FAKTORISASI MATRIKS NON-NEGATIF MENGGUNAKAN ALGORITMA CHOLESKY BERBANTUAN SCILAB

Transkripsi

1 Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Pidika Matematika (SESIOMADIKA) 017 ISBN: Matematika Terapa, hal. 1-5 FAKTORISASI MATRIKS NON-NEGATIF MENGGUNAKAN ALGORITMA CHOLESKY BERBANTUAN SCILAB Pidika Matematika, FKIP Uiversitas Sigaperbagsa Karawag Abstrak. Tujua dari peulisa makalah ii adalah utuk megkaji faktorisasi matriks o-egatif megguaka metode Cholesky. Metode ii memfaktorisasi suatu matriks simetri positive-defiite mejadi dua matriks o-egatif. Lagkah-lagkah faktorisasi yag dilakuka megguaka algoritma Cholesky. Selajutya, algoritma tersebut diterjemahka kedalam bahasa pemrograma Scilab utuk mempermudah da mempercepat perhituga pada orde matriks yag sagat besar. Hasil memperlihatka bahwa matriks o-egatif dapat difaktorisasi megguaka metode Cholesky dega ketetua symmetric positive defiite (SPD). Kata kuci :Faktorisasi matriks, faktorisasi matriks o-egatif, metode Cholesky. 1. Pahulua Faktorisasi pada bidag matematika merupaka permasalaha yag serig dijumpai pada koteks yag berbeda. Sebagai cotoh, setiap bilaga bulat positif, misal 36, dapat difaktorisasi mejadi perkalia dua atau lebih bilaga prima seperti Selai itu, setiap poliom seperti P x x x 6 dapat difaktorisasi sebagai suatu hasil kali mejadi P x x x 3 [5]. Pada makalah ii, dikaji tetag masalah faktorisasi pada matriks. Faktorisasi matriks diperkealka oleh David Eisebud pada 1980 [1] utuk memfaktorisasi poliom megguaka matriks [3]. Faktorisasi matriks pada mulaya dikaji dalam koteks aljabar kommutatif []. Namu, dalam perkembaga saat ii, faktorisasi matriks bayak diguaka dalam bidag komputer seperti pada pegeala ekspresi wajah, bidag biologi seperti pada pemetaa ge, da lai-lai. Masalah faktorisasi matriks ii berkaita dega jeis matriks, salah satuya adalah matriks o-egatif. Faktorisasi matriks o-egatif bertujua utuk meetuka dua faktor matriks V sedemikia higga V WH, dimaa W da H matriks o-egatif dega setiap eleme pada W da H sama dega atau lebih besar dari ol [9]. Metode ii memfaktorisasi sebuah matriks mejadi dua matriks lai yag tidak megadug ilai egatif didalamya [8]. Salah satu metode utuk memfaktorisasi matriks o-egatif adalah metode Cholesky. Metode Cholesky merupaka metode faktorisasi matriks o-egatif yag diperkealka oleh Adré-Louis Cholesky pada 194 dalam bulleti Géodésique [6]. Metode Cholesky merupaka metode yag memfaktorisasi suatu matriks simetri positive-defiite mejadi dua matriks o-egatif. Metode ii memfaktorisasi matriks simetri A mejadi A = L T.L, dimaa L merupaka matriks segitiga atas dega eleme diagoal berilai positif [4]. 1

2 Faktorisasi Matriks No-Negatif Megguaka Algoritma Cholesky Berbatua Scilab Lagkah-lagkah faktorisasi matriks o-egatif yag dilakuka pada makalah ii adalah megguaka algoritma Cholesky. Selajutya, algoritma tersebut diterjemahka kedalam bahasa pemrograma Scilab. Software Scilab diguaka utuk mempermudah da mempercepat faktorisasi matriks o-egatif utuk orde matriks yag sagat besar.. Hasil da Pembahasa Defiisi.1. Matriks o-egatif adalah suatu matriks real atau iteger A = [a ij ] dimaa utuk setiap eleme pada A merupaka bilaga o-egatif (sama dega ol atau lebih besar dari ol) sedemikia higga a ij 0 utuk setiap i, j = 1,..., [10]. Defiisi.. Faktorisasi matriks o-egatif adalah algoritma yag memfaktorisasi m r rm matriks V mejadi dua matriks o-egatif W da H sedemikia higga V WH [7]. Defiisi.3. Suatu matriks A adalah matriks symmetric positive defiite (SPD) jika haya jika A = A T (simetri) da utuk setiap vektor tak ol x, maka x T Ax 0 utuk setiap x 0. Misal, A adalah matriks SPD, maka A dapat difaktorisasi mejadi A = L T.L. Utuk mapatka matriks L =[l ij ], dilakuka dega lagkah-lagkah sebagai berikut: l11 a 11 a1 j l1 j j,, l11 (1) j 1 s1 l jj a jj lsj j,, 1 j 1 1,, ; l pj a pj lsjlsp p j j. l jj s1 Atau dega megguaka Algoritma Cholesky seperti pada Gambar 7.4 berikut. 1. Misal,.. Utuk, misal. 3. Utuk, { Misal,, da Utuk, { Misal,. } } Gambar.1. Algoritma faktorisasi Cholesky

3 3 Cotoh Faktorisasi matriks A megguaka faktorisasi Cholesky! Jawab. a1 10 a13 8 l 11 a11, l 1 5, l l l 11 a l l, 1 3 a3 l13l1 l l, l 33 a33 l13 l Sehigga, diperoleh matriks L Jadi, hasil faktorisasi matriks A Utuk orde matriks yag sagat besar, dapat megguaka algoritma Cholesky yag telah diterjemahka ke dalam bahasa pemrograma Scilab seperti pada Gambar. berikut. fuctio L=cholesky(A) = size(a,1); L = zeros(,); L(1,1)=sqrt(A(1,1)); for j=:, L(1,j)=A(1,j)/L(1,1); for i=:, jum1=0; for k=1:-1, jum1=l(k,i)*l(k,i)+jum1; L(i,i)=sqrt(A(i,i)-jum1); for j=i+1:, jum=0; for k=1:i-1, jum=l(k,i)*l(k,j)+jum; L(i,j)=(A(i,j)-jum)/L(i,i); fuctio Gambar.. Algoritma Cholesky dega Scilab

4 Jika algoritma pada Gambar. dijalaka, maka aka seperti pada Gambar.3 berikut. Gambar.3. Faktorisasi Cholesky dega Scilab 3. Kesimpula Matriks o-egatif dapat difaktorisasi megguaka metode Cholesky dega ketetua symmetric positive defiite (SPD). Selai itu, perhituga Metode Cholesky dapat megguaka batua Scilab dega meerjemahka algortima Cholesky. Utuk peelitia selajutya, matriks o-egatif dapat diperluas dega merubah usur matriks, seperti usur data biologi da sebagaiya. Referesi [1] Cassidy, T., dkk. (016). Periodic Free Resolutio from Twisted Matrix Factorizatios. Joural of Algebra, 455, [] Coward, A. (017). Matrix Factorizatio. [olie]. Diakses pada: [3] Crisler, D., & Diveris, K. (016). Matrix Factorizatios of Sums of Squares Polyomials. [olie]. Diakses pada: [4] Getle, J.E. (007). Matrix Algebra: Theory, Computatios, ad Applicatios i Statistics. New York: Spriger. [5] Gilbert, J.E. (015). Factorizatio of Matrices. [olie]. Diakses pada: Decompositios.pdf. 4

5 5 [6] Kreyszig, E. (011). Advace Egieerig Mathematics (Teth Editio). Hoboke, NJ: Joh Wiley & Sos, Ic. [7] Laurberg, H. (008). No-egative Matrix factorizatio: Theory ad Methods. Aalborg: Istitut for Elektroiske Systemer, Aalborg Uiversitet. [8] Putra, A., dkk. (01). Pegeala Ekspresi Wajah Megguaka Metode Faktorisasi Matrikss No-Negatif da Jariga Syaraf Tirua Propagasi Balik. [olie]. Diakses pada: IF%0Rigkasa001.pdf. [9] Soeveld, P. (008). Noegative Matrix Factorizatio of a Correlatio Matrix. [olie]. Diakses pada: [10] Weisstei, E. (017). Noegative Matrix. [olie]. Diakses pada: