IntegrasiNumerik. Bahan Kuliah IF4058 Topik Khusus Informatika I. Oleh; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) (Bag. 1)

Transkripsi

1 IntegrasiNumerik (Bag. ) Baan Kulia IF458 Topik Kusus Informatika I Ole; Rinaldi Munir(IF-STEI ITB) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

2 PersoalanIntegrasiNumerik Hitungla nilai Integral-Tentu yang dalam al ini: b I = f ( ) d - adanbbatas-batasintegrasi, a - f adala fungsi yang dapat diberikan secara eksplisit dalam bentuk persamaan ataupun secara empirik dalam bentuk tabel nilai. IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

3 Conto integral fungsi eksplisit: ( 6 + cos( ) e ) d Conto integral dalam bentuk tabel(fungsi implisit): Hitung:.. f ( ) d f() IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

4 Tafsir GeometriIntegral Tentu Nilai integral-tentu = luas daera di bawa kurva y y = f() b a b I = f ( ) d = luasdaerayang dibatasiolekurvay = f(),garis = adangaris = b a IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

5 Contopersoalanintegral. Dalam bidang teknik elektro/kelistrikan, tela diketaui bawa arga ratarata suatuaruslistrikyang berosilasisepanjangsatuperiodebolenol. Disamping kenyataan bawa asil netto adala nol, arus tersebut mampu menimbulkan kerja dan mengasilkan panas. Karena itu para rekayasawan listrik sering mencirikan arus yang demikian dengan persamaan I RMS T = i ( t) T dt yang dalamalinii RMS adalaarusrms(root-mean-square), Tadala periode, dan i(t) adala arus pada rangkaian, misalnya i(t) = 5e -t sin πt untuk t T/ = untukt/ t T IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 5

6 . Pengukuran fluks panas mataari yang diberikan ole tabel berikut: Waktu, jam Fluks panas q, kalori/cm/jam Data yang ditabulasikan pada tabel ini memberikan pengukuran fluks panas q setiap jam pada permukaan sebua kolektor sinar mataari. Anda diminta memperkiraan panastotal yang diserap ole panel kolektor seluas 5. cm selamawaktu4 jam. Panel mempunyai kemangkusan penyerapan (absorption), e ab, sebesar 45%. Panas total yang diserap diberikan ole persamaan H = t e ab qadt IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 6

7 KlasifikasiMetodeIntegrasiNumerik. Metode Pias Daera integrasidibagiatassejumlapias(strip) yang berbentuk segiempat. Luas daera integrasi diampiri dengan luas seluru pias.. Metode Newton-Cotes Fungsi integrand f() diampiri dengan polinom interpolasi p n (). Selanjutnya, integrasidilakukanteradapp n ().. Kuadratur Gauss. Nilai integral diperole dengan mengevaluasi nilai fungsi padasejumlatitiktertentudidalamselang[-, ], mengalikannya dengan suatu konstanta, kemudian menjumlakan keseluruan peritungan. IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 7

8 Metode-MetodePias Selang integrasi[a, b] menjadi n bua pias(strip) atau segmen. Lebar tiap pias adala r r f r f f f f 4 4 f 4 b a = n Titik absis pias dinyatakan sebagai r = a+ r, r=,,,..., n y n- n- f n- n- n- f n- n n f n f n- f n f y=f() dan nilai fungsi pada titik absis pias adala f r = f( r ) f f a = n- n =b IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode Gambar 6. Metode pias 8

9 Kaida integrasi numerik yang dapat diturunkan dengan metode pias adala:. Kaida segiempat(rectangle rule). Kaida trapesium(trapezoidal rule). Kaida titik tenga(midpoint rule) Dua kaida pertama pada akekatnya sama, anya cara penurunan rumusnya yang berbeda Kaida yang ketiga, kaida titik tenga, merupakan bentuk kompromi untuk memperole nilai ampiran yang lebi baik. IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 9

10 KaidaSegiempat(Rectangle Rule) Pandang sebua pias berbentuk empat persegipanjangdari = sampai = berikut Luas satu pias adala (tinggi pias = f( ) ) y f ( ) d f ( ) y = f() atau (bila tinggi pias = f( ) ) f ( ) d f ( ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

11 f ( ) d f ( ) f ( ) d f( ) + f ( ) d [ f( ) + f( )] f ( ) d [f( ) + f( )] (KaidaSegiempat) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

12 Kaida segiempat gabungan(composite rectangle's rule): b a b a f ( ) d f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( n- ) f ( ) d f ( ) + f ( ) + f ( ) f ( n ) + b a f ( ) d f( ) + f ( ) + f( ) f( n- ) + f( n ) b a f ( ) d f ( ) + f( ) + f( ) f( n- ) + f (n ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

13 Jadi, kaida segiempat gabungan adala b a f ( ) d ( f + f + f f n- + f n ) = (f + i= n f i + f n ) dengan f r = f( r ), r =,,,..., n. y y = f()... a =... n- n- n = b Gambar Kaida segiempat gabungan IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

14 KaidaTrapesium Pandang sebuapiasberbentuktrapesiumdari = sampai = berikut y Luas satu trapesium adala f ( ) d [ f( ) + f( )] IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 4

15 Kaida trapesium gabungan(composite trapezoidal's rule): b a f ( ) d f ( ) d + f ( ) d n n f ( ) d [ f( ) + f( )] + [ f( )+ f( )] [ f(n- ) + f( n )] [ f( ) + f( ) + f( ) f( n- ) + f( n )] n ( f + i= f + f n ) dengan f r = f( r ), r=,,,..., n. IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 5

16 procedure trapesium(a, b : real; n: integer; var I : real); { Mengitung integrasi f() di dalam selang [a, b] dan jumlas pias adala n dengan menggunakan kaida trapesium. K.Awal : nilai a, b, dan n suda terdefinisi K.Akir: I adala ampiran integrasi yang diitung dengan kaida segi-empat. } var,, sigma: real; r : integer; begin :=(b-a)/n; {lebar pias} :=a; I:=f(a) + f(b); sigma:=; for r:= to n- do begin :=+; sigma:=sigma + *f(); end; I:=(I+sigma)*/; end; {awal selang integrasi} { nilai integrasi numerik} IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 6

17 Kaida Titik Tenga Pandang sebuapiasberbentukempatpersegipanjangdari = sampai = dantitiktengaabsis = + / y Luas satu pias adala y = f() f ( ) d f( + /) f( / ) +/ IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 7

18 y y = f()... a b / / 5/... n-/ n-/ IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 8

19 Kaida titik-tenga gabungan adala b a f ( ) d f ( ) d + f ( ) d n n f ( ) d f( / ) + f( / ) + f( 5/ ) + f( 7/ ) f( n-/ ) n (f / + f / f n-/ ) i= f i+/ yang dalam al ini, r+/ = a + (r+/)) dan f r +/ = f( r+/ ) r =,,,..,n- IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 9

20 procedure titik_tenga(a, b : real; n: integer; var I : real); { mengitung integrasi f() dalam selang [a, b] dengan jumla pias sebanyak n. K.Awal : arga a, b, dan n suda terdefinisi K.Akir: I adala ampiran integrasi yang diitung dengan kaida titik-tenga } var,, sigma : real; r : integer; begin :=(b-a)/n; {lebar pias} := a+/; {titik tenga pertama} sigma:=f(); for r:= to n- do begin :=+; sigma:=sigma + f() end; I:=sigma*; { nilai integrasi numerik} end; IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

21 Conto: Hitung integral dengan kaida trapesium. Ambil.8 =.. Gunakan5 angkabena. Penyelesaian: Fungsi integrand-nya adala f() = e Jumlapiasadala n = (b-a)/= (.4 -.8)/. = 8 Tabel data diskritnya adala sebagai berikut:.4 e d r r f( r ) r r f( r ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

22 Nilai integrasinya,.4.8 e d (f + f + f f 6 + f 7 + f 8 ). [[6.5 + (7.89) + (9.5) (6.445) + (.86) + (4.5) ].994 Nilai integrasi sejatinya adala.4.8 e d = e =.8 =. 4 = e.4 - e.8 = =.94 IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

23 GalatMetode-MetodePias Galat: E= I I' yang dalamalinii adalanilaiintegrasisejatidani ' adala integrasi secara numerik. Galat kaida trapesium: y galat y = f() E = f ( ) d - ( f + f ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

24 Galat untuk satu bua pias adala E = f ( ) d - ( f + f ) Uraikanf() danf = f( ) = f() kedalamderettaylor disekitar = E = [ f + f ' + f " + f "' +... ]d - f - [ f + f ' + f " +...] 6 = f + / f ' + /6 f "'+..] - / f - / f - / f ' - /4 f "' -... = (f o + / f ' + /6 f " +...) - (f + / f ' + /4 f "'+...) = - f " f "(t), < t < O( ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 4

25 Jadi, f ( ) d ( f + f ) + O( ) Untuk n bua pias, galat keseluruan (total) adala E tot - ( f " + f " + f " f " n- ) yang dapat disederanakan dengan teorema nilai antara untuk penjumlaan menjadi E tot - n i= - n f i " f "(t), a < t < b IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 5

26 Mengingat = b a n maka E tot -n f "(t) - n b a n f "(t) - (b - a) f "(t) O( ) Dengan demikian, b a f ( ) d = ( f + i= n f i + f n ) + O( ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 6

27 Galat kaida titik-tenga: Galat untuk satu bua pias adala E = f ( ) d - f / Dengan cara penurunan yang sama seperti pada kaida trapesium, dapat dibuktikan bawa E f "(t), < t < 4 Galat untuk seluru pias adala E tot n 4 f "(t), a < t < b 4 = O( ) ( b - a) f "(t) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode Galat integrasi dengan kaida titiktengasamadengan/ kali galat pada kaida trapesium 7

28 Metode-MetodeNewton-Cotes Metode Newton-Cotes adala metode yang umum untuk menurunkankaidaintegrasinumerik. PolinominterpolasimenjadidasarmetodeNewton-Cotes. Gagasannya adala mengampiri fungsi f() dengan polinom interpolasipp n () b I = a b f ( ) d a p ( ) d n yang dalam al ini, p n () = a + a + a a n- n- + a n n IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 8

29 Sembarang polinom interpolasi yang tela kita baas sebelumnya dapat digunakan sebagai ampiran fungsi Tetapi dalam kulia ini polinom interpolasi yang kita pakai adala polinom Newton-Gregory maju: p n () = f + ( - ) f! + ( - )( - ) ( - )( - )...( - n- ) n f f! + + Kaida integrasi numerik yang diturunkan dari metode Newton-Cotes, tiga di antaranya yang terkenal adala:. Kaida trapesium(trapezoidal rule). Kaida Simpson / (Simpson's / rule). Kaida Simpson /8 (Simpson's /8 rule) n n! n IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 9

30 KaidaTrapesium(lagi) y y = p () y = f() = = Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat yang melalui kedua bua titik itu adala p () = f( ) + ( ) f f = f + IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

31 Integrasikan p () di dalam selang [,]: I f ( ) d p ( ) d ( f + f + f f ) d = = f + f f + ( f - f ), sebab f = f -f f + f ( f + f ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

32 Jadi, kaida trapesium adala f ( ) d ( f + f ) sama seperti yang diturunkan Dengan metode pias Kaida trapesium untuk integrasi dalam selang [, ] kita perluas untuk mengitung b I = a f ( ) d b a f ( ) d f ( ) d + f ( ) d n n f ( ) d ( f + f ) + ( f + f ) ( fn- + f n ) ( f + f + f f n- + f n ) ( f + f i + i= n f n ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

33 KaidaSimpson / Hampiran nilai integrasi yang lebi baik dapat ditingkatkan denganmengunakanpolinominterpolasiberderajatyang lebitinggi. Misalkan fungsi f() diampiri dengan polinom interpolasi derajat yang grafiknyaberbentukparabola. Luas daera yang diitung sebagai ampiran nilai integrasi adaladaeradibawaparabola. Untukitu, dibutukan buatitikdata, misalkan(, f()), (, f()),dan(, f()). IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode

34 y y = p () y = f() = = = Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat yang melalui ketiga bua titik tersebut adala p () = f( ) + f( ) + ( )! f( ) = f + f + ( )! f IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 4

35 Integrasikan p () di dalam selang [, ]: I f + f ( ) d p ( ) d ( f + f + f + ( ( )! f ) d - ) = f 6 4 = f + 4 f + ( ) f 4 4 f + f + ( - ) f f + f + f IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 5

36 Mengingat dan f = f - f f = f - f = ( f - f ) - ( f - f ) = f -f + f maka, selanjutnya I f + ( f - f ) + ( f - f + f ) f + f - f + f - f + f 4 f + f + f ( f + 4f + f ) (Kaida Simpson /) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 6

37 KaidaSimpson / gabungan: b a f ( ) d f ( ) d + 4 f ( ) d n n f ( ) d ( f + 4f + f ) + ( f + 4f + f 4 ) ( fn- + 4f n- + f n ) ( f + 4f + f + 4f + f f n- + 4f n- + f n ) n ( f + 4 i=,,5 n f + i i i=,4,6 f + f n ) Ingat pola koefisien dalam rumus Simpson /:, 4,, 4,,...,, 4, IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 7

38 Penggunaan kaida / Simpson mensyaratkan jumla upaselang(n) arusgenap. Ini berbeda dengan kaida trapesium yang tidak mempunyai persyaratan mengenai jumla selang. IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 8

39 procedure Simpson_sepertiga(a, b : real; n: integer; var I : real); { mengitung integrasi f() dalam selang [a, b] dengan jumla pias sebanyak n (n arus genap} K.Awal : arga a, b, dan n suda terdefinisi (n arus genap) K.Akir: I adala ampiran integrasi yang diitung dengan kaida Simpson / } var,, sigma : real; r : integer; begin :=(b-a)/n; {jarak antar titik } :=a; {awal selang integrasi} I:=f(a) + f(b); sigma:=; for r:= to n- do begin :=+; if r mod = ten { r =,, 5,..., n- } sigma:=sigma + 4*f() else { r =, 4, 6,..., n- } sigma:=sigma + *f(); end; I:=(I+sigma)*/; { nilai integrasi numerik} end; IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 9

40 Conto: Hitung integral dengan menggunakan a. kaida trapesium b. kaida titik-tenga c. kaida Simpson / d + Gunakanjarakantartitik =.5. Penyelesaian: Jumla upaselang: n = ( - )/.5 = 8 Tabel titik-titik di dalam selang [,]: Tabel titik-titik di dalams elang [, ]: (untuk kaida trapesium dan Simpson /) (untuk kaida titik-tenga) r r f r r r f r / / / / / / / / IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 4

41 (a) dengan kaida trapesium d + (b) dengan kaida titik-tenga / ( f + f + f + f + f 4 + f 5 + f 6 + f 7 + f 8 ).5/ [ + (.88889) + (.8) ).694 d + ( f / + f / + f 5/ + f 7/ + f 9/ + f / + f / + f 5/ ).5 (5.548) (c) dengan kaida / Simpson d + / ( f + 4f + f + 4f + f 4 + 4f 5 + f 6 + 4f 7 + f 8 ).5/ (6.6568).695 Bandingkan solusi (a), (b), dan (c) dengan solusi sejatinya: d + = ln(+) = = ln() - ln() = = IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 4

42 Galat Kaida Simpson / Galat kaida Simpson / untuk dua pasang upaselang adala E = f ( ) d - ( f + 4f +f ) (P.6.9) Uraikan f(), f, dan f masing-masing ke dalam deret Taylor di sekitar = : f() = f + f ' + f = f() = f + f ' + 4 f " + 6 f = f() = f + f ' + f " f "' + 4 f " + 4 f "' f (iv) +... (P.6.) f "'+ f (iv) +... (P.6.) f (iv) +... (P.6.) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 4

43 Sulikan persamaan (P.6.), (P.6.), (P.6.) ke dalam persamaan (P.6.9): E = ( f + f ' + f " f "' + 4 f (iv) +...) d - [ ( f + 4f + 4f ' + + (f + f ' + 4 f " f " + f "' f "' f (iv) +...) ] (iv) f +...) 4 = (f + f ' f " f "' + f (iv) +...) = = - (6f + 6f ' + 4 f " + f "' f (iv) +...) = (f + f ' + 4 f " + 4 f "' + 5 f (iv) +...) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 4

44 - (f + f ' + 4 f " + 4 f "' + 5 IV f +...) 7 = 5 f (iv) = ( f (iv) +... ) 5 f o (iv) +... = - 9 = O( 5 ) 5 f (iv) (P.6.) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 44

45 Jadi, kaida Simpson / untuk sepasang upaselang ditamba dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai f ( ) d = ( f + 4f + f ) + O( 5 ) Galat untuk n/ pasang upaselang adala E tot = - 5 (iv) ( f + f (iv) (iv) + f f (iv) n- ) = n i=,,... f i (iv) 5 = - 9. n. f (iv) (t), a < t < b 4 = - (b - a) f (iv) (t), karena n = (b - a)/ (P.6.4) 8 = O( 4 ) IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 45

46 Jadi, kaida Simpson / gabungan ditamba dengan galatnya dapat dinyatakan sebagai, b a n f ( ) d ( f + 4 i=,,5 n f + i i i=,4,6 f + f n ) + O( 4 ) dengan kata lain, kaida Simpson / gabungan berorde 4 Dibandingkan dengan kaida trapesium gabungan, asil integrasi Dengan kaida Simpson gabungan jau lebi baik, karena orde galatnya lebi tinggi. Tapi ada kelemaannya, yaitu kaida Simpson / tidak dapat diterapkan bila jumla upaselang(n) ganjil. IF458 Topik Kusus Informatika I: Metode 46