METODE CHEBYSHEV-HALLEY DENGAN KEKONVERGENAN ORDE DELAPAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR. Anisa Rizky Apriliana 1 ABSTRACT ABSTRAK

Transkripsi

1 METODE CHEBYSHEV-HALLEY DENGAN KEKONVERGENAN ORDE DELAPAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR Anisa Rizky Apriliana 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru anisarizkyaa@gmail.com ABSTRACT This article discusses a new iterative method obtained by combination Cheby shev-halley method and Newton method. Analytically it is showed that the method at least sixth order convergence and its efficiency index is Computational results support the analytic results. Furthermore, computational results show that the method is faster in determining a root of the considered nonlinear equation compared with Newton, Chebyshev and Halley method. Keywords: Chebyshev-Halley method, iterative method, Newton method, order of convergence, efficiency index ABSTRAK Artikel ini membahas tentang metode iterasi dua langkah yang didapat dengan mengkombinasikan metode Chebyshev-Halley dan metode Newton. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode iterasi ini memiliki orde konvergensi paling sedikit enam dan indeks efisiensinya adalah Hasil uji komputasi mendukung hasil kajian analitik. Selanjutnya, dari uji komputasi terlihat bahwa metode iterasi lebih cepat konvergen ke akar hampiran dibandingkan dengan metode Newton, Chebyshev dan Halley. Kata kunci: metode iterasi, metode Newton, metode Chebyshev-Halley, orde konvergensi, indeks efisiensi 1

2 1. PENDAHULUAN Salah satu persoalan matematika yang sering dijumpai adalah bagaimana menemukan solusi atau akar dari persamaan nonlinear f(x) = 0. Dalam menyelesaikan suatu persamaan nonlinear dapat diselesaikan dengan metode analitik dan metode numerik. Adakalanya persamaan nonlinear tidak dapat diselesaikan menggunakan metode analitik. Oleh karena itu, untuk penyelesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan metode numerik. Penyelesaian secara numerik hanya memperoleh akar pendekatan. Selisih antara akar pendekatan dengan akar sebenarnya dinamakan dengan kesalahan (error). Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk menemukan akar pedekatan dari persamaan nonlinear, beberapa diantaranya adalah metode Newton yang memiliki kekonvergenan orde dua [2], metode Chebyshev dan metode Halley yang sama-sama memiliki kekonvergenan orde tiga [4]. Pada arkitel ini dibahas metode baru yang diperoleh dengan mengkombinasikan metode Chebyshev-Halley dengan bentuk iterasi ( x n+1 = x n ) L f (x n ) f(xn ), α R, n = 0, 1, 2,..., 2 1 αl f (x n ) f (x n ) dengan L f (x n ) = f (x n )f(x n ) (f (x n )) 2, (1) dan metode Newton, sehingga diperoleh bentuk iterasi z n = ( ) x n L f (x n ) f(xn) 2 1 αl f (x n) f (x n) α R, x n+1 = z n f(z n) f (z n, n = 0, 1, 2,.... ) } (2) dengan L f (x n )= f (x n )f(x n ) (f (x n. )) 2 Pada artikel ini f (x n ) dan f (z n ) pada persamaan (2) ditaksir dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton derajat tiga [3], sehingga menghasilkan metode iterasi tiga langkah baru yang merupakan bentuk dari Cheby shev-halley bebas turunan kedua, sebagaimana didiskusikan pada bagian kedua. Kemudian dilanjutkan di bagian tiga dengan melakukan uji komputasi terhadap tiga contoh persamaan nonlinear. 2. METODE CHEBYSHEV-HALLEY BEBAS TURUNAN KEDUA Untuk menghilangkan pengaruh turunan kedua f (x n ) pada persamaan (2) Sharma [4] menaksir dengan menggunakan ekspansi Taylor [1]. Misalkan 2

3 metode Newton dinyatakan dengan bentuk y n = x n f(x n) f (x n ), (3) selanjutnya ekspansikan f(y n ) di sekitar x n sampai orde dua dan mengabaikan orde yang lebih tinggi, sehingga dapat diperoleh bentuk turunan kedua f (x n ) yaitu f (x n ) 2f(y n)(f (x n )) 2 (f(x n )) 2. (4) Persamaan (4) disubstitusikan ke persamaan (1), sehingga diperoleh L f (x n ) = 2f(y n) f(x n ). (5) Kemudian disubstitusikan persamaan (5) ke dalam persamaan (2), diperoleh bentuk z n sebagai berikut z n = x n ( 1 + f(y n ) ) f(x n ), α R. (6) f(x n ) 2αf(y n ) f (x n ) Selanjutnya Sharma [4] menaksirkan turunan pertama f (z n ) yang terdapat pada persamaan (2) dengan menggunakan interpolasi polinomial Newton sampai orde tiga melalui pendekatan z n, y n dan x n, sehingga diperoleh P 3 (x) = f(z n ) + f[z n, y n ](x z n ) + f[z n, y n, x n ](x z n )(x y n ) + f[z n, y n, x n, x n ](x z n )(x y n )(x x n ), (7) dengan menggunakan beda terbagi, diperoleh dan f[z n, y n ] = f(z n) f(y n ) z n y n, f[z n, y n, x n ] = f[z n, x n ] f[y n, x n ] z n y n f[z n, y n, x n, x n ] = f[z n, x n, x n ] f[y n, x n, x n ] z n y n f[z n, x n, x n ] = f[z n, x n ]f (x n ) z n x n f[y n, x n, x n ] = f[y n, x n ]f (x n ) y n x n. Kemudian turunkan persamaan (7) terhadap x dan dievaluasi x = z n 3

4 sehingga diperoleh P 3(z n ) = f[z n, y n ]+f[z n, y n, x n ](z n y n )+f[z n, y n, x n, x n ](z n y n )(z n x n ). (8) Selanjutnya f (z n ) diaproksimasikan menggunakan persamaan (8) menjadi f (z n ) f[z n, y n ] + f[z n, y n, x n ](z n y n ) + f[z n, y n, x n, x n ](z n y n )(z n x n ). (9) Substitusikan persamaan (9) ke dalam persamaan (2) diperoleh f(z n ) x n+1 = z n f[z n, y n ] + f[z n, y n, x n ](z n y n ) + f[z n, y n, x n, x n ](z n y n )(z n x n ). (10) Menggunakan persamaan (3), (6) dan (10) maka diperoleh metode iterasi tiga langkah baru yang merupakan bentuk dari metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan parameter α atau disingkat MCH α, yaitu, f (x n ) y n = x n f(x n) ( z n = x n 1 + x n+1 = z n ) f(y n) f(xn), f(x n) 2αf(y n) f (x n) f(z n ). f[z n,y n ]+f[z n,y n,x n ](z n y n )+f[z n,y n,x n,x n ](z n y n )(z n x n ) (11) Metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan parameter α pada persamaan (11) melakukan empat kali evaluasi fungsi periterasinya, yaitu f(x n ), f(y n ), f(z n ) dan f (x n ). Selanjutnya akan ditunjukkan kekonvergenan orde dari metode Chebyshev- Halley bebas turunan kedua dengan parameter α. Teorema 1 Misalkan α I adalah akar sederhana dari fungsi terdiferensial secukupnya f : I R R untuk interval terbuka I. Jika x 0 adalah tebakan awal yang cukup dekat dengan x, maka metode iterasi pada persamaan (11) memiliki kekonvergenan orde paling sedikit enam. Jika α = 1 maka metode memiliki kekonvergenan orde delapan. Bukti. Misalkan x adalah akar sederhana dari persamaan nonlinear f(x) = 0, maka f(x ) = 0 dan f (x ) 0. Kemudian menyatakan e n = x n x. Menggunakan ekspansikan f(x n ) di sekitar x sampai orde delapan dan mengabaikan orde 4

5 yang lebih tinggi, maka diperoleh f(x n ) = f(x ) + f (x )(x n x ) + 1 2! f (x )(x n x ) ! f (3) (x )(x n x ) ! f (4) (x )(x n x ) ! f (5) (x )(x n x ) ! f (6) (x )(x n x ) ! f (7) (x )(x n x ) ! f (8) (x )(x n x ) 8 + O(x n x ) 9. (12) Karena f(x ) = 0 dan e n = x n x, maka persamaan (12) akan menjadi f(x n ) = f (x )(e n ) + 1 2! f (x )e 2 n + 1 3! f (3) (x )e 3 n + 1 4! f (4) (x )e 4 n + 1 5! f (5) (x )e 5 n + 1 6! f (6) (x )e 6 n + 1 7! f (7) (x )e 7 n + 1 8! f (8) (x )e 8 n + O(e 9 n)). Misalkan c k = f (k) (x ), k = 2, 3,..., maka k!f (x ) f(x n ) = f (x )(e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n + c 4 e 4 n + c 5 e 5 n + c 6 e 6 n + c 7 e 7 n + c 8 e 8 n + O(e 9 n)). (13) Selanjutnya dengan cara yang sama, dengan mengekspansikan f (x n ) disekitar x sehingga setelah disederhanakan diperoleh f (x n ) = f (x )(1 + 2c 2 e n + 3c 3 e 2 n + 4c 4 e 3 n + 5c 5 e 4 n + 6c 6 e 5 n + 7c 7 e 6 n + 8c 8 e 7 n + 9c 9 e 8 n + O(e 9 n)). (14) Kemudian dari persamaan (13) dan (14), diperoleh f(x n ) f (x n ) = e n + c 2 e 2 n + + c 8 e 8 n + O(e 9 n) 1 + 2c 2 e n + 3c 3 e 2 n + + 9c 9 e 8 n + O(e 9 n). (15) Selanjutnya f(x n) dihitung menggunakan persamaan (13) dan persamaan f (x n ) (14), sehingga dengan menggunakan deret geometri diperoleh f(x n ) f (x n ) = e n + c 2 e 2 n ( 2c 3 + 2c 2 2)e 3 n ( 64c c 2 3c c 4 c 5 7c 8 44c 2 2c6 + 19c 2 c c 3 2c c 3 c 6 176c 4 2c c 3 3c c 3 c 4 c c 5 2c 3 118c 3 c 5 c 2 75c 2 3c 4 64c 2 4c 2 )e 8 n + O(e 9 n). (16) 5

6 Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (16) ke persamaan (11) dan x n = e n + x, diperoleh y n = x + c 2 e 2 n ( 2c 3 + 2c 2 2)e 3 n ( 64c c 2 3c c 4 c 5 7c 8 44c 2 2c c 2 c c 3 2c c 3 c 6 176c 4 2c c 3 3c c 3 c 4 c c 5 2c 3 118c 3 c 5 c 2 75c 2 3c 4 64c 2 4c 2 )e 8 n + O(e 9 n). (17) Kemudian dengan menggunakan persamaan (17) dilakukan ekspansi f(y n ) di sekitar x sampai orde delapan dan mengabaikan orde yang lebih tinggi, menjadi f(y n ) = f (x )(c 2 e 2 n + (2c 3 2c 2 2)e 3 n + + (7c 8 134c 3 2c c c 4 2c 4 455c 3 c 4 c c 3 c 5 c c 2 3c c 2 2c c 2 4c2 31c 4 c 5 19c 2 c 7 27c 3 c 6 147c 3 3c c 2 3c 4 552c 5 2c 3 )e 8 n + O(e 9 n)). (18) f(y Selanjutnya dihitung (1 + n) f(x n) 2αf(y n) ) dengan menggunakan persamaan (13) dan (18), kemudian dikalikan ke persamaan (16) dan disederhanakan, diperoleh ( ) f(y n ) f(xn ) 1 + f(x n ) 2αf(y n ) f (x n ) = e n + ( 2c αc 2 2)e 3 n + + ( 432c 2 3c 2 2 Kemudian persamaan (19) substitusikan (11) diperoleh 339c 3 2c c 3 c 4 c α 5 c α 5 c 5 2c 3 )e 8 n + O(e 9 n). (19) z n = x ( 2c αc 2 2)e 3 n + + ( 432c 2 3c c 3 2c c 3 c 4 c α 5 c α 5 c 5 2c 3 )e 8 n + O(e 9 n) (20) Selanjutnya ekspansi Taylor dilakukan terhadap f(z n ) di sekitar z n = α sampai orde delapan dan mengabaikan orde yang lebih tinggi, kemudian menggunakan persamaan (20) diperoleh f(z n ) = f (x )(2c 2 2 2αc 2 2)e 3 n + + (429c 3 3c c 3 2c c 3 c 4 c α 5 c α 5 c 5 2c 3 )e 8 n + O(e 9 n). (21) f(z n) Kemudian dihitung ( ) dengan f[z n,y n]+f[z n,y n,x n](z n y n)+f[z n,y n,x n,x n](z n y n)(z n x n) menggunakan persamaan (13), (17), (18), (20) dan (21), sehingga dengan 6

7 menggunakan beda terbagi diperoleh bentuk f(z n ) f[z n, y n ] + f[z n, y n, x n ](z n y n ) + f[z n, y n, x n, x n ](z n y n )(z n x n ) = (2c 2 2 2αc 2 2)e 3 n + + (512αc 3 c 5 c αc 3 c 4 c αc 4 2c 4 64α 6 c α 5 c 5 2c 3 )e 8 n + O(e 9 n). (22) Jika persamaan (20) dan (22) disubstitusikan ke dalam persamaan (11), maka menjadi x n+1 = x + ( 8αc α 2 c c 5 2)e 6 n + ( 36c αc α 2 c 4 2c α 3 c 6 2 2αc 3 2c 4 + 2c 3 2c c 4 2c 3 60αc 4 2c 3 72α 2 c 6 2)e 7 n + (23c 4 2c 4 304α 3 c c 3 2c 5 302c 5 2c 3 168αc 2 3c αc 3 c 4 c α 2 c 5 2c αc 5 2c α 2 c 4 c c 3 c 4 c α 3 c 5 2c α 2 c 2 3c c αc α 4 c αc 4 2c c 2 3c α 2 c 7 2 4αc 3 2c 5 )e 8 n + O(e 9 n). (23) Karena e n+1 = x n+1 x, maka persamaan (23) akan menjadi e n+1 =( 8αc α 2 c c 5 2)e 6 n + ( 36c αc α 2 c 4 2c α 3 c 6 2 2αc 3 2c 4 + 2c 3 2c c 4 2c 3 60αc 4 2c 3 72α 2 c 6 2)e 7 n + (23c 4 2c 4 304α 3 c c 3 2c 5 302c 5 2c 3 168αc 2 3c αc 3 c 4 c α 2 c 5 2c αc 5 2c α 2 c 4 c c 3 c 4 c α 3 c 5 2c α 2 c 2 3c c αc α 4 c αc 4 2c c 2 3c α 2 c 7 2 4αc 3 2c 5 )e 8 n + O(e 9 n). (24) Persamaan (24) adalah persamaan tingkat kesalahan metode Chebyshev - Halley bebas turunan kedua dengan parameter α. Jika α = 1 maka persamaan (24) akan menjadi e n+1 = (c 4 2c 4 + c 7 2 2c 5 2c 3 + c 2 3c 3 2 c 3 c 4 c 2 2)e 8 n + O(e 9 n). (25) Persamaan (25) merupakan persamaan tingkat kesalahan untuk metode Chebyshev - Halley bebas turunan kedua dengan parameter α = 1. Metode Chebyshev - Halley bebas turunan kedua dengan α = 1 (MCH 1.0 ) memiliki kekonvergenan orde delapan, dan indeks efisiensi metode ini adalah = UJI KOMPUTASI Selanjutnya akan dilakukan uji komputasi menggunakan beberapa contoh per- 7

8 samaan nonlinear dan nilai tebakan awal untuk membandingkan MCH α dengan metode iterasi MN (metode Newton), MC (metode Chebyshev), MH (metode Halley) [4]. f 1 (x) = e x sin(x)+log(x 2 + 1), x 0 = 1.0 f 2 (x) = e x2 +x+2 cos(x + 1) + x 3 + 1, x 0 = 2.0 f 3 (x) =log(x 2 + x + 1) x + 1, x 0 = 1.5. Hasil perbandingan komputasi dapat dilihat pada Tabel 1. Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi untuk MN, MC, MH dan MCH α f i (x) Metode x 0 n x n f(x n ) x n x n 1 MN e e 243 MC e e 113 f 1 MH e e 153 MCH e e 203 MCH e e 103 MCH e e 123 MN e e 213 MC e e 113 f 2 MH e e 233 MCH e e 933 MCH e e 683 MCH e e 2283 MN e e 243 MC e e 143 f 3 MH e e 133 MCH e e 423 MCH e e 433 MCH e e 143 Secara umum berdasarkan Tabel 1 semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar pendekatan yang diharapkan dari semua persamaan nonlinear yang diberikan. Pada semua contoh tampak bahwa MCH 1.0 memerlukan iterasi yang relatif lebih sedikit jika dibandingkan dengan MN, MC, MH, MHC 5.0 dan MCH 5.0. Metode ini juga memiliki indeks efisiensi lebih tinggi yaitu jika dibandingkan dengan metode pembanding. Sehingga untuk menemukan akar pendekatan pada persamaan nonlinear MCH 1.0 lebih efisien dibandingkan MN, MC, MH, MHC 5.0 dan MCH 5.0. Oleh karena itu, metode baru ini sangat layak digunakan untuk mencari akar pendekatan suatu persamaan nonlinear. 4. KESIMPULAN 8

9 Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa metode Chebyshev-Halley bebas turunan kedua dengan parameter α diperoleh dengan mengkombinaksikan metode Chebyshev-Halley dengan metode Newton. Metode ini memuat turunan pertama dan turunan kedua. Turunan kedua ditaksirkan dengan menggunakan ekspansi Taylor, sedangkan untuk turunan pertama ditaksir dengan interpolasi polinomial Newton derajat tiga. Melalui analisa kekonvergenan, dapat dilihat bahwa metode Chebyshev- Halley bebas turunan kedua memiliki kekonvergenan paling sedikit enam dan memiliki indeks efisiensi = Indeks efisiensi ini lebih tinggi dari pada indeks efisiensi metode pembanding. Berdasarkan uji komputasi dapat diambil kesimpulan bahwa metode Cheby shev-halley bebas turunan kedua dengan parameter α memiliki iterasi relatif lebih sedikit jika dibandingkan dengan metode pembanding. sehingga sangat layak digunakan untuk mencari akar pendekatan suatu persamaan nonlinear. Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] R. G. Bartle dan R. D. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Fourth Ed., Jhon Wiley and Sons, Inc., New York, [2] L. Dingfang, L. ping dan K. Jisheng, An improvement of Chebyshev-Halley methods free from second derivative, Applied Mathematics and Computation, 235 (2014), [3] J. H. Mathews, Numerical Method for Mathematics Science and Engineer, Third Ed, Prentice-Hall International, New Jersey, [4] J. R. Sharma, Improved Chebyshev-Halley with sixth and eight order convergence, Advances in Applied Mathematics and Computation, 256 (2015), [5] J. F. Traub, Iterative Methods for the Solution of Equations, Murray Hill, New Jersey,