PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
|
|
- Inge Muljana
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/ Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
2 Solusi persamaan nonlinier Solusi persamaan nonlinier Dua tipe metode Misalkan f : [a,b] R,a < b. Kita ingin menentukan x [a,b] sedemikian sehingga f(x) = 0. Pada prakteknya, solusi dari f(x) = 0 (disebut juga akar dari f(x)) sulit untuk diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan metode numerik. Metode numerik untuk pencarian akar suatu fungsi pada umumnya merupakan metode iterasi. 1 Tentukan satu atau beberapa tebakan awal terhadap akar dari f(x). 2 Terapkan suatu rumus iterasi/rekursif tertentu yang akan membangkitkan barisan bilangan x 0,x 1,x 2,... yang diharapkan konvergen ke akar yang ingin dicari. 3 Tetapkan kriteria penghentian iterasi. 2 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
3 Dua tipe metode Pendahuluan Solusi persamaan nonlinier Dua tipe metode Ada dua tipe metode numerik dalam mencari akar suatu fungsi: akar yang dicari selalu diapit/dikurung di dalam suatu interval interval pengapit akar dibuat makin lama makin pendek. akar tidak perlu diapit. Masing-masing metode mempunyai kelebihan dan kekurangan (akan dibahas nanti). 3 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
4 Metode bagi dua - dasar teori Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Teorema Nilai Antara Misalkan f : [a,b] R adalah fungsi kontinu dan L adalah sebarang titik antara f(a) dan f(b). Maka terdapat c (a,b) sedemikian sehingga f(c) = L. Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil. 4 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
5 Metode bagi dua - dasar teori Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Teorema Bolzano Misalkan a < b, f : [a,b] R adalah fungsi kontinu, dan f(a)f(b) < 0. Maka terdapat c (a,b) sedemikian sehingga f(c) = 0. Bukti. Teorema ini adalah kasus khusus dari Teorema Nilai Antara dengan L = 0. 5 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
6 Metode bagi dua - penerapan Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 1 Tentukan dua buah titik, misalkan a dan b dengan a < b, yang nilai fungsinya berlawanan tanda, yaitu f(a)f(b) < 0. Kedua titik ini merupakan tebakan awal pada metode bagi dua. 2 Berdasarkan Teorema Bolzano, interval [a, b] akan memuat akar f(x). 3 Tetapkan titik tengah dari interval [a, b], sebut titik c. Jadi c = a+b 2. 4 Ada tiga kemungkinan yang akan terjadi: (a) f(c) = 0, artinya titik c adalah akar dari f(x) (b) f(a)f(c) < 0, artinya akar berada pada interval [a,c] (c) f(b)f(c) < 0, artinya akar berada pada interval [c,b] 5 Jika kasus (a) terjadi, maka proses selesai. Jika kasus (b) atau (c) terjadi, interval pengapit akar dinamakan sebagai a dan b yang baru, lalu ulangi proses yang sama pada iterasi selanjutnya. 6 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
7 Metode bagi dua - ilustrasi Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 7 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
8 Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode bagi dua - kekonvergenan & penghentian iterasi Apabila pada setiap langkah iterasi, variabel a, b, c diberi indeks (dimulai dari nol), maka pada iterasi ke-k diperoleh rumus iterasi c k = a k +b k, k = 0,1,2,... 2 Dapat ditunjukkan bahwa b k a k = b0 a0 2 k. [justifikasi!] Karena akar r dari fungsi f(x) berada pada interval [a k,b k ], maka c k r b k a k = b 0 a k+1. Hubungan di atas menunjukkan bahwa barisan {c k } akan konvergen ke akar r. [buktikan!] Kriteria penghentian iterasi yang dapat digunakan adalah (b k a k ) < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat yang ditentukan. Q: Jika diberikan ǫ, berapa banyak iterasi yang dibutuhkan? 8 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
9 Metode bagi dua - algoritma Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 9 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
10 Metode bagi dua - algoritma Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Masukan: f(x) fungsi yang dicari akarnya a, b tebakan awal eps batas galat Keluaran: r akar dari fungsi f(x) Langkah-Langkah : 1. fa:=f(a) 2. fb:=f(b) 3.jika fa*fb > 0 maka proses gagal, stop 4. c:=(a+b)/2 5. fc:=f(c) 6.jika fa*fc < 0 maka b:=c fb:=fc jikatidak jika fa*fc > 0 maka a:=c fa:=fc jikatidak r:=c, selesai 7.jika (b-a) < eps maka r:=c, selesai 8.kembali ke langkah 4 6. selagi (b-a) >= eps jika fa*fc < 0 maka b:=c fb:=fc jikatidak jika fa*fc > 0 maka a:=c fa:=fc jikatidak r:=c, selesai c:=(a+b)/2 fc:=f(c) 7. r:=c Untuk..., variabel vektor (berindeks) tidak digunakan, karena... 9 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
11 Metode bagi dua - seberapa bagus? Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Robust - selalu konvergen (asalkan syarat-syaratnya terpenuhi). Akurat - hampiran solusi dapat ditingkatkan keakuratannya dengan meningkatkan jumlah iterasinya dan estimasi galat dapat dihitung di setiap iterasi. Efisien - hampiran solusi diperoleh dalam waktu yang relatif singkat - beban kerja komputasi yang diperlukan relatif ringan. 10 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
