B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)"

Transkripsi

1 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat Negatif Nol Bilangan Bulat Positif 1.2 BILANGAN BULAT Himpunan yang pertama-tama kita kenal adalah himpunan bilangan bulat positif (himpunan bilangan asli/bilangan alam). Yaitu 1, 2, 3, 4,..Pada bilangan asli kita dapat lakukan operasi-operasi dasar yaitu penjumlahan dan perkalian. Matematika Dasar Modul 1 / Bilangan 1

2 Jika a dan b bilangan asli, maka ada suatu bilangan asli yang ditulis sebagai a + b yang merupakan jumlah dari a dan b. Juga ada suatu bilangan asli a x b (atau ditulis sebagai a.b atau ab yang merupakan hasil kali dari a dan b. Sifat-sifat bilangan asli N : (1) Sifat tertutup : N dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian, karena jumlah hasil kali dari setiap 2 bilangan asli merupakan bilangan asli pula, ditulis untuk setiap n1, n2 N (n1 + n2) N dan (n1.n2) N. (2) Sifat komutatif : Untuk setiap n1, n2 N berlaku n1 + n2 = n2 + n1 dan n1n2 = n2n1 (komutatif penjumlahan dan komutatif perkalian) (3) Sifat assosiatif : Untuk setiap n1, n2, n3 N, berlaku (n1 + n2) + n3 = n1 + ( n2 + n3 ) dan (n1n2) n3 = n1 (n2n3) (4) Sifat Modulus : Untuk setiap bilangan asli n N berlaku n + 0 = 0 + n = n dan n x 1 = 1 x n = n (5) Sifat Distributif : Untuk setiap n1, n2, n3 N berlaku : (n1 + n2) n3 = n1n3 + n2n3 n1 (n2 + n3) = n1n2 +n1n3 Catatan : Gabungan dari hmpunan bilangan asli N dan bilangan nol, yaitu N {0} = {0, 1, 2, 3, } di sebut himpunan bilangan cacah. Sebuah bilangan x disebut negatif dari bilangan asli a, apabila berlaku a + x = x + a = o ditulis x = -a. Himpunan dari semua bilangan negatif di atas, disebut himpunan bilnagn bulat negatif atau {x x + n = n + x = 0, n N }. I = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,.} disebut himpunan bilangan bulat (integer). Semua sifat (1) s/d (5) berlaku untuk I Matematika Dasar Modul 1 / Bilangan 2

3 Jika a,b, c adalah bilangan bulat, serta berlaku ab = c maka adan b diseebut faktor-faktor (pembagi-pembagi) dari c, sedangkan c disebut kelipatan dari a dan dari b. Suatu bilangan a disebut genap, bila salah satu faktor dari a adalah bilangan 2, atau {2x x I}. Bilangan yang bukan genap disebut bilangan ganjil = {2x + 1 x I}. Suatu bilangan bulat positif disebut prima apabila bilangan itu bukan bilangan 1 (satu), serta bukan bilangan majemuk. Atau dengan perkataan lain : Suatu bilangan asli kecuali 1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri BILANGAN PECAHAN DAN BILANGAN-BILANGAN LAINNYA a 0 bilangan bulat, maka terdapat suatu bilangan 1/a, sedemikian sehingga a. 1/a = 1. Bilangan 1/a disebut kebalikan (invers) dari a, ditulis juga 1/a = a -1. Operasi pembagian. Jika a dan b bilangan bulat, b 0 maka terdapat sebuah bilangan a / b = a.1/b yang disebut hasil bagi dari a oleh b.a disebut pembilang, b disebut penyebut. Kalau a/b bukan suatu bilangan bulat, maka ia disebut bilangan pecahan. 2 Sebagai akibat operasi perkalian, kita dapatkan operasi perpangkatan dan pengakaran. Bilangan x disebut pangkat n dari bilangan a, bila berlaku x = a a a a ditulis juga x = a n Matematika Dasar Modul 1 / Bilangan 3

4 Bilangan x disebut juga bilangan akar n dari bilangan a bila berlaku a = x x x x atau a = x n 2 Bilangan pecahan dapat ditulis desimal, Uraian deesimalnya selalu berakhir atau berulang. Misalnya : ½ = 0,5 (artinya ½ = 0 + 5/10). 21/50 = 0,42 (artinya 21/50 = 0 + 4/10 + 2/100) 2/7 = 0, (angka berulang). 2 Gabungan himpunan bilangan bulat dan himpunan bilangan pecahan disebut himpunan bilangan rasional Q. Kita dapat mendefinisikan bilangan rasional sebagai bilangan yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Bilangan Irrasional (nonrasional) adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari 2 buah bilangan bulat, atau uraian deesimalnya tidak pernah berulang. Contoh : (2) 1/2 = 1,4142. π = 3, e = 2,7182..(Bilangan Euler yang merupakan bilangan pokok logaritma natural) Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut himpunan bilangan nyata (riil) R, atau R #. Bilangan yang mengandung satuan khayal i disebut bilangan khayal (imajiner), dimana i = (-1) 1/2 (satuan khayal i.i = i 2 = -1). Bentuk umumnya ai, a, R #. Misalnya : 54i, -2i, i(2) 1/2 dan lain-lain BILANGAN NYATA (RIIL) Gabungan himpunan bilangan rasional dengan bilangan irrasional disebut bilangan nyata (riil) R. Bilangan yang mengandung faktor satuan khayal i disebut bilangan khayal (Imajiner), dimana i = (-1 (satuan khayal, i*i = i2 = - 1). Misalnya 54i, -2i, i(2), dan lain-lain. Matematika Dasar Modul 1 / Bilangan 4

5 Titik-titik di sebelah kanan 0 menyatakan bilangan positif, disebelah kiri o menyatakan bilangan negatif. Tentukan satuannya (unit). Garis tersebut disebut garis bilangan riil. 1.6 PERTIDAKSAMAAN a bilangan Riil, a > 0 ( a positif a < 0 ( a negatif. ( ) : jika dan hanya jika, artinya berlaku baik dibaca dari arah kiri maupun kanan ; jadi bila dibaca : jika a > 0 maka a positif, dan bila a positif berarti a > 0). Kemudian apabila a dan b bilangan riil maka: a > b a b > 0 a < b a b < 0 a > b b < a Pada garis bilangan a > b maka a terletak disebelah kanan b. Notasi : a b, artinya a lebih kecil atau sama dengan b. Sifat-sifat : (1) Jika a, b R, maka salah satu dari pernyataan ini benar : (i) a > b (ii) a < b (iii) a = b (2) Jika a > 0 dan b > 0, maka a + b > 0 ab > 0 (3) Sifat transitif : Bila a < b dan b < c maka a < c atau bila a > b dan b > c maka a > c (4) Jika a > b dan c bilangan riil sebarang, maka a + b > b+ c. (5) Jika a < b dan c < d maka a + c < b + d. (6) a > 0 jika dan hanya jika (-a) < 0 a < 0 jika dan hanya jika (-a) > 0 (7) Jika a > 0 dan b < 0 maka ab < 0 Matematika Dasar Modul 1 / Bilangan 5

6 a < 0 dan b < 0 maka ab > 0 a > 0 dan b > 0 maka ab > 0 (8) Jika a > b dan c > 0 maka ac > bc Jika a > b dan c < 0 maka ac < bc Contoh : Selesaikan pertidaksamaan x 2 5x 24 0 Jawab : Harga nol dari x 2 5x 24 = 0 adalah x 1 = 8, x 2 = -3 Sebut x 2 5x 24 = y y 0 untuk 3 x 8 y 0 untuk x -3 atau x 8 Jadi jawab pertidaksamaan adalah nilai-nilai yang memenuhi 3 x 8 atau dapat ditulis sebagai himpunan (x 3 x 8 ). Interval (selang) : Bilangan a dan b adalah bilangan Riil dan a < maka himpunan bagian dari R #. A1 = { x a < x < b } Interval buka. A2 = { x a x < b } Interval tutup-buka. A3 = { x a x b } Interval tutup. A4 = { x a < x b } Interval buka-tutup Interval-interval tak hingga A = { x x < a } = { x -~ < x < a } = ( -~, a ) B = { x x > a } = { x a < x < ~ } = (a, +~ ) C = { x x a } = { x -~ < x a } = ( -~, a ) D = { x x a } = { x a x < ~ } = (a, +~ ) Matematika Dasar Modul 1 / Bilangan 6

7 E = { x x R # } = { x -~ < x < +~ } = (-~, +~ ) Dimana a suatu bilangan Riil, A, B, C, D dan E disebut interval tak hingga. Operasi pada interval : Diketahui A = [-3, 1] dan B = [-1, 2] Maka A B = [ -3, 2 ], A B = [-1, 1 ], A B = [-3, -1] 1.7. HARGA MUTLAK Harga mutlak (absolut) dari suatu bilangan Riil didefinisikan sebagai : bila a 0 a = -a bila a < 0 Misalnya : 3 = 3, karena = - (-2) = 2 karena 2 < = -( 3-2) = 2-3, karena ( 3-2) < 0 Sifat-sifat harga mutlak : Jika a, b R #, maka : (1) a 0; (2) -a = a ; (3) a2 = a ; (4) a < b jika dan hanya jika b < a < b, dimana b > 0; (5) a > b jika dan hanya jika a < -b atau a > b; (6) a ± b = b ± a ; (7) a b = a b ; (8) a/b = a dimana b 0 b (9) (a + b) a - b ; (10) a + b a + b ; (11) a b a - b ; (12) a b a + b ; Matematika Dasar Modul 1 / Bilangan 7

8 Contoh : 2x + 3 < 7 Berarti : -7 < 2x + 3 < 7-10 < 2x < 4-5 < x < 2 LATIHAN SOAL-SOAL & PEMECAHANNYA : 1. Nyatakan a = 0, (371 berulang) sebagai hasil bagi 2 bilangan bulat, yang mana berarti a merupakan bilangan rasional. Jawab : Penyelesaian : 1000 a = 371, a = 0, a = 371,0 Berarti a = 371 / Buktikan bahwa bukan bilangan rasional. Jawab : Penyelesaian : Jika x = maka x 2 5 = 2 6 ; dikuadratkan : x 4-10x = 0 Kalau mempunyai akar rasional haruslah ± 1. Kalau diperiksa ternyata bukan akar. Jadi tidak punya akar rasional, yang mana berarti tidak rasional. 3. Bila a 0, b 0, buktikan ½ (a + b) a b Jawab : Penyelesaian : ( a - b) 2 0, (bentuk kuadrat selalu positif) atau : a 2 a b + b 0 a + b 2 a b (terbukti) Matematika Dasar Modul 1 / Bilangan 8

Himpunan dari Bilangan-Bilangan

Himpunan dari Bilangan-Bilangan Program Studi Pendidikan Matematika STKIP YPM Bangko October 22, 2014 1 Khususnya dalam analisis, maka yang teristimewa penting adalah himpunan dari bilangan-bilangan riil, yang dinyatakan dengan R. Himpunan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN BULAT

SISTEM BILANGAN BULAT SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil

Lebih terperinci

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b

Perhatikan skema sistem bilangan berikut. Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan pecahan adalah bilangan yang berbentuk a b 2 SISTEM BILANGAN Perhatikan skema sistem bilangan berikut Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan bulat adalah bilangan yang

Lebih terperinci

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS

BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 03 Oktober 2016

SISTEM BILANGAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 03 Oktober 2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER SISTEM BILANGAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 03 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember SISTEM BILANGAN 1 Sistem Bilangan

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN. Sistem bilangan,bilangan nyata dan khayal,hubungan perbandingan antar bilangan. Triwahyono SE.MM. Modul ke: Fakultas EKONOMI

SISTEM BILANGAN. Sistem bilangan,bilangan nyata dan khayal,hubungan perbandingan antar bilangan. Triwahyono SE.MM. Modul ke: Fakultas EKONOMI SISTEM BILANGAN Modul ke: Sistem bilangan,bilangan nyata dan khayal,hubungan perbandingan antar bilangan. Fakultas EKONOMI Triwahyono SE.MM. Program Studi MANAJEMEN www.mercubuana.ac.id Sistem Bilangan

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit

BAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit BAB I BILANGAN Skema Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Asli

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi

MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN. Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi MATEMATIKA EKONOMI 1 HIMPUNAN BILANGAN Dosen : Fitri Yulianti, SP. MSi Skema Himpunan Kompleks Real Rasional Bulat Cacah Asli Genap Ganjil Prima Komposit Nol Bulat Negatif Pecahan Irasional Imajiner Pengertian

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA

matematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan

Lebih terperinci

Modul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Modul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT

MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Pengertian HIMPUNAN Himpunan adalah suatu kumpulan dari sejumlah obyek. Sedangkan obyek yang ada didalamnya disebut anggota/elemen/unsur. Benda-benda yang berada di sekitar

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional

SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sistem Bilangan Real. Terlebih dahulu perhatikan diagram berikut: Bilangan. Bilangan Rasional. Bilangan Irasional SISTEM BILANGAN REAL Sebelum membahas tentag konsep sistem bilangan real, terlebih dahulu ingat kembali tentang konsep himpunan. Konsep dasar dalam matematika adalah berkaitan dengan himpunan atau kelas

Lebih terperinci

Materi Ke_2 (dua) Himpunan

Materi Ke_2 (dua) Himpunan Materi Ke_2 (dua) Himpunan 12-10-2013 OPERASI HIMPUNAN Gabungan (union), notasi U : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H

MATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan huruf R (Negoro dan II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Sistem Bilangan Riil Definisi Bilangan Riil Gabungan himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional disebut bilangan riil. Bilangan riil biasanya dilambangkan dengan

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan

Lebih terperinci

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan

Sistem Bilangan Riil. Pendahuluan Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL

BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL BAHAN AJAR MATEMATIKA WAJIB KELAS X MATERI POKOK: PERTIDAKSAMAAN RASIONAL DAN IRASIONAL A. Pertidaksamaan Rasional Pada sistem bilangan, terdapat dua jenis bilangan yaitu bilangan real dan imajiner. Jika

Lebih terperinci

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK

INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK INTERVAL, PERTIDAKSAMAAN, DAN NILAI MUTLAK Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 19 Topik Bahasan 1 Sistem Bilangan Real 2 Interval 3

Lebih terperinci

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR

BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktorfaktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian

Lebih terperinci

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN

BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN BAB I BILANGAN BULAT dan BILANGAN PECAHAN A. Bilangan Bulat I. Pengertian Bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif atau bilangan asli, bilangan nol dan bilangan bulat negatif. Bilangan bulat

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan

Sistem Bilangan Real. Pendahuluan Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga

Lebih terperinci

BILANGAN. Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit. Bilangan Asli

BILANGAN. Bilangan Satu Bilangan Prima Bilangan Komposit. Bilangan Asli BILANGAN A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya pola dalam suatu bilangan,

Lebih terperinci

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan

KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan

Lebih terperinci

a 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2

a 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2 Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.

Lebih terperinci

Modul ke: Matematika Ekonomi. Himpunan dan Bilangan. Bahan Ajar dan E-learning

Modul ke: Matematika Ekonomi. Himpunan dan Bilangan. Bahan Ajar dan E-learning Modul ke: 01 Pusat Matematika Ekonomi Himpunan dan Bilangan Bahan Ajar dan E-learning MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM. 08159122650 mafiz_69@yahoo.com Selamat Datang di Perkuliahan MATEMATIKA EKONOMI 2 BUKU

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum

Lebih terperinci

BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT

BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT BILANGAN DAN KETERBAGIAN BILANGAN BULAT A. Sistem Bilangan Dalam matematika mempelajari urutan dan keberaturan di antara bilangan-bilangan merupakan suatu bagian yang sangat fundamental. Dengan ditemukannya

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Ri l

Sistem Bilangan Ri l Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π

Lebih terperinci

Bagian 1 Sistem Bilangan

Bagian 1 Sistem Bilangan Bagian 1 Sistem Bilangan Dalam bagian 1 Sistem Bilangan kita akan mempelajari berbagai jenis bilangan, pemakaian tanda persamaan dan pertidaksamaan, menggambarkan himpunan penyelesaian pada selang bilangan,

Lebih terperinci

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa

03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa 0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :

Lebih terperinci

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai

Lebih terperinci

1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional

1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan Bilangan Asli, Bilangan Cacah, Bilangan Bulat dan Bilangan Rasional 1.1 SISTEM BILANGAN Sistem bilangan adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya. Himpunan bilangan yang teristimewa dan penting adalah himpunan bilangan real. Tetapi apakah bilangan real

Lebih terperinci

Berbagai Macam Bilangan

Berbagai Macam Bilangan Berbagai Macam Bilangan Dalam matematika kita mengenal adanya berbagai macam jenis bilangan. Ada beberapa macam himpunan bilangan yang dikenal seperti bilangan bulat (integer), bilangan riil (real / floating

Lebih terperinci

LOGIKA MATEMATIKA. Dosen: Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika

LOGIKA MATEMATIKA. Dosen: Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika Modul ke: 01Fakultas FASILKOM LOGIKA MATEMATIKA Dosen: Program Studi Teknik Informatika Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Template Modul Himpunan 1 Tentang Abstrak Modul ini membahas pengertian himpunan, notasi-notasi,

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI

SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI SISTEM BILANGAN RIIL DAN FUNGSI Matematika Juni 2016 Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 1 / 67 Outline 1 Sistem Bilangan Riil Dosen : Dadang Amir Hamzah MATEMATIKA Juni 2016 2 / 67 Outline

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN RASIONAL. Tujuan Pembelajaran

PERTIDAKSAMAAN RASIONAL. Tujuan Pembelajaran Kurikulum 1 Kelas matematika PEMINATAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan rasional..

Lebih terperinci

BAB V. PERTIDAKSAMAAN

BAB V. PERTIDAKSAMAAN BAB V. PERTIDAKSAMAAN Pengertian: Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka dimana ruas kiri dan kanannya dihubungkan dengan tanda pertidaksamaan > (lebih dari), < (kurang dari), (lebih besar dari dan sama

Lebih terperinci

MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA

MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA MODUL 11 FUNGSI EKSPONENSIAL & LOGARITMA 11.1. Ketentuan dan Sifat-Sifat KETENTUAN a P = a. a. a. a................. sampai p faktor (a dinamakan bilangan pokok, p dinamakan pangkat atau eksponen) SIFAT-SIFAT

Lebih terperinci

BILANGAN BULAT. Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah.

BILANGAN BULAT. Operasi perkalian juga bersifat tertutup pada bilangan Asli dan bilangan Cacah. BILANGAN BULAT 1. Bilangan Asli (Natural Number) Bilangan Asli berkaitan dengan hasil membilang, urutan, ranking. Bilangan Cacah berkaitan dengan banyaknya anggota suatu himpunan. Definisi penjumlahan:

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian

Lebih terperinci

PERTIDAKSAMAAN

PERTIDAKSAMAAN PERTIDAKSAMAAN A. Pengertian 1. Notasi Pertidaksamaan Misalnya ada dua bilangan riil a dan b. Ada beberapa notasi yang bisa dibuat yaitu: a. a dikatakan kurang dari b, ditulis a b jika dan hanya jika a

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan

Himpunan dan Sistem Bilangan Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat H PENDAHULUAN impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami

Lebih terperinci

Identitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.

Identitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian. Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real. dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan A ditulis ;

II. TINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real. dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan A ditulis ; 4 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat, Bilangan Rasional, dan Bilangan Real Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital dan anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil. Sebagai contoh anggota himpunan

Lebih terperinci

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

KALKULUS 1 UNTUK MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA KALKULUS UNTUK MAHASISWA 9 CALON GURU MATEMATIKA OLEH: DADANG JUANDI, DKK PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BAB I PENDAHULUAN. Sistem Bilangan Real Dalam Uraian

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI. (Minggu ke-5 dan 6)

RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI. (Minggu ke-5 dan 6) RUMUS-RUMUS TAUTOLOGI (Minggu ke-5 dan 6) 1 1 Rumus-rumus tautologi Rumus 1.1 (Komutatif) 1. p q q p 2. p q q p Bukti: p q p q q p T T T T T F F F F T F F F F F F 2 Rumus 1.2 (Distributif) 1. p (q r) (p

Lebih terperinci

Sifat 1 Untuksebarang bilangan rasional a tak nol dan sebarang bilangan bulat m dan n, berlaku a m. a m = a m + n

Sifat 1 Untuksebarang bilangan rasional a tak nol dan sebarang bilangan bulat m dan n, berlaku a m. a m = a m + n Bilangan Berpangkat Kita ingat kembali bahwa untuk bilangan-bilangan cacah a, m, dan n dengan a 0, berlaku: 1 a m = a a a a (sebanyak m faktor) a m a n = a m + n a 0 = 1, di mana a 0 Notasi-notasi di atas

Lebih terperinci

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II

MAT 602 DASAR MATEMATIKA II MAT 60 DASAR MATEMATIKA II Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes 1 HIMPUNAN 1. Notasi Himpunan. Relasi Himpunan 3. Operasi Himpunan A B : A B

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs

Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs Arief Ikhwan Wicaksono, S.Kom, M.Cs ariefikhwanwicaksono@gmail.com masawik.blogspot.com @awik1212 Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika

Lebih terperinci

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN

Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah

Lebih terperinci

KATA PENGANTAR. Penulis

KATA PENGANTAR. Penulis KATA PENGANTAR Puji syukur pada Allah SWT yang telah memberikan rahmat begitu besar pada kita semua, sehingga, buku matematika SMK untuk kelas X Kelompok Penjualan dan Akuntansi Sekolah Menengah Kejuruan

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS

MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS 2 PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS REAL IMAJINER RASIONAL IRASIONAL BULAT PECAHAN BULAT NEGATIF CACAH ASLI 0 3 ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan x 2 + 4x

Lebih terperinci

Induksi 1 Matematika

Induksi 1 Matematika Induksi 1 Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh : p(n): Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2. Buktikan p(n) benar!

Lebih terperinci

HIMPUNAN. A. Pendahuluan

HIMPUNAN. A. Pendahuluan HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.

STRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan

Lebih terperinci

Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematik 1 Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh : p(n): Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n + 1)/2. Buktikan p(n) benar!

Lebih terperinci

Metode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik.

Metode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematika Metode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh: 1. Buktikan bahwa jumlah n bilangan bilangan bulat positif pertama adalah n(n

Lebih terperinci

MAKALAH KALKULUS 1. Damas Fahmi Assena NIM : DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Kalkulus

MAKALAH KALKULUS 1. Damas Fahmi Assena NIM : DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Kalkulus MAKALAH KALKULUS 1 DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Kalkulus Dosen Pengampu Bapak H. LILIK SULISTYO, Drs., M.Pd. oleh : NIM : 161240000500 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

Lebih terperinci

PENDAHULUAN KALKULUS

PENDAHULUAN KALKULUS . BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu

Lebih terperinci

BAB V BILANGAN BULAT

BAB V BILANGAN BULAT BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

Teori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:

Teori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh: Teori himpunan Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: Teori himpunan naif, dan Teori himpunan aksiomatik, yang

Lebih terperinci

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD

SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 06 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN GURU KELAS SD BAB I BILANGAN Dra.Hj.Rosdiah Salam, M.Pd. Dra. Nurfaizah, M.Hum. Drs. Latri S, S.Pd., M.Pd. Prof.Dr.H. Pattabundu, M.Ed. Widya

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Riil

Sistem Bilangan Riil Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real Q : q R a b, a, b Z, b Q Irasional Contoh Bil Irasional,, 0

Lebih terperinci

Bab1. Sistem Bilangan

Bab1. Sistem Bilangan Modul Pra Kalkulus -0. Bab. Sistim Bilangan Bab. Sistem Bilangan. Sistim Bilangan Jenis bilangan berkembang sejalan dengan perkembangan peradaban dan ilmu pengetahuan. Jenis bilangan yang pertama kali

Lebih terperinci

MATEMATIKA 3 TPP: Disusun oleh Dr. Ir. Dwiyati Pujimulyani,MP. Program Studi Teknologi Hasil Pertanian Fakultas Agroindustri

MATEMATIKA 3 TPP: Disusun oleh Dr. Ir. Dwiyati Pujimulyani,MP. Program Studi Teknologi Hasil Pertanian Fakultas Agroindustri MATEMATIKA 3 TPP: 1202 Disusun oleh Dr. Ir. Dwiyati Pujimulyani,MP Program Studi Teknologi Hasil Pertanian Fakultas Agroindustri Universitas Mercu Buana Yogyakarta 2013 BILANGAN REAL/ RIIL Sistem bilangan

Lebih terperinci

II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3

II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3 11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5

BAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5 BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama

Lebih terperinci

1. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :

1. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : BAB I BILANGAN. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan : Bulat positif (,,, 4, 5, ) Nol : 0 Bulat Negatif (,-5,-4,-,-,-) Himpunan Bilangan bulat A = {, -4,

Lebih terperinci

SRI REDJEKI KALKULUS I

SRI REDJEKI KALKULUS I SRI REDJEKI KALKULUS I KLASIFIKASI BILANGAN RIIL n Bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli : n 1, 2, 3, 4, 5,. n n Bilangan asli membentuk himpunan bagian dari klas himpunan bilangan yang lebih

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen

MATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen MATEMATIKA BISNIS Modul ke: DERET Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar 4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan

Lebih terperinci

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K. LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN

matematika WAJIB Kelas X PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL K-13 A. PENDAHULUAN K-1 Kelas X matematika WAJIB PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan linear

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan

Lebih terperinci

SOAL DAN PENYELESAIAN RING

SOAL DAN PENYELESAIAN RING SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:

Lebih terperinci

BILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.

BILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8. BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan

Lebih terperinci

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I

KED INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Materi : 7.1 Anti Turunan. 7.2 Sifat-sifat Integral Tak Tentu KALKULUS I 7 INTEGRAL JUMLAH PERTEMUAN : 2 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS: Memahami konsep dasar integral, teorema-teorema, sifat-sifat, notasi jumlah, fungsi transenden dan teknik-teknik pengintegralan. Materi

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel

Lebih terperinci

BILANGAN MODUL PERKULIAHAN

BILANGAN MODUL PERKULIAHAN MODUL PERKULIAHAN BILANGAN Sistem bilangan real Operasi pada bilangan bulat Operasi pada bilangan pecahan Sifat-sifat bilangan berpangkat Operasi bilangan berpangkat Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode

Lebih terperinci

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1

BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1 BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan

Lebih terperinci

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI

BAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN

BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN BAB II TAUTOLOGI DAN PRINSIP-PRINSIP PEMBUKTIAN 2.1 Pendahuluan Pada bab ini akan dibicarakan rumus-rumus tautologi dan prinsip-prinsip pembuktian yang tidak saja digunakan di bidang matematika, tetapi

Lebih terperinci

Topik: Tipe Bilangan dan Sistem Bilangan

Topik: Tipe Bilangan dan Sistem Bilangan Mata Kuliah: Matematika Kode: TKF 20 Topik: Tipe Bilangan dan Sistem Bilangan MAT 0 Kompetensi : Dapat menerapkan konsep-konsep tipe dan sistem bilangan dalam mempelajari konsep-konsep keteknikan pada

Lebih terperinci

Bil. Asli Bil. Bulat Bil. Cacah

Bil. Asli Bil. Bulat Bil. Cacah Bil. Asli Bil. Bulat Bil. Cacah I. Materi Ajar: Pertemuan : A. Macam-macam ilangan real. Bilangan Asli (A) Bilangan asli adalah suatu ilangan yang mula-mula dipakai untuk memilang. Bilangan asli dimulai

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma.

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMA Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : X (Sepuluh) / Ganjil Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat,

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah

Lebih terperinci