METODE KONJUGAT GRADIEN HIBRID BARU: METODE WYL-FR DAN METODE PRP-CD UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH OPTIMASI TAK BERKENDALA NETTY JULINDA MARLIN GELLA

Transkripsi

1 MEODE KONJUGA GRADIEN HIBRID BARU: MEODE WYL-FR DAN MEODE PRP-CD UNUK MENYELESAIKAN MASALAH OPIMASI AK BERKENDALA NEY JULINDA MARLIN GELLA SEKOLAH PASCASARJANA INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 05

2

3 PERNYAAAN MENGENAI ESIS DAN SUMBER INFORMASI SERA PELIMPAHAN HAK CIPA* Dea ii saya meyataa bahwa tesis berjuul Metoe Kojuat Graie Hibri Baru: Metoe WYL-FR a Metoe PRP-CD utu Meyelesaia Masalah Optimasi a Bereala aalah bear arya saya ea araha ari omisi pembimbi a belum iajua alam betu apa pu epaa perurua tii maa pu. Sumber iformasi ya berasal atau iutip ari arya ya iterbita maupu tia iterbita ari peulis lai telah isebuta alam tes a icatuma alam Daftar Pustaa i baia ahir tesis ii. Dea ii saya melimpaha ha cipta ari arya tulis saya epaa Istitut Pertaia Boor. Boor, September 05 Netty Julia Marli Gella NRP G55303

4 RINGKASAN NEY JULINDA MARLIN GELLA. Metoe Kojuat Graie Hibri Baru: Metoe WYL-FR a Metoe PRP-CD utu Meyelesaia Masalah Optimasi a Bereala. Dibimbi oleh BIB PARUHUM SILALAHI a SUGI GURIMAN. Optimasi aalah caba ari matematia ya berhubua ea peambila eputusa terbai yaitu memasimuma atau memiimuma suatu fusi tujua. Aa beberapa metoe utu meyelesaia masalah optimasi, salah satuya aalah metoe ojuat raie. Beberapa metoe ojuat raie ya tereal iataraya metoe HS (Hestees a Stiefel 95), metoe FR (Fletcher a Reeves 964), metoe CD (Fletcher 987), metoe PRP (Polya 969), metoe LS (Liu a Storey 99) a metoe DY (Dai a Yua 999). Metoe FR, metoe CD atau metoe DY memilii sifat eoverea lobal tetapi ierja omputasiya ura efisie. Di sisi lai, metoe PRP, metoe HS atau metoe LS secara umum tia memeuhi sifat overesi lobalya tetapi metoe-metoe ii memilii ierja omputasi ya lebih bai. Karea itu, Zha a Zhou (007) meusula metoe ojuat raie hibri ya baru utu PRP-FR a HS- DY ya isebut ea metoe NH a NH. Dea ie ya sama Zhou, Zhu, Fa a Qi (0) jua meusula metoe ojuat raie hibri ya baru utu LS-CD ya isebut ea metoe NH3. Peelitia ii memilii tia tujua utama yaitu: () meusula metoemetoe ojuat raie hibri baru; () membutia berlauya sifat-sifat eoverea lobal paa metoe-metoe ya iusula; a (3) membaia hasil umeri ari metoe ya iusula ea metoe ojuat raie hibri FR-PRP (NH), HS-DY (NH) a LS-CD (NH3) ya itijau ari jumlah iterasi a rui time. Dalam peelitia ii, iusula ua metoe ojuat raie hibri baru yaitu metoe hibri baru WYL-FR (NH6) a metoe hibri baru PRP-CD (NH7). ya memeuhi oisi sufficiet escet. Keua metoe ii ibutia memeuhi sifat eoverea lobal. Dari hasil umeri eua metoe ii meujua bahwa eua metoe mampu meyelesaia setiap masalah optimasi ta liear tapa eala ya iberia. Perbaia hasil umeri eua metoe ea metoe NH, NH a NH3 meujua bahwa metoe NH6 a NH7 saat ompetitif ea metoe NH, NH a NH3 alam hal jumlah iterasi a rui time-ya. Dea emiia, metoe hibri baru NH6 a NH7 cuup ompetitif a efisie serta meambah olesi metoe hibri ya suah terseia alam mecari solusi utu masalah optimasi. Kata uci: metoe ojuat raie, arah escet, overe lobal

5 SUMMARY NEY JULINDA MARLIN GELLA. New Hybri Cojuate Graiet Metho: WYL-FR Metho a PRP-CD Metho for Solvi Ucostraie Optimizatio Problems. Supervise by BIB PARUHUM SILALAHI a SUGI GURIMAN. Optimizatio is a brach of mathematics which stuy techiques for fii the best ecisio, i.e. the maximum or the miimum of a fuctio. here are several methos to solve optimizatio problems, oe of them is the cojuate raiet metho. Several well-ow cojuate raiet methos are HS metho (Hestees- Stiefel 95), FR metho (Fletcher a Reeves 964), CD metho (Fletcher 987), PRP metho (Polya 969), LS metho (Liu a Storey 99) a DY metho (Dai a Yua 999). he FR metho, the CD metho or the DY metho have ice lobal coverece property o each alorithm, but their computatioal performace results are ot so well. O the other ha, the PRP metho, the HS metho a the LS methos have oo computatioal performace but eerally these methos o ot satify lobal coverece properties. herefore, Zha a Zhou (007) have propose a metho which was a ew hybri cojuate raiet for PRP-FR a HS-DY calle NH a NH methos. With the same iea, Zhou, Zhu, Fa a Qi (0) also propose a cojuate raiet metho for a ew hybri LS-CD calle NH3 metho. his research has three mai objectives, amely: () propose two ew hybri cojuate raiet methos; () prove lobal coverece properties of the propose methos; a (3) compare the computatioal performace of the propose methos with existi hybri cojuate raiet methos: the FR-PRP (NH), HS-DY a LS-CD (NH3) i terms of the umber of iteratio a the rui time. I this research, we propose two ew hybri cojuate raiet methos amely, ew hybri metho WYL-FR (NH6) a ew hybri metho PRP-CD (NH7) which satisfie sufficiet escet coitios. Both of these methos have bee prove satisfyi lobal coverece. he umerical results showe that both methos are capable to solve ay oliear optimizatio ucostraie problems which ive. Numerical results of both methos a NH, NH a NH3 showi that NH6 a NH7 very competitive with the metho NH, NH a NH3 i iteratios umber a its rui time. hus, a ew hybri metho NH6 a NH7 quite competitive a efficiet a icreasi the collectio of hybri methos that have bee available i the search for a solutio to a optimizatio problem. Keywors: cojuate raiet metho, escet irectio, lobal coverece

6 Ha Cipta Mili IPB, ahu 05 Ha Cipta Diliui Ua-Ua Dilara meutip sebaia atau seluruh arya tulis ii tapa mecatuma atau meyebuta sumberya. Peutipa haya utu epetia peiia, peelitia, peulisa arya ilmiah, peyusua lapora, peulisa riti, atau tijaua suatu masalah; a peutipa tersebut tia meruia epetia IPB Dilara meumuma a memperbaya sebaia atau seluruh arya tulis ii alam betu apa pu tapa izi IPB

7 MEODE KONJUGA GRADIEN HIBRID BARU: MEODE WYL-FR DAN MEODE PRP-CD UNUK MENYELESAIKAN MASALAH OPIMASI AK BERKENDALA NEY JULINDA MARLIN GELLA esis sebaai salah satu syarat utu memperoleh elar Maister Sais paa Proram Stui Matematia erapa SEKOLAH PASCASARJANA INSIU PERANIAN BOGOR BOGOR 05

8 Peuji Luar Komisi paa Ujia esis: Dr. Jaharui, MS

9 Juul esis : Metoe Kojuat Graie Hibri Baru: Metoe WYL-FR a Metoe PRP-CD utu Meyelesaia Masalah Optimasi a Bereala. Nama : Netty Julia Marli Gella NIM : G55303 Disetujui oleh Komisi Pembimbi Dr Ir Bib Paruhum Silalahi, MKom Ketua Dr Sui Guritma Aota Dietahui oleh Ketua Proram Stui S Matematia erapa Dea Seolah Pascasarjaa Dr Jaharui, MS Dr Ir Dahrul Syah, MScAr aal Ujia: 0 September 05 aal Lulus:

10 PRAKAA Puji a syuur peulis pajata epaa uha Yesus Kristus area atas seala asih, berat a auerah-nya sehia arya ilmiah ii telah iselesaia. ema ya ipilih alam peelitia ya ilasaaa seja bula Desember 04 ii ialah teori optimasi ya berjuul Metoe Kojuat Graie Hibri Baru: Metoe PRP-CD a Metoe WYL-FR utu Meyelesaia Masalah Optimasi a Bereala. Peulisa tesis ii merupaa salah satu syarat memperoleh elar Maister Sais paa proram stui Matematia erapa Seolah Pascasarjaa Istitut Pertaia Boor. Peulis jua meyampaia terima asih epaa:. Bapa Austius Wellem Gella a Almh. Ibu Sultje arotjie Gella-Noe selau ora tua peulis serta Alm. Kaa Semi P. C. Gella.. Dr Bib Paruhum Silalahi, MKom selau Ketua Komisi Pembimbi 3. Dr Sui Guritma selau Aota Komisi Pembimbi. 4. Dr Jaharui, MS selau Peuji Luar Komisi Pembimbi a Ketua Proram Stui S Matematia erapa. 5. Seluruh ose a staf peawai tata usaha Departeme Matematia. 6. Diretorat Jeral Peiia ii (DIKI) sebaai sposor Beasiswa Peiia Pascasarjaa alam Neeri (BPP-DN). 7. Seluruh eluara ya selalu memberi oroa a oa utu eberhasila stui peulis. 8. Seluruh mahasiswa Departeme Matematia hususya tema-tema aata tahu 03 i Proram Stui S Matematia erapa. 9. Sauari-sauari Wisma Fahmea (Ka Restu, Ka Mia, Ka Ria, Ka Ariaa, Arii, Arista, Risy, Ea, Dii a ii), eluara Perseutua Oiumee i Boor, tema-tema UBF Depo, tema-tema GAMANUSRAIM i Boor a semua tema serta sahabat ya tia apat isebuta satu persatu ya telah baya meuu a memberi oa utu eberhasila stui peulis. Ahirya, semoa peulisa tesis ii apat memperaya pealama belajar a wawasa ita semua. Boor, September 05 Netty J Marli Gella

11 DAFAR ISI DAFAR ABEL DAFAR GAMBAR DAFAR LAMPIRAN PENDAHULUAN Latar Belaa ujua Peelitia INJAUAN PUSAKA Optimasi Matemati Himpua Koves Fusi Koves Norm Eucliea 3 Vetor Graie 3 Miimum Global a Miimum Loal 3 Himpua erbatas 3 Keotiua Fusi Lipschitz 4 Kovere Global 4 Limit Iferior 4 Iterasi a Rui ime 4 3 MEODE 4 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 5 Metoe Kojuat Graie 5 Metoe Kojuat Graie Hibri Baru Zhou a Zha 6 Metoe Kojuat Graie Hibri Baru Zhou, Zhu, Fa a Qi 7 Metoe Kojuat Graie Hibri Baru NH6 a NH7 7 Aalisis Keovere Global Metoe NH6 a NH7 9 Hasil Numeri 7 DAFAR PUSAKA RIWAYA HIDUP 6 vi vi vi

12 DAFAR ABEL Jumlah iterasi ari masi-masi metoe ojuat raie 8 Hasil rui time ari masi-masi metoe ojuat raie 9 DAFAR GAMBAR Hasil profil jumlah iterasi masi-masi metoe ojuat raie 0 Hasil profil rui time masi-masi metoe ojuat raie DAFAR LAMPIRAN Fusi-fusi ta liear ya iuaa alam peujia aloritme metoe ojuat raie hibri utu mecari hasil iterasi a rui time. 4

13 PENDAHULUAN Latar Belaa Optimasi merupaa tei ya berhubua ea peambila eputusa terbai (masimum atau miimum) ya teriri atas fusi tujua a eala (atau tapa eala). Dalam permasalaha ta liier hususya permasalaha imaa fusi tujuaya ta liear a memilii baya variabel, metoe umeri aalah suatu cara ya efisie utu mecari solusi ari permasalaha ya aa. Umumya peyelesaia optimasi ea metoe umeri bersifat iteratif. Aa beberapa tei metoe umeri utu meyelesaia permasalaha optimasi fusi ea atau tapa eala, salah satuya aalah metoe ojuat raie. Metoe ojuat raie iusula oleh Hestees a Stiefel paa tahu 95 ya ieal ea metoe HS utu meyelesaia sistem persamaa liear. Selajutya Fletcher a Reeves (964) memperluas metoe ojuat raie utu memecaha sistem pesamaa ta liear utu sala besar. Beberapa metoe ojuat raie ya tereal iataraya metoe HS (Hestees-Stiefel 95), metoe FR (Fletcher a Reeves 964), metoe CD (Fletcher 987), metoe PRP (Polya 969), metoe LS (Liu a Storey 99) a metoe DY (Dai a Yua 999). Metoe FR, metoe CD atau metoe DY mempuyai sifat overesi ya tercapai paa masi-masi aloritme, tetapi ierja omputasiya ura efisie. Di sisi lai, metoe PRP, metoe HS atau metoe LS secara umum sifat overesi lobalya belum terpeuhi tetapi metoe-metoe ii memilii ierja omputasi ya lebih bai. Dea emiia beberapa metoe imoifiasi utu memperoleh hasil optimasi ya lebih bai. ouati-ahme a Storey (990) meusula metoe hibri PRP-FR (H) a Dai a Yua (00) meusula metoe hibri HS-DY (H). Keua metoe ii memberia hasil umeri ya lebih bai ari metoe PRP. Berasara ie ari metoe H a metoe H, Zha a Zhou (007) meusula metoe ojuat raie hibri ya baru utu PRP-FR a HS-DY ya isebut ea metoe NH a NH. Dea ie ya sama Zhou et al. (0) jua meusula metoe ojuat raie hibri ya baru utu LS-CD ya isebut ea metoe NH3. Berasara ie peelitia-peelitia sebelumya maa peelitia ii meusula metoe ojuat raie hibri utu WYL-FR ya isebut ea NH6 a PRP-CD ya isebut NH7 ujua Peelitia Berasara latar belaa ari peelitia ii, iuraia tujua peelitia ya aa icapai yaitu:. Meusula ua metoe ojuat raie hibri baru.. Membutia berlauya sifat-sifat eoverea lobal paa metoe-metoe ya iusula. 3. Membaia hasil umeri ari metoe-metoe ya ea metoe ojuat raie hibri baru FR-PRP (NH), HS-DY (NH) a LS-CD (NH3).

14 INJAUAN PUSAKA Optimasi Matemati Defiisi. Optimasi matemati aalah suatu proses formulasi masalah a peetua solusi ari suatu masalah optimasi bereala ea betu umum: ea eala imaa f,,a h eputusa, j f x x x3 x mi ( x), x,,, (.) x j j x 0,,,, x 0,,,, j m h j r x x x aalah fusi ari x. Kompoe-ompoe pertiasamaa, j x i ari x, x, x3, x f x aalah fusi objetif, j hj x iamaa variabel x meyataa fusi eala x aalah fusi-fusi eala persamaa. Vetor optimum x ya mejai solusi ari masalah iyataa ea * x a ilai optimumya * aalah f x. Jia tia aa eala maa masalah iamaa masalah miimasi tabereala. (Syma 005) Himpua Koves Defiisi. Sebuah himpua X aalah oves jia utu semua x, x X memeuhi x x x X utu semua 0. (.) Jia oisi i atas tia terpeuhi maa himpua X tia oves. (Syma 005) Fusi Koves Defiisi.3 Fusi f iefiisia paa himpua X iataa oves jia utu setiap x, x X a setiap, 0 memeuhi Jia utu setiap, 0 a x f x x f x f x. (.3) x memeuhi f x x f x f x, (.4) maa f isebut fusi oves sempura. (Lueberer a Ye 007)

15 3 Norm Eucliea Defiisi.4 Utu vetor x, orm Eucliea ari x iefiisia x x (Meyer 000). xi i xi i x x imaa x x imaa x (.5) x (.6) Vetor Graie Defiisi.5 Jia fusi F memilii turua parsial ea ore reah (ya biasaya iasumsia alam pembetu aloritme ii), maa paa suatu titi tertetu x, G x iefiisia ea ompoe G i sebuah vetor raiet (Cheey a Kicai 008). G x F i Gi xi Miimum Global a Miimum Loal Defiisi.6 *. iti x aalah miimum lobal ari f paa X jia f f x, i (.7) x x * (.8) utu setiap x X.. iti x aalah miimum loal jia terapat ε > 0 sehia * * f x f x utu setiap { x x x } (.9) ea. meyataa orm Eucli. (Syma 005) Himpua erbatas Defiisi.8 Diberia X sub himpua ta oso ari a. Himpua X iataa terbatas i atas jia aa sejumlah u sehia x u utu semua x X. Setiap u iataa batas atas X. b. Himpua X iataa terbatas i bawah jia aa sejumlah w sehia w x utu semua x X. Setiap w iataa batas bawah X. c. Himpua X iataa terbatas jiaterbatas i atas a terbatas i bawah. (Bartle a Sherbert 0)

16 4 Keotiua Fusi Lipschitz Defiisi.9 F: D m aalah otiu Holer paa D jia aa ostata 0 a p 0, sehia utu semua, x y D, p F y F x y x. (.0) Jia p, maa F isebut otu Lipschitz paa D a aalah ostata Lipschitz. (Bazaraa et al. 006) Kovere Global Defiisi.0 Suatu moel aloritme iataa overe, jia aumulasi titi-titi ari setiap barisa iterasi { x } iostrusi oleh aloritme alam P ya merupaa himpua solusi optimal (Aryros 008). Limit Iferior Defiisi. Limit iferior ari sebuah barisa { x } ya iotasia sebaai beriut limif x (.) aalah efiisi ari supremum semua bilaa ea meiuti sifat: Aa bilaa bulat N seemiia sehia x utu semua N. (homso et al. 007) Iterasi a Rui ime Defiisi. (Iterasi) Iterasi aalah sifat tertetu ari aloritme atau proram omputer i maa satu uruta atau lebih ari laah aloritme ya ilaua paa loop proram (Chapma 008). Defiisi. (Rui ime) Rui time ari suatu aloritme iefeisia sebaai uura operasi primitive atau tahapa proses ya ieseusi (Corme et al. 990). 3 MEODE Peelitia ii isusu melalui tia tahap. Paa tahap pertama iusula ua pecaria arah baru paa metoe ojuat raie yaitu metoe ojuat raie hibrib baru WYL-FR a PRP-CD. Selajutya paa tahap eua ilaua pembutia berlauya sifat-sifat eoverea lobal paa metoe-metoe ya

17 iusula. erahir paa tahap etia meimplemetasia metoe-metoe ya iusula e alam bahasa pemorama. Kemuia membaia hasil umeri ari metoe ya iusula ea metoe ojuat raie hibri FR-PRP (NH), HS-DY (NH3) a LS-CD (NH3) ea melihat iterasi a rui time. 5 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Metoe Kojuat Graie Paa peahulua telah ijelasa sebelumya bahwa metoe ojuat raie aalah metoe raie ya bersifat iteratif utu meyelesaia masalah optimasi ta bereala, bai utu utu memecaha sistem persamaa liear a masalah optimasi ta liear ea sala besar. Paa peelitia ii i fousa paa meyelesaia masalah optimasi ta liear ta bereala. Diberia masalah optimasi ta bereala mi f ( x ), x (4.) imaa f : aalah fusi objetif ya teriferesial otiu. Diberia x 0 R ya mejai uaa awal solusi atau biasaya isebut titi awal paa masalah (4.). Metoe ojuat raie ta liear ibetu ea sebuah barisa { x }, meuaa betu iteratif x x, 0,,,..., (4.) imaa { x } aalah titi iterasi seara, 0 aalah uura laah ya itetua oleh pecaria aris (lie search) bai pecaria aris esa atau pecaria aris tia esa a aalah aris berarah ari fusi f paa titi x ya iefiisia oleh jia 0 (4.3) jia 0 imaa ( x ) f ( x ) aalah vetor raie ari f paa x a aalah sebuah parameter ya ietehui sebaai oefisie ojuat raie. Beberapa ojuat raie ya tereal yaitu metoe FR, metoe PRP, metoe HS, metoe DY, metoe CD a metoe LS. Selai itu, aa jua ojuat raie ya merupaa variasi ari metoe PRP yaitu metoe WYL (Wei et al. 006). Koefisie ojuat raie β utu metoe ojuat raie ya telah isebuta aalah FR CD PRP y LS y HS y WYL y DY y imaa y a aalah vetor orm Eucliea. Perbeaa pemiliha meujua perbeaa metoe ojuat raie.

18 6 Umumya, meaalisis eoverea a implemetsi metoe ojuat raie seri meuaa pecaria aris tia esa yaitu oisi Wolfe atau oisi uat Wolfe ya teriri sufficiet ecrease a curvature coitio. Pecaria aris oisi Wolfe utu meetua α aalah sebaai beriut f( x ) f( x ), (4.4) ( x ), ea 0 a. Pecaria aris oisi uat Wolfe utu meetua aalah f( x ) f( x ), (4.5) ( x ), ea 0 a. Paa peelitia ii iuaa pecaria aris oisi Wolfe utu mecari uura laah. Lemma 4. (Koisi escet) Misala f aalah fusi mooto a uura laah 0. Jia aalah solusi optimal, maa aa parameter * * x (0,) sehia, utu semua * [0, ), pecaria arah iefiisia oleh persamaa (4.3) memeuhi oisi escet 0 (4.6) (Pillo a Giaessi 999). Metoe Kojuat Graie Hibri Baru Zhou a Zha Zha a Zhou (007) meusula metoe ojuat raie hibri baru ya isebut metoe NH a metoe NH ea meuaa ie asar ari metoe H yaitu metoe hibri PRP-FR (ouati-ahme a Storey 990) H PRP FR max{0,mi{, }} (4.7) a metoe H yaitu metoe hibri HS-DY (Dai a Yua 00) H HS DY max{0,mi{, }}. (4.8) Metoe FR, DY a CD merupaa metoe escet tetapi sifat escet alam metoe-metoe ii teratu paa pecaria aris seperti pecaria aris uat Wolfe (4.5). Zha et al. (006) a Zha (006) melaua seiit moifiasi paa metoe FR ya isebut metoe MFR, yaitu: FR FR FR MFR: = (4.9) Zha (006) jua meusula satu moifiasi metoe DY ya isebut metoe MDY, yaitu: DY DY DY MDY: =. (4.0)

19 Metoe MFR a metoe MDY memeuhi 7 ya maa tia teratu paa pecaria aris ya iuaa. FR Metoe NH a metoe NH iperoleh ea meatia alam persamaa (4.9) a DY alam persamaa (4.0) ea NH: = H H NH: = H H Dua metoe hibri baru i atas memeuhi H a yaitu: H (4.) (4.), ya meujua bahwa metoe-metoe ii aalah escet a tia beratu paa pecaria aris ya iuaa. Zha a Zhou (007) telah membutia eoverea lobal ari ua metoe NH a NH a telah meujua efesiesi metoe-metoe ii alam hasil umeri. Metoe Kojuat Graie Hibri Baru Zhou, Zhu, Fa a Qi Zhou et al. (0) meuaa ie ya sama ea metoe ojuat raie hibri baru Zha-Zhou tetapi iasara paa metoe CD a meusula a. Metoe hibri LS-CD ya isebut ea metoe H3 yaitu H3 LS CD max{0,mi{, }} (4.3) b. Metoe CD ya imoifiasi ya isebut metoe MCD, yaitu CD CD CD MCD: = (4.4) c. Metoe hibri LS-CD baru a isebut metoe NH3 yaitu ea meatia paa (4.4) ea H3, CD NH3: = H3 H3 Metoe MCD a metoe NH3 i atas memeuhi sufficiet escet,. (4.5). Zhou et al. (0) telah membutia metoe H3, metoe MCD a metoe NH3 memeuhi eoverea lobal a telah meujua hasil umeri ari metoe-metoe ii cuup efisie alam meyelesaia masalah optimasi tapa eala. Metoe Kojuat Graie Hibri Baru NH6 a NH7 Dalam peelitia ii iuaa ie ya sama ea metoe ojuat raie Zha-Zhou (007) a metoe ojuat raie Zhou et al. (0) a meusula metoe metoe H6 yaitu metoe hibri WYL-FR a metoe H7 yaitu metoe hibri PRP-CD ya isajia masi-masi sebaai beriut:

20 8 Setelah itu meatia max{0,mi{, }} (4.6) H6 WYL FR max{0,mi{, }}. (4.7) FR H7 PRP CD a paa metoe MFR (4.9) a metoe MCD CD H6 H7 (4.4) ea a a meusula ua metoe hibri baru WYL-FR a PRP-CD ya isebut metoe NH6 a metoe NH7 yaitu: H6 H6 NH6: = (4.8) NH7: = H7 H7 Metoe MFR a Metoe MCD memeuhi sufficiet escet, (4.9) ya telah ibutia oleh Zha-Zhou (008) a Zhou et al. (0) seaa metoe NH6 a metoe NH7 ya iusula alam peelitia ii aa ilaua peujia eseuaia osii sufficiet escet paa sub-sub bab selajutya. Alortma 4. NH6 Step 0. Pilih titi awal x 0 R, 0, 0 a. etapa 0. 0, Step. Jia, berheti. Step. etua uura laah ea atura pecaria aris Wolfe paa persamaa (4.4). Step 3. Misala x x. Jia maa berheti. Step 4. etua pecaria arah ea meuaa rumus paa persamaa (4.8). Step 5. Beri ilai, a lajuta e Step. Alortma 4. NH7 Step 0. Pilih titi awal. etapa 0, 0. x 0 a Step. Jia, berheti. R, 0, 0 Step. etua uura laah ea atura pecaria aris Wolfe paa persamaa (4.4). Step 3. Misala x x. Jia maa berheti. Step 4. etua pecaria arah ea meuaa rumus paa persamaa (4.9). Step 5. Beri ilai, a lajuta e Step.

21 9 Aalisis Keovere Global Metoe NH6 a NH7 Asumsi A. Himpua level { x R f ( x) f ( x 0)} terbatas.. Dalam beberapa perseitara N ya terau, f teriferesial otiu a raie otiu Lipschitz, terapat ostata L 0, sehia ( x) ( y) L x y, x, y N. (4.0) (Noceal a Wriht 999) Dapat ilihat bahwa barisa { f ( x )} meuru maa jelaslah bahwa barisa { x } paa aloritme a aloritme ya terau alam. Dibawah asumsi A paa fusi f maa iuaa lemma oisi Zouteij utu membutia eoverea lobal metoe ojuat raie ta liear, yaitu: Lemma 4. Misala asumsi A terpeuhi. Diberia { x } ya ibetu oleh persamaa (4.) a aalah arah escet paa persamaa (4.3). Jia itetua ea pecaria aris Wolfe (4.4) maa iperoleh 0 Buti Dari oisi Wolfe paa persamaa (4.4) ( x ) imaa ( x ) maa (4.) ( x ) ( x ) (4.) ( x ) ( x ) x ( x ) ( ) ( x ) ( x ( x )) x x. (4.3) Diuaa otiu Lipschitz paa persamaa (4.3), maa iperoleh ( x ) L x x Karea ( x ), maa L L L ( x ) L (4.4) ( x). L

22 0 L Diuaa persamaa pecaria aris oisi Wolfe (4.4) f x f x. (4.5) f x f x. (4.6) Disubstitusi persamaa (4.5) e persamaa (4.6), maa iperoleh f f x x, L sehia apat isimpula x x f f C ( ) imaa C 0. Seara, L utu 0 Karea x x0 0 0, maa Utu Utu Utu x x f f C x x f f C x x f f C 0. 0 x x f f C 3 x x f f C... Dijumlaha semua pertiasamaa i atas a iperoleh x x 0 0 f f C Karea f terbatas i bawah imaa, maa iperoleh. (4.7) (4.8). (4.9)

23 imaa Jai iperoleh bahwa 0 * 0 0 f x f C f *. (4.30) lim f( x ). (4.3) Lemma 4. Misala x x iberia oleh aloritme 4. maa ya iberia oleh persamaa (4.8) memeuhi oisi sufficiet escet Buti Misala *.Utu 0 0 maa iperoleh, 0 (4.3) (4.33) ya berlau utu 0. Utu, iperoleh *. (4.34) * Seara utu, iperoleh * * Keua ruas ialia ea, iperoleh * * * * * *. (4.35). (4.37) Oleh area itu, persamaa (4.3) ipeuhi utu semua. (4.36) Lemma 4.3 Misala x x iberia aloritme 4. maa ya iberia oleh persamaa (4.9) memeuhi oisi sufficiet escet Buti Misala **. Utu 0 0 maa iperoleh, 0 (4.38) (4.39)

24 ya berlau utu 0. Utu, iperoleh ** (4.40) H7 ** Seara utu, iperoleh ** ** Keua ruas ialia ea, iperoleh ** ** ** ** ** **. (4.4). (4.43) Oleh area itu, persamaa (4.38) ipeuhi utu semua. (4.4) eorema 4. (Keoverea Global Metoe NH6) Misala asumsi A terpeuhi. Diberia barisa { x } ya ihasila oleh metoe NH6 paa aloritme 4.. Jia itetua oleh pecaria aris Wolfe a memeuhi persamaa (4.8), maa iperoleh limif 0 (4.44) x Buti: Pembutia ilaua ea pembutia otraisi yaitu persamaa (4.44) salah maa aa sebuah ostata 0sehia, 0. (4.45) Dari persamaa (4.8), H6 h (4.46) H6 H6 ea h a iperoleh h. Keua ruas persamaa (4.46) iuarata, iperoleh H6 h H6 H6 h h H6 h h h H6 h h h H6 h h.

25 Diuaa persamaa (4.3), maa Dilihat bahwa H6 h h. (4.47) max 0, mi, max 0,, 0. (4.48) H6 WYL FR WYL FR Dibai eua ruas paa persamaa (4.47) ea F persamaa (4.48), (4.3) serta efiisi 4 R, maa iperoleh h h H6 h h FR h h 4 4 h h h 4 ( ) 4 3 a iuaa. (4.49) Aa iselesaia persamaa (4.9) sebaai beriut: Dari persamaa (4.3), utu 0, 0 0 a iuaa persamaa (4.3), iperoleh Dari persamaa (4.49) a (4.50), maa utu 0 ( 00) (4.50)

26 4 utu, 0 ( ) 0 i, 0 i utu sehia iperoleh ( ) 0, 0 0. (4.5) Dari persamaa (4.45), iperoleh (4.5) Pertiasamaa terahir i atas apat isimpula bahwa

27 5 4 i0 0 ya otraisi ea persamaa (4.). (4.53) eorema 4. (Keoverea Global Metoe NH7) Misala asumsi A terpeuhi. Diberia barisa { x } ya ihasila oleh metoe NH7 paa aloritme 4. a memeuhi persamaa (4.9) ea memeuhi pecaria aris Wolfe, maa iperoleh limif 0 (4.54) x Buti: Misala ea pembutia otraisi yaitu persamaa (4.54) tia terpeuhi maa aa sebuah ostata 0 sehia, 0. (4.55) Dari persamaa (4.9), iperoleh H7 h (4.56) H7 H7 imaa h a h. Dari persamaa (4.56) a persama (4.38), iperoleh H7 h H7 H7 h h H7 h h h H7 h h h H7 h h. (4.57) Diuaa persamaa (4.38) Dilihat bahwa H7 h h. (4.58) H5 CD 0, 0. (4.59) Keua ruas paa persamaa (4.58) ibai ea CD persamaa (4.59), (4.38) a efiisi, maa iperoleh h h 4 H7 h h CD h h. Setelah itu, iuaa (4.60)

28 6 h h 4 4 h h h 4 4. (4.6) Aa iselesaia persamaa (4.6) sebaai beriut: Dari persamaa (4.6) i atas a persamaa (4.3), utu 0 maa 0 0 a iperoleh utu utu , (4.6), i, 0 i utu ( ) 0, 0

29 sehia iperoleh, 0 7. (4.63) Dari persamaa (4.55), iperoleh (4.64) Pertiasamaa terahir i atas apat isimpula bahwa i0 4 0 ya otraisi ea persamaa (4.). Hasil Numeri (4.65) Paa sub-bab ii ilaua perbaia hasil umeri ari metoe-metoe ya iusula alam peelitia ii yaitu NH6 (aloritme 4.) a NH7 (aloritme 4.) ea metoe-metoe ya telah iusula paa peelitia-peelitia sebelumya yaitu NH, NH a NH3. Aloritme setiap metoe itulis alam bahasa pemorama. Uura laah 0 utu metoe-metoe ii meuaa pecaria aris oisi Wolfe ea parameter 0.3 a Batas tolerasi ya itetapa aalah 0. Setiap parameter ya iuaa alam peujia aloritme telah itetapa sama utu setiap aloritme. Perbaia masi-masi metoe iterapa paa fusi ta liear (Arei 008) ea imesi ya beraam. Paa ierja umeri ii ya ibaia a ievaluasia aalah jumlah iterasi paa masi-masi metoe ya isajia paa abel a rui time paa masi-masi metoe ya isajia oleh abel.

30 8 No abel Jumlah iterasi ari masi-masi metoe ojuat raie Fusi a Liear Rosebroc Fuctio Extee Himelblau Fuctio Raya Fuctio Diaoal 4 Fuctio FLECHR Fuctio (CUE) Haer Fuctio (CUE) Geeralize Quartic Fuctio Geeralize PSC Fuctio Freuestei a Roth Fuctio Geerelaze riiaoal Fuctio DQDRIC Fuctio (CUE) SINCOS Fuctio Dimesi NH NH NH3 NH6 NH

31 9 No Fusi a liear Rosebroc Fuctio Extee Himelblau Fuctio Raya Fuctio Diaoal 4 Fuctio FLECHR Fuctio (CUE) Haer Fuctio Geeralize Quartic Fuctio Geeralize PSC Fuctio Freuestei a Roth Fuctio Geerelaze riiaoal Fuctio DQDRIC Fuctio (CUE SINCOS Fuctio abel Hasil rui time ari masi-masi metoe ojuat raie Dimesi NH NH NH3 NH6 NH

32 0 Utu melihat perbaia ierja paa masi-masi metoe, iuaa ierja profil ya ipereala oleh Dola a Moré (00). Kierja profil ii saat efisie utu meevaluasi a membaia hasil himpua metoe S paa himpua masalah (fusi ta liear) P alam meaalisis aloritme. Hal ii itujua paa Gambar a Gambar imaa profil ierja utu jumlah iterasi a rui time ya iplot. Misala P { p, p,..., p38} aalah himpua fusi ta liear ea masi-masi imesi a S { s, s, s3, s4, s5} aalah himpua metoe NH, NH, NH3, NH6 a NH7 ya ibaia ierja metoe s paa masalah p. Misala t ps, aalah peuura ierja profil (iterasi a rui time) maa rasio ierja iberia oleh t ps, rps, mi{ t ps, : s S}. Utu memperoleh peilaia eseluruha ari ierja masi-masi metoe maa iefiisia ierja profil sebaai beriut: s( ) size{ p P : lo ( rp, s) }, p imaa s( ) aalah pelua utu metoe s S, rasio ierja ps,, fator aalah rasio emuia terbai a p jumlah fusi ea masi-masi imesi. Fusi s aalah fusi istribusi omulatif utu rasio ierja. Catata: Paa perhitua ii selalu mempuyai hasil rps,. Jia rps,, iperoleh t mi t : s S p, s p, s ya berarti bahwa metoe s S aalah ya terbai alam meyelesaia fusi ta liear p ari semua fusi ta liear. r Gambar Hasil profil jumlah iterasi masi-masi metoe

33 Gambar Hasil profil rui time masi-masi metoe Gambar a, masi-masi meujua ierja ari lima metoe ojuat raie hibri baru NH, NH, NH3 NH6 a NH7 ya relatif terhaap iterasi a rui time. Semua metoe ya iusula berhasil meyelesaia semua masalah optimasi fusi ta liear tapa eala ya iberia. Dari Gambar, ilihat metoe NH6 a NH7 ompetitif ea metoe NH, NH a NH3 alam profil iterasi. Metoe NH6, NH7 a NH lebih bai alam profil iterasi ari metoe NH a NH3. Seaa paa Gambar, alam profil rui time-ya metoe NH6 a NH7 ya iusula jua ompetitif ea metoe NH, NH a NH3. Metoe NH6, NH7 a NH lebih bai alam profil rui time-ya ari paa metoe NH a NH3. Dea emiia, metoe hibri baru NH6 a NH7 ya iusula ompetitif a efisie serta meambah olesi metoe hibri ya suah terseia alam mecari solusi utu masalah optimasi. 5 SIMPULAN Metoe ojuat raie aalah salah satu tei optimasi ya bersifat iteratif ya apat iuaa alam meyelesaia masalah optimasi tapa eala sala besar. Peelitia ii meusula metoe ojuat raie hibri baru yaitu metoe WYL-FR a metoe PRP-CD. Metoe-metoe ii memeuhi oisi sufficiet escet. Keua metoe ii telah ibutia memeuhi eoverea lobal. Hasil umeri meujua bahwa eua metoe ya iusula cuup ompetitif a efisie optimasi tapa eala ea fusi objetif ta liear ya iberia.

34 DAFAR PUSAKA Aryros IK Coverece a Applicatios of Newto-type Iteratios. New Yor: Sprier. Arei N A Ucostraie Optimizatio est Fuctios Collectio. Avace Moeli a Optimizatio. 0():47-6. Bartle R, Sherbert DR. 0. Itrouctio to Real Aalysis. USA: Jho Wiley & Sos Ic. Bazara MS, Sherali HD, Shetty CM Noliear Prorammi: heory a Alorithms. USA: Wiley-Iteresciece. Chapma SJ Matlab Prorammi for Eieers, 4 th e. Otario (CA): homso Leari. Corme H, Leiserso CE, Rivest RL, Stei C Itrouctio to Alorithms: hir Eitio. Ela: he MI Press. Dai YH, Yua Y A Noliear Cojuate Graiet Metho with a Stro Global Coverece Property. SIAM Joural o Optimizatio. 0():77-8.oi:0.37/S Dai YH, Yua Y. 00. A Efficiet Hybri Cojuate Graiet Metho for Ucostraie Optimizatio. Aals of Operatios Research. 03(-4): Dola ED, Moré JJ. 00. Bechmari optimizatio software with performace profiles. Mathematical Prorammi. 9():0 3.oi: 0.007/s Fletcher R Practical Methos of Optimizatio, Ucostraie Optimizatio. New Yor: Wiley. Fletcher R, Reeves C Fuctio Miimizatio by Cojuate Graiets. he Computer Joural. 7():49-54.oi:0.093/comjl/ Hestees MR, Stiefel EL. 95. Methos of Cojuate Graiets for Solvi Liear Systems. Joural of Research of the Natioal Bureau of Staars. 49(6): Liu YL, Storey CS. 99. Efficiet Geeralize Cojuate Graiet Alorithms, Part : heory. Joural of Optimizatio heory a Applicatios. 69():9-37.oi:0.007/BF Meyer CD Matrix Aalysis a Apllie Liear Alebra. USA: Siam. Noceal J, Wriht SJ Numerical Optimizatio. New Yor: Sprier. Syma JA Practical Mathematical Optimizatio: A Itrouctio to Basic Optimizatio heory a classical a New Graiet-Base Alorithms. New Yor: Spier. Pillo GD, Giaessi F Noliear Optimizatio a Relate opics. New Yor: Sprier. Polya B he Cojuate Graiet Metho i Extreme Problems. USSR Computatioal Mathematics a Mathematical Physics. 9:94-.oi:0.06/ (69) homso BS, Brucer JB, Brucer AM Elemetary Real Aalysis. USA: Pretice-Hall, Ic. ouati-ahme D, Storey C Efficiet Hybri Cojuate Graiet echiques. Joural Optimizatio heory a Applicatio. 64:

35 Wei Z, Yao SW, Liu LY he Coverece Properties of Some New Cojuate Graiet Methos. Applie Mathematics a Computatio. 83: Zha L Noliear Cojuate Graiet Methos for Optimizatio Problems [Disertasi]. Chasa (CN): Collee of Mathematics a Ecoometrics, Hua Uiversity. Zha L, Zhou WJ, Li DH A Descet Moifie Pola-Ribière-Polya Cojuate Graiet Metho a Its Global Coverece. IMA Joural of Numerical Aalysis. 6(4): oi:0.093/imaum/rl06. Zha L, Zhou WJ wo Descet Hybri Cojuate Graiet Methos for Optimizatio. Joural of Computatioal a Applie Mathematics. 6:5 64.oi:0.06/j.cam Zhou A, Zhu Z, Fa H, Qi Q. 0. hree New Hybri Cojuate Graiet Methos for Optimizatio. Joural Applie Mathematics. : oi:0.436/am

36 4 LAMPIRAN Lampira Fusi-fusi ta liear ya iuaa alam peujia aloritme metoe ojuat raie hibri utu mecari hasil iterasi a rui time.. Extee Rosebroc Fuctio f ( x) c(x x ) ( x ), x.,,...,.,. c 00. i i i i 0. Extee Himmelblau Fuctio f ( x) ( x x ) ( x x 7), x,,...,,. i 3. Raya Fuctio i i i i 0 i i 0 f ( x) exp( x ) x, x,,...,,. i 4. Diaoal 4 Fuctio f ( x) xi cxi, x0,,...,. c 00. i 5. FLECHR Fuctio (CUE) i i i i 0 f (x) c x x x, x 0,0,...,0, c Haer Fuctio (CUE) i i i 0 f ( x) exp( x ) ix, x,,...,. 7. Geeralize PSC Fuctio i i i i i i 0 f ( x) x x x x si ( x ) cos ( x ), x 3,0.,...,3,0.. i 8. Geeralize Quartic Fuctio i i i i 0 f ( x) x x x, x,,...,. 9. Freuestei a Roth Fuctio 0 i f ( x) 3 x ((5 x ) x ) x 9 x (( x ) x 4) x, x i i i i i i i i 0.5,,0.5,,...,0.5,.

37 5 0. Geeralize riiaoal Fuctio 4 i i i i 0 f ( x) x x 3 x x, x,,...,. i. DQDRIC Fuctio (CUE) i i i 0 f ( x) x cx x, c 00, 00 x 3,3,...,3. i. SINCOS fuctio f ( x) ( x x x x ) si x cos x, x 3,0.,...,3,0.. i i i i i i i 0

38 6 RIWAYA HIDUP Peulis ilahira i Kota Kupa Provisi Nusa eara imur paa taal 3 Maret 990, sebaai aa eua ari bersauara, ari pasaa Austius Wellem Gella a Almh. Sultje arotjie Gella-Noe. Kesempata utu melajuta e proram maister paa Proram Stui Matematia erapa IPB iperoleh paa tahu 03 ea sposor beasiswa pascasarjaa ari Diretorat Jeeral Peiia ii (DIKI) melalui proram Beasiswa Uula. Peulis meyelesaia peiia Seolah Dasar i SD Ipres Soe paa tahu 00. Kemuia meyelesaia Seolah Meeah i SMPN Soe paa tahu 004 a SMAN Soe paa tahu 007. Peulis melajuta stui S paa Jurusa Matematia Faultas Sais a ei Uiversitas Nusa Ceaa Kupa, lulus paa tahu 0. Paa tahu 03, peulis melajuta S Proram Maister Sais paa Seolah Pascasarjaa Istitut Pertaia Boor (IPB), Proram Stui Matematia erapa ea sposor Beasiswa Peiia Pascasarjaa alam Neeri Diretorat Jeeral Peiia ii (BPP-DN DIKI). Sebuah artiel aa iterbita paa bula Juli 05 ea juul Metoe Kojuat Graie Hibri Baru: Metoe WYL-FR a Metoe PRP-CD utu Meyelesaia Masalah Optimasi a Bereala paa Joural of Mathematical Applicatio (JMA). Artiel tersebut merupaa baia ari tesis peulis..