12 Metode posisi palsu - penerapan Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode posisi palsu (dikenal juga dengan metode regula falsi) dikembangkan agar memiliki kekonvergenan yang lebih cepat daripada metode bagi dua. 1 Tentukan tebakan awal a,b dengan f(a)f(b) < 0. 2 Buat garis lurus yang menghubungkan titik (a,f(a)) dan (b,f(b)). Garis ini akan memotong sumbu-x dengan titik potongnya, sebut titik c, terletak di antara a dan b. [mengapa?] 3 Dapat ditunjukkan bahwa b a c = b f(b) f(b) f(a). [justifikasi!] 4 Akar fungsi akan terapit oleh salah satu dari interval [a, c] atau [c,b]. 5 Untuk iterasi selanjutnya, interval pengapit akar dinamakan sebagai a dan b yang baru dan proses yang sama diulangi lagi. 11 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
13 Metode posisi palsu - ilustrasi Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 12 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
14 Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode posisi palsu - kekonvergenan & penghentian iterasi Apabila pada setiap langkah iterasi, variabel a, b dan c diberi indeks (dimulai dari nol), maka pada iterasi ke-k diperoleh rumus iterasi b k a k c k = b k f(b k ) f(b k ) f(a k ), k = 0,1,2,... Sebagai kriteria penghentian iterasi, dapat digunakan c k+1 c k < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat. Q: Dapatkah kriteria penghentian iterasi pada metode bagi dua diterapkan pada metode posisi palsu? 13 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
15 Metode posisi palsu - algoritma Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 14 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
16 Metode posisi palsu - algoritma Masukan: f(x) fungsi yang dicari akarnya a, b tebakan awal eps batas galat Keluaran: r akar dari fungsi f(x) Langkah-Langkah : 1. fa:=f(a) 2. fb:=f(b) 3.jika fa*fb > 0 maka proses gagal, stop 4.clama:=2*b-a (mengapa? bisa yang lain?) 5. c:=b-fb*(b-a)/(fb-fa) 6. fc:=f(c) 7.jika fa*fc < 0 maka b:=c fb:=fc jikatidak jika fa*fc > 0 maka a:=c fa:=fc jikatidak r:=c, selesai 8.jika abs(c-clama) < eps maka r:=c, selesai 9. clama:=c 10.kembali ke langkah 5 Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu 7. selagi abs(c-clama) >= eps jika fa*fc < 0 maka b:=c fb:=fc jikatidak jika fa*fc > 0 maka a:=c fa:=fc jikatidak r:=c, selesai clama:=c c:=b-fb*(b-a)/(fb-fa) fc:=f(c) 8. r:=c 14 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
17 Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode posisi palsu - beberapa catatan Pada algoritma sebelumnya, untuk..., pemakaian variabel vektor (berindeks) kembali dihindari karena... Apa tujuan dari langkah 4 pada algoritma sebelumnya? Apakah nilai awal dari variabel clama dapat diambil yang lain? Jelaskan! Secara umum metode posisi palsu mempunyai kekonvergenan yang lebih cepat daripada metode bagi dua. Namun, ada beberapa kelas fungsi tertentu dimana keadaan berlaku sebaliknya (lihat pembahasan metode modifikasi posisi palsu). 15 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
18 Contoh Pendahuluan Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Terapkan metode bagi dua dan metode posisi palsu dalam menentukan akar dari x sin(x) 1 = 0 dengan tebakan awal a = 0, b = 2 dan batas galat 0.2 (untuk masing-masing metode, tuliskan rincian hitungannya dan letakkan hasilnya dalam sebuah tabel). 16 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
19 Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Cara untuk (membantu) menentukan tebakan awal: Tabulasi nilai - membuat tabel nilai dari fungsi f(x) pada beberapa titik tertentu, lalu... Menggambar grafik Grafik tunggal - gambarkan grafik f(x) di bidang x y, lalu... Grafik ganda - pecah fungsi f(x) menjadi f(x) = g(x) h(x), gambarkan grafik g(x) dan h(x) pada bidang x y yang sama, lalu... Beberapa kesulitan dalam mencari lokasi akar [jelaskan!]: (a) Adanya dua akar yang lokasinya sangat berdekatan (b) Adanya akar kembar Metode alternatif untuk mengatasi kesulitan di atas dapat dijadikan topik tugas akhir! KASUS KHUSUS: Lokalisasi akar polinom [tugas baca!] 17 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
20 Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Masalah kekonvergenan pada metode posisi palsu 18 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
21 Bagaimana mengatasinya? Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Lakukan modifikasi (metode modifikasi posisi palsu): bila selama dua atau lebih iterasi yang berturutan, salah satu ujung interval pengapit akar tidak mengalami perubahan, maka nilai fungsi pada titik tersebut dibuat menjadi setengah dari nilai pada iterasi sebelumnya. 19 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
22 Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu - algoritma 20 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
23 Metode bagi dua Metode posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu Metode modifikasi posisi palsu - algoritma 20 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
24 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - dasar teori Teorema Taylor Misalkan n N, I = [a,b], dan f : I R sedemikian sehingga f dan turunannya f,f,...,f (n) kontinu pada I dan f (n+1) ada pada (a,b). Jika x I, maka untuk sebarang x I terdapat titik c di antara x dan x sedemikian sehingga f(x) = f( x)+f ( x)(x x)+ f ( x) (x x) 2 2! + + f (n) ( x) (x x) n + f (n+1) (c) n! (n+1)! (x x)n+1. Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil. 21 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
25 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - dasar teori Teorema (Metode Newton) Misalkan I = [a,b] dan f : I R dapat diturunkan dua kali pada I. Andaikan f(a)f(b) < 0 dan terdapat konstanta m dan M sehingga f (x) m > 0 dan f (x) M untuk x I dan misalkan K = M/2m. Maka terdapat subinterval I yang memuat akar r dari persamaan f(x) = 0 sedemikian sehingga untuk sebarang x 0 I, barisan {x k } yang didefinisikan dengan x k+1 = x k f(x k) f (x k ) ada di I dan {x k } konvergen ke r. Lebih lanjut, untuk setiap k N {0}, (1) x k+1 r K x k r 2 untuk setiap k N {0}. (2) Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil. 22 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
26 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - penerapan Misalkan f(x) fungsi kontinu dan x 0 adalah tebakan awal terhadap akar dari fungsi tersebut. Buat garis singggung terhadap fungsi f(x) (yaitu f (x)) di titik (x 0,f(x 0 )). Jika f (x 0 ) 0, maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu-x. [mengapa?] Misalkan titik potongnya adalah x 1. Dapat dibuktikan bahwa x 1 = x 0 f(x0) f (x 0). [justifikasi secara aljabar dan geometrik!] Selanjutnya proses yang sama dilakukan dengan tebakan awal yang baru, yaitu x 1. Apabila proses ini diteruskan, maka akan diperoleh barisan x 0,x 1,x 2,...,x k,... dengan x k+1 = x k f(x k) f (x k ). Q: Tunjukkan bahwa jika barisan {x k } konvergen, maka limitnya adalah akar dari f(x). 23 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
27 Metode Newton-Raphson - ilustrasi Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan 24 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
28 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode NR - kekonvergenan dan penghentian iterasi Perhatikan kembali pertaksamaan (2) pada Teorema Metode Newton. Misalkan E k = x k r adalah galat pada iterasi ke-k. Maka pertaksamaan (2) dapat ditulis E k+1 K E k 2. Akibatnya, jika E k < 10 m, maka E k+1 < 10 2m K. Dari kenyataan ini, metode Newton-Raphson dikatakan memiliki kekonvergenan kuadratik. Kriteria penghentian iterasi yang dapat dipakai adalah x k+1 x k < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat. [kriteria penghentian iterasi yang lain?] Metode Newton-Raphson tidak menjamin proses akan konvergen. Untuk mengatasi terjadinya looping karena proses yang tidak konvergen, maka perlu untuk memberi batas jumlah maksimum iterasinya (hal ini juga merupakan kriteria penghentian iterasi pada metode NR). 25 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
29 Kegagalan metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan (a) x k (b) x k berosilasi (c) f (x k ) = 0 atau f (x k ) 0 26 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
30 Metode Newton-Raphson - algoritma Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan 27 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
31 Metode Newton-Raphson - contoh Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Terapkan metode Newton-Raphson pada fungsi f(x) = x 3 3x +2 dengan tebakan awal x 0 = 2.4 dengan batas galat Lakukan hal yang sama tetapi dengan tebakan awal 1.2. Apa kesimpulan Anda? Kesimpulan: Permasalahannya terletak pada bentuk kecekungan fungsi di sekitar akar yang dicari. Fungsi f(x) = x 3 3x +2 memiliki akar eksak x = 2 dengan multiplisitas satu dan x = 1 dengan multiplisitas dua (akar ganda). Metode Newton-Raphson akan lebih lambat konvergen bila akar yang dicari mempunyai multiplisitas lebih dari satu. Mengapa? 28 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
32 Orde kekonvergenan Pendahuluan Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Definisi (orde kekonvergenan) Misalkan barisan {x k } k=0 konvergen ke akar r dari fungsi f(x) dan E k = r x k. Jika terdapat konstanta A 0 dan R > 0 dengan r x k+1 lim k r x k R = lim k E k+1 = A, (3) E k R maka barisan {x k } k=0 disebut konvergen ke r dengan orde kekonvergenan R. Khusus untuk kasus R = 1,2 berlaku istilah berikut: Jika R = 1, kekonvergenan dari {x k } k=0 dikatakan linier Jika R = 2, kekonvergenan dari {x k } k=0 dikatakan kuadratik. 29 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
33 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - orde kekonvergenan Sifat (orde kekonvergenan metode Newton-Raphson) Misalkan iterasi Newton-Raphson menghasilkan barisan {x k } k=0 yang konvergen ke akar r dari fungsi f(x). Jika r adalah akar sederhana (multiplisitas 1), maka E k+1 f (r) 2 f (r) E k 2 untuk k yang cukup besar. Jika r adalah akar dengan multiplisitas M, maka E k+1 M 1 M E k untuk k yang cukup besar. Bukti Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
