PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
|
|
|
- Susanto Sasmita
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/ Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
2 Bentuk-bentuk khusus matriks persegi Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Matriks simetrik Matriks diagonal Matriks identitas Matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah Matriks tridiagonal Matriks Hessenberg 2 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
3 Bentuk umum Review Matriks dan SPL Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Bentuk umum dari SPL: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Dalam bentuk matriks, SPL di atas dapat ditulis dengan Ax = b, dimana a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =, x = a n1 a n2 a nn Apakah solusi untuk x = [x 1 x 2 x n ] T? x 1 x 2 x n, b = 3 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier b 1 b 2 b n
4 Tentang solusi SPL Review Matriks dan SPL Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Ada tiga kemungkinan mengenai solusi SPL: (a) Tidak ada solusi (b) Tak-hingga solusi (c) Solusi tunggal Tafsiran geometris: 4 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
5 Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Matriks koefisien, matriks lengkap SPL, dan OBE Pada persamaan sebelumnya, A disebut matriks koefisien Matriks yang dibentuk oleh matriks A dengan penambahan vektor kolom b disebut matriks lengkap dari SPL, yaitu a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 a n1 a n2 a nn b n Operasi baris elementer (OBE): Menukarkan dua buah baris Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta tak-nol Menambahkan k kali baris ke-i pada baris ke-j Sifat: OBE tidak mengubah penyelesaian SPL 5 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
6 SPL segitiga atas Review Matriks dan SPL Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Bentuk umum dari SPL segitiga atas: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x 1 = b 1 a 22 x a 2n x 2 = b 2 a nn x n = b n Matriks lengkap dari SPL segitiga atas: a 11 a 12 a 1n b 1 a 22 a 2n b 2 Sifat: SPL segitiga atas mempunyai solusi tunggal jika dan hanya jika setiap elemen diagonal dari matriks koefisiennya tidak nol, yaitu a kk 0,k = 1,2,,n 6 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier a nn b n
7 Substitusi mundur Review Matriks dan SPL Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Solusi dari SPL segitiga atas dapat dihitung sebagai berikut: x n x n 1 x n 2 = b n /a nn = (b n 1 a n 1 x n )/a n 1,n 1 = (b n 2 (a n 2,n 1 x n 1 +a n 2,n x n ))/a n 2,n 2 x k = x 1 = ( n b k a ki x i )/a kk i=k+1 ( n b 1 a 1i x i )/a 11 i=2 Proses perhitungan di atas dinamakan substitusi mundur, karena 7 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
8 Algoritma substitusi mundur Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) Apa saja yang harus diperhatikan? Dalam setiap iterasi, sebelum nilai x k dihitung, dilakukan pemeriksaan terlebih dahulu terhadap elemen diagonal a kk (proses dihentikan jika ) Misalkan à adalah matriks lengkap Maka vektor b berada pada kolom ke dari matriks à 8 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
9 Algoritma substitusi maju? Review matriks Review sistem persamaan linier (SPL) 9 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
10 - contoh Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, selesaikan SPL berikut ini: x 1 + x 2 + 2x 3 = 1, 3x 1 x 2 + x 3 = 1, x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 1 10 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
11 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Dua tahap besar pada metode eliminasi Gauss 1 Tahap eliminasi (maju), yaitu mengubah SPL semula menjadi SPL segitiga atas melalui serangkaian OBE (operasi ini tidak mengubah solusi dari SPL semula) 2 Tahap substitusi mundur, yaitu menyelesaikan SPL segitiga atas yang terbentuk 11 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
