Multi Variabel Tanpa Kendala Multi Variabel dengan Kendala

Transkripsi

1 Optimasi No-iier

2 Pedahulua Suatu permasalaha optimasi disebut oliier ika fusi tuua da kedalaya mempuyai betuk oliier pada salah satu atau keduaya, cotohya adalah sebaai berikut: Metode Optimasi Aalitis Satu Variabel tapa Kedala Multi Variabel Tapa Kedala Multi Variabel dea Kedala Persamaa Multi Variabel dea Kedala Pertidak-samaa Metode Optimasi Numerik Satu Dimesi Tekik Elimiasi Tekik Pedekata

3 Satu variable tapa kedala 1 Dimisalka adalah variabel peetu da f adalah fusi tuua dari suatu masalah. Metode optimasi meyelesaika masalah: maksimalka f miimumka f atau Utuk meyelesaika permasalaha seperti tertera di atas diuaka kalkulus diferesial ya diyataka seperti di bawah ii: Misalka f adalah fusi ya meerus dalam iterval tertutup [a,b] da dapat diderivasika pada iterval terbuka a,b. i Jika f > 0 utuk seluruh dalam a,b, maka f adalah meaak pada [a,b]. ii Jika f < 0 utuk seluruh dalam a,b, maka f adalah meuru pada [a,b].

4 Satu variable tapa kedala Test derivasi pertama: Misalka f adalah fusi ya meerus dalam iterval tertutup [a,b] da dapat diderivasika pada iterval terbuka a,b kecuali muki di titik c ya berada didalam a,b. i Jika f > 0 utuk a < < c da f < 0 utuk c < < b, maka fc adalah sebuah maimum lokal dari f. ii Jika f < 0 utuk a < < c da f > 0 utuk c < < b, maka fc adalah sebuah miimum lokal dari f. iii Jika f < 0 atau f > 0 utuk setiap dalam a,b kecuali = c, maka fc BUKAN sebuah ilai ekstrim.

5 Satu variable tapa kedala 3 Test derivasi kedua: Misalka f adalah fusi ya dapat diderivasika pada iterval terbuka ya berisi titik c da f c = 0, i Jika f c < 0, maka fc adalah sebuah maimum lokal dari f. ii Jika f c > 0, maka fc adalah sebuah miimum lokal dari f.

6 Satu variable tapa kedala 4 Cotoh 1: Sebuah perusahaa cateri makaa ria ya meyediaka kosumsi utuk suatu peatara di JTE FT UMY berusaha meurai peeluara utuk keperlua pembukus. Bukus tersebut terbuat dari kertas karto seperti tampak pada Gambar di sampi. Keempat pookya aka dipoto sei empat samasisi sedemikia rupa sehia volumeya meadi maksimum.

7 Solusi

8 Ilustrasi Grafis

9 Satu variable tapa kedala 5 Dari cotoh di atas tampak bahwa dea cara aalitis kalkulus diferesial ilai ya memberika ilai f maimum dapat dicari tapa meetahui ilai dari f itu sediri. Utuk melekapi teorema optimasi oliier satu variabel ya telah dielaska di atas disaika teorema ya dapat diuaka utuk meetuka titik-titik ekstrem dari suatu fusi satu variabel. Teorema: Misalka f c = f c = = f -1 c = 0, tetapi f c 0. Maka fc adalah: i ilai miimum dari f, ika f c > 0 da adalah bilaa eap, ii ilai maimum dari f, ika f c < 0 da adalah bilaa eap, iii buka miimum da maimum ika adalah bilaa asal.

10 Satu variable tapa kedala 6 Cotoh. Tetuka maimum da miimum dari fusi di bawah ii Peyelesaia: f

11

12 Tuas UK3 Buat makalah No iier Prorami: Ma da Mi Tapa da Dea Kedala Utuk Beberapa Variabel

13 Multi variable tapa kedala 1 Cara aalitis ya diterapka pada permasalaha optimasi satu variabel dapat pula diterapka kepada permasalaha multi variabel. Secara umum tekik ya diuaka pada optimasi satu dimesi dapat diuaka dalam optimasi multi variabel. Defiisi da simbol-simbol ya diuaka: },...,, {,...,, setara dea 1,,..., utuk,...,,,...,, },...,, { dea aka ditulis sebaai,...,, 1 1 * * * * 1 * * * * 1 * 1 1 c c c f f f C X f iv f X f iii f X f ii X X f f i

14 Multi variable tapa kedala Teorema: Jika fx mempuyai sebuah titik ekstrem miimum maupu maimum pada X = X * da ika derivasi pertama dari fx mempuyai ilai pada titik X *, maka fx * = 0 PERHATIAN: Kebalikaya belum tetu bear yaitu ika fx * = 0 maka X * adalah titik ekstrem.

15 Multi variable tapa kedala 3 Teorema: Titik X * disebut titik maksimum lokal dari fx ika da haya ika: i fx * = 0 ii HX * < 0 defiit eatif dea H = matrik Hessia ya didefiisika sebaai: h H h dea H 11 1 det h h 11 1 h h 1 H adalah defiit eatif dea h h 1 h i f i ika da haya ika 1 H 0 utuk 1,,...,

16 Multi variable tapa kedala 4 Teorema: Titik X * disebut titik miimum lokal dari fx ika da haya ika: i fx * = 0 ii HX * > 0 defiit positif atau H > 0 utuk = 1,,,

17 Multi variable tapa kedala 5 Syarat Maksimum lokal Syarat Miimum lokal

18 Multi variable tapa kedala 6 Cotoh 3: Tetuka titik-titik ekstrim dari fusi: 3 3 f 1,

19 Variabel dea Kedala= Peali arae

20

21 Multi variable dea Kedala Persamaa Pada baia ii aka didiskusika tekik optimasi multi variabel dea kedala persamaa ya mempuyai betuk umum sebaai berikut: Mi/Maks Kedala dea X f X {, 1 f X 0, dea,..., disii m, ika teradi bahwa m >, maka biasaya tidak dapat diselesaika Utuk meyelesaika permasalaha optimasi di atas, diuaka metode peali arae, yaitu: X, f X m 1 } t X 1,,..., m

22 Multi variable dea Kedala Persamaa Teorema: Syarat perlu bai sebuah fusi fx dea kedala X = 0, dea = 1,,, m aar mempuyai miimum relatif pada titik X * adalah derivasi parsial pertama dari fusi araeya ya didefiisika sebaai = 1,,,, λ 1,λ,,λ terhadap setiap arumeya mempuyai ilai ol. Teorema: Syarat harus bai sebuah fusi fx aar mempuyai miimum atau maimum relatif pada titik X * adalah ika fusi kuadrat, Q, ya didefiisika sebaai Q m i1 1 i dievaluasi pada X = X * harus defiit positif atau eatif utuk setiap ilai dx ya memeuhi semua kedala. d d i

23 Multi variable dea Kedala Persamaa Syarat perlu aar meadi defiit positif atau eatif utuk setiap variasi ilai dx adalah setiap akar dari poliomial, z i, ya didapat dari determia persamaa di bawah ii harus positif atau eatif. i m i i d d Q m m m m m m m m z z z i i i i X X da,, dea * *

24

25

26 Sumber: Buku Peatar Optimasi No-iier Ir. Doko ukato, M.Sc., Ph.D.