34 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - pemercepat kekonvergenan TUGAS! Baca dan tulis kembali artikel Pemercepat Kekonvergenan (download dari portal) dengan menjelaskan secara lebih detail perhitungan pada contoh dalam artikel tersebut. Tuliskan algoritmanya. 31 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
35 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - hal khusus dan menarik Khusus untuk polinom, perhitungan pada rumus iterasi Newton-Raphson dapat dibuat lebih singkat dan akurat (proses pembulatan di komputer lebih sedikit). tugas baca: Modifikasi Metode NR untuk Polinom. Untuk fungsi dua peubah f(x,y), akar-akar dari fungsi tersebut dapat dicari dengan memvariasikan salah satu nilai variabel, katakanlah x. Kemudian untuk setiap x dicari solusi untuk y dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Namun, masalah muncul apabila terdapat lebih dari satu solusi untuk y sedangkan domain x terbatas (dalam konteks masalah persamaan diferensial, fenomena ini disebut bifurkasi). Contoh: y 2 +x 5 = 0. salah satu metode alternatif adalah metode pseudo-arc-length. Untuk fungsi kompleks (polinomial), jumlah iterasi yang dibutuhkan oleh metode Newton-Raphson agar konvergen ke salah satu akar dapat menghasilkan suatu gambar yang artistik. 32 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
36 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode Newton-Raphson - hal khusus dan menarik 33 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
37 Metode tali busur - penerapan Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode tali busur (dinamakan juga metode sekan) merupakan pengembangan dari metode Newton Raphson sedemikian sehingga tidak perlu mencari turunan dari fungsi yang akan dicari akarnya. Tentukan dua tebakan awal x 0 dan x 1 terhadap akar dari fungsi f(x) [tidak perlu mengapit akar]. Lakukan proses iterasi seperti pada metode Newton-Raphson, kecuali untuk f (x k ) yang dimodifikasi menjadi f(x k) f(x k 1 ) x k x k 1 [mengapa?]. Jadi rumus iterasi pada metode tali busur adalah x k x k 1 x k+1 = x k f(x k ) f(x k ) f(x k 1 ), k = 1,2,... Q: Misalkan {x k } adalah barisan yang dihasilkan oleh iterasi tali busur untuk menghampiri akar dari f(x). Jika barisan tersebut konvergen, tunjukkan bahwa limitnya adalah akar dari f(x). 34 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
38 Metode tali busur - ilustrasi Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan 35 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
39 Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan Metode tali busur - kekonvergenan & penghentian iterasi Sifat (orde kekonvergenan metode tali busur) Misalkan r adalah akar sederhana (multiplisitas 1) dari fungsi f(x) dan {x k } k=0 adalah barisan yang dihasilkan dari iterasi tali busur dan konvergen ke r. Misalkan E k = r x k. Maka E k+1 E k f (r) R 2f (r) 0,618 dengan R = Bukti.... Dibandingkan metode Newton-Raphson, metode tali busur mempunyai kekonvergenan yang lebih lambat, tetapi masih lebih cepat dari metode bagi dua dan posisi palsu. Kriteria penghentian iterasi dari metode tali busur adalah x k+1 x k < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat. Q: Apakah perlu juga untuk membatasi jumlah maksimum iterasi pada metode ini? 36 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
40 Metode tali busur - algoritma Metode Newton-Raphson (NR) Metode tali busur/sekan 37 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
41 vs metode terbuka Metode Pengurung Metode Terbuka Selama proses iterasi, akar fungsi selalu diapit interval Selama proses iterasi, akar fungsi tidak perlu diapit interval Proses pasti konvergen Proses tidak selalu konvergen Kekonvergenan lebih lambat Kekonvergenan lebih cepat 38 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
Lebih terperinciPENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINIER DENGAN METODE MODIFIKASI BAGI DUA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 68 75 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENYELESAIAN PERSAMAAN NONLINIER DENGAN METODE MODIFIKASI BAGI DUA ELSA JUMIASRI, SUSILA BAHRI, BUKTI GINTING
Lebih terperinciIlustrasi Persoalan Matematika
Pendahuluan Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti
Lebih terperinciAnalisis Riil II: Diferensiasi
Definisi Turunan Definisi dan Teorema Aturan Rantai Fungsi Invers Definisi (Turunan) Misalkan I R sebuah interval, f : I R, dan c I. Bilangan riil L dikatakan turunan dari f di c jika diberikan sebarang
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva
PAM 252 Metode Numerik Bab 4 Pencocokan Kurva Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Pencocokan Kurva Permasalahan dan
Lebih terperinciMOTIVASI. Secara umum permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan dalam persamaan matematika Solusi persamaan : 1. analitis 2.
KOMPUTASI NUMERIS Teknik dan cara menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian hitungan Mencakup sejumlah besar perhitungan aritmatika yang sangat banyak dan menjemukan Diperlukan komputer MOTIVASI
Lebih terperinciMETODE NUMERIK TKM4104. KULIAH KE-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1
METODE NUMERIK TKM4104. KULIAH KE-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1 METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER Metode pengurung (Bracketing Method) Metode Konvergen
Lebih terperinciUjian Tengah Semester
Ujian Tengah Semester Mata Kuliah : PAM 252 Metode Numerik Jurusan : Matematika FMIPA Unand Hari/Tanggal : Selasa/31 Maret 2015 Waktu : 10.00 11.40 (100 menit) Dosen : Dr. Susila Bahri (Kelas A dan C)
Lebih terperinciBAB IV. Pencarian Akar Persamaan Tak Linier. FTI-Universitas Yarsi
BAB IV Pencarian Akar Persamaan Tak Linier i 1 Pendahuluan Salah satu masalah dalam matematika & teknik Akar dari f() adalah sehingga f() = 0. Secara geometris, ajar dari f() adalah nilai sehingga kurva
Lebih terperinciMETODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1
METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke-3 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER 1 SOLUSI PERSAMAAN NONLINIER Metode pengurung (Bracketing Method) Metode Konvergen Mulai dengan terkaan awal yang mengurung atau memuat akar
Lebih terperinciAkar-Akar Persamaan. Definisi akar :
Akar-Akar Persamaan Definisi akar : Suatu akar dari persamaan f(x) = 0 adalah suatu nilai dari x yang bilamana nilai tersebut dimasukkan dalam persamaan memberikan identitas 0 = 0 pada fungsi f(x) X 1
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerik
Pendahuluan PAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerik Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik Permasalahan
Lebih terperinciPAM 573 Persamaan Diferensial Parsial Topik: Metode Beda Hingga pada Turunan Fungsi
PAM 573 Persamaan Diferensial Parsial Topik: Metode Beda Hingga pada Turunan Fungsi Mahdhivan Syafwan Program Magister Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan
Lebih terperinciCourse Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear.
Course Note Numerical Method Akar Persamaan Tak Liniear. Dalam matematika terapan seringkali harus mencari selesaian persamaan yang berbentuk f() = 0 yakni bilangan o sedemikian sehingga f( o ) = 0. Dalam
Lebih terperinciPersamaan Non Linier
Persamaan Non Linier MK: METODE NUMERIK Oleh: Dr. I GL Bagus Eratodi FTI Undiknas University Denpasar Persamaan Non Linier Metode Tabulasi Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode
Lebih terperinci1-x. dimana dan dihubungkan oleh teorema Pythagoras.
`2. Menyelesaikan persamaan dengan satu variabel Contoh: Berdasarkan Hukum Archimedes, suatu benda padat yang lebih ringan daripada air dimasukkan ke dalam air, maka benda tersebut akan mengapung. Berat
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) METODE NUMERIK
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) METODE NUMERIK Mata Kuliah: Metode Numerik Semester: 7, Kode: KMM 090 Program Studi: Pendidikan Matematika Dosen: Khairul Umam, S.Si, M.Sc.Ed Capaian Pembelajaran: SKS:
Lebih terperinci2 Akar Persamaan NonLinear
2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciPersamaan Non Linier 1
Persamaan Non Linier 1 Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. 2 Persamaan Non Linier Penentuan akar-akar persamaan
Lebih terperinciËalah satu masalah yang paling umum ditemui di dalam matematika dan teknik adalah mencari akar suatu persamaan; yakni jika diketahui
3 AKAR PERSAMAAN TAK LINIER ܵ ¼ Ëalah satu masalah yang paling umum ditemui di dalam matematika dan teknik adalah mencari akar suatu persamaan; yakni jika diketahui fungsi ܵ, akan dicari nilai-nilai
Lebih terperinciMETODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1. Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 3 & 4
METODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 Mohamad Sidiq PERTEMUAN : 3 & 4 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER METODE NUMERIK TEKNIK INFORMATIKA S1 3 SKS Mohamad Sidiq MATERI PERKULIAHAN SEBELUM-UTS Pengantar
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam matematika ada beberapa persamaan yang dipelajari, diantaranya adalah persamaan polinomial tingkat tinggi, persamaan sinusioda, persamaan eksponensial atau persamaan
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. Akar Persamaan (2) Pertemuan ke - 4. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemuan ke - 4 Akar Persamaan (2) Metode Akar Persamaan Metode Grafik Metode Tabulasi Metode Setengah Interval Metode Regula Falsi Metode Newton Rephson Metode Iterasi bentuk = g() Metode
Lebih terperinciSolusiPersamaanNirlanjar
SolusiPersamaanNirlanjar Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I Oleh; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) Rinaldi Munir - Topik Khusus Informatika I 1 RumusanMasalah Persoalan: Temukan nilai yang memenuhi