12 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - tahap eliminasi Langkah pertama: membuat agar elemen-elemen kolom pertama mulai baris ke-2, 3,, n (yaitu a 11,a 21,,a n1 ) menjadi nol a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 21 a 22 a 2n a 2,n+1 0 a 22 a 2n a 2,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 0 a n2 a nn a n,n+1 Catatan: Notasi menyatakan bahwa proses yang dilakukan adalah melalui serangkaian OBE Elemen-elemen pada kedua matriks lengkap di atas menggunakan notasi yang sama, yaitu a ij Hal ini tidak berarti bahwa nilainya juga sama Pemakaian notasi yang sama ini ditujukan untuk keperluan pada pemograman komputer 12 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
13 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - tahap eliminasi Langkah pertama - ilustrasi a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 21 a 22 a 2n a 2,n+1 a 31 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 (b) 2 (b) 2 a 21 a 11 (b) 1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 2n a 2,n+1 a 31 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 21 a 22 a 2n a 2,n+1 a 31 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 (b) 3 (b) 3 a 31 a 11 (b) 1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 2n a 2,n+1 0 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 a 21 a 22 a 2n a 2,n+1 a 31 a 32 a 3n a 3,n+1 a n1 a n2 a nn a n,n+1 (b)n (b)n a n1 a 11 (b) 1 a 11 a 12 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 2n a 2,n+1 0 a 32 a 3n a 3,n+1 0 a n2 a nn a n,n+1 13 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
14 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - tahap eliminasi Langkah pertama - algoritma (b) 2 (b) 2 a21 a 11 (b) 1 (b) 3 (b) 3 a31 a 11 (b) 1 (b) n (b) n an1 a 11 (b) 1 14 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
15 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - tahap eliminasi Langkah kedua: mengeliminasi kolom kedua dari matriks lengkap SPL a 11 a 12 a 13 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 23 a 2n a 2,n+1 0 a 32 a 33 a 3n a 3,n+1 0 a n2 a n3 a nn a n,n+1 (b) 3 (b) 3 a 32 a 22 (b) 2 (b) 4 (b) 4 a 42 a 22 (b) 2 (b)n (b)n a n2 a 22 (b) 2 a 11 a 12 a 13 a 1n a 1,n+1 0 a 22 a 23 a 2n a 2,n a 33 a 3n a 3,n a n3 a nn a n,n+1 Langkah ke-3,4,,n 1: mengeliminasi kolom ke-3,4,,n 1 dari matriks lengkap SPL Hasil akhir dari tahap eliminasi adalah suatu SPL segitiga atas Solusi SPL dapat diperoleh dengan menjalankan algoritma substitusi mundur 15 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
16 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll - algoritma tahap eliminasi 16 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
17 Algoritma metode eliminasi Gauss Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll 17 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
18 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Kelemahan metode eliminasi Gauss & perbaikannya Kelemahan metode eliminasi Gauss: Proses eliminasi tidak dapat dilakukan jika elemen penumpu (pivot) bernilai nol Jika nilai mutlak dari elemen pivot sangat kecil, maka pada realisasi komputer akan menimbulkan perambatan galat pembulatan yang besar 18 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
19 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Kelemahan metode eliminasi Gauss & perbaikannya Kelemahan metode eliminasi Gauss: Proses eliminasi tidak dapat dilakukan jika elemen penumpu (pivot) bernilai nol Jika nilai mutlak dari elemen pivot sangat kecil, maka pada realisasi komputer akan menimbulkan perambatan galat pembulatan yang besar Cara memperbaikinya? Perlu dipilih elemen penumpu yang nilai mutlaknya besar Hal ini direalisasikan dengan melakukan pertukaran baris dan/atau kolom pada matriks lengkap Pertukaran baris tidak mengubah solusi SPL Pertukaran kolom bagaimana? 18 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
20 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Kelemahan metode eliminasi Gauss & perbaikannya Kelemahan metode eliminasi Gauss: Proses eliminasi tidak dapat dilakukan jika elemen penumpu (pivot) bernilai nol Jika nilai mutlak dari elemen pivot sangat kecil, maka pada realisasi komputer akan menimbulkan perambatan galat pembulatan yang besar Cara memperbaikinya? Perlu dipilih elemen penumpu yang nilai mutlaknya besar Hal ini direalisasikan dengan melakukan pertukaran baris dan/atau kolom pada matriks lengkap Pertukaran baris tidak mengubah solusi SPL Pertukaran kolom bagaimana? Teknik pemilihan elemen penumpu ini dinamakan teknik penumpuan (pivoting) 18 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
21 Beberapa macam teknik penumpuan Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Penumpuan total Elemen penumpu diambil dari max k i,j n a ij Memerlukan pertukaran baris dan/atau kolom Penumpuan parsial Elemen penumpu diambil dari max k i n a ik Hanya memerlukan pertukaran baris saja Penumpuan parsial terskala Elemen penumpu diambil dari max k i n a ik/a kk Hanya memerlukan pertukaran baris saja Elemen penumpu yang dipilih kemudian ditempatkan pada posisi (k, k) dari matriks lengkap SPL 19 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
22 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial - contoh 20 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
23 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial - algoritma? 21 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
24 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial - algoritma? 21 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
25 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial - algoritma 22 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
26 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Beberapa SPL dengan matriks koefisien sama Pandang dua SPL berikut: x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 13 2x 1 + 4x 3 + 3x 4 = 28 4x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 20 3x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 8 2x 1 + 4x 3 + 3x 4 = 9 4x 1 + 2x 2 + 2x 3 + x 4 = 9 3x 1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 3 Matriks lengkap dari dua SPL tersebut dapat ditulis: Solusi dari masing-masing SPL dapat ditentukan dengan metode eliminasi Gauss 23 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
27 Perhitungan determinan - dasar teori Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Teorema (determinan matriks segitiga atas) Jika A matriks segitiga atas berukuran n n, maka det(a) = Bukti Lakukan ekspansi kofaktor berkali-kali sepanjang baris terakhir Teorema (pengaruh OBE terhadap nilai determinan suatu matriks) Misalkan A matriks berukuran n n Bukti Jika B adalah matriks hasil dari perkalian suatu baris (kolom) matriks A dengan konstanta k, maka det(b) = k det(a) Jika B adalah matriks hasil dari pertukaran dua baris (kolom) matriks A, maka det(b) = det(a) Jika B adalah matriks hasil penambahan k kali baris (kolom) ke baris (kolom) lain dari matriks A, maka det(b) = det(a) 24 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier n i=1 a ii
28 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Perhitungan determinan - penerapan, contoh, & algoritma Untuk menghitung determinan suatu matriks, lakukan serangkaian OBE terhadap matriks tersebut sedemikian sehingga menjadi matriks segitiga atas Perhatikan perubahan nilai determinan selama melakukan OBE 25 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
29 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Perhitungan determinan - penerapan, contoh, & algoritma Untuk menghitung determinan suatu matriks, lakukan serangkaian OBE terhadap matriks tersebut sedemikian sehingga menjadi matriks segitiga atas Perhatikan perubahan nilai determinan selama melakukan OBE Contoh Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial, tentukan determinan dari Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
30 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Perhitungan determinan - penerapan, contoh, & algoritma Untuk menghitung determinan suatu matriks, lakukan serangkaian OBE terhadap matriks tersebut sedemikian sehingga menjadi matriks segitiga atas Perhatikan perubahan nilai determinan selama melakukan OBE Contoh Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dengan penumpuan parsial, tentukan determinan dari Algoritmanya? tugas kelompok 25 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
