atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) y= f(x) = a 2 x + a 0 x 2 + a 1

Transkripsi

1 i. Fungsi kuadrat - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan pemfaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan mempunyai bentuk umum : y= f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 atau y= f(x) = ax 2 + bx + c (3.17) dengan a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril. Sedangkan x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat pada persamaan 3.17 memotong sumbu x jika y =0. Sehingga persamaan 3.17 menjadi, ax 2 + bx + c = 0. Untuk menentukan titik potong persamaan kuadrat terhadap sumbu x pertama-tama kita harus menentukan akar-akarnya.

2 Pemfaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar tersebut. x+ Untuk memfaktorkan sebuah persamaan kuadrat pertama-tama kita tulis dalam bentuk, ( x 2 + b a x + c ) a Memperfaktorkan = a (x 2 + Bx + C) B = b/a dan C = c/a x 2 + b a x + berarti menuliskannya dalam bentuk, (x + m)(x+n), dimana mn = C dan m + n = B ( 3.18 ) Akar-akar dari persamaan 3.18 adalah : x 1 = -m dan x 2 = -n c a

3 Contoh 3.18 Faktorkan persamaan kuadrat : x 2 + x 6 = 0 Penyelesaian B = 1 dan C = 6 ; mn = -6 dan m + n = 1. Didapat m = -2 dan n = 3 Jadi x 2 + x 6 = (x 2)(x + 3). Sehingga akar-akarmya adalah : x 1 = 2 dan x 2 = -3 Contoh 3.19 Faktorkan persamaan kuadrat : x 2 4x 12 = 0 Penyelesaian B = 4 dan C = 12 ; mn = 12 dan m + n = 4. Didapat m = 6 dan n = 2 Jadi : x 2 + x 6 = (x 6)(x + 2). Sehingga akar-akarmya adalah : x 1 = 6 dan x 2 = 2

4 - Penyelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat. Dari penjelasan sebelumnya telah diketahui bahwa pers. kuadrat yang memotong sumbu x mempunyai bentuk umum ax 2 +bx+c = 0 dengan x bilangan ril, atau dapat ditulis dalam bentuk, a(x 2 b + x ) + c = a (x 2 + b x + ) + c = 0 a a 4a 2 4a b 2 a a(x + x ) 2 a = c (x + ) 2 = 2b 4a 2 2b 4a 2 b b 2 c 4ac 1 x + = = = b 2a 4a 2 a 2 4ac 4a 2 4a 2 2a b 2 b 2 b 2 b 2 c a

5 x = b 1 b 2 4ac = 2a 2a b b 2 4ac 2a x 1 = b + b 2 2a 4ac b b 2 4ac atau x 2 = (3.19) 2a Persamaan 3.19 adalah persamaan kuadrat. Persamaan tersebut digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Besaran b 2 4ac disebut diskriminan atau disingkat D. Contoh 3.20 Tentukan akar-akar dari persamaan x 2 + 4x - 21 = 0 dengan meng gunakan persamaan kuadrat! Penyelesaian Dari persamaan diketahui bahwa : a = 1 ; b = 4 ; c = -21

6 (1)( 21) x 1 = = = 3 2a (1)( 21) x 2 = = = 7 2a 2

7 - Grafik fungsi kuadrat Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial yang mempunyai derajad dua dan bentuknya adalah : y = ax 2 + bx + c, dimana a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril, a 0, x adalah peubah bebas dan y peubah tak bebas. Grafik persamaan kuadrat dapat membuka keatas atau kebawah tergantung dari nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan membuka keatas. Jika a<0 maka grafik akan membuka kebawah. Pada grafik persamaan kuadrat kita mengenal beberapa istilah penting yaitu :

8 i) Verteks Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari suatu parabola. Jika nilai a para persamaan kuadrat lebih kecil dari nol (negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a lebih besar dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum. Titik koordinat verteks adalah V(h,k), dimana : h = b/2a dan k = c b 2 /4a (3.20 ) ii) Sumbu simetri Sumbu simetri adalah garis yang membagi parabola menjadi dua bagian yang sama. Sumbu simetri adalah, x = h = b/2a 3.21

9 iii) Titik potong dengan sumbu x Jika diskriminan (D) = 0 maka parabola tidak memotong sumbu x tetapi verteksnya hanya menyinggung sumbu x. Jika D < 0 parabola tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x. Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu x pada x 1 dan x 2 iv) Titik potong dengan sumbu y Titik potong dengan sumbu y pada y = c Contoh 3.21 Diketahui fungsi kuadrat f(x) = x 2 + 5x -6 Tentukan verteks, sumbu simetri, ttk potong thd sumbu x dan y Penyelesaian Dari soal siketahui : a = 1, b = 5 dan c = 6

10 h = b/2a = (5/ 2) = 5/2 k = c b 2 /4a = /4 ( 1) = 6 +25/4 = 1/4 Verteks = V (h,k) = V (5/2, 1/4) Sumbu simetri x = h = 5/2 Titik potong terhadap sumbu x y = 0 x 2 + 5x 6 = ( x 3)(x 2) = 0 x 1 = 3 ; x 2 = 2 Jadi parabola memotong sum,bu x pada x = 2 dan x = 3 Titik potong terhadap sumbu y x = 0. Didapat y = 6 Jadi parabola memotong sumbu y pada y = 6 Parabola membuka ke bawah karena a < 0

11 y x = 5/2 1/4 O 2 3 x 6 Sumbu simetri Gambar 3.12

12 j. Fungsi pangkat tinggi Fungsi pangkat tinggi yang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial derajad tiga atau lebih. Untuk menentukan akarakar dan menggambarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi biasanya kita perlu untuk memaktorkan fungsi pangkat tinggi tersebut. - Pemfaktoran fungsi pangkat tinggi Misal f(x) sembarang polinomial. Selanjutnya x c dikatakan salah satu faktor dari f(x) f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu akar dari polinomial. Berikut adalah contoh pemfaktoran fungsi pangkat tinggi. Contoh 3.22 Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi y = f(x) = x 3-3x 2-10x + 24

13 Penyelesaian Pertama-tama tentukan salah satu akarnya secara trial & error Jika kita ambil x = 1, maka f(1) = =12. Karena f(1) 0, maka x = 1 bukan akar dari f(x). Jika kita ambil x = 2, maka f(2) = 2 3 3(2) 2 10(2) + 24 =0. Karena f(2) = 0, maka x = 2 adalah salah satu akar dari f(x). Sehingga (x 2) adalah salah satu faktor dari f(x). Untuk mencari faktor lainnya kita bagi f(x) dengan faktor yang sudah didapat, yaitu (x 3 3x 2 10x + 24) dibagi dengan (x 2).

14 x 2 x 3 3x 2 10x + 24

15 x 2 x 2 x 3 3x 2 10x + 24

16 x 2 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3

17 x 2 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2

18 x 2 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2

19 x 2 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24

20 x 2 x x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24

21 x 2 x x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2

22 x 2 x x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x

23 x 2 x x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x

24 x 2 x x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x 12x + 24

25 x 2 x 12 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x 12x + 24

26 x 2 x 12 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x 12x x

27 x 2 x 12 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x 12x x + 24

28 x 2 x 12 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x 12x x + 24

29 x 2 x 12 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x 12x x

30 x 2 x 12 x 2 x 3 3x 2 10x + 24 x 3 2x 2 x 2 10x + 24 x 2 + 2x 12x x Hasil bagi x 3 3x 2 10x+24 dengan x 2 adalah x 2 x 12. Berarti, x 2 x 12 adalah faktor lain dari x 3 3x 2 10x+24. Selanjutnya x 3 3x 2 10x+24 dapat ditulis dalam bentuk (x 2)(x 2 x 12). Akan tetapi faktor x 2 x 12 masih mungkin untuk diuraikan lagi karena mempunyai derajad dua.

31 Persamaan dari x 2 x 12 dapat ditulis dalam bentuk faktor, yaitu (x 4)(x+3). Sehingga secara keseluruhan persaman x 3 3x 2 10x+24 dapat ditulis dalam bentuk (x 2)(x 4)(x+3). Jadi faktor-faktor dari x 3 3x 2 10x+24 adalah (x 2), (x 4) dan (x+3). Sedangkan akar-akarnya adalah x=4, 2 dan 3. - Grafik fungsi pangkat tinggi Menggambar grafik fungsi pangkat tinggi dapat dibantu dengan bantuan tanda dari faktor-faktornya (positif atau negatif) seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. Contoh 3.23 Gambarkan grafik fungsi f(x) = x 3 x

32 Penyelesaian Faktorkan f(x) x 3 x = x(x 1)(x + 1). x : x 1 : x + 1 : x 3 x :

33 Grafik dari fungsi f(x) = x 3 x adalah y x Gambar 3.13

34 B. Fungsi pecah a. Daerah definisi (domain) Fungsi pecah adalah fungsi yang mempunyai bentuk P(x)/Q(x); P(x) dan Q(x) adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q(x) 0. Dalam bentuk formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi : P(x) f(x) =, Q(x) 0 (3.22) Q(x) Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama kita faktorkan penyebutnya. Dari faktor-faktor tersebut kita dapatkan akar-akarnya. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua bilangan ril kecuali pada akar-akar penyebut dari fungsi pecah.

35 Contoh 3.24 Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi berikut! 2x 1 x + 3 a) b) x 2 x 2 x 3 + 4x 2 + x Penyelesaian a) Perhatikan Q(x) : x 2 x 2 = (x 2)(x + 1) 2x 1 Himpunan daerah definisi adalah, x 2 x 2 {x x semua bilangan ril, x 2 dan x 1} b) Perhatikan Q(x) : x 3 + 4x 2 + x = 4x (x + 1/2) 2 x + 3 Himpunan daerah definisi adalah, x 3 + 4x 2 + x {x x semua bilangan ril, x 0 dan x 1/2}

36 b. Grafik fungsi pecah Untuk menggambarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan langkah-langkah sebagai berikut : i) Faktorkan fungsi pembilang P(x) dan penyebut Q(x) ii) Tentukan daerah definisi (domain) dari f(x) dengan cara menentukan Q(x) = 0. Harga x yang didapat bukan domain f(x). iii) Periksa apakah terdapat faktor (x + a) yang merupakan faktor dari P(x) dan Q(x). Jika ada maka titik x = -a merupakan titik tak kontinu dari f(x).

37 iv) Tentukan titik potong f(x) dengan kedua sumbu, jika ada. Untuk mencari titik potong f(x) dengan sumbu x tetapkan P(x) = 0. Selanjutnya harga x yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan sumbu x. Untuk mencari titik potong dengan sumbu y tetapkan x = 0. Harga f(x) yang didapat merupakan titik potong f(x) dengan sumbu y. Akar atau akar-akar yang berasal dari faktor yang bersekutu antara pembilang dan penyebut tidak digunakan untuk mencari titik potong. v) Coret faktor/faktor-faktor yang bersekutu antara pembilang dan penyebut.

38 vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis x = c merupakan asimtot tegak jika x c merupakan faktor dari Q(x) setelah langkah v. vii) Misal fungsi pecah berbentuk : f(x) = a n x n + a n - 1 x n a 1 x + a 0 b m x m + b m - 1 x m b 1 x + b 0 - Jika n < m maka garis y = 0 adalah asimtot datar. - Jika n = m maka garis y = a n /b m adalah asimtot datar. - Jika n > m maka fungsi tidak mempunyai asimtot datar. ix) Tentukan tanda-tanda dari f(x) pada selang-selang antara asimtot tegak (positif atau negatif).

39 Contoh 3.25 Gambarkan grafik y = f(x) = 3x2 x 2 2x 2 x 1 Penyelesaian 3x 2 x 2 ( x 1)(3x+ 2) i) = 2x 2 x 1 (x 1)(2x +1) ii) Q(x) = (x 1)(2x+1) = 0 x = 1 dan x = 1/2. Jadi daerah definisi (domain) dari f(x) adalah semua bilangan ril kecuali 1 dan 1/2. iii) Karena (x 1) adalah faktor persekutuan dari P(x) dan Q(x), maka f(x) tak kontinu pada titik x = 1.

40 iv) Titik potong dengan sumbu x. P(x) = 3x 2 x 2 = 0 (x-1)(3x+2) x = 2/3. Jadi titik potong dengan sumbu x terjadi pada x= 2/3. Sedangkan x=1 bukan titik potong pada sumbu x, karena (x 1) merupakan faktor persektuan P(x) dan Q(x). Titik potong dengan sumbu y, x = 0 y = 2. Jadi titik potong dengan sb.y terjadi pada y = 2. v) 3x 2 + x + 3 x 2 x 1 = ( x 1)(3x+ 2) (x 1)(2x +1) (3x+ 2) = (2x +1) vi) Karena (2x+1) adalah faktor dari Q(x), setelah dilakukan langkah v), maka x= 1/2 adalah asimtot tegak. vii) Karena n = m, maka y = 3/2 adalah asimtot datar

41 viii) x 1 : x+2 : x + 1 : x 2 x 2 2x 2 x 1 : ? /3 1/2 1

42 y -1/2-2/3 0 1 x Gambar 3.14

43 Fungsi irasional Fungsi irasional adalah fungsi yang mempunyai bentuk : f (x)= n g(x) (3.23) dengan g(x) adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional (D f ) dapat dijelaskan sebagai berikut : D = D g bila n bilangan ganjil f x g(x) 0 bila n bilangan genap (3.24) D g adalah daerah definsi dari g.

44 Contoh 3.26 Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari y = Penyelesaian Karena n genap (dalam hal ini 2), maka 9x x 2 0 9x x 2 0 x(9 x ) 0 9x x 2 x : x : x x 2 : Jadi daerah definisi atau domain dari 9x x 2 adalah 0 x 9

45 Daerah nilai dari 9x x 2 dicari dengan cara 9x x 2 y = y 2 = 9x x 2 x 2 9x + y 2 = 0 Dari persamaan diatas kita dapatkan : a = 1, b = 9, c = y 2 Selanjutnya kita cari diskriminan, yaitu :D = b 2 4ac Selanjutnya kita cari harga diskriminan, yaitu :D = b 2 4ac Karena domain dari f(x) adalah ril, maka diskriminan juga harus ril. Artinya D 0. Secara otomatis b 2 4ac 0. Jika kita masukkan nilai a, b dan c maka didapat : (-9) 2-4(1)(y 2 ) 0. 4y /2 y 9/2

46 Akhirnya didapat dua pertaksamaan, y -9/2 dan y 9/2. Akan tetapi karena y harus lebih besar atau sama dengan nol, maka pertaksamaan y -9/2 diabaikan. Sehingga pertaksamaan yang digunakan adalah y 9/2 dan y 0. Jadi daerah nilai untuk f(x) = 9x x 2 adalah 0 y 9/ Fungsi komposisi Fungsi komposisi adalah fungsi yang merupakan kombinasi dari beberapa fungsi. Misal terdapat dua buah fungsi, yaitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kombinasi f dan g kita tulis dengan f o g (baca f circle g) dan didefinisikan sebagai, (f o g)(x) = f(g(x)) (3.25)

47 Sebaliknya jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka kombinasinya kita tulis dengan gof (baca g circle f) dan didefinisikan sebagai, (g o f)(x) = g(f(x)) (3.26) Contoh 3.27 Jika diketahui : f(x) = x 2 + 2x + 1 dan g(x) = x + 3 Tentukan a) (fog)(x) dan b) (gof)(x) Penyelesaian : a) (fog)(x) = f(g(x)) = f (x+3) = (x+3) 2 +2(x+3)+1 = x 2 + 8x + 16 b) (gof)(x) = g(f(x)) = g (x 2 +2x+1) = (x 2 +2x+1)+3 = x 2 +2x+4

48 3.2.5 Fungsi satu ke satu Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f berasal dari satu daerah definisinya, maka fungsi tersebut dikatakan fungsi satu ke satu. Sebagai contoh f(x) = x 3 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah nilai. Sehingga dikatakan bahwa f(x) = x 3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh lainnya, f(x) = x 2 adalah suatu fungsi yang mempunyai daerah definisi untuk semua x ril. Akan tetapi setiap satu daerah nilai dihasilkan oleh lebih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua), sehingga f(x) = x 2 bukan fungsi satu ke satu.

49 2.2.6 Fungsi invers Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutnya f dikatakan mempunyai invers jika dan hanya jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga, i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g berlaku : f(x) = y g(y) = x 2.27 Pernyataan diatas menunjukkan bahwa g adalah invers dari f dan ditulis, g = f -1 atau x = f -1 (x) 2.28

50 Contoh 2.27 Tentukan invers dari persamaan : y = x Penyelesaian y = x x 3 = y 2 x = ( y 2 ) 1/3 f -1 (y) = (y 2) 1/3 f -1 (x) = (x 2) 1/ Fungsi transenden Fungsi eksponen Misal terdapat bilangan a>0. Selanjutnya fungsi f yang didefinisikan sebagai f(x) = a x disebut fungsi eksponen dengan basis a. Sifat-sifat a x dapat dijelaskan sebagai berikut :

51 i) a x > 0 untuk semua harga x dan daerah nilai dari a x adalah semua bilangan positif. ii) Titik potong dengan sumbu y adalah y = 1 iii) Tidak ada titik potong dengan sumbu x iv) Sumbu x adalah asimtot datar dari a x a v) Jik aterdapat x < z, maka x < a z untuk a > 1 (3.29) a x > a z untuk 0 < a <1 Dapat dijelaskan bahwa bila a > 1 maka grafik a x akan menanjak pada arah kanan (Gambar 3.15a). Sedangkan bila a < 1, grafiknya akan menurun kearah sebelah kanan (Gambar 3.15b).

52 y y 1 1 O x O x (a) Gambar 3.15 (b) Fungsi eksponen e x Fungsi yang mempunyai bentuk e x disebut fungsi eksponen natural atau fungsi eksponen dengan basis e. Bilangan e adalah bilangan irasional yang besarnya adalah 2,

53 Persamaan eksponensial Misal a > 0 dan a 1 a Jika x = a z untuk x = z (3.30) a x a z untuk x z Contoh 3.28 Jika 27 = 3 x x 2 4, tentukan nilai x x x 2 4 x x 2 4 3x x = 3 (3 3 ) = 3 3 = 3 3x = x 2 4 x 2 3x 4 = 0 (x 4)(x +1) Didapat x 1 = 4, x 2 = 1

54 Contoh 3.29 Tentukan nilai basis a jika f(x) = a x melalui titik (2,9) Penyelesaian : f(x) = a x 9 = a = a 2 Jadi a = Fungsi logaritma Fungsi logaritma adalah fungsi yang didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat sebuah bilangan a>0 dan a 1. Untuk setiap bilangan positif y maka logaritma y dengan basis a ditulis, log a y adalah bilangan unik x sedemikian, sehingga a x = y Jadi log a y = x y = a x 3.31

55 dan dibaca log y basis a sama dengan x jika dan hanya jika y sama dengan a pangkat x. Jika harga y pada pers sama dengan satu, maka harga x = 0. Jika harga y = a maka harga x = 1. Jadi, log a 1 = 0 (3.32) log a a = 1 (3.33) Contoh 3.30 Ubahlah persamaan yang mengandung eksponen berikut ini menjadi bentuk logaritma! a) 10 3 b) 625 1/4 Penyelesaian a) y = 10 3 log 10 y = 3 b) y = 625 1/4 log 625 y = 1/4

56 Contoh 3.31 Hitung a) log 2 32 b) log 16 1/4 Penyelesaan a) y = log y = 32 = 2 5. Jadi y = 5 b) y = log 16 ¼ 16 y =1/4 = y = 2 2 Jadi 4y = 2 y = 1/2 Seperti yang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a 1 fungsi logaritma dengan basis a adalah fungsi yang didefinisikan sebagai, f(x) = log a x untuk x > 0 Jika kita tulis log x a = log a x, maka dari persamaan 3.31 didapat, log a a x = x, untuk x > 0 (3.34)

57 Jika kita tulis persamaan a x = a x, maka dari persamaan 2.31 dapat ditulis menjadi, log a a x = x, untuk setiap bilangan x (3.35) Hukum-hukum logaritma a) log b PQ = log b P + log b Q b) log P b = log b P log b Q Q c) log b P n = n log b P n P 1 n d) log b = log b P

58 Logaritma natural Logaritma natural adalah logaritma yang mempunyai basis e. Logaritma natural ditulis sebagai, log e x = ln x (3.36)