PENERAPAN JARINGAN SYARAF TIRUAN GAO PADA PENYELESAIAN PERSOALAN VARIATIONAL INEQUALITY DENGAN FUNGSI BATASAN LINIER DAN NONLINIER

Transkripsi

1 PENERAPAN JARINGAN SYARAF TIRUAN GAO PADA PENYELESAIAN PERSOALAN VARIATIONAL INEQUALITY DENGAN FUNGSI BATASAN LINIER DAN NONLINIER Rully Soelaima, Yudhi Puwaato, Erika Purawati Fakultas Tekoloi Iformasi, Istitut Tekoloi Sepuluh Nopember, Kampus Keputih, Sukolilo, Surabaya 60, Idoesia rully@is.its.ac.id Abstrak - Makalah ii memberika alteratif peyelesaia persoala variatioal iequality dea meerapka metode jaria syaraf tirua. Selama ii beberapa aloritma tradisioal ya telah diuaka utuk meyelesaika permasalaha oliier secara umum muki bisa memberika peyelesaia terhadap permasalaha variatioal iequality. Aka tetapi beberapa aloritma tersebut tidak dapat meampilka perubaha ilai peyelesaia dari ilai iisial hia kovere ke titik kesetimbaa da kestabila secara asimtotik. Metode jaria syaraf tirua ya diimplemetasika pada peelitia ii meujukka koveresi lobal terhadap satu ilai optimal dari suatu persoala dalam waktu tertetu, stabil secara asimtotik da memiliki struktur ya lebih sederhaa serta tikat kompleksitas ya lebih redah dalam peimplemetasiaya dibadika dea jaria saraf tirua laiya. Dea meabuka metode jaria syaraf tirua tersebut da metode Rue-Kutta aka dapat diperoleh perubaha ilai peyelesaia dari titik iisial hia titik kesetimbaa secara lebih akurat. Uji coba dilakuka utuk membuktika kemampua metode ii dalam meyelesaika permasalaha.uji coba dilakuka dea meuaka cotoh persoala variatioal iequality. Berdasarka hasil uji coba didapatka bahwa rafik trayektori ya dihasilka dari beberapa ilai iisial ya berbeda-beda kovere terhadap satu titik kesetimbaa di maa ilaiya setara dea peyelesaia secara aalitik. Kata kuci jaria syaraf tirua, variatioal iequality, batasa liear da oliier PENDAHULUAN Dalam bayak aplikasi variatioal iequality ya memiliki batasa liier maupu oliier diharapka mampu mehasilka solusi ya realtime o-lie pada komputer. Namu selama ii aloritma tradisioal ya diuaka utuk meyelesaika permasalaha variatioal iequality tidak sesuai dalam implemetasi ya diharapka. Permasalaha variatioal iequality dea pembatas liear da oliier mempuyai betuk dasar sebaai berikut : T (VI(F, Ω )) ( u u) F( u) 0, u Ω () F merupaka pemetaa ya terus meerus dari R sampai R. dimaa : T u = u, u,..., u ) R ( { u R ( u) 0 Du = d} Ω =, T m (,,..., m ( u ) R ( i, m) u) = ) ( i = =,..., dapat dituruka terus meerus da kokav pada R R = himpua bilaa real dea dimesi ; R m = himpua bilaa real dea dimesi m; R p = himpua bilaa real dea dimesi p; R px = himpua bilaa real dea dimesi px; D R px = matriks D ya aota himpuaya bilaa real dimesi px da d R p Rak(D) = p (0 < p < ) Secara khusus, jika u adalah solusi dari permasalaha : mi { f u Ω} da fusi f dapat dituruka terus meerus, maka u jua merupaka solusi dari permasalaha variatioal iequality pada persamaa (.) dea F = f. Dimaa Ω telah didefiisika pada persamaa () da T f = ( f / u, f / u,..., f / u ) R adalah radie vektor dari f pada u. Dea demikia bayak permasalaha optimasi seperti pemrorama liier, pemrorama quadratik, pemroama oliier, permasalaha miimax dapat diformulasika ke dalam persamaa ().

2 METODE Metode ya diuaka dalam peyelesaia persoala variatioal iequality terdiri dari tahap yaitu : peerapa model jaria syaraf tirua Gao, peyelesaia dea metode Rue Kutta, proses meampilka ilai perhitua. Model Jaria Syaraf Tirua Gao Didasarka pada kodisi solusi ya perlu da cukup, memberika alteratif model jaria syaraf tirua utuk meyelesaika permasalaha variatioal iequality dea batasa liier maupu oliier. Jaria saraf tirua Gao [] ya diuaka memiliki pemetaa asimetris da pemetaa radie ya stabil serta kovere meuju solusi ya optimal. Metode ya ditawarka ii memiliki struktur ya lebih sederhaa da tikat kompleksitas ya lebih redah. Sehia metode ii dapat diuaka utuk meyelesaika permasalaha kelas optimasi ya luas, serta memiliki potesi aplikasi ya besar. Formulasi dari jaria syaraf tirua Gao : u dz d = λ = κg( z) dt dt µ T ~ T F ( ' ) λ D ( µ Du d) ~ = κ λ λ () Du d dimaa : κ > 0 ~ = kostata skala λ = [ λ ] T m λ = ( λ, λ,..., λm ) R da λ i = max{ 0, λ i } tuk i =,,..., m. Setelah formula dari jaria syaraf tirua Gao diuaka maka permasalaha variatioal iequality tersebut dapat diselesaika dea meuaka metode Rue Kutta. a) Skeario I Skeario I dilakuka utuk membuktika tercapaiya ilai ya kovere da stabil pada titik optimal ya ditujukka pada percobaa da percobaa. Percobaa Permasalaha variatioal iequality VI ( F,Ω) dea batasa oliier : F( u) = ( u u 0.00u 8,u u 0.00u 6, dimaa Ω = u u 0.005u ) T { R 0}, = ( u u u, u u ) T u u ' = da D = 0, d = 0 ; u 0 Persoala ii memiliki solusi optimal pada u R da λ R dimaa hasil keluaraya stabil secara asimtotik pada ( u,λ ). Adapu solusi optimal ya diperoleh dari peyelesaia secara aalitis : u =.080,0.8680, λ = ( ) T (.068,.500) T Gambar Grafik trayektori utuk percobaa HASIL UJI COBA Uji coba dilakuka pada sebuah PC dea prosesor Itel Petium CPU.00 GHz, memori 5 MB RAM. Sistem operasi ya diuaka adalah Microsoft Widows XP Professioal. Bahasa komputasi ya diuaka utuk implemetasi metode RPS adalah Matlab.0. Terdapat jeis skeario dalam uji coba, yaitu skeario I ya ditujukka pada percobaa da percobaa da skeario II ya ditujukka pada percobaa da percobaa. -z Gambar Grafik trayektori jarak atara solusi aalitis da ilai perhitua utuk percobaa Sedaka ilai ya diperoleh dari perhitua adalah sebaai berikut :

3 u u u = λ λ Dari dua ilai diatas diketahui jarak atara solusi dea peyelesaia aalitis dea ilai ya diperoleh dari perhitua adalah medekati ol yaitu , sehia dapat dikataka bahwa ilai u, u, u da λ,λ merupaka ilai optimal utuk persoala ii. Perubaha ilai peyelesaia pada persoala bisa dilihat pada Gambar da jarak ilai perhitua terhadap solusi dea peyelesaia aalitis pada Gambar. Percobaa Permasalaha optimasi oliier : u, u da λ, λ, λ λ u, u, u, u5, u6,, merupaka ilai optimal utuk cotoh perrmasalaha di atas. Perubaha ilai peyelesaia pada persoala ii bisa dilihat pada Gambar da jarak ilai perhitua terhadap solusi dea peyelesaia aalitis pada Gambar. Gambar Grafik trayektori utuk percobaa mi ( ) ( ) ( ) ( ) f u = u u such that u = u 0 5 u u 0u u 6 5 u6 u u6u 0u6 8 ( ) u u u 5u5 0 = u u 0u u u5 8 0 = u u 6u 6 8u 96 0 = u u u u u 5u u 0 6 -z Persoala ii memiliki solusi optimal u R da λ R. Adapu solusi optimal tersebut adalah : u = (.0,.95, 0.5,.66, 0.65,.08,. 59) T λ = (.96899,0,0,0.686) T Nilai ya diperoleh dari perhitua adalah : u u u u u u = u λ λ 0 λ 0 λ Nilai jarak atara solusi dea peyelesaia aalitis dea ilai ya diperoleh dari perhitua adalah medekati ol yaitu , sehia ilai Gambar Grafik trayektori jarak atara solusi aalitis da ilai perhitua utuk percobaa b) Skeario II Skeario II dilakuka utuk membuktika kemampua dari jaria syaraf tirua Gao dalam meyelesaika permasalaha variatioal iequality dea membadikaya dea jaria syaraf tirua Friesz ya ditujukka pada percobaa da percobaa. Adapu model jaria syaraf tirua Friesz utuk permasalaha sistem diamis proyeksi secara lobal seperti dibawah ii : d dt u F λ = κ Percobaa ( ' ) T λ D ~ λ λ Du d T µ () Permasalaha variatioal iequality F,Ω dea batasa liier da oliier : F u) = ( u u u, u u u, VI ( ) ( u u u ) T dimaa

4 Ω = { u R u u u, u u u = } =, u, u da D = (,, ), d = ( ) ' Persoala ii memiliki solusi optimal pada u R, λ R da µ R. Adapu solusi optimal ya diperoleh dari peyelesaia secara aalitis adalah : (,, ) T u =, λ = 0, µ = Sedaka ilai ya diperoleh dari perhitua adalah sebaai berikut : u u u = λ Nilai jarak atara solusi dea peyelesaia aalitis dea ilai ya diperoleh dari perhitua adalah medekati ol yaitu , sehia dapat dikataka bahwa ilai u, u, u, λ da µ merupaka ilai optimal utuk cotoh perrmasalaha di atas. Sedaka ilai ya diperoleh dari perhitua dea meuaka model jaria syaraf tirua Friesz ii adalah : u u u = λ Jika dibadika dea perhitua meuaka model jaria syaraf tirua Gao, maka diperoleh jarak ya lebih besar atara solusi dari peyelesaia aalitis dea ilai ya diperoleh dari perhitua yaitu , sehia dapat dikataka bahwa ilai ya diperoleh dari perhitua ya meuaka model jaria syaraf tirua Friesz tersebut, u, u, u, λ da µ masih belum bisa mecapai ilai optimal utuk cotoh permasalaha di atas. Peyelesaia persoala ke- dea meuaka model jaria syaraf tirua Friesz dapat dilihat pada Gambar da jarakya terhadap secara aalitis pada Gambar 8 Gambar 5 Grafik trayektori utuk percobaa Gambar Grafik trayektori jaria syaraf tirua Friesz utuk percobaa -z -z Gambar 6 Grafik trayektori jarak atara solusi aalitis da ilai perhitua utuk percobaa Perubaha ilai peyelesaia pada persoala ke- bisa dilihat pada Gambar 5 da jarak ilai perhitua terhadap solusi dea peyelesaia aalitis pada Gambar 6. Gambar 8 Grafik trayektori jarak atara solusi aalitis da ilai perhitua jaria syaraf tirua Friesz utuk percobaa Percobaa Permasalaha optimasi oliier :

5 mi ( ) = ( f u ui u i ) i= such that u i ui,ui ui =, i =,,..., dimaa : u = u u,u u,...,u u ( ) ( ) T f T = ( u u, u u,..., u u ) R = (,...,0, u,,0,..., 0) T utuk i 0 i i =,,..., 0 0 L D L = M M M M O M M L d = (,,..., ) R Persoala pada permasalaha ke- ii memiliki solusi optimal u R, λ R da µ R dimaa hasil keluaraya kovere meuju ( u, λ, µ ). Adapu solusi optimal tersebut adalah : u = (.,0.6,...,.,0. 6) T, λ = ( 0) T, µ = ( 0) T utuk i =,,..., Utuk membadika ilai optimal, maka percobaa dilakuka dua kali utuk meyelesaika pesoala ke- dea masi-masi jumlah sebayak 00 da 600. Utuk ilai ya diperoleh dari perhitua dea = 00 adalah : u M M u λ = M M λ µ M M da ilai dari perhitua dea = 600 adalah : u M M u λ = M M λ µ M M Dari ilai diatas diketahui jarak atara solusi peyelesaia aalitis terhadap ilai ya diperoleh dari perhitua dea = 00 da = 600 adalah medekati ol yaitu da , sehia dapat dikataka bahwa ilai u, i λ i da µ i merupaka ilai optimal utuk i =,,..., pada cotoh di atas. Perubaha ilai peyelesaia pada persoala ke- dea = 00 da =600 bisa dilihat pada Gambar 9 da Gambar 0. Gambar 9 Grafik trayektori dea =00 utuk percobaa Gambar 0 Grafik trayektori dea =600 utuk percobaa

6 utuk rafik jarak ilai perhitua terhadap solusi dea peyelesaia aalitis pada Gambar da Gambar. -z -z Gambar Grafik trayektori selisih atara solusi aalitis da ilai perhitua dea =00 utuk percobaa Gambar Grafik trayektori selisih atara solusi aalitis da ilai perhitua dea =600 utuk percobaa SIMPULAN Setelah dilakuka uji coba da aalisis terhadap perakat luak ya dibuat, maka dapat diambil simpula sebaai berikut:. Jaria syaraf tirua Gao dapat mejadi salah satu alteratif dalam meyelesaika permasalaha variatioal iequality dea batasa liear da oliier.. Persoala ya aka diselesaika harus memiliki solusi da memeuhi kodisi Slater. Apabila persoala tidak memiliki solusi da memeuhi kodisi Slater maka model jaria syaraf tirua Gao tidak dapat meyelesaika persoala tersebut.. Nilai awal atau iitial poit ya diberika pada sebara titik aka mearah ke satu ilai optimal ya kovere da stabil secara asimtotik.. Pemberia ilaiκ tidak mempearuhi ilai optimalya (aka tetap mearah ke satu titik optimal). 5. Pemberia ilai aka mempearuhi tercapaiya ilai optimal ya kovere. Semaki paja ilai ya diberika maka akurasi ya tercapai aka meikat atau tetap (mearah ke satu ilai optimal). 6. Nilai optimal ya dikeluarka oleh metode jaria syaraf tirua Gao diaap optimal jika jarak atara solusi ya dihasilka terhadap solusi aalitis adalah ol.. Jika dibadika dea metode lai, jaria syaraf tirua Gao dapat memberika ilai ya lebih kovere da stabil secara asimtotik 5 DAFTAR PUSTAKA [] Chapra, Steve C. ad Caale, Raymod P., 00, Numerical Methods for Eieers, th Editio, Mc Graw Hill. [] Whisu Murthi, Cici Aitha, Rully Soelaima, 00, Peerapa Recurret Neural Network pada Peyelesaia Persoala Noliear Covex dea Fusi Batasa Liear, Jurusa Sistem Iformasi Fakultas Tekoloi Iformasi ITS Surabaya. [] X. B. Gao, L.-Z. Liao ad L. Q Qi, November 005, A Novel Neural Network for Variatioal iequality With Liier ad Noliier Costraits, IEEE Trasactio o Neural Network, volume 6, No.6. [] T. L. Friesz, D. H Berstei, N. J. Mehta, r. L tobi, ad S. Gajlizadeh, 99, Day-to-day dyamic etwork disequilibria ad idealized traveller iformatio systems, Oper. Res.,vol., pp.0-6. [5] Naurey, Aa, 00, Variatioal Iequalities, Iseber School of Maaemet Uiversity of Massachusetts Amherst, MA 000.