31 Perhitungan invers Review Matriks dan SPL Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (eliminasi maju dan mundur): [ A I ] [ I A 1 ] [justifikasi!] 26 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
32 Perhitungan invers Review Matriks dan SPL Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (eliminasi maju dan mundur): [ A I ] [ I A 1 ] [justifikasi!] Contoh 26 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
33 Perhitungan invers Review Matriks dan SPL Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (eliminasi maju dan mundur): [ A I ] [ I A 1 ] [justifikasi!] Contoh Algoritmanya? 26 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
34 Review Tahap eliminasi dan algoritma Teknik penumpuan Perhitungan determinan, invers, dll Modifikasi eliminasi Gauss untuk SPL tridiagonal Perhatikan matriks SPL tridiagonal berikut: b 1 c 1 x 1 d 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b x 2 d 2 3 x 3 = d 3 cn 1 x n d n a n Pada SPL tersebut, banyak sekali koefisiennya yang bernilai nol Bagaimana algoritma yang paling efisien untuk mencari solusi SPL tersebut? b n 27 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
35 Definisi faktorisasi LU dan kegunaannya Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Definisi (/Segitiga) Matriks nonsingular A dikatakan mempunyai faktorisasi LU (juga dikenal dengan faktorisasi segitiga) jika ia dapat ditulis sebagai perkalian matriks segitiga bawah L dan matriks segitiga atas U, yaitu A = LU Misalkan matriks koefisien A dari SPL Ax = b mempunyai faktorisasi LU Maka Ax = b (LU)x = b L(Ux) = b Sekarang misalkan d = Ux SPL segitiga bawah Ld = b dapat diselesaikan dengan substitusi maju Setelah d diperoleh, solusi x dapat dicari dari SPL segitiga atas Ux = d dengan substitusi mundur 28 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
36 Ilustrasi Review Matriks dan SPL Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks 29 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
37 Beberapa jenis faktorisasi LU Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Secara umum faktorisasi LU tidak tunggal Agar hasilnya tunggal, biasanya dilakukan dengan memilih matriks L dan U yang memiliki sifat tertentu Beberapa faktorisasi LU yang dikenal: Faktorisasi/dekomposisi Doolitle, yaitu elemen diagonal matriks L dipilih bernilai 1 Faktorisasi/dekomposisi Crout, yaitu elemen diagonal matriks U dipilih bernilai 1 Faktorisasi/dekomposisi Cholesky, yaitu matriks U dibuat sama dengan L T jika A matriks simetris 30 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
38 Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Doolitle dengan eliminasi Gauss - proses Misalkan dari tahap eliminasi pada eliminasi Gauss diperoleh a 11 a 12 a 1n a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = 0 a (1) 22 a (1) 2n = U, a n1 a n2 a nn 0 0 a nn (n 1) dimana a (k) ij menyatakan elemen matriks A pada posisi (i, j) yang nilainya merupakan hasil dari OBE pada iterasi ke-k Meskipun tidak muncul secara langsung, matriks L juga dihasilkan dari proses eliminasi ini, yaitu diberikan oleh l L =, l n1 l n2 1 dimana l ij = a (j 1) ij /a (j 1) jj dan a (0) i1 = a i1 [periksa!] 31 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
39 Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Doolitle dengan eliminasi Gauss - algoritma 32 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
40 Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks Perhitungan invers matriks - dasar teori & penerapan Diberikan sistem 1 0 Ax 1 =, Ax 2 = ,,Ax n = 0 0 1, dimana A adalah matriks berukuran n n dan x 1,x 2,,x n adalah vektor-vektor berukuran n 1 Jika A dapat diinverskan, maka A 1 = [x 1 x 2 x n ] [tunjukkan!] Solusi x 1,x 2,,x n dapat ditentukan dengan menggunakan faktorisasi LU Karena sistem di atas memiliki matriks koefisien yang sama, maka matriks L dan U cukup dihitung sekali 33 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
41 Perhitungan invers matriks - algoritma Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks 34 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
