PEMILIHAN THRESHOLD OPTIMAL PADA ESTIMATOR REGRESI WAVELET SHRINKAGE

Transkripsi

1 Prosii SPMIPA. pp ISBN : PMILIHAN THRSHOLD OPTIMAL PADA STIMATOR RGRSI WAVLT SHRINAG Suparti Staf Peaar PS Statistia Jurusa Matematia FMIPA UNDIP Jl. Prof. Soearto, ampus UNDIP Tembala, Semara Abstra: Misala i (Xi, Yi) i ata observasi iepee ya mempuyai moel Yi X i ea fusi reresi ya tia ietahui a i variabel raom iepee ea mea a varia maa utu meestimasi fusi apat ilaua ea peeata parametri atau o parametri. Salah satu peeata o parametri ya telah popular aalah metoe wavelet. Metoe wavelet merupaa peembaa ari metoe Fourier. stimator wavelet ibeaa alam ua eis yaitu estimator wavelet liier a estimator wavelet o liier atau wavelet shriae. stimator wavelet shriae lebih uul ibaia ari estimator ya lai, area mampu meestimasi fusi mulus maupu tia mulus. Tiat emulusa estimator wavelet shriae itetua oleh pemiliha parameter threshol. Peambila ilai threshol ya terlalu ecil memberia hasil estimasi ya saat tia mulus (uer smooth) seaa ilai threshol ya terlalu besar memberia hasil estimasi ya saat mulus (over smooth). Oleh area itu perlu ipilih ilai threshol optimal utu memberia hasil estimasi ya optimal. Aa beberapa cara pemiliha parameter threshol optimal iataraya ea proseur threshol uiversal, aapt, miimax, top, wp, ui hipotesa multipel, FDR, cross valiasi. Pemiliha threshol optimal uiversal memberia hasil estimasi ya relatif lebih mulus. Seaa pemiliha threshol optimal ea proseur ui hipotesa ceeru memberia hasil estimasi ya ura mulus. ata uci: Reresi o parametri, estimator wavelet shriae, parameter threshol. PNDAHULUAN Represetasi fusi alam eret wavelet merupaa eeralisasi ari represetasi fusi alam eret Fourier. Represetasi fusi ea wavelet lebih efisie ari represetasi eret Fourier, area oefisie wavelet ya tia ol alam reostrusi fusi ea wavelet relatif lebih seiit ibaia ea bayaya oefisie Fourier ya tia ol alam reostrusi fusi paa level resolusi ya sama. Selai efisie, wavelet mampu merepresetasia fusi-fusi ya bersifat tia mulus, ya maa hal ii tia apat ilaua oleh eret Fourier. Ii iareaa basis alam wavelet itetua oleh leta a sala (traslasi a ilatasi). Paa baia fusi ya tia mulus, represetasi wavelet aa meuaa paa support ya sempit a paa baia fusi ya mulus aa meuaa support ya lebih lebar. Dea emiia fusi wavelet mempuyai paa support ya bersifat aaptif secara loal. Dalam statistia, aa baya apliasi wavelet. Salah satu iataraya utu meestimasi fusi reresi o parametri. Metoe pali sahih alam estimasi fusi reresi ea wavelet aalah metoe wavelet shriae atau metoe wavelet thresholi. Paa estimasi fusi ea metoe wavelet thresholi, tiat emulusa estimator itetua oleh pemiliha eis fusi wavelet, level resolusi, eis fusi thresholi a parameter thresholya. Namu pemiliha eis fusi wavelet, level resolusi a eis fusi thresholiya tia seomia paa pemiliha parameter thresholya. Nilai threshol ya ecil memberia estimasi fusi ya saat tia mulus (uer smooth) seaa ilai threshol ya besar memberia estimasi ya saat mulus (over smooth). Oleh area itu perlu ipilih parameter threshol optimal utu meapata estimasi fusi ya optimal. Utu memilih ilai threshol optimal, aa ua ateori pemiliha yaitu pemiliha secara lobal artiya memilih satu hara threshol utu seluruh level resolusi a pemiliha threshol teratu paa setiap level resolusi. Dalam paper ii ibahas teta peetua ilai threshol optimal paa estimator wavelet thresholi utu fusi reresi o parametri. 7

2 PMBAHASAN Represetasi Fusi Dalam Wavelet Fusi wavelet aalah suatu fusi ya berosilasi i seitar ol ea sifat-sifat tertetu. Fusi wavelet ibeaa atas ua eis, yaitu wavelet ayah () a wavelet ibu () ya mempuyai sifat: x a x () Dea ilatasi iai a traslasi iteer, wavelet ayah a wavelet ibu melahira eluara wavelet yaitu,, ( p ) ( p x ) a ( p ) ( p x ) utu suatu salar p>, a tapa / meurai eumuma apat iambil p=, sehia (x) ( x ) a /, ( x ). Fusi ( ) a ( ) mempuyai sifat ortoormal alam arti, x, x,, ' x, ',,, ' x a, ', ' x, ', ' ea ia i i, ia i. Cotoh wavelet pali seerhaa aalah wavelet Haar ya mempuyai rumus, x /, x,/ x a (), x ya lai, x ya lai. Beberapa cotoh wavelet selai wavelet Haar iataraya aalah wavelet Daubechies (Daublet), symmetris (Symmlet), a Coifma (Coiflet)[3]. Jia L (R) maa apat irepresetasia alam eret wavelet ortoormal ( x) c o, o,,, x Z o Z ψ ( ) (3) ea c o,, o, = o, x a,,, = Dea meambil J cuup besar maa eret wavelet (3) apat ieati oleh J merupaa peeata paa level e J. J, (, ) x) ( x x. J c o, o,,ψ, (4) Z o Z stimator Wavelet Liier Jia terapat seumpula ata iepee (Xi, Yi) i ya mempuyai moel Y i = (X i ) + i, (5) m ea variabel raom iepee beristribusi Normal (, ), ea m bilaa bulat positip i a ia X i racaa titi reuler paa iterval [,] ea X i = i/, maa estimator paa level J aalah ea []. J ˆ J cˆ o, o, ˆ,ψ, (6) Z o Z cˆ o, Yi o, ( X i ) a ˆ, Yi, ( X i ), ya merupaa estimator ta bias ari c o,,, i i stimator Wavelet Shriae Jia iberia ata iepee X i, Yi ea moel (5) maa i i ˆ, Selautya,,, ˆ Y i N,. N atau ˆ,, z, ea, aalah estimator ari oefisie, a z, aalah himpua ya tia teramati beristribusi N,. Jai, oefisie wavelet 7

3 empiris ˆ memuat seumlah oise a haya relatif seiit ya memuat siyal siifia. area itu, apat, ireostrusi wavelet ea meuaa seumlah oefisie terbesar. Dea ie emiia, berasara referesi [5], [6], [7] a [9] memberia metoe ya meeaa reostrusi wavelet ea meuaa seumlah oefisie wavelet terbesar, yai haya oefisie ya lebih besar ari suatu ilai tertetu ya iambil, seaa oefisie selebihya iabaia (iaap ). Nilai tertetu tersebut iamaa ilai threshol a estimator waveletya iamaa estimator wavelet thresholi (shriae). Misala terseia ilai threshol λ, maa estimator wavelet shriae ari fusi reresi apat itulisa sebaai ea ˆ : peua oefisie fusi sala c o, c o, ˆ, : peua oefisie wavelet, : parameter ilai threshol : fusi threshol J x cˆ x ˆ x ˆ o, o,,, (7) o o Thresholi ii merupaa operator o liier paa vetor oefisie wavelet ya iestimasi ea ˆ. Dea emiia, estimator thresholi (shriae) tersebut iamaa ua estimator wavelet o liier. area thresholi ii iraca utu membeaa atara oefisie wavelet empiris maa ya masu a maa ya eluar ari reostrusi wavelet, seaa utu membuat eputusa aa fator ya mempearuhi etepata estimator, yaitu uura sampel a tiat oise, maa setiap oefisie merupaa calo uat masu i alam reostrusi wavelet ia uura sampel besar atau tiat oise ecil. area ˆ beristribusi ormal ea varia utu seluruh a σ, maa estimator shriae ari,, aalah ˆ, sehia estimator wavelet shriae aalah, J ˆ, ˆ x cˆ o, o, x o, x (8) Metoe wavelet shriae mampu meestimasi fusi bai mulus maupu tia mulus area wavelet shriae mempuyai paa support ya aaptif secara loal. Aloritma Peetua stimator Wavelet Shriae Aloritma peetua estimator wavelet shriae teriri atas tia tahap, yaitu:. Meetua trasformasi wavelet isrit paa level J terhaap sebuah siyal Y sehia iperoleh oefisie etail,,, J, a oefisie pehalus s J.. Melaua thresholi yaitu meyusuta oefisie etail paa sala terbai utu meapata oefisie etail baru λ σ,, λ σ. Fusi λσ meyusuta ilai x meuu ol, ea λ merupaa ilai threshol a σ aalah estimasi sala oise. 3. Meetua trasformasi wavelet ivers paa oefisie etail (ya baru) utu meapata estimasi wavelet shriae ari fusi, yaitu ĝ. Laah-laah Thresholi Paa asarya, proses thresholi oefisie wavelet apat ibai ealam empat laah, yaitu:. Pemiliha Fusi Thresholi Aa ua eis fusi thresholi λ, yaitu thresholi uat, λ H (x) x λ, x λ S thresholi lemah λ (x), x λ ea λ merupaa parameter threshol. x λ, x λ x,, x λ a x ya lai 7

4 Fusi thresholi uat lebih ieal area terapat isotiyu sehia ilai x ya beraa iatas threshol λ tia isetuh. Sebaliya, fusi shriae lemah bersifat otiyu sea ilai x beraa iatas threshol λ.. Pemiliha Parameter Threshol Tiat emulusa estimator wavelet shriae itetua oleh ilai threshol λ. Nilai λ ecil memberia fusi estimasi ya berayu a λ besar memberia fusi estimasi ya saat mulus. Oleh area itu perlu ipilih ilai λ optimal. 3. stimasi σ ari Noise Dalam mereotrusi estimator reresi wavelet shriae biasaya ilai σ tia ietahui. Oleh area itu, σ harus iestimasi ari ata. Referesi [9] memberia estimasi σ berasara oefisie wavelet empiris paa level resolusi tertii ea fusi Meia Deviasi Absolut (MAD), yaitu meia ˆ J, meia ˆ J, σˆ.,6745 Beberapa cara utu meetua ilai threshol λ optimal paa fusi threshol (shriae), yaitu:. Threshol Uiversal Threshol uiversal itetua ea memilih satu ilai threshol λ utu seluruh level resolusi, a iefiisia ea λ lo ea aalah bayaya observasi [].. Threshol wp Threshol wp itetua ea memilih satu ilai threshol λ utu seluruh level resolusi, a λ lo(. lo()) iefiisia ea aalah bayaya observasi []. 3. Threshol Miimax Nilai-ilai threshol miimax itetua berasara uura sampel, a suah itabela meurut referesi [4], yaitu: Tabel. Nilai threshol miimax berasara uura sampel λ λ ,,7,474,669, ,74,3,44,594,773,95 3,3 3,3 Nilai-ilai threshol miimax selalu lebih ecil ibaia ea ilai threshol uiversal utu uura sampel ya sama. 4. Threshol Aapt Threshol aapt aalah ilai threshol ya itetua berasara paa level resolusi. Pemiliha threshol ii iasara paa prisip utu memiimala Stei Ubiase Ris stimator (SUR) paa suatu level resolusi. Threshol aapt utu himpua oefisie etail ya beraotaa oefisie λ armi SUR,t iefiisia sebaai ea SUR, t mi t, /, Threshol aapt aa memberia hasil ya ura bai ia oefisie-oefisieya saat ara (sebaia besar oefisie paa level tersebut meeati ol). Oleh area itu, himpua oefisie ii iui ea persamaa beriut: σ, lo 3 Jia persamaa tersebut terpeuhi maa threshol ya iuaa paa level resolusi aalah threshol uiversal, seaa ia tia maa threshol aaptlah ya iuaa []., t t 73

5 5. Threshol Top Nilai threshol ii itetua ea meetua besarya prosetase oefisie ya aa iuaa ari eseluruha oefisie wavelet alam mereostrusi fusi sehia apat itetua berapa prose oefisie wavelet ya aa iuaa utu meestimasi suatu fusi. Besar threshol aalah mi ari besar oefisie wavelet ya iuaa. 6. Threshol ea ui hipotesa multipel Peetua parameter threshol optimal ea proseur ui hipotesa meui apaah oefisieoefisie wavelet siifia atau tia []. Jia alam ui hipotesa meyimpula bahwa oefisie wavelet siifia maa oefisie ii aa ipertahaa alam mereostrusi fusi, tetapi ia alam ui hipotesa oefisie wavelet memutusa sama ea ol maa oefisie ii aa iabaia. Hipotesa ya aa iui (aa hipotesa yaitu sebaya oefisie etil ) aalah : Ho : = (oefisie wavelet tia siifia) H : (oefisie wavelet siifia ) area ˆ beristribusi N,, /,, ea meuaa tiat siifiasi α, proseur peuia tual Ho : = melawa H :, utu sembara a ya telah itetapa, aa meola H o ˆ, ia statisti ui z /. Jai threshol optimal ea proseur ui hipotesa multipel aalah ilai / terecil ˆ ya memehuhi ˆ, z / /. Dea ui multipel ii iperiraa aa sebaya α oefisie, wavelet ya masu alam reostrusi fusi. Jumlah ii terlalu baya sehia mehasila fusi estimasi ya saat tia mulus. Utu meatasiya ipilih estimasi σ paa level tereah. 7. Threshol ea proseur FDR( False Discovery Rate) Berasara referesi [] a [9], proseur False Discovery Rate (FDR)) merupaa peembaa ari ui hipotesa multipel. Misala R meyataa bayaya oefisie wavelet ya tia iabaia alam proseur estimasi wavelet shriae. Berarti reostrusi fusi meuaa R oefisie wavelet. Dari R ii aa sebaya S oefisie alam reostrusi ya bear a sebaya V oefisie ya salah tetapi masu alam reostrusi. Q=V/R meyataa proporsi bayaya oefisie wavelet ya seharusya ieluara ari reostrusi. FDR ari oefisie wavelet iefiisia sebaai espetasi ari Q. Tuua proseur ii memasua oefisie wavelet sebaya mui sehia espetasi ari ilai Q i bawah ilai ya itetua (tiat siifiasi).proseur FDR utu meetua threshol optimal sbb : i. Utu setiap oefisie empiris ˆ, ihitu p-value ua sisi (p ) utu hipotesa H : =, yaitu p = (- ( ˆ / ) ) ea suatu ilai ya bereaa ea istribusi ari ˆ. ii. p iuruta yaitu p () < p () < < p (m) ea p (i) bersesuaia ea beberapa. iii. Mulai ea i =, a misala = bilaa terbesar i ya memeuhi p (i) < (i/m)q ea q merupaa tiat siifiasi biasaya q =, atau,5 maa λ optimal aalah λ = σ p / ). ( ( ) 8. Threshol ea cross valiasi (CV) Mecari threshol optimal ea metoe cross valiasi aalah mecari λ ya memiimuma MIS atara estimator wavelet threholi ĝ a fusi sebearya ea MIS( ĝ )= M(λ) = ˆ. Dalam prateya fusi sebearya tia ietahui (i sii ya aa icari ( x) x estimatorya) sehia M harus iestimasi ataalah Mˆ. Metoe cross valiasi lasi memiimuma besarya Mˆ (cross valiasi) ea meiala satu ata ya ieluara (Wa,996). Tetapi area trasformasi oefisie isrit cepat paa wavelet meuaa m ata maa metoe cross valiasi lasi tia apat lasu iterapa utu memilih parameter optimal alam estimator wavelet shriae. Metoe cross valiasi lasi emuia imoifiasi ea meeluara m-v ata (Naso,995). Tapa meurai eumuma apat iambil v= a metoeya iamaa metoe cross valiasi two-fol (cross valiasi lipata). Proseur Cross valiasi utu meetua threshol optimal ea metoe cross valiasi ua lipata sbb : i. Data semula Y, Y,,Y ea = m. m- ata beries ail ieluara a m- ata beries eap isisaa. Data beries eap ii iies ula ari =,,, m-. 74

6 ii. Fusi estimasi ies eap iies ula Y. iii. Dibetu fusi iterpolasi ari, ˆ, ˆ iv.dihitu iterpolasi ˆ,, ˆ,, / ĝ iostrusi meuaa threshol λ tertetu berasara ata ya ĝ ea,,..., / O, utu titi-titi ya berasal ies ail. v. Dihitu ilai cross valiasi berasara / ata yaitu / ˆ O M ( ), Y, Y vi. Meulai laah ii s. v utu berbaai ilai λ. vii.nilai λ ya memiuma cross valiasi (5) merupaa threshol optimal utu / ata yaitu λ(/). / lo viii. Dihitu threshol optimal utu ata ea λ () ( / ) lo. Cotoh Simulasi Diberia suatu fusi y= (si( x 3 )) 3 + ea aalah 8 bilaa raom ormal ea mea =, s =,5 a x = i/8, i=,,,8. Dilaua estimasi fusi wavelet shriae ea pemiliha threshol optimal meuaa proseur ui hipotesa, FDR, CV a threshol uiversal ya hasilya ituua paa ambaer. Paa hasil estimasi fusi, proseur ui hipotesa memberia estimasi ya pali berayu. Ii meuua bahwa baya oefisie ya masu alam reostrusi atau ea ata lai lama optimal ya iperoleh pali ecil. Seaa proseur FDR, CV, uiversal hampir memberia hasil estimasi ya meeati, amu ia iperhatia lebih cermat estimasi ea threshol uiversal terlihat pali mulus. Paa proseur FDR, CV a uiversal, lama optimal ya iperoleh masi-masi aalah,83;.54 a 3,5. Seaa paa proseur ui hipotesa iperoleh lama optimalya aalah,335. SIMPULAN Proseur ui hipotesa memberia hasil estimasi ya saat tia mulus. Ii berarti lama optimal ecil sehia terlalu baya oefisie wavelet ya masu alam reostrusi.seaa proseur threshol uiversal memberia hasil estimasi ya pali mulus. Gambar. Fusi estimasi reresi wavelet shriae ea berbaai pemiliha lama optimal 75

7 : iaram pecar : fusi estimasi : fusi sesuuhya DAFTAR PUSTAA []. Abramovich, F. a Beamii, Y.,Thresholi of Wavelet Coefficiets as Multiple Hypothesis Testi Proceure, I Wavelets a Statistics, Atoiais, A. a Oppeheim, G. (es.).sprier -Verla, New Yor, pp. 5-4, 995. []. Bruce, A. a Gao, H Y., Applie Wavelet Aalysis with S-PLUS, Sprier-Verla, New Yor, 996 [3]. Daubechies, I., Te Lectures o Wavelet, Capital City Press, Philaelpia, 99. [4]. Dooho, D.L a Johstoe, I.M., Ieal Spatial Aaptatio by Wavelet Shriae. Biometria, Vol. 8, No. 3, pp , 994. [5]. Dooho, D.L a Johstoe, I.M., Wavelet Shriae:Asymtopia? eal Spatial Aaptatio by Wavelet Shriae, J.R.Statist.Soc.B, Vol. 57, No., pp , 995. [6]. Hall, P. a Patil, P., O Wavelet Methos for stimati Smooth Fuctios, Beroulli, Vol., No./, pp. 4-58, 995. [7]. Hall, P. a Patil, P., O the Choice of Smoothi Parameter, Threshol a Trucatio i Noparametric Reressio by o-liier wavelet Methos, J.R.Statist.Soc.B, Vol.58, pp , 996. [8]. Naso, G.P, Choice of Threshol Parameter i wavelet Fuctio stimatio, I Wavelets a Statistics. Atoiais, A., a Oppeheim, G.(es.). Sprier -Verla, New Yor, pp. 6-8, 995. [9]. Oe, R.T., ssetial Wavelets for Statistical Applicatios a Data Aalysis, Birhauser, Bosto, 997. []. Suparti a Subaar, stimasi Reresi ea Metoe Wavelet Shriae, Jural Sais & Matematia, Vol. 8, No. 3,. []. Wa,Y., Fuctio stimatio Via Wavelet Shriae For Lo Memory Data, The Aals of Statistics, Vol. 4, No., pp ,