Lebih terperinciBAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR
BAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR METODE GRAFIK DAN TABULASI A. Tujuan a. Memahami Metode Grafik dan Tabulasi b. Mampu Menentukan nilai akar persamaan dengan Metode Grafik dan Tabulasi c. Mampu membuat
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. ROBIA ASTUTI, M.Pd. STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung
METODE NUMERIK ROBIA ASTUTI, M.Pd. STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung BAB I METODE NUMERIK SECARA UMUM Metode numerik : Teknik yang di gunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat
Lebih terperinciPertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental
Pertemuan I Mencari Akar dari Fungsi Transendental Daftar Isi: 1.1 Tujuan Perkuliahan 1. Pendahuluan 1.3 Metoda Bisection 1.3.1 Definisi 1.3. Komputasi mencari akar 1.3.3 Ilustrasi 1.4 Metoda Newton-Raphson
Lebih terperinciMETODE NUMERIK. Akar Persamaan (1) Pertemuan ke - 3. Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
METODE NUMERIK Pertemuan ke - 3 Akar Persamaan (1) Metode Akar Persamaan Metode Grafik Metode Tabulasi Metode Setengah Interval Metode Regula Falsi Metode Newton Rephson Metode Iterasi bentuk x = g(x)
Lebih terperinciCONTOH Dengan mengunakan Metode Regula Falsi, tentukanlah salah satu akar dari persamaan f(x) = x - 5x + 4. Jika diketahui nilai awal x = dan x = 5 se
METODE REGULA FALSI METODE REGULA FALSI Solusi Persamaan Non Linier Universitas Budi Luhur Metode regula falsi merupakan salah satu metode tertutup untuk menentukan solusi akar dari persamaan non linier,
Lebih terperinciBab 2. Penyelesaian Persamaan Non Linier
Bab 2. Penyelesaian Persamaan Non Linier 1 Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. 2 Persamaan Non Linier penentuan
Lebih terperinciMETODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI
Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 4 Hal. 9 17 ISSN : 233 291 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND METODE PSEUDO ARC-LENGTH DAN PENERAPANNYA PADA PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER TERPARAMETERISASI RAHIMA
Lebih terperinciBAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER
BAB 3 PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER 3.. Permasalahan Persamaan Non Linier Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar persamaan non linier.dimana akar sebuah persamaan f(x =0 adalah
Lebih terperinciPertemuan 3: Penyelesaian Persamaan Transedental. Achmad Basuki Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2014
Pertemuan 3: Penyelesaian Persamaan Transedental Achmad Basuki Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2014 Persamaan Dalam Matematika Persamaan Linier Persamaan Kuadrat Persamaan Polynomial Persamaan Trigonometri
Lebih terperinciPerhitungan Nilai Golden Ratio dengan Beberapa Algoritma Solusi Persamaan Nirlanjar
Perhitungan Nilai Golden Ratio dengan Beberapa Algoritma Solusi Persamaan Nirlanjar Danang Tri Massandy (13508051) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciDefinisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Lebih terperinciHendra Gunawan. 11 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 11 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) Dengan memperhatikan: daerah asal dan daerahhasilnya, titik titik potong dengan sumbu koordinat, asimtot
Lebih terperinciMetode Numerik. Persamaan Non Linier
Metode Numerik Persamaan Non Linier Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. Persamaan Non Linier penentuan akar-akar
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciPersamaan Non Linier
Persamaan Non Linier Persamaan Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Iterasi Sederhana Metode Newton-Raphson Metode Secant. Persamaan Non Linier penentuan akar-akar persamaan
Lebih terperinciPerbandingan Kecepatan Komputasi Beberapa Algoritma Solusi Persamaan Nirlanjar
Perbandingan Kecepatan Komputasi Beberapa Algoritma Solusi Persamaan Nirlanjar Bernardino Madaharsa Dito Adiwidya - 13507089 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut
Lebih terperinciMETODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN. Eka Maulana Dept. of Electrcal Engineering University of Brawijaya
METODE NUMERIK AKAR-AKAR PERSAMAAN Eka Maulana Dept. of Electrcal Engineering University of Brawijaya Pendekatan Pencarian Akar-akar Persamaan Metode Pencarian Akar Persamaan > Metode Pengurung - metode
Lebih terperinciPengantar Metode Numerik
Pengantar Metode Numerik Metode numerik adalah teknik dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika. Metode numerik menggunakan perhitungan
Lebih terperinciPenyelesaian Secara Numerik? Penyelesaian Secara Numerik Selesaikanlah persamaan nonlinier f(x) = x x -8 Solve : Misal f(x) = 0 x x 8 = 0 (x 4)(x + )
Fungsi Polinomial METODE BISEKSI Solusi Persamaan Non Linier Universitas Budi Luhur Bentuk Umum : f (x) = a + = a + 0 1 3 n 0x + a1x + a x + a 3x +... a nx 3 n 0 + a1x + ax + a3x +... anx Dengan n = derajat