42 Perhitungan invers matriks - algoritma Apa itu faktorisasi LU? Beberapa jenis faktorisasi LU Doolitle dengan eliminasi Gauss Aplikasi faktorisasi LU: perhitungan invers matriks 34 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
43 Metode iterasi? Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Alternatif metode untuk menyelesaikan SPL (dan juga SPNL) Metode iteratif dimulai dengan sebuah tebakan awal, kemudian digunakan suatu metode sistematis untuk memperoleh barisan yang diharapkan konvergen ke solusi yang ingin dicari Metode iteratif untuk SPL: metode Jacobi dan metode Gauss-Seidel Metode iteratif untuk SPNL: metode substitusi berturutan dan metode Newton-Raphson (kasus multivariat) [tidak dipelajari] 35 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
44 Ilustrasi Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Figure : (a) Metode Gauss-Seidel, (b) Metode Jacobi 36 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
45 Metode Jacobi Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Diberikan SPL berikut: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Rumus iterasi dari metode Jacobi: 37 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
46 Metode Jacobi Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Diberikan SPL berikut: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Rumus iterasi dari metode Jacobi: n x (k+1) i = b i a ij x (k) /a ii, i = 1,2,,n j=1,j i Catatan: indeks (k) menyatakan langkah iterasi [ ] T Ambil tebakan awal x = x (0) 1 x (0) 2 x n (0) Kriteria penghentian iterasi: max x (k) < ǫ j x (k+1) i 1 i n 37 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier i
47 Algoritma metode Jacobi Metode Jacobi vs Gauss-Seidel 38 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
48 Algoritma metode Jacobi Metode Jacobi vs Gauss-Seidel 38 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
49 Metode Gauss-Seidel Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Diberikan SPL berikut: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Rumus iterasi dari metode Gauss-Seidel: 39 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
50 Metode Gauss-Seidel Review Matriks dan SPL Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Diberikan SPL berikut: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Rumus iterasi dari metode Gauss-Seidel: i 1 n x (k+1) i = b i a ij x (k+1) j a ij x (k) j /a ii, i = 1,2,,n j=1 j=i+1 Catatan: indeks (k) menyatakan langkah iterasi [ ] T Ambil tebakan awal x = x (0) 1 x (0) 2 x n (0) Kriteria penghentian iterasi: max x (k) < ǫ x (k+1) i 1 i n 39 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier i
51 Algoritma metode Gauss-Seidel Metode Jacobi vs Gauss-Seidel 40 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
52 Algoritma metode Gauss-Seidel Metode Jacobi vs Gauss-Seidel 40 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
53 Metode Jacobi vs Gauss-Seidel Kekonvergenan metode Jacobi dan Gauss-Seidel Metode Jacobi dan Gauss-Seidel tidak selalu konvergen Syarat cukup agar kedua metode tersebut konvergen adalah matriks koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal, yaitu n a ii > a ij, i = 1,2,,n j=1,j i Sebelum metode Jacobi dan Gauss-Seidel digunakan, lakukan dulu pemeriksaan apakah matriks koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal Salah satu cara agar matriks koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal adalah dengan menukarkan baris-baris dari SPL tersebut Bila proses penukaran baris tidak berhasil membuat matriks koefisien A bersifat dominan kuat secara diagonal, maka metode Jacobi dan Gauss-Seidel biasanya tidak dapat digunakan 41 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Kie Van Ivanky Saputra April 27, 2009 K V I Saputra (Analisis Numerik) Kuliah Sistem Persamaan Linier c April 27, 2009 1 / 9 Review 1 Substitusi mundur pada sistem
BAB 4 Sistem Persamaan Linear. Sistem m persamaan linear dalam n variabel LG=C adalah himpunan persamaan linear
BAB 4 Sistem Persamaan Linear berbentuk Sistem m persamaan linear dalam n variabel LG=C adalah himpunan persamaan linear Dengan koefisien dan adalah bilangan-bilangan yang diberikan. Sistem ini disebut
Syarif Abdullah (G ) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor.
Syarif Abdullah (G551150381) Matematika Terapan FMIPA Institut Pertanian Bogor e-mail: syarif_abdullah@apps.ipb.ac.id 25 Maret 2016 Ringkasan Kuliah ke-6 Analisis Numerik (16 Maret 2016) Materi : System
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II )
SISTEM PERSAMAAN LINEAR ( BAGIAN II ) D. FAKTORISASI MATRIKS D2 2. METODE ITERASI UNTUK MENYELESAIKAN SPL D3 3. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN D4 4. POWER METHOD Beserta contoh soal untuk setiap subbab 2
SISTEM PERSAMAAN LINIER
2 SISTEM PERSAMAAN LINIER Ëistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai di dalam berbagai disiplin, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Metode Matriks Balikan
Metode Matriks Balikan MisalkanA -1 adalahmatriksbalikandaria. Sistempersamaan lanjar Ax = b dapat diselesaikan sebagai berikut: Ax= b A -1 Ax= A -1 b I x= A -1 b (A -1 A = I ) x= A -1 b Cara penyelesaiandenganmengalikanmatriksa
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
BAB III : SISTEM PERSAMAAN LINIER
3.1 PENDAHULUAN BAB III : SISTEM PERSAMAAN LINIER Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan teknik. Di dalam Bab ini akan dipelajari sistem
03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Ujian Tengah Semester
Ujian Tengah Semester Mata Kuliah : PAM 252 Metode Numerik Jurusan : Matematika FMIPA Unand Hari/Tanggal : Selasa/31 Maret 2015 Waktu : 10.00 11.40 (100 menit) Dosen : Dr. Susila Bahri (Kelas A dan C)
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Solusi Persamaan Linier Simultan
Solusi Persamaan Linier Simultan Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan linier 2. Mengerti metode eliminasi gauss. 3. Mampu menggunakan metode eliminasi gauss untuk mencari solusi 1. Sistem
Part II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Sistem Persamaan Aljabar Linier
Sistem Persamaan Aljabar Linier Dimana: a ij = koefisien konstanta; x j = unknown ; b j = konstanta; n = banyaknya persamaan Metode-Metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Aljabar Linier: 1. Metode
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Determinan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Pertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 14 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode GAUSS Aljabar Linier Hastha 2016 10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat
Sistem Persamaan Linier FTI-UY
BAB V Sistem Persamaan Linier Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banak masalah matematika terapan adalah menelesaikan suatu sistem persamaan linear. Representasi Sistem Persamaan Linear
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah
Trihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Solusi Numerik Sistem Persamaan Linear
Solusi Numerik Sistem Persamaan Linear Modul #2 Praktikum AS2205 Astronomi Komputasi Oleh Dr. Muhamad Irfan Hakim Program Studi Astronomi Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi
6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi
Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi Elvina Riama K. Situmorang 55) Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Matematika Teknik DETERMINAN
DETERMINN da satu cara lagi dalam menentukan solusi SPL dengan bekerja pada matriks koefisiennya. Cara berikut hanya akan berlaku untuk matriks koefiien berupa matriks bujursangkar atau SPL mempunyai banyak
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Minggu II Lanjutan Matriks
Minggu II Lanjutan Matriks Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum Tujuan Instruksional Khusus Jumlah Pertemuan : Matriks : A. Transformasi Elementer. Transformasi Elementer pada baris
Matematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
PENDAHULUAN A. Latar Belakang 1. Metode Langsung Metode Langsung Eliminasi Gauss (EGAUSS) Metode Eliminasi Gauss Dekomposisi LU (DECOLU),
PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa.
MENENTUKAN INVERS SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE AUGMENTASI DAN REDUKSI ABSTRACT
MENENTUKAN INVERS SUATU MATRIKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE AUGMENTASI DAN REDUKSI S. E. Wati 1, M. Imran 2, A. Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika
BAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan
Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
BAB X MATRIK DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
1 BAB X MATRIK DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Pembahasan berikut ini akan meninjau salah satu implementasi operasi matrik untuk menyelesaikan sistem persamaan linier simultan. Selain menggunakan
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
PERBANDINGAN KOMPLEKSITAS ALGORITMA METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LANJAR
PERBANDINGAN KOMPLEKSITAS ALGORITMA METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LANJAR Achmad Dimas Noorcahyo NIM 3508076 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jalan Ganeca 0, Bandung
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Contoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift
Jurnal Penelitian Sains Volume 14 Nomer 1(A) 14103 Menentukan Nilai Eigen Tak Dominan Suatu Matriks Definit Negatif Menggunakan Metode Kuasa Invers dengan Shift Yuli Andriani Jurusan Matematika FMIPA,
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER 10.1 Definisi Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai derajad satu. Sebagai contoh persamaan
BAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
ELIMINASI GAUSS MAKALAH. Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Saluky M.Kom. Di Susun Oleh: Kelompok VII Matematika C/VII
ELIMINASI GAUSS MAKALAH Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Saluky M.Kom Di Susun Oleh: Kelompok VII Matematika C/VII Anggota : 1. Eko Kurniawan P. (59451064) 2. Siti Nurhairiyah
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode CRAMER Aljabar Linier Hastha 2016 10. PERSAMAAN LINIER NONHOMOGEN 10.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara
Bentuk umum : SPL. Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN. Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK
Bentuk umum : dimana x, x,..., x n variabel tak diketahui, a ij, b i, i =,,..., m; j =,,..., n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN
1 SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode Mata Kuliah : Bobot Kuliah/Praktek : 3 SKS Semester : II (Dua) Tujuan Instruksional Umum : memahami konsep-konsep dan tranformasi linier, dan
ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM
Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
MODUL 3 FAKTORISASI LU, PARTISI MATRIK DAN FAKTORISASI QR
MODUL 3 FAKTORISASI LU, PARTISI MATRIK DAN FAKTORISASI QR KOMPETENSI: 1. Memahami penggunaan faktorisasi LU dalam penyelesaian persamaan linear.. Memahami penggunaan partisi matrik dalam penyelesaian persamaan
Definisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:
Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(a) atau A (jr j r...j n ).a jr a j r...am
MATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASI
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASI Susilo Nugroho (M0105068) 1. Latar Belakang Masalah Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel x 1, x 2,..., x n
Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
MATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
MATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
MATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
GENERALISASI METODE GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ABSTRACT
GENERALISASI METODE GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Andri Ramadhan 1, Syamsudhuha 2, Asli Sirait 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan
a11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Komputasi untuk Sains dan Teknik
Komputasi untuk Sains dan Teknik Dr. Eng. Supriyanto, M.Sc Edisi I Laboratorium Jaringan Komputer Departemen Fisika-FMIPA Univeristas Indonesia 2006 Untuk Muflih Syamil dan Hasan Azmi... Mottoku : Tenang,
MATRIK DAN KOMPUTASI
MATRIK DAN KOMPUTASI Penulis: Supriyanto, email: supri@fisika.ui.ac.id Staf Lab. Komputer, Departemen Fisika, Universitas Indonesia Fukuoka, 5 Feb 2005 Catatan ini bermaksud menjelaskan secara singkat
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
PERANGKAT LUNAK BANTU ANALISIS NUMERIK METODE DETERMINAN CRAMER, ELIMINASI GAUSS DAN LELARAN GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PERANGKAT LUNAK BANTU ANALISIS NUMERIK METODE DETERMINAN CRAMER, ELIMINASI GAUSS DAN LELARAN GAUSS-SEIDEL UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tacbir Hendro Pudjiantoro A B S T R A K Salah satu
Pertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Aljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier
PAM 252 Metode Numerik Bab 2 Persamaan Nonlinier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Persamaan Nonlinier Solusi persamaan
BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil
BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh
BAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB 4 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi,
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 10 Oktober 2016 Selain metode Sarrus dan Minor-Kofaktor, ada satu metode lain yang dapat
Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI UNTUK MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Alhumaira Oryza Sativa 1 ABSTRACT ABSTRAK
METODE GAUSS-SEIDEL PREKONDISI UNTUK MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Alhumaira Oryza Sativa 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
BAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22).
BAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
PETUNJUK PRAKTIKUM METODE NUMERIK (MT318)
PETUNJUK PRAKTIKUM METODE NUMERIK (MT38) Oleh : Dewi Rachmatin, S.Si., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 9 Dewi Rachmatin PRAKTIKUM
Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan