BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

Transkripsi

1 1 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. Bahkan dalam prinsip matematik, dalam memandang permasalahan, terlebih dahulu diperhatikan apakah permasalahan tersebut mempunyai penyelesaian atau tidak. Hal ini menjelaskan bahwa tidak semua permasalahan dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Dalam permasalahan non-linier, terutama dalam permasalahan optimasi multivariabel. Biasanya tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga diperlukan teori khusus dalam memudahkan perhitungannya. Salah satu teori yang biasa digunakan adalah metode numerik. Metode numerik akan sangat membantu setiap penyelesaian permasalahan, apabila secara matematis dapat dibentuk suatu pola hubungan antar variabel (parameter). Hal ini akan menjadi lebih baik jika pola hubungan yang terbentuk dapat dijabarkan dalam bentuk fungsi. Suatu permasalahan optimasi disebut non-linier jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk non-linier pada salah satu atau keduanya. Optimasi non-linier ditinjau dari pandangan matematis adalah topik lanjutan dan secara konsepsual, sulit untuk diselesaikan. Dibutuhkan pengetahuan aktif mengenai kalkulus, differensial dan aljabar linier. Kesulitan lain yang dihadapi, yaitu fungsi tujuan non-linier, yang tidak mempunyai nilai minimum serta mempunyai daerah penyelesaian dengan batas non-linier (tidak konvex). Secara umum tidak terdapat teknik penyelesaian yang terbaik, tetapi ada beberapa teknik yang mempunyai masa depan cerah dibandingkan yang lain. Banyak teknik penyelesaian optimasi non-linier yang hanya efisien untuk menyelesaikan masalah yang mempunyai struktur matematis

2 2 tertentu. Hampir semua teknik optimasi non-linier modern mengandalkan pada algoritma numerik untuk mendapatkan jawabannya. Salah satu metode numerik yang sering digunakan adalah metode Newton-Raphson. Metode Newton-Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperlihatkan slope atau gradien pada titik tersebut. Adapun rumus rekursi yang diterapkan pada metode Newton-Raphson khususnya pada masalah optimasi multivariabel dengan kendala persamaan adalah : Z 1 k + 1 = Z k ( H L ) L Dan k 0 Dimana : Z k + 1 = Nilai e-(k+1) Z k = Nilai e-k ( 1 H L ) = Invers Matriks Hessian dititik L Zk = Vektor Gradien dititik 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dikemukakan, maka permasalahan dalam penelitian ini adalah menyelesaikan permasalahan non-linier, khusunya masalah optimasi multivariabel dengan kendala persamaan, menggunakan metode Newton- Raphson.

3 3 1.3 Pembatasan Masalah Agar tulisan ini terfokus dan tidak menyimpang dari tujuannya, maka penulis membuat pembatasan masalah, yaitu : 1. Kendala yang digunakan maksimal kendala yang berpangkat dua. 2. Permasalahan yang dihadapi adalah kasus maksimasi dan terdiri dari dua kendala saja. 1.4 Tinjauan Pustaka Newton (1669), menerapkan metode ini hanya untuk polinomial. Ia tidak menghitung perkiraan yang berurut dari x n. Akhirnya Newton memandang metode ini semata mata secara aljabar tanpa mampu mengaitkannya dengan kalkulus. Raphson (1690), menerbitkan suatu uraian yang disederhanakan didalam Analisa Aequationum Universalis. Ia memandang metode Newton sebagai suatu metode secara aljabar dan membatasi penggunaannya ke polinomial. Chapra dan Canele (1996) menjelaskan walaupun metode Newton-Raphson sangat efisien, terdapat situasi dimana ia berjalan dengan buruk. Yakni bila menghadapi kasus dimana terdapat akar akar ganda. Luknanto (2000), metode Newton dapat konvergen dengan cepat sekali. Tetapi sayangnya metode ini tidak selalu konvergen. Dengan menggunakan beberapa iterasi dari teknik eliminasi, seperti pencarian Rasio Emas, sebelum melakukan metode Newton. Biasanya masalah ketidak-konvergenan dari metode Newton dapat dihindari, atau dengan mengkombinasikan metode Newton dengan metode lain untuk mengatasi kelemahannya.

4 4 1.5 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk memperlihatkan bagaimana metode Newton- Raphson dapat menyelesaikan permasalahan non-linier khususnya optimasi multivariabel dengan kendala persamaan. 1.6 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah memberikan gambaran bagaimana metode Newton-Raphson dapat dimodifikasi dari gagasan awalnya, sehingga mampu menyelesaikan permasalahan optimasi multivariabel dengan kendala persamaan. 1.7 Metode Penelitian Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Adapun tahapan yang dilaksanakan dalam penyelesaian masalah yang dihadapi adalah sebagai berikut: 1. Studi Literatur Penelitian ini diawali dengan mempelajari dan memahami fungsi pengali Lagrange dan pendekatan metode Newton-Raphson. Penulis membaca dan mempelajari beberapa buku dan jurnal yang berkaitan permasalahan optimasi non-linier. 2. Membahas konsep permasalahan non-linier 3. Membahas konsep metode Newton-Raphson Menjelaskan tujuan dari analisis pendekatan metode Newton-Raphson, serta menjelaskan vektor gradien dan matriks hessian 4. Membahas tatacara penggunaan matlab Menjelaskan perintah perintah dalam matlab, serta menjelaskan aturan aturan dalam melakukan operasi matriks pada matlab. 5. Melakukan perhitungan dengan metode Newton-Raphson

5 5 6. Menarik beberapa kesimpulan Yaitu menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang telah diselesaikan.