Rangkuman Suku Banyak

Transkripsi

1 Rangkuman Suku Banyak Oleh: Novi Hartini Pengertian Suku banyak Perhatikan bentuk aljabar dibawah ini i. Suku banyak xx 2 + 4xx + 9 berderajat 2, sebab pangkat tertinggi peubah x adalah 2 ii. Suku banyak 4xx 3 + xx 2 16xx + 2 berderajat 3, sebab pangkat tertinggi peubah x adalah 3 iii. Suku banyak 2xx 5 10xx 4 + 2xx 3 + 3xx xx 6 berderajat 5, sebab pangkat tertinggi peubah x adalah 5 Secara umum, fungsi suku banyak atau polinom dalam peubah x yang berderajat n secara umum dapat ditulis sebagai berikut: ff(xx) = aa nn xx nn + aa nn 1 xx nn 1 + aa nn 2 xx nn aa 1 xx + aa 0 Di mana: aa nn, aa nn 1, aa nn 2,, aa 1, aa 0 adalah bilangan-bilangan real dengan aa nn 0, aa nn adalah koefisien dari xx nn, aa nn 1 adalah koefisien dari xx nn 1, aa nn 2 adalah koefisien dari xx nn 2,..., dan seterusnya. aa 0 disebut suku tetap. nn adalah bilangan cacah yang menyatakan derajat suku banyak Suku banyak yang dibicarakan diatas adalah suku banyak univariabel karena hanya mempunyai satu variabel. Selain itu ada suatu suku banyak dengan variabel lebih dari satu yang disebut suku banyak multivariabel. i. Suku banyak xx 3 + xx 3 yy 4 + 2yy 10, merupakan suku banyak dalam dua peubah/ variabel (variabel xx dan yy) ii. Suku banyak xx 2 + yy 2 + zz 2 + 5xxxx + 5xxxx yyyy + 7, merupakan suku banyak dalam tiga peubah/ variabel (variabel xx, yy, dan zz) Nilai Suku Banyak Dengan menuliskan atau menyatakan suatu suku banyak sebagai fungsi dalam peubah xx. Maka nilai suku banyak itu dapat dengan mudah ditentukan. Secara umum, nilai suku banyak ff(xx) untuk xx = kk adalah ff(kk)

2 dengan kkadalah bilangan-bilangan real. Nilai dari ff(kk) dapat dicari dengan metode subtitusi dan metode bagan/skema. Metode Subtitusi Misalkan, ff(xx) = 5xx 4 + 3xx 3 7xx 2 2xx + 5. Nilai suku banyak ff(xx) untuk xx = 1 ditulis ff( 1). Nilai ff( 1) diperoleh dengan menyubtitusikan nilai variabel xx dalam ff(xx) dengan -1. Dengan demikian, ff( 1) = 5( 1) 4 + 3( 1) 3 7( 1) 2 2( 1) + 5 = =2 Berdasarka contoh diatas, nilai suku banyak dapat dicari dengan menggunakan metode subtitusi sebagai berikut: Nilai suku banyak ff(xx) = aa nn xx nn + aa nn 1 xx nn 1 + aa nn 2 xx nn aa 1 xx + aa 0 untuk xx = kk (kk bilangan real) detentukan oleh ff(kk) = aa nn (kk) nn + aa nn 1 (kk) nn 1 + aa nn 2 (kk) nn aa 1 (kk) + aa 0 Metode Bagan/Skema Misalkan, untuk menentukan nilai suku banyak ff(xx) = aa 3 xx 3 + aa 2 xx 2 + aa 1 xx + aa 0 dengan xx = kk, dapat dilakukan dengan cara menyederhanakan suku banyak tersebut sehingga pangkat setiap variabel xx satu (kecuali untuk aa 0 ). Dengan demikian, akan diperoleh ff(xx) = (aa 3 xx + aa 2 )xx + aa 1 xx + aa 0 Persamaan diatas dikenal sebagai persamaan bentuk bagan. Jadi, nilai suku banyak ff(xx) untuk xx = kk dapat ditulis ff(xx) = (aa 3 kk + aa 2 )kk + aa 1 kk + aa 0 Persamaan bentuk bagan tersebut dapat anda nyatakan sebagai langkahlangkah sebagai berikut: Kalikan aa 3 dengan kk, lalu tambah dengan aa 2 Kalikan hasilnya dengan kk, lalu tambah dengan aa 1 Kalikan hasilnya dengan kk, lalu tambah dengan aa 0 Berdasarkan langkah diatas, dapat dibuat bagan sebagai berikut:

3 aa 3 aa 2 aa 1 aa 0 baris 1 aa 3 kk (aa 3 kk + aa 2 )kk (aa 3 kk + aa 2 )kk + aa 1 kk baris 2 kk kk kk kk aa 3 (aa 3 kk + aa 2 ) (aa 3 kk + aa 2 )kk + aa 1 (aa 3 kk + aa 2 )kk + aa 1 kk + aa 0 baris 3 Nilai xx = kk Nilai ff(kk) Catatan: Baris 1 merupakan daftar koefisien suku-suku dengan pangkat turun dan konstanta. Jika ada suku dengan pangkat tidak ada, tetapkan nilai koefisiennya nol. Baris 3 merupakan hasil penjumlahan antara baris 1 dan 2. Nilai terakhir dari baris 3 merupakan nilai ff(kk) tanda merupakan perkalian dengan k Operasi Antar Suku banyak Penjumlahan atau pengurangan sukubanyak ff(xx) dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku dari kedua buah sukubanyak itu. Dalam menjumlahkan atau mengurangkan sukusuku kedua buah sukubanyak itu ada aturan bahwa suku-suku yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan hanyalah suku-suku sejenis. ff(xx) = xx 3 + 3xx 2 2xx + 6 dan gg(xx) = xx 2 + 4xx + 10 ff(xx) + gg(xx) = xx 3 + 4xx 2 + 2xx + 16 ff(xx) gg(xx) = xx 3 + 2xx 2 6xx 4 Sedangkan untuk perkalian sukubanyak ff(xx) dengan sukubanyak gg(xx) dapat ditentukan dengan cara mengalikan suku-suku dari kedua sukubanyak itu. Dalam mengalikan suku-suku dari kedua buah sukubanyak itu digunakan sifat distriutif perkallian, baik distributif perkalian terhadap penjumlahan maupun pengurangan.

4 ff(xx). gg(xx) = (xx 3 + 3xx 2 2xx + 6)(xx 2 + 4xx + 10) = xx 5 + 7xx xx xx 2 + 4xx + 60 Catatan: Misalkan ff(xx) ± gg(xx) adalah masing-masing merupakan sukubanyak berderajat mm dan nn, maka: o ff(xx) ± gg(xx) adalah sukubanyak berderajat maksimum mm atau nn o ff(xx). gg(xx) adalah sukubanyak berderajat (mm + nn) Kesamaan Suku Banyak Suku banyak ff(xx) dikatakan memiliki kesamaan dengan sukubanyak gg(xx), jika kedua suku bnayak itu mempunyai nilai yang sama untuk peubah xx bilangan real. Kesamaan dua suku bnayak ff(xx) dan gg(xx) itu ditulis sebagai ff(xx) gg(xx) Misal diketahui dua buah sukubanyak ff(xx) dan gg(xx) yang dinyatakan dalam bentuk umum ff(xx) = aa nn xx nn + aa nn 1 xx nn 1 + aa nn 2 xx nn aa 1 xx + aa 0 dan g(xx) = bb nn xx nn + bb nn 1 xx nn 1 + bb nn 2 xx nn bb 1 xx + bb 0 jika ff(xx) kesamaan dengan gg(xx), ditulis ff(xx) gg(xx), maka berlaku hubungan: aa nn = bb nn, aa nn 1 = bb nn 1,., aa 1 = bb 1, dddddd aa 0 = bb 0 Pembagian Suku Banyak Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa pebagian Konsep pembagian bilangan dengan metode bersusun pendek. Misalnya:

5 Hasil tersebut dapat ditulis 1.026= (146 7)+4 Bilangan yang dibagi = (pembagi hasil bagi)+sisa Algoritma pembagian suku banyak oleh (x-k) Pembagian ff(xx) = 3xx 2 8xx 2 + 7xx + 2 oleh bentuk linier (xx 2). Langkahlangkahnya dapat ditulis sebagai berikut: 3xx 2 2xx + 3 xx 2 3xx 2 8xx 2 + 7xx + 2 3xx 2 6xx 2 2xx 2 + 7xx 2xx 2 + 4xx 3xx + 2 3xx 6 8 Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi, dan sisa dapat dinyatakan dengan kesamaan berikut: 3xx 2 8xx 2 + 7xx + 2 = (xx 2)(3xx 2 2xx + 3) + 8 Polinom yang dibagi = pembagi hasil bagi + sisa Secara umum, pada pembagian sukubanyak ff(xx) oleh bentuk linier (xx kk) diperoleh hubungan berikut: ff(xx) = (xx kk) h(xx) + ss Pembagi hasil bagi sisa

6 Catatan: o o h(xx) adalah hasil bagi dan s adalah sisa derajat hasil bagi h(xx) maksimum satu lebih kecil dari pada derajat suku banyak ff(xx). Sisa s merupakan konstanta Algoritma pembagian suku banyak oleh (aaaa + bb) Contoh pembagian ff(xx) = 6xx 4 + 5xx 3 6xx oleh (2xx 1) 3xx 3 + 4xx 2 xx 1 2 (2xx 1) 6xx 4 + 5xx 3 6xx xx 4 3xx 3 8xx 3 6xx 2 8xx 3 4xx 2 2xx xx 2 + xx xx + 5 xx Hasil ini dapat dinyatakan dengan kesamaan berikut: 6xx 4 + 5xx 3 6xx = (2xx 1) 3xx 3 + 4xx 2 xx Algoritma pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat aaaa 2 + bbbb + cc dengan aa 0 pembagian 4xx 3 2xx 2 + xx 1 oleh 2xx 2 + xx + 1

7 2xx 2 2xx 2 + xx + 1 4xx 3 2xx 2 + xx 1 4xx 2 + 2xx 2 + 2xx 4xx 2 xx 1 4xx 2 2xx 2 xx + 1 Hasil pembagian dapat ditulis 4xx 3 2xx 2 + xx 1 = (2xx 2 + xx + 1 )(2xx 2) + (xx + 1)