untuk program non linear dengan kendala kesamaan adalah Maksimumkan z = f(x) Dengan kendala g 1 (x) = 0 g 2 (x) = 0 g m (x) = 0 (2) Barnet, Ziegler, and Byleen (1987), Dalam bukunya yang berjudul Calculus For Business Economics, Life, and Social Sciences. Menyatakan bahwa adapun langkah langkah Metode multiplier Lagrange sebagai berikut : Langkah 1. Tentukan masalah Maksimum (minimum) z = f(x, y) Dengan kendala g(x, y) = 0 Langkah 2. Tentukan fungsi F: F(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) Langkah 3. Tentukan point dari F, masalah sistem F x (x, y, λ) = 0 F y (x, y, λ) = 0 F λ (x, y, λ) = 0 Langkah 4. Jika (x 0, y 0, λ 0 ) merupakan point dari F, di asumsikan bahwa (x 0, y 0 ) selalu diberikan solusi permasalahannya. Jika F lebih dari satu kriktikal point, dengan evaluasi z = f(x,y) di (x 0, y 0 ) untuk setiap kritikal point (x 0, y 0, λ 0 ) dari F. Untuk setiap masalah, dengan asumsi untuk maksimum dari f(x,y), dengan kendala g(x,y) = 0, dan minimumnya dari f(x,y) dengan kendala g(x,y) = 0.

6 6 Dumairy (1996), dalam bukunya yang berjudul Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi menyatakan bahwa: Fungsi utilitas ialah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total (total utility, U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas marginal (marginal utility, MU) ialah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marginal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan U = f (Q) dimana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinalnya : MU =U = dq / du 1.5 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mengubah persoalan bentuk optimasi dengan kendala menjadi persoalan optimasi tanpa kendala, serta penentuan penerapannya dibidang ekonomi dimodelkan dalam bentuk optimasi. 2. Untuk memudahkan optimasi berkendala atau bersyarat digunakan fungsi Lagrange. 1.6 Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Membantu penulis dalam menerapkan ilmu-ilmunya sehingga dapat semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh selama

7 7 mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam kehidupan nyata. 2. Menambah wawasan penulis tentang metode Multiplier Lagrange, serta dapat mencari solusi Optimal dari kasus yang berhubungan dengan Multiplier Lagrange. b. Bagi Departemen 1. Dapat dijadikan sebagai bahan studi kasus bagi pembaca dan acuan bagi mahasiswa. 2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan untuk mahasiswa matematika, terlebih bagi mahasiswa yang hendak melakukan penelitian serupa. 1.7 Metode Penelitian Metode penelitian dalam tulisan ini dilakukan dengan melakukan penelitian melalui tinjauan pustaka. Adapun langkah langkahnya adalah: 1. Membuat langkah langkah menentukan nilai ekstrim suatu fungsi dengan kendala fungsi lain menggunakan Multiplier Lagrange. Maksimumkan (Minimumkan) z = f(x), x = {x 1, x 2,, x n } Dengan kendala g 1 (x) (, =, ) = b 1 g 2 (x) (, =, ) = b 2 g m (x)(, =, ) b m 2. Fungsi baru Lagrange yang telah dimodifikasi menjadi L(x, λ) = f(x) + m i 1 λ i g i (x) 3. Menentukan syarat perlu untuk mendapatkan titik ekstrim =

8 8 4. Mencari semua solusi syarat cukup untuk ekstrim relatif Syarat cukup pada kasus ini juga diekspresikan dalam bentuk determinan. Posisi determinan matriks Hessian pada optimasi dengan kendala persamaan digantikan dengan apa yang disebut Bordered Hessian. Syarat cukup ini diterapkan setelah syarat perlu dipenuhi dan digunakan untuk mengetahui prilaku dari L(x, λ ) pada nilai kritisnya. 5. Menentukan solusi optimal dari persoalan optimasi bersyarat menggunakan Multiplier Lagrange serta penerapannya didalam bidang ekonomi. 6. Menarik beberapa kesimpulan Yaitu menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan optimasi yang telah diselesaikan.