Lebih terperinci10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
Lebih terperinciSEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP
METODE NUMERIK Disusun oleh Ir. Sudiadi, M.M.A.E. Ir. Rizani Teguh, MT SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 2015 Metode Numerik i KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis
Lebih terperinciKALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Lebih terperinciPERSAMAAN NON LINIER. Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier. Sumarni Adi S1 Teknik Informatika STMIK AmikomYogyakarta 2014
PERSAMAAN NON LINIER Pengantar dan permasalahan persamaan Non-Linier Sumarni Adi S1 Teknik Informatika STMIK AmikomYogyakarta 2014 Pengantar 1. Persamaan linier sudah kita kenal sejak SMP. Contoh kasus
Lebih terperinciStudi Pencarian Akar Solusi Persamaan Nirlanjar Dengan Menggunakan Metode Brent
Studi Pencarian Akar Solusi Persamaan Nirlanjar Dengan Menggunakan Metode Brent Tommy Gunardi / 13507109 1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciPERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI
PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIK DALAM MENGHITUNG NILAI PI Perbandingan Beberapa Metode Numerik dalam Menghitung Nilai Pi Aditya Agung Putra (13510010)1 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Didunia nyata banyak soal matematika yang harus dimodelkan terlebih dahulu untuk mempermudah mencari solusinya. Di antara model-model tersebut dapat berbentuk sistem
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,
Lebih terperinciMETODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NONLINEAR
METODE NEWTON TERMODIFIKASI UNTUK PENCARIAN AKAR PERSAMAAN NONLINEAR Tugas Akhir Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh: Juliani
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinciMenemukan Akar-akar Persamaan Non-Linear
Menemukan Akar-akar Persamaan Non-Linear Muhtadin, ST. MT. Agenda Metode Tertutup Biseksi Regula Falsi Metode Terbuka Newton Method 3 Solusi untuk Persamaan Non Linear Akar-akar dari persamaan (y = f())
Lebih terperinciMatematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
Lebih terperinciFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SYIAH KUALA Darussalam, Banda Aceh
08/02/2017 Nama Mata Kuliah : Metode Numerik Kode Mata Kuliah : KMM 090 Bobot SKS : 2 (dua) Semester : Ganjil Hari Pertemuan : 1 (pertama) Tempat Pertemuan : Ruang kuliah Koordinator MK : Khairul Umam,
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciPenyelesaian Persamaan Non Linier
Penyelesaian Persamaan Non Linier Pengantar Penyelesaian Pers. Non Linier Metode Tabel Metode Biseksi Metode Regula Falsi Metode Numerik Tabel/Biseksi/RegulaFalsi 1 Pengantar Penyelesaian Persamaan Non
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciBAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciPersamaan yang kompleks, solusinya susah dicari. Contoh :
AKAR PERSAMAAN NON LINEAR Persamaan hingga derajat dua, masih mudah diselesaikan dengan cara analitik. Contoh : a + b + c = 0 Solusi : 1 = b ± b 4 ac a Persamaan yang kompleks, solusinya susah dicari.
Lebih terperinciPERSAMAAN NON LINIER
PERSAMAAN NON LINIER Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan non linier 2. Mengerti metode biseksi dan regulafalsi 3. Mampu menggunakan metode biseksi dan regula falsi untuk mencari solusi PENGANTAR
Lebih terperinciRENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PENDIDIKAN KARAKTER
RENCANA PEMBELAJARAN SEMESTER (RPS) PENDIDIKAN KARAKTER Mata Kuliah: Metode Numerik Semester : 7 (tujuh); Kode : KMM 090; SKS : 2 (dua) Program Studi : Pendidikan Matematika Dosen : Khairul Umam, S.Si,
Lebih terperinciPENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 93 98 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND PENCARIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN NONLINIER SATU VARIABEL DENGAN METODE ITERASI BARU HASIL DARI EKSPANSI TAYLOR
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Tahap-tahap memecahkan masalah dengan metode numeric : 1. Pemodelan 2. Penyederhanaan model 3.
BAB I PENDAHULUAN Tujuan Pembelajaran: Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik. Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari. Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.
Lebih terperinciCNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK
CNH2B4 / KOMPUTASI NUMERIK TIM DOSEN KK MODELING AND COMPUTATIONAL EXPERIMENT 1 REVIEW KALKULUS & KONSEP ERROR Fungsi Misalkan A adalah himpunan bilangan. Fungsi f dengan domain A adalah sebuah aturan
Lebih terperinciII. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)
II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Optimasi Non-Linier Suatu permasalahan optimasi disebut nonlinier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk nonlinier pada salah satu atau keduanya. Optimasi nonlinier
Lebih terperinciJurnal MIPA 36 (2): (2013) Jurnal MIPA.
Jurnal MIPA 36 (2): 193-200 (2013) Jurnal MIPA http://journalunnesacid/nju/indexphp/jm APLIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENGHAMPIRI SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR Rochmad Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas
Lebih terperinciLAPORAN Pemrograman Komputer
LAPORAN Pemrograman Komputer Percobaan : Akar Persamaan Non Linier Pelaksanaan Praktikum Hari : Senin Tanggal : 2 Maret 2015 Jam : 5-6 Oleh : Nama : Mei Budi Utami Nim : 081211332009 Dosen Pembimbing :
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Deret Taylor Deret Taylor dinamai berdasarkan seorang matematikawan Inggris, Brook Taylor (1685-1731) dan deret Maclaurin dinamai berdasarkan matematikawan Skotlandia, Colin
Lebih terperinciModul Praktikum Analisis Numerik
Modul Praktikum Analisis Numerik (Versi Beta 1.2) Mohammad Jamhuri UIN Malang December 2, 2013 Mohammad Jamhuri (UIN Malang) Modul Praktikum Analisis Numerik December 2, 2013 1 / 18 Praktikum 1: Deret
Lebih terperinciMETODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1. Mohamad Sidiq PERTEMUAN-1
METODE NUMERIK 3SKS-TEKNIK INFORMATIKA-S1 Mohamad Sidiq PERTEMUAN-1 KONTRAK KULIAH METODE NUMERIK TEKNIK INFORMATIKA S1 3 SKS Mohamad Sidiq MATERI PERKULIAHAN SEBELUM-UTS Pengantar Metode Numerik Sistem
Lebih terperinciBAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN TAKLINIER
BAB 2 PENYELESAIAN PERSAMAAN TAKLINIER Persamaan taklinier sudah diperkenalkan sejak di sekolah menengah, diataranya persamaan kuadrat, persamaan trigonometri dan persamaan yang memuat logaritma atau eksponen.
Lebih terperinciPertemuan ke 4. Non-Linier Equation
Pertemuan ke 4 Non-Linier Equation Non-Linier Equation Persamaan Kuadrat Persamaan Kubik Metode Biseksi Metode Newton-Rapshon Metode Secant 1 Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan
Lebih terperinciBahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi
Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia Bahan Diskusi/Tugas Kelompok Topik: Turunan Fungsi Definisi 1: Misalkan I R suatu interval, c I dan f : I R. Fungsi f disebut diferensiabel
Lebih terperinciMODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6 No. 02 (2017), hal 69 76. MODIFIKASI METODE NEWTON-RAPHSON UNTUK MENCARI SOLUSI PERSAMAAN LINEAR DAN NONLINEAR Mahmul, Mariatul Kiftiah, Yudhi
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciNilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciAPLIKASI ANALISIS TINGKAT AKURASI PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER DENGAN METODE BISEKSIDAN METODE NEWTON RAPHSON
Jurnal Dinamika Informatika Volume 6, No 2, September 2017 ISSN 1978-1660 : 113-132 ISSN online 2549-8517 APLIKASI ANALISIS TINGKAT AKURASI PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINIER DENGAN METODE BISEKSIDAN METODE
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat
Lebih terperinciJurnal Matematika Integratif ISSN Volume 12 No 1, April 2016, pp 35 42
Jurnal Matematika Integratif ISSN 1412-6184 Volume 12 No 1, April 2016, pp 35 42 Perbandingan Tingkat Kecepatan Konvergensi dari Newton Raphson dan Secant Setelah Mengaplikasikan Aiken s dalam Perhitungan
Lebih terperinciBANK SOAL METODE KOMPUTASI
BANK SOAL METODE KOMPUTASI 006 iv DAFTAR ISI Halaman Bio Data Singkat Penulis.. Kata Pengantar Daftar Isi i iii iv Pengantar... Kesalahan Bilangan Pendekatan... 6 Akar-akar Persamaan Tidak Linier.....
Lebih terperinciKALKULUS I TEOREMA NILAI RATAAN (Mean Value Theorem) SUTRIANI HIDRI Matematika B
KALKULUS I TEOREMA NILAI RATAAN (Mean Value Theorem) SUTRIANI HIDRI Matematika B 1111140010 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR 2011 Teorema Nilai
Lebih terperinciMATEMATIKA TURUNAN FUNGSI
MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI lim h 0 f ( x h) f( x) h KELAS : XII IIS SEMESTER GANJIL SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 017/018 XII IIS Semester 1 Tahun Pelajaran 017/018 PENGANTAR : TURUNAN FUNGSI
Lebih terperinciKEMAMPUAN MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH AKAR PERSAMAAN TAK LINEARPADA MATA KULIAH METODE NUMERIK DI PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
KEMAMPUAN MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH AKAR PERSAMAAN TAK LINEARPADA MATA KULIAH METODE NUMERIK DI PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Reni Wahyuni Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas
Lebih terperinciSilabus dan Satuan Acara Perkuliahan
Fakultas Teknik No. Dokumen : FT SSAP-S3-10 Program Studi Teknik Elektro No. Revisi : 02 Silabus dan Satuan Acara Perkuliahan Tgl.Revisi :13-07-2006 Tgl. Berlaku :13-07-2006 KOMPUTASI NUMERIK DAN SIMBOLIK
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Non Linear Definisi 2.1 (Munir, 2006) : Sistem persamaan non linear adalah kumpulan dari dua atau lebih persamaan-persamaan non linear. Bentuk umum sistem persamaan
Lebih terperinci