BAB 2 LANDASAN TEORI
|
|
- Farida Johan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non linier Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model matematika yang memuat fungsi tujuan non linier dan fungsi kendala linier atau non linier. Hal ini didasarkan pada penemuan beberapa contoh penerapan dalam dunia usaha bisnis yang menggunakan asumsi ketaklinieran dalam membuat perencanaan. Bentuk umum dari pemrograman non linier adalah untuk menentukan,,,, sehingga mencapai tujuan yaitu: Memaksimumkan/meminimumkan :,,,, 2.1 dengan kendala :,, 0 1,2,, di mana dan merupakan fungsi-fungsi dengan n variabel keputusan. 2.2 Maksimum dan Minimum Dalam program non linier tidak selamanya terdapat satu titik maksimum ataupun minimum. Sebuah fungsi dapat memiliki lebih dari satu maksimum ataupun minimum. Suatu fungsi dikatakan memiliki maksimum lokal (maksimum relatif) di jika lebih besar dari sembarang nilai lainnya dari sekitar, dan dikatakan memiliki minimum lokal (minimum relatif) di jika lebih kecil dari sembarang nilai lain untuk sekitar. Maksimum mutlak (maksimum global) dari adalah nilai yang paling tinggi dari seluruh nilai-nilai fungsi tersebut. Dengan kata lain, dikatakan memiliki maksimum mutlak (global) di jika untuk semua di, di mana adalah daerah asal (domain) dari
2 7 dan disebut nilai maksimum pada. Sebaliknya, minimum mutlak (minimum global) dari adalah nilai yang paling rendah dari seluruh nilai-nilai fungsi tersebut. Dengan kata lain, dikatakan memiliki minimum mutlak (global) di jika untuk semua di, di mana adalah daerah asal (domain) dari dan disebut nilai minimum pada. Jika memiliki maksimum atau minimum lokal di, maka adalah titik kritis. Jika tidak memiliki maksimum atau minimum dan memiliki kemiringan 0 di, maka adalah titik belok (saddle point) (Stewart, 1999). Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik maksimum kurvanya berbentuk cembung ke atas dan fungsi yang mempunyai titik minimum kurvanya berbentuk cembung ke bawah, diperlihatkan oleh Gambar 2.1. Gambar 2.1 Grafik Maksimum dan Minimum Uji Turunan Pertama Andaikan adalah titik kritis dari fungsi kontinu. 1. Jika berubah dari positif ke negatif pada, maka memiliki maksimum lokal pada. 2. Jika berubah dari negatif ke positif pada, maka memiliki minimum lokal pada.
3 8 3. Jika tidak berubah tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya pada, maka tidak memiliki maksimum ataupun minimum lokal pada. Uji Turunan Kedua Andaikan kontinu dekat. 1. Jika 0 dan 0, maka memiliki minimum lokal pada. 2. Jika 0 dan 0, maka memiliki maksimum lokal pada. Pada kasus suatu fungsi dengan satu variabel bebas nilai ekstrim dapat dilukiskan dalam suatu grafik dengan dua dimensi. Titik maksimum dilukiskan sebagai puncak suatu bukit dan titik minimum sebagai dasar suatu lembah. Dengan dua variabel bebas, fungsi, merupakan bidang yang berada dalam ruang berdimensi tiga. Meskipun titik maksimum dilukiskan sebagai puncak bukit dan titik minimum dilukiskan sebagai dasar lembah, akan tetapi baik bukit maupun lembah mempunyai sifat tiga dimensi. Definisi 2.1: Titik, dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi jika, 0 dan, 0. Definisi 2.1, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrim fungsi dua variabel adalah fungsi mempunyai turunan parsial pertama dan adanya titik yang memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol. Andaikan adalah fungsi dua variabel dari dan sedemikian sehingga dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu. Andaikan pula bahwa, 0 dan, 0. 1., dikatakan sebagai nilai maksimum, jika:,,, 0, dan, 0 atau, 0. 2., dikatakan sebagai nilai minimum, jika:,,, 0, dan, 0 atau, 0.
4 9 3.,,, 0, uji gagal dan, dikatakan bukan nilai ekstrim dan, disebut dengan titik pelana. Pada fungsi multivariabel (lebih dari satu variabel bebas), yaitu,,, untuk uji syarat kedua dapat menggunakan suatu determinan yang dikenal dengan nama determinan Hessian. Contoh 2.1: Tentukan nilai ekstrim dari fungsi pada, Penyelesaian : Syarat perlu untuk mencari nilai ekstrim yang pertama adalah turunan pertama dari adalah 0. Maka , sehingga diperoleh titik-titik kritis dari yaitu 0,1 dan 2. Turunan kedua dari adalah , sehingga 0 untuk 1 dan 0 untuk 2. Maka memiliki maksimum di 1 dan minimum di 2. Sehingga 112 merupakan nilai maksimum dari dan 211 merupakan minimum dari. Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.2. Titik Belok Maksimum Gambar 2.2 Grafik Minimum
5 Matriks Hessian Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari turunan pasial kedua dari suatu fungsi. Misalkan fungsi dengan variabel yang memiliki turunan parsial kedua dan turunannya kontinu. Matriks Hessian dari ditulis H adalah: H 2.2 Definisi 2.2: Jika terdapat suatu matriks berukuran, maka principal minor ke di mana adalah suatu sub matriks dengan ukuran yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut. Contoh 2.2: Andaikan A adalah suatu matriks berukuran 33 sebagai berikut: maka, principal minor ke-1 adalah [2], [5] dan [1]. Principal minor ke-2 adalah matriks 22 sebagai berikut: Principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri. Determinan dari suatu principal minor disebut dengan determinan principal.
6 11 Leading principal minor ke dari suatu matriks diperoleh dengan menghapus baris terakhir dan kolom yang bersesuaian. Dari matriks A di atas, maka leading principal minor ke-1 adalah 2 (hapus dua baris dan dua kolom terakhir). Leading principal minor ke-2 adalah: Dengan demikian, leading principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri. Determinan dari suatu leading principal minor adalah determinan leading principal. Banyaknya determinan leading principal dari suatu matriks adalah. Untuk menentukan apakah suatu matriks adalah definit positif, semidefinit positif, definit negatif, semidefinit negatif, atau indefinit dapat dilakukan suatu pengujian sederhana di mana hanya berlaku jika matriksnya simetris. Uji Matriks Definit Positif 1. Semua elemen diagonal positif. 2. Semua determinan leading principal positif. Uji Matriks Semidefinit Positif 1. Semua elemen diagonal non negatif. 2. Semua determinan leading principal non negatif. Suatu matriks dapat dikatakan definit negatif (semidefinit negatif), yaitu dengan melakukan uji negatif dari matriks untuk definit positif (semidefinit positif). Jika matriks tersebut memiliki sekurang-kurangnya dua elemen diagonal yang berlawanan tanda, maka matriks tersebut menjadi indefinit. Contoh 2.3: Untuk mendapatkan titik ekstrim dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh sebagai berikut:, 4 1
7 12 Maka solusi untuk menyelesaikannya tentukan syarat sehingga turunan pertama untuk setiap variabel adalah titik ekstrim yang memenuhi atau 2 Kemudian substitusi masing-masing nilai dan ke persamaan 2.3. untuk 0, dan 0 diperoleh: atau 4 untuk 2, dan 0 diperoleh: atau Persamaan 2.3 dan 2.4 dipenuhi oleh titik-titik: 0,0,0,4, 2 3 3,2,2 3 3,2 Untuk mengetahui titik maksimum dan minimum maka digunakan matriks Hessian untuk menyelidikinya sehingga turunan kedua dari adalah: 6
8 13 2,dan 2 4 Jadi matriks Hessiannya menjadi sehingga diperoleh 6, karena matriks merupakan matriks maka Tabel 2.1 Nilai Matriks Hessian Untuk Masing-Masing Titik Ekstrim, Matriks H Sifat H Sifat,, 0, Tak tentu Titik belok , Tak tentu Titik belok , Definit positif Minimum , Definit negatif Maksimum
9 14 Grafik dalam ruang tiga dimensi diperlihatkan oleh Gambar ,2 0, ,2 0,0 Gambar 2.3 Grafik, Optimasi Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi merupakan masalah yang berhubungan dengan keputusan yang terbaik, maksimum, minimum dan memberikan cara penentuan solusi yang memuaskan. Salah satu bentuk umum masalah optimasi adalah untuk menentukan bersyarat,,, sehingga mencapai tujuannya untuk memaksimumkan/meminimumkan dengan kendala 0 dan untuk 0 dengan dan adalah fungsi yang diketahui dengan n variabel keputusan. Dalam masalah optimasi terdapat dua bentuk masalah optimasi yaitu optimasi bersyarat dan optimasi tak bersyarat.
10 Optimasi Tak Bersyarat Masalah optimasi tak bersyarat merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki batasan-batasan, hanya memiliki fungsi tujuan yang sederhana, yaitu: Memaksimumkan/meminimumkan: 2.5 untuk semua,,, dan adalah sebuah fungsi yang dapat didiferensialkan. merupakan penyelesaian optimal adalah Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian 0 di untuk 1,2,, 2.6 Teorema Fermat: Jika mempunyai minimum atau maksimum lokal di dan jika derivasi pertama dari memiliki nilai pada titik,maka 0. Teorema 2.1: Titik adalah titik maksimum lokal dari jika dan hanya jika: (i) 0 (ii) H 0 definit negatif atau 1 0 untuk 1,2,, dengan H adalah matriks Hessian Teorema 2.2: Titik adalah titik minimum lokal dari jika dan hanya jika: (i) 0 (ii) H 0 definit positif atau 0 untuk 1,2,, dengan H adalah matriks Hessian Matriks juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua pada proses optimasi tak bersyarat terutama pada fungsi multivariabel (lebih dari satu variabel bebas), yaitu menggunakan suatu determinan yang dikenal dengan nama determinan Hessian (Hessian Determinant). Determinan Hessian diturunkan dari matriks
11 16 bujur sangkar di mana elemen-elemennya merupakan turunan kedua parsial. Jika,,, maka matriks Hessiannya mempunyai dimensi nn. Diagonal utama (principal diagonal) dari matriks Hessian terdiri dari turunan kedua parsial langsung, sedangkan elemen-elemen di luar diagonal utama merupakan turunan kedua silang. Jadi penggunaan determinan Hessian untuk uji syarat kedua akan menghasilkan: 1. Maksimum relatif jika H definit negatif. 2. Minimum relatif jika H definit positif. 3. Jika kedua kondisi tidak dipenuhi maka tidak diperoleh suatu kesimpulan, apakah fungsi mempunyai maksimum atau minimum Optimasi Bersyarat Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki batasan-batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Masalah optimasi bersyarat dengan kendala persamaan merupakan masalah optimasi yang dibatasi dengan batasan-batasan berupa persamaan dengan bentuk umum sebagai berikut: Memaksimumkan/meminimumkan : 2.7 dengan kendala : 0 1,2,,,,, Determinan Hessian juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua dari optimasi fungsi dengan kendala persamaan, dinamakan matriks Hessian terbatas (bordered Hessian). Disebut dengan matriks Hessian terbatas karena turunan parsial kedua dari fungsi Lagrange terhadap dibatasi oleh turunan parsial pertama dari fungsi
12 17 kendala. Matriks Hessian Terbatas adalah matriks yang entri-entrinya adalah turunan parsial kedua dari fungsi Lagrange berikut:,,,, Syarat 1) Syarat 2) atau 0 disebut bordered Hessian yaitu determinan Hessian asli yang dibatasi oleh turunan pertama dari fungsi kendala dengan nol sebagai principal diagonal. Ordo dari bordered principal minor ditentukan oleh principal minor yang dibatasi. Determinan Hessian asli adalah. disebut second bordered principal minor karena principal minor yang dibatasi mempunyai dimensi 22. Untuk fungsi dengan n variabel determinan Hessiannya sebagai berikut: 0 di mana karena principal minor yang dibatasi berorder nn, sehingga: 1. Maksimum relatif jika definit negatif, di mana 0 atau 1 0 untuk 2,3,, dengan adalah matriks Hessian terbatas (bordered Hessian). 2.8
13 18 2. Minimum relatif jika definit positif, di mana 0 atau 0 untuk 2,3,, dengan adalah matriks Hessian terbatas (bordered Hessian). Uji syarat kedua dengan bordered Hessian dimulai dari bukan. 2.5 Metode Pengali Lagrange Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ekstrim terbatas adalah dengan cara substitusi. Dengan metode substitusi, salah satu variabel bebas dari persamaan terkendala disubstitusikan pada fungsi tujuan yang akan dicari nilai ekstrimnya. Sebagai hasilnya, masalah ekstrim terkendala diselesaikan melalui ekstrim bebas fungsi. Namun demikian, metode substitusi tidak selalu membawa hasil, jika batasan-batasannya tidak hanya melibatkan satu persamaan kendala. Disamping itu, masalah-masalah ekstrim terbatas sering timbul dalam masalah-masalah nyata, di mana batasan-batasannya tidak hanya satu fungsi. Masalah yang sering timbul dengan metode substitusi adalah tidak mudah untuk menentukan titik kritisnya. Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim terkendala adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai ekstrimnya selalu terletak pada titik kritisnya. Metode pengali Lagrange menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode pengali Larange dapat di atasi. Metode pengali Lagrange adalah sebuah teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimasi bersyarat dengan kendala persamaan dalam suatu bentuk sedemikian sehingga syarat perlu untuk masalah optimasi tak bersyarat masih dapat diterapkan. Sesuai namanya, konsep Lagrange dikemukakan oleh Joseph Louis Lagrange ( ). Inti dari metode pengali Lagrange adalah mengubah titik ekstrim terkendala menjadi persoalan titik ekstrim bebas kendala. Teori pengali Lagrange digunakan untuk menangani
14 19 optimalitas dari permasalahan program nonlinier. Metode pengali Lagrange dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:,λ λ 2.9 Asumsikan masalah maksimisasi suatu fungsi kontinu dan dapat diturunkan,,, dengan kendala,,,, di mana juga kontinu dan dapat diturunkan. Kondisi tersebut menyarankan bahwa dapat dipilih variabel pada kendala dan menyatakan variabel yang lain, sehingga,,,. Kemudian disubstitusikan ke fungsi tujuan untuk mendapatkan:,,,,,,, 2.10 Dalam bentuk persamaan 2.10, metode klasik dapat diterapkan karena fungsinya tanpa kendala. Suatu syarat perlu untuk titik ekstrim adalah dengan menghilangkan semua turunan pertama yaitu 0, di mana 1,2,,1. Dengan menggunakan dalil rantai diperoleh: 0, di mana 1,2,, dari,,,, diperoleh: 0, di mana 1,2,,1 sehingga persamaannya menjadi:, 0 untuk 1,2,, substitusi persamaan 2.12 ke persamaan 2.11, sehingga: 0
15 20 0, 1,2,,1 Jika vektor solusi yang diperoleh adalah vektor maksimum, maka,,, adalah nilai maksimum. Dengan mengganti 0, di mana 1,2,, dengan syarat,,,., maka Teorema 2.3: Syarat perlu bagi sebuah fungsi dengan kendala 0, dengan 1,2,, agar mempunyai maksimum/minimum relatif pada titik adalah turunan parsial pertama dari fungsi Lagrangenya yang didefinisikan sebagai,,,,,,, terhadap setiap argumennya mempunyai nilai nol (Luknanto, 2000). Dengan kata lain, syarat perlu untuk maksimum dan minimum dari dengan kendala 0 dapat dicapai dengan 0 dan 0 Jika, adalah titik kritis dari, maka juga merupakan titik kritis dari dengan kendala. Jadi nilai ekstrim dengan kendala adalah. Teorema 2.4: Syarat cukup bagi sebuah sebuah fungsi agar mempunyai minimum/maksimum relatif pada titik adalah jika fungsi kuadrat Q yang didefinisikan sebagai: 2.13 Dievaluasi pada harus definit positif atau negatif untuk setiap nilai yang memenuhi semua kendala (Luknanto, 2000).
16 21 Syarat cukup sebuah fungsi agar mempunyai minimum/maksimum dapat ditentukan dengan matriks Hessian terbatas. Matriks Hessian Terbatas (Bordered Hessian) didefinisikan sebagai berikut: O P P Q 2.14 di mana O adalah matriks null berukuran, P, 2.15 dan P adalah transpose dari matriks P, Q 2.16 Syarat perlu agar menjadi definit positif atau negatif untuk setiap variasi nilai adalah setiap akar dari polinomial, yang diperoleh dari determinan persamaan di bawah ini harus positif atau negatif dengan, dan (Luknanto, 2000). keterangan: = turunan untuk pada persamaan ke = turunan untuk pada persamaan kendala larange ke
17 22 Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik, dimisalkan terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut: Maksimumkan / minimumkan 2.18 dengan kendala Fungsi Lagrangenya adalah,λλ 2.19 Syarat perlu untuk penyelesaiannya adalah 0 untuk 1,2,, dan 2.20 λ sehingga persamaan 2.19, 2.20, dan 2.21 menghasilkan: λ 0 untuk 1,2,, atau 2.23 dari persamaan 2.22 diperoleh: λ 0 untuk 1,2,, atau atau atau λ 0 untuk 1,2,, λ λ 2.24
18 23 Persamaan 2.23 dan 2.24 menghasilkan hasil yang final yaitu: λ atau λ 2.25 Dari persamaan 2.22 pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan berbanding lurus dengan perubahan kendala dengan faktor sebesar pengali Lagrange yaitu λ. 2.6 Utilitas Marjinal Fungsi utilitas adalah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah. Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total (U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas marjinal (MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan di mana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang dikonsumsi, maka utilitas marjinal. 2.26
19 24 Grafiknya kurva fungsi utilitas diperlihatkan oleh Gambar 2.4. Gambar 2.4 Grafik Fungsi Utilitas Karena fungsi utilitas total yang nonlinier pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva utilitas marjinal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada pada posisi puncaknya. Contoh 2.3: Utilitas total 905, utilitas marjinalnya adalah 9010 maksimum pada 0 sehingga maka
20 25 Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.5. Gambar 2.5 Grafik 905 dan Produk Marjinal Produk marjinal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan di mana melambangkan jumlah produk total dan adalah jumlah masukan, maka produk marjinal: 2.27 Karena fungsi produk total yang nonlinier pada umumnya berbentuk fungsi kubik, fungsi produk marjinalnya akan berbentuk fungsi kuadrat (parabolik). Kurva produk marjinal (MP) selalu mancapai nilai ekstrimnya. Dalam hal ini, nilai maksimum tepat pada saat kurva produk total (P) berada pada posisi titik beloknya. Produk total mancapai puncaknya ketika produk marjinalnya nol. Sesudah kedudukan ini, produk total menurun bersamaan dengan produk marjinal
21 26 menjadi negatif. Area di mana produk marjinal negatif menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total (Dumairy, 1996). Contoh 2.4: Produksi total 9, produk marjinalnya adalah 183 sehingga pada 0 pada 6 dengan 108 berada dititik belok dan maksimum pada " 0 yaitu pada 3 Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.6. Gambar 2.6 Grafik 9 dan 183
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa pengertian dari optimasi bersyarat dengan kendala persamaan menggunakan multiplier lagrange serta penerapannya yang akan digunakan sebagai landasan
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari baik disadari maupun tidak, optimasi selalu dilakukan untuk memenuhi kebutuhan. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat awam lebih banyak
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. pemrograman nonlinear, fungsi konveks dan konkaf, pengali lagrange, dan
BAB II KAJIAN PUSTAKA Kajian pustaka pada bab ini akan membahas tentang pengertian dan penjelasan yang berkaitan dengan fungsi, turunan parsial, pemrograman linear, pemrograman nonlinear, fungsi konveks
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciOPTIMASI (Pemrograman Non Linear)
OPTIMASI (Pemrograman Non Linear) 3 SKS PILIHAN Arrival Rince Putri, 013 1 Silabus I. Pendahuluan 1. Perkuliahan: Silabus, Referensi, Penilaian. Pengantar Optimasi 3. Riview Differential Calculus II. Dasar-Dasar
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode Pengali Lagrange adalah sebuah konsep populer dalam menangani permasalahan optimasi untuk program-program nonlinier. Sesuai namanya, konsep ini dikemukakan oleh
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan di
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pemrograman Linier (Linear Programming) Pemrograman linier (linear programming) merupakan salah satu teknik riset operasi yang mampu menyelesaikan masalah optimasi sejak diperkenalkan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU XII
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS MINGGU XII OPTIMASI FUNGSI MULTIVARIAT TANPA DAN DENGAN KENDALA Prepared by : W. Roianto ROFI KONDISI MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF DEFINISI Fungsi y = (,,, n ) maksimum relati
Lebih terperinciSyarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com 2 himmawatipl@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciSYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John... (Caturiyati) SYARAT FRITZ JOHN PADA MASALAH OPTIMASI BERKENDALA KETAKSAMAAN Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Optimasi Non-Linier Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinier
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. dilakukan masyarakat awam lebih banyak dilandasi oleh insting daripada teori
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari disadari atau tidak, sebenarnya orang selalu melakukan optimasi untuk memenuhi kebutuhannya. Tetapi optimasi yang dilakukan masyarakat
Lebih terperinciTURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciPertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Non Linier Pemrograman Non linier merupakan pemrograman dengan fungsi tujuannya saja atau bersama dengan fungsi kendala berbentuk non linier yaitu pangkat dari variabelnya
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI
1 I PENDAHULUAN 11 Latar Belakang Setiap perusahaan menyadari bahwa total biaya produksi sangat berkaitan dengan outputnya Jika perusahaan meningkatkan kapasitas produksi, maka perusahaan tersebut tentunya
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM STUDI ILMU KOMUNIKASI
Kode Mata : IT 081308 Media : Kertas Kerja, Infocus, Mata : Matematika 2 Perangkat Siaran Jumlah SKS : 3 Evaluasi : Kehadiran, Penilaian terhadap tugas/praktek Proses Belajar Mengajar : Dosen : Menjelaskan,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Berikut ini adalah beberapa definisi dan teorema yang menjadi landasan dalam penentuan harga premi, fungsi permintaan, dan kesetimbangannya pada portfolio heterogen. 2.1 Percobaan
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN
FR-FE-1.1-R0 SATUAN ACARA PERKULIAHAN FAKULTAS : EKONOMI JURUSAN : S1. Akuntansi MATA KULIAH : Matematika Ekonomi II KODE MATA KULIAH : BEBAN KREDIT : 4 sks TAHUN AKADEMIK : 2011/2012 ( SEMESTER GANJIL
Lebih terperinciBAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi
BAB 3.Penerapan Diferensial Fungsi Sederhana dalam Ekonomi A. Elastisitas Elastisitas merupakan persentase perubahan y terhadap persentase perubahan x. 1.1 Elastisitas Permintaan Elastisitas Permintaan
Lebih terperinciOPTIMISASI PEMROGRAMAN CEMBUNG MENGGUNAKAN SYARAT KUHN-TUCKER SKRIPSI
OPTIMISASI PEMROGRAMAN CEMBUNG MENGGUNAKAN SYARAT KUHN-TUCKER SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciBAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN
Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim,
Lebih terperinciRANCANGAN PEMBELAJARAN SEMESTER MATA KULIAH MATEMATIKA EKONOMI. Matematika Ekonomi Semester : 1 Kode : SM Manajemen Dosen : Farah Alfanur
RANCANGAN PEMBELAJARAN SEMESTER MATA KULIAH MATEMATIKA EKONOMI Mata Kuliah : Prodi : Capaian Pembelajaran : Matematika Ekonomi Semester : 1 Kode : SM112014 Manajemen Dosen : Farah Alfanur Setelah mengikuti
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu observasi yang berguna dalam bidang komputasi di tahun 1970 adalah observasi terhadap permasalahan relaksasi Lagrange. Josep Louis Lagrange merupakan tokoh ahli
Lebih terperinciOPTIMASI FUNGSI MULTI VARIABEL DENGAN METODE UNIVARIATE. Dwi Suraningsih (M ), Marifatun (M ), Nisa Karunia (M )
OPTIMASI FUNGSI MULTI VARIABEL DENGAN METODE UNIVARIATE Dwi Suraningsih (M2, Marifatun (M53, Nisa Karunia (M6 I. Pendahuluan Latar Belakang. Dalam kehidupan sehari-hari disa maupun tidak, sebenarnya manusia
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciBAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER. Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika
BAB 2 PROGRAM LINIER DAN TAK LINIER 2.1 Program Linier Program linier (Linear programming) adalah suatu masalah matematika yang mempunyai fungsi objektif dan kendala berbentuk linier untuk meminimalkan
Lebih terperinciMETODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG EKONOMI SKRIPSI RAHMAD HIDAYAT
METODE PENGALI LAGRANGE DAN APLIKASINYA DALAM BIDANG EKONOMI SKRIPSI RAHMAD HIDAYAT 110803018 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015 METODE
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear
BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear dan langkah-langkah penyelesaiannya
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI FUNGSI KUBIK
MATEMATIKA EKONOMI FUNGSI KUBIK OLEH: KELOMPOK 4: WINDA WULANSARI (1110532012) CITRA HENDRIANTI TANJUNG (1110512114) TRI REZEKI R. HARAHAP (1110532011) VELLYANA PUTRI (1110532020) ANGGY ARILMA PUTRA (1110533006)
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA. ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah. dalam hal pembahasan hasil utama berikutnya.
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan pembahasan ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berpikir dan akan mempermudah dalam hal pembahasan
Lebih terperinciTURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciBAB I DASAR SISTEM OPTIMASI
BAB I DASAR SISTEM OPTIMASI. Pendahuluan Teknik optimasi merupakan suatu cara yang dilakukan untuk memberikan hasil terbaik yang diinginkan. Teknik optimasi ini banyak memberikan menfaat dalam mengambil
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini diuraikan beberapa tinjauan pustaka sebagai landasan teori pendukung penulisan penelitian ini. 2.1 Analisis Regresi Suatu pasangan peubah acak seperti (tinggi, berat)
Lebih terperinciProsiding Matematika ISSN:
Prosiding Matematika ISSN: 2460-6464 Optimisasi Fungsi Nonlinier Dua Variabel Bebas dengan Satu Kendala Pertidaksamaan Menggunakan Syarat Kuhn-Tucker Optimization of Nonlinear Function of Two Independent
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Pengoptimalan merupakan ilmu Matematika terapan dan bertujuan untuk mencapai suatu titik optimum. Dalam kehidupan sehari-hari, baik disadari maupun tidak, sebenarnya
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 2.1.1 Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas dan derivative-derivatif
Lebih terperinciCatatan Kuliah 7 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Sederhana Tanpa Kendala dengan Satu Variabel Keputusan
Catatan Kuliah 7 Memahami dan Menganalisa Optimisasi Sederhana Tanpa Kendala dengan Satu Variabel Keputusan Optimisasi Ilmu ekonomi adalah ilmu yang mempelajari bagaimana melakukan penelitian yang terbaik
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. eigen dan vektor eigen, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini, akan dijelaskan landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung dan memperkuat tujuan penelitian. Landasan teori yang dimaksud
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciMatematika Ekonomi. Oleh: Osa Omar Sharif Institut Manajemen Telkom
Matematika Ekonomi Oleh: Osa Omar Sharif Institut Manajemen Telkom Diferensiasi f (x) = Lim x 0 [(f(x+ x)-f(x))/ x] ELASTISITAS Elastisitas adalah pengukuran tingkat respon/kepekaan satu variabel terhadap
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperincifungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,
fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciBAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang
BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear
Lebih terperinciPerluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Lebih terperinciOPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI SANDRA RIZAL
OPTIMASI BERSYARAT DENGAN KENDALA PERSAMAAN MENGGUNAKAN MULTIPLIER LAGRANGE SERTA PENERAPANNYA SKRIPSI SANDRA RIZAL 060803016 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciKED PENGGUNAAN TURUNAN
6 PENGGUNAAN TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 1 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Menerapkan konsep dasar turunan fungsi dalam menentukan karakteristik grafik fungsi dan menggambarkan grafik Materi : 6.1
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN NO: 1 Materi Pokok : Integral Pertemuan Ke- : 1 dan Alokasi Waktu : x pertemuan (4 x 45 menit) Standar Kompetensi : Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Efektivitas Efektivitas berasal dari kata efektif, yang merupakan kata serapan dari bahasa Inggris yaitu effective yang artinya berhasil. Menurut kamus ilmiah popular, efektivitas
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciKONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag
KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag KONSEP DASAR FUNGSI DAN GRAFIK Definisi : Fungsi f : A B adalah suatu aturan yang mengaitkan (memadankan) setiap dengan tepat satu A y B Notasi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Linear Definisi 2.1.1 Matriks Matriks A adalah susunan persegi panjang yang terdiri dari skalar-skalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut: [ ] Definisi 2.1.2
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan, terlebih dahulu
Lebih terperinciPROGRAM STUDI PENDIDIKAN MANAJEMEN BISNIS FAKULTAS PENDIDIKAN EKONOMI DAN BISNIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Jl Dr Setiabudhi No 229 Bandung 40154 Telp& Fax. 022-200634 SILABUS MATA KULIAH Mata Kuliah : Matematika Ekonomi Kode : PE 101 SKS/Semester : 3 / Ganjil Dosen/Kode : Drs. Bambang Widjajanta Kode : 1425
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciA. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan
Lebih terperinciOpen Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Lebih terperinciInterpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan
Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol No Juli 5 ISSN 46-454 Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan Riska Yeni Syamsudhuha M D H Gamal 3 Jurusan Matematika Fakultas Mipa Universitas Riau Jl HR
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciBagian 2 Turunan Parsial
Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 6, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM STUDI ILMU KOMUNIKASI
Kode Mata : IT 081303 Media : Kertas Kerja, Infocus, Mata : Matematika 1 Perangkat Siaran Jumlah SKS : 3 Evaluasi : Kehadiran, Penilaian terhadap tugas/praktek Proses Belajar Mengajar : Dosen : Menjelaskan,
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih
Lebih terperinciModul 6. Ekonomi Produksi Pertanian. Program Studi Agribisnis Fakultas Pertanian Universitas Brawijaya
Modul 6 Ekonomi Produksi Pertanian Program Studi Agribisnis Fakultas Pertanian Universitas Brawijaya VI. MAKSIMALISASI PADA KASUS DUA INPUT Deskripsi Materi Pembelajaran: Bab ini menjelaskan konsep dasar
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Optimasi (Optimization) adalah aktivitas untuk mendapatkan hasil terbaik di dalam suatu keadaan yang diberikan. Tujuan akhir dari semua aktivitas tersebut adalah meminimumkan
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan
4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep Dasar Matriks 2.1.1 Matriks Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut. Suatu
Lebih terperinciNilai Ekstrim. (Extreme Values)
TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Jika terdapat suatu hasil pengukuran seperti pada Gambar 1, dimana pengukuran
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Materi-materi yang akan dibahas yaitu pemodelan matematika, teorema Taylor, nilai eigen,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari
BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Komponen Utama 211 Pengantar Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari tulisan Karl Pearson pada tahun 1901 untuk peubah non-stokastik Analisis
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi linear, metode kuadrat terkecil, restriksi linear, multikolinearitas, regresi ridge, uang primer, dan koefisien
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN
Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah : MAT 101 Bobot SKS : 3 (2-2) : Landasan Matematika GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN Deskripsi : Mata kuliah ini membahas konsep-konsep dasar matematika yang meliputi
Lebih terperinciDASAR-DASAR MATEMATIKA EKONOMI
DASAR-DASAR MATEMATIKA EKONOMI Oleh : Drs. A.B Panggabean Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2013 Hak Cipta 2013 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian
Lebih terperinciMatriks Permainan (Payoff matrix) Matriks Permainan Jumlah tak NOL
Definisi Teori permainan adalah suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi dan pertentangan (konfleks) antar berbagai kepentingan. Teori ini dikembangkan untuk meng-analisis proses pengambil keputusan
Lebih terperinciSILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU
SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep
Lebih terperinciKALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY V. APLIKASI TURUNAN MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot ungsi Deinisi : Asimtot ungsi
Lebih terperinciMatematika Dasar NILAI EKSTRIM
NILAI EKSTRIM Misal diberikan kurva f( ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau [ ] mempunyai gradien
Lebih terperinciKURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP)
KURIKULUM TINGKAT SATUAN PENDIDIKAN (KTSP) PERANGKAT PEMBELAJARAN PROGRAM TAHUNAN ( PROTA ) Mata Pelajaran : Matematika Program : IPA Satuan Pendidikan : SMA / MA Kelas/Semester : XI / 2 Nama Guru NIP/NIK
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang landasan teori yang digunakan pada bab selanjutnya sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang diuraikan berupa definisi-definisi
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinci