G : ( σ, µ ) dengan himpunan titik S yaitu

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "G : ( σ, µ ) dengan himpunan titik S yaitu"

Iwan Pranoto
6 tahun lalu
Tontonan:

1 SIFAT-SIFAT ISOMORFISMA RAF FUZZY PADA RAF FUZZY KUAT Anik Handayani Lucia Ratnasari Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto S H Tembalang Semarang Abstract: Fuzzy graph is a graph consists pairs of vertex and edge that have degree of membership containing closed interval of real number [0] on each edge and vertex A fuzzy graph : ( is said to be a strong fuzzy graph if degree of membership edge uv u and degree of membership vertex v for u v S In this paper describes the properties of fuzzy graphs isomorphism with the same minimum degree of membership vertex each edge uv with include weak isomorphism co-weak isomorphism and isomorphism on strong fuzzy graph Keywords: Fuzzy graphs strength of connectedness isomorphism PENDAHULUAN raf Fuzzy merupakan perluasan dari raf Tegas Definisi pertama dari fuzzy diperkenalkan oleh Kaufmann pada tahun 97 didasarkan pada relasi fuzzy Zadeh Definisi lebih terperinci diberikan oleh A Rosenfeld pada tahun 97 mempertimbangkan relasi fuzzy pada himpunan fuzzy dibangun teori fuzzy Rosenfeld telah menghasilkan beberapa konsep seperti jembatan path sikel tree fuzzy serta menetapkan sifatsifatnya Pada waktu sama Yoh Bang juga memperkenalkan konsep keterhubungan pada fuzzy Dalam tulisan ini akan dibahas mengenai sifatsifat isomorfisma fuzzy meliputi isomorfisma weak isomorfisma co-weak isomorfisma pada fuzzy kuat dikembangkan oleh A Nagoor ani J Malarvizhi (009 RAF FUZZY KUAT Berikut akan diberikan definisi definisi tentang tegas fuzzy keterhubungan pada fuzzy Definisi [] raf adalah himpunan tidak kosong dari elemen elemen disebut titik suatu himpunan pasangan tidak terurut titik titik disebut sisi Himpunan titik dari dinotasikan V( himpunan sisi dari dinotasikan E( Definisi [] Titik u v dikatakan berdekatan (adjacent jika terdapat sisi e menghubungkan kedua titik tersebut atau e uv Segkan u v dikatakan insiden (incident sisie e dikatakan insiden u v Definisi [] Misal S adalah suatu himpunan titik raf fuzzy : ( adalah sepasang fungsi dimana : i : S [ 0] ii : SxS [ 0] sedemikian hingga ( uv ( u ( v u v S merupakan derajat keanggotaan titik merupakan derajat keanggotaan sisi dari fuzzy Contoh Diberikan fuzzy : ( himpunan titik S yaitu S { a b c d e} : S [ 0 ] : SxS [ 0] sebagai berikut: a ( a 0 ( b 0 ( 0 ( d 0 7 ( e 0 6 b ( ab 0 ( a 0 ( ad 0 ( b 0 ( cd 0 ( ce 0 ( de 0 6 Sehingga gambar fuzzy : ( tersebut adalah 8

2 Jurnal Matematika Vol No April 0 : 8 - : ( ambar raf fuzzy : ( Definisi [] Jika u v terhubung oleh path panjang k maka k (uv k ( uv sup{ ( uv ( vv ( vk v u v v vk S merupakan kekuatan path dari titik u ke titik v panjang k Contoh 6 Diberikan fuzzy ( : pada ambar maka kekuatan path dari titik b ke titik d panjang k diperoleh sebagai berikut : ( bd sup{0} 0 ( bd sup{00} 0 ( bd sup{000} 0 ( bd sup{0} 0 Definisi 7 [] Jika u v S kekuatan keterhubungan (strength of connectedness antara u v sebagai k ( uv sup{ ( uv k } Contoh 8 Diberikan fuzzy : ( pada ambar maka kekuatan keterhubungan dari titik b ke titik d dapat diperoleh sebagai berikut: ( bd sup{0000} 0 Definisi 9 [] Suatu dasar dari fuzzy : ( adalah suatu * * * dinotasikan : ( oleh : * a u jika ( 0 u V * b uv jika ( uv 0 u v V Definisi 0 [] Suatu sisi uv disebut sisi kuat jika ( uv ( uv Definisi [] Suatu fuzzy : adalah fuzzy kuat jika ( ( uv ( ( v untuk setiap uv } Contoh Diberikan fuzzy : ( himpunan titik S yaitu S { a b c d e} dimana : S [ 0 ] : SxS [ 0] sebagai berikut: a ( a 0 ( b 0 ( 0 d 0 ( e 0 ( 6 ( ae 0 ( b 0 ( bd 0 b ( be 0 ( cd 0 ( de 0 Akan ditunjukkan fuzzy : ( adalah ( ae 0 ( a ( e ( b 0 ( b ( ( bd 0 ( b ( d ( be 0 ( b ( e ( cd 0 ( ( d ( de 0 ( d ( e jadi fuzzy : ( merupakan fuzzy kuat karena ( uv ( ( v untuk setiap uv Sehingga gambar fuzzy : adalah ( ( : ambar raf fuzzy kuat : ( 9

3 Anik Handayani Lucia Ratnasari (Sifat-Sifat Isomorfisma raf Fuzzy pada raf Fuzzy Kuat SIFAT-SIFAT ISOMORFISMA RAF FUZZY PADA RAF FUZZY KUAT Definisi [] Diberikan fuzzy : ( : ( himpunan titik berturut-turut S Suatu pemetaan h : S h homomorfisma bijektif disebut isomorfisma weak jika memenuhi ( ( untuk setiap u S Selanjutnya fuzzy : ( dikatakan isomorfis weak : ( Definisi [] Diberikan fuzzy : ( : ( himpunan titik berturut-turut S Suatu pemetaan h : S h homomorfisma bijektif disebut isomorfisma co-weak jika memenuhi ( uv ( untuk setiap u v S Selanjutnya fuzzy : ( dikatakan isomorfis co-weak : ( Definisi [] Diberikan fuzzy : ( : ( himpunan titik berturut-turut S Suatu pemetaan h : S h homomorfisma bijektif disebut isomorfisma jika memenuhi: (i ( ( untuk setiap u S (ii ( uv ( v untuk setiap u v S Selanjutnya fuzzy : ( dikatakan isomorfis : ( dinyatakan Teorema [] Diketahui : ( fuzzy kuat jika hanya jika : ( juga Bukti: ( Misalkan : ( Akan ditunjukkan bahwa : ( juga merupakan Karena maka ( ( ( 0 ( uv ( ( raf fuzzy : ( adalah fuzzy kuat maka ( uv ( ( v uv ( Dari persamaan ( ( ( diperoleh ( uv ( ( v ( ( ( v ( ( ( jadi : ( juga fuzzy kuat karena ( ( ( ( Misalkan : ( Akan ditunjukkan bahwa : ( juga merupakan raf fuzzy : ( adalah fuzzy kuat maka ( ( ( uv Dari persamaan ( ( ( diperoleh ( ( ( uv ( ( uv ( ( ( uv ( ( v jadi : ( fuzzy kuat karena ( uv ( ( v uv Contoh Diberikan fuzzy : ( fuzzy : ( sebagai berikut : ambar raf fuzzy : ( fuzzy : ( pemetaan h : S merupakan pemetaan bijektif

4 Jurnal Matematika Vol No April 0 : 8 - h ( a r b s p d q sifat-sifat isomorfisma: ( a 0 ( a ( r 0 ( b 0 7 ( b ( s 0 7 c 0 ( ( ( p 0 ( d ( d ( q 0 ( ab ( h ( a b ( rs 0 ( b ( h ( b ( sp 0 ( cd ( h ( d ( pq 0 ( ad ( h ( a d ( rq 0 ( a ( h ( a ( rs jadi dapat disimpulkan bahwa h adalah pemetaan bijektif memenuhi sifatsifat isomorfisma sehingga : ( isomorfis : ( Akan diperlihatkan apakah : ( ( cd ( ( d ( a ( a ( ( b ( b ( ( ad ( a ( d ( ab ( a ( b : fuzzy kuat karena jadi ( ( ( ( v uv uv Akan diperlihatkan juga apakah : ( ( pq ( p ( q ( pr ( p ( r ( ps ( p ( s ( qr ( q ( r ( rs ( r ( s : juga fuzzy kuat jadi ( karena ( uv ( ( v Dengan demikian : ( uv fuzzy : juga kuat jika hanya jika ( Teorema 6 [] Diketahui : ( isomorfis co-weak : ( jika : ( fuzzy kuat maka : ( juga Bukti: Misalkan : ( isomorfis co-weak : ( : ( Akan dibuktikan bahwa : ( juga merupakan raf fuzzy : ( isomorfis co-weak : ( maka ( ( u S ( ( uv ( u v S (6 raf fuzzy : ( adalah fuzzy kuat maka ( v ( ( Dari persamaan ( (6 (7 diperoleh ( v uv (7 ( ( ( ( ( uv v ( uv ( ( v uv

5 Anik Handayani Lucia Ratnasari (Sifat-Sifat Isomorfisma raf Fuzzy pada raf Fuzzy Kuat Jadi : ( juga fuzzy kuat karena ( uv ( ( v uv Contoh 7 Diberikan fuzzy : fuzzy kuat ( ( : seperti pada gambar berikut: ambar raf fuzzy : ( fuzzy : ( pemetaan h : S merupakan pemetaan bijektif h ( a q b r p sifat-sifat isomorfisma co-weak: ( a 0 h a q 0 ( ( ( ( b ( b ( r 0 0 ( 0 ( ( p 0 ( ab 0 ( h ( a b ( qr 0 ( b 0 ( h ( b ( rp 0 6 ( a 0 ( h ( a ( qp 0 jadi h adalah pemetaan bijektif memenuhi sifat-sifat isomorfisma co-weak : isomorfis co-weak sehingga ( : ( Akan diperlihatkan apakah : ( ( ab ( a ( b ( a ( a ( ( b ( b ( Jadi : ( ( ( ( v fuzzy kuat karena uv uv Akan diperlihatkan juga apakah : ( ( pq ( p ( q ( pr ( p ( r ( qr ( q ( r : juga fuzzy kuat Jadi ( karena ( uv ( ( v uv Dengan demikian jika : ( fuzzy kuat maka : ( juga Catatan 8 [] Diketahui : ( isomorfis co-weak : ( jika : ( fuzzy kuat maka tidak selalu berakibat : ( juga Contoh 9 Diberikan fuzzy kuat : ( fuzzy : ( seperti pada gambar berikut : ambar raf fuzzy : ( fuzzy : ( pemetaan h : S merupakan pemetaan bijektif h ( a p b q r d s sifat-sifat isomorfisma co-weak: ( a 0 ( a ( p 0 ( b 0 ( b ( q 0 ( 0 h c r 0 ( ( (

6 Jurnal Matematika Vol No April 0 : 8 - ( d 0 ( d ( s 0 ( cd 0 ( h ( d ( rs 0 6 ( b 0 ( h ( b ( qr 0 7 ( ab 0 9 ( h ( a b 9 ( pq 0 8 ( ad 0 ( h ( a d ( ps 0 jadi h adalah pemetaan bijektif memenuhi sifat-sifat isomorfisma co-weak sehingga : ( isomorfis co-weak : ( Akan diperlihatkan apakah : ( merupakan ( rs ( r 9 ( s Jadi : ( bukan merupakan fuzzy kuat karena tidak memenuhi ( uv ( ( v uv Dengan demikian jika : ( fuzzy kuat maka : ( belum tentu Catatan 0 [] Diketahui : ( isomorfis weak : ( fuzzy kuat pada salah satu tidak selalu berakibat pada lain Contoh Diberikan fuzzy ( : fuzzy kuat ( : seperti pada gambar berikut ambar 6 raf fuzzy : ( fuzzy : ( pemetaan h : S merupakan pemetaan bijektif h ( a p b q r d s sifat-sifat isomorfisma weak: ( a 0 h a p 0 ( ( ( ( b 0 ( b ( q 0 ( 0 ( ( r 0 ( d 0 ( d ( s 0 ( cd 0 ( h ( d ( rs 0 6 ( b 0 ( h ( b ( qr 0 7 ( ab 0 ( h ( a b ( pq 0 8 ( ad 0 ( h ( a d ( ps 0 jadi h adalah pemetaan bijektif memenuhi sifat-sifat isomorfisma weak : isomorfis weak sehingga ( : ( Akan diperlihatkan apakah : ( merupakan ( b ( b ( : bukan merupakan jadi ( fuzzy kuat karena terdapat 0 ( uv tidak memenuhi ( ( ( v 0 uv uv Dengan demikian : ( kuat namun : ( fuzzy belum tentu PENUTUP Dari pembahasan telah diuraikan sebelumnya diperoleh apabila : ( isomorfis : ( : ( fuzzy kuat jika hanya

7 Anik Handayani Lucia Ratnasari (Sifat-Sifat Isomorfisma raf Fuzzy pada raf Fuzzy Kuat jika : ( juga fuzzy kuat namun tidak berlaku apabila : ( isomorfis weak : ( Apabila : ( isomorfis co-weak : ( jika : ( fuzzy kuat maka : ( juga fuzzy kuat tetapi tidak berlaku sebaliknya DAFTAR PUSTAKA [] ani A Nagoor and J Malarvizhi 009 Isomorphism Properties on Strong Fuzzy raphs Volume Number 9-7 International Journal of Algorithms Computing and Mathematics [] Chartrand and L Lesniak 000 raphs & Digraphs Third Edition Chapman & Hall New York [] KR Bhutani A Rosenfeld 00 Strong Arcs in Fuzzy raphs Volume Pages 9 Information Sciences [] Mordeson John N and Premchand S Nair 000 Fuzzy raphs and Hypergraphs Physica - Verlag Heidelberg [] Wilson J Robin and John J Watskin 990 raphs An Introductory Approach New York : University Course raphs Network and Design

dokumen-dokumen yang mirip

PATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY. Lusia Dini Ekawati 1, Lucia Ratnasari 2. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang

PATH KUAT TERKUAT DAN JARAK KUAT TERKUAT DALAM GRAF FUZZY Lusia Dini Ekawati, Lucia Ratnasari, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl Prof H Soedarto, S H, Tembalang, Semarang Abstract Fuzzy graph is a graph