SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU ABSTRACT

Transkripsi

1 SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU Vanny Octary 1 Endang Lily 2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru Indonesia vannyoctary@yahoo.com ABSTRACT This article discusses the numerical method to solve a nonlinear Volterra-Fredholm integral equation using a New Basis function obtained through a set of Block-Pulse functions (BPFs). The Use of the New Basis function produces a system of linear equations and the solution of this system is the solution for the nonlinear Volterra- Fredholm integral equation. Through two examples it is seen that the discussed method provides close enough solutions to the exact solutions. Keywords: nonlinear Volterra - Fredholm integral equation New Basis functions (NFs) Block-Pulse functions (BPFs). ABSTRAK Artikel ini membahas metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear dengan menggunakan fungsi Basis Baru yang diperoleh melalu himpunan fungsi Block-Pulse (BPFs). Penggunaan fungsi Basis Baru menghasilkan suatu sistem persamaan linear dan solusi sistem ini merupakan solusi dari persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear. Melalui dua contoh terlihat bahwa metode yang didiskusikan memberikan solusi yang cukup dekat ke solusi eksak. Kata kunci: persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear fungsi Basis Baru (NFs) fungsi Block-Pulse (BPFs). 1. PENDAHULUAN Banyak permasalahan yang muncul dalam metode numerik salah satunya berupa persamaan integral. Permasalahan yang akan dicari penyelesaiannya dapat dipecahkan secara matematis. Secara umum terdapat dua jenis persamaan integral [5 h. 33] yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Repository FMIPA 1

2 Fredholm. Persamaan integral Volterra memiliki batas integral berupa variabel sedangkan persamaan integral Fredholm memiliki batas integral berupa konstanta. Artikel ini membahas mengenai solusi numerik persamaan integral Volterra- Fredholm yang bentuk umumnya diberikan sebagai berikut u(x) = f(x) + λ 1 K 1 (x t)u(t)dt + λ 2 K 2 (x t)u(t)dt. (1) Pada persamaan integral Volterra-Fredholm ini terdapat beberapa fungsi f(x) K 1 (x t) K 2 (x t) u(x) λ 1 λ 2. Fungsi-fungsi tersebut diaproksimasi ke bentuk matriks yang dijabarkan melalui fungsi Basis Baru (NFs) yang diperoleh dari himpunan fungsi Block-Pulse (BPFs). Selanjutnya fungsi-fungsi tersebut disubstitusikan kembali ke dalam persamaan integral Volterra-Fredholm (1) sehingga diperoleh suatu persamaan. Pada artikel ini di bagian dua diuraikan mengenai fungsi Block-Pulse (BPFs) dan representasi fungsi Basis Baru (NFs) yang akan digunakan untuk perhitungan solusi numerik persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear. Kemudian pada bagian tiga dibahas mengenai solusi numerik persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear menggunakan persamaan nonlinear yang dihasilkan dari transformasi fungsi Basis Baru (NFs). Selanjutkan pada bagian empat mengaplikasikan sistem nonlinear untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear dalam bentuk contoh numerik dan di bagian lima merupakan kesimpulan. 2. FUNGSI BLOCK-PULSE (BPFs) Pada bagian ini dibahas mengenai fungsi Block-Pulse (BPFs) beserta sifat-sifatnya[2]. Fungsi Block-Pulse (BPFs) merupakan suatu fungsi orthogonal dengan nilai-nilai konstan piecewise dipelajari dan diterapkan secara luas sebagai alat yang berguna dalam analisis sintesis identifikasi dan masalah lain kontrol dan sistem ilmu pengetahuan. Definisi 1 [2] Fungsi Block-Pulse (BPFs) merupakan suatu m-himpunan dengan interval [ T ) ditulis sebagai: { 1 untuk it m ϕ i (t) = t < (i+1)t m (2) untuk lainnya dengan i = 1... m 1 dan m bilangan bulat positif. Fungsi Block-Pulse (BPFs) juga bersifat Disjoinedness yaitu { ϕ i (t) untuk i = j ϕ i (t)ϕ j (t) = untuk i j dengan i = 1... m 1. (3) Repository FMIPA 2

3 Fungsi Block-Pulse (BPFs) juga bersifat Orthogonality [2] yaitu : ϕ i (t)ϕ j (t)dt = hδ ij dengan δ ij adalah delta Kronecker yaitu { untuk i j δ ij = 1 untuk i = j (4) Fungsi Block-Pulse (BPFs) juga bersifat Completeness [1 h ] yaitu dengan f 2 (t)dt = f i = 1 h fi 2 ϕ i (t) 2 i= f(t)ϕ i (t)dt. (5) Selain itu bentuk vektor suatu fungsi sebarang misalkan f(t) dapat diaproksimasi dalam bentuk f(t) = i= f i ϕ i (t) = [f (t) f 1 (t) f (t)] [ϕ (t) ϕ 1 (t) ϕ (t)] = Φ T i (t)f dengan F = [f f 1... f ] T dan f i didefinisikan pada persamaan (5) dan Φ(t) = [ϕ (t) ϕ 1 (t)... ϕ (t)] T. Definisi 2(Fungsi Basis Baru) Fungsi Basis Baru ditulis NFs [3] terdiri dari m-himpunan fungsi pada interval [ T ) dari sisi kiri ke-i yaitu N1 i (x) dan sisi kanan ke-i yaitu N2 i (x) didefinisikan dengan: N1 i (x) = { ((i+1)h) 2 x 2 (2i+1)h 2 ih x < (i + 1)h untuk lainnya (6) dan N2 i (x) = { x 2 (ih) 2 (2i+1)h 2 ih x < (i + 1)h untuk lainnya dengan i = 1... m 1 dan h = T sedangkan N1 m i(x) dan N2 i (x) masingmasing suku ke-i dari N1(x) dan N2(x). Selanjutnya fungsi N1 i (x) dan N2 i (x) diasumsikan T = 1 sehingga fungsi Basis Baru (NFs) terdefinisi pada [ 1) dan h = 1. Suku m pertama pada fungsi Basis Baru (NFs) pada persamaan (6) m dan (7) dapat ditulis secara singkat sebagai m-vektor yaitu: N1(x) = [N1 (x) N1 1 (x)... N1 (x)] T x [ 1) (8) (7) Repository FMIPA 3

4 dan N2(x) = [N2 (x) N2 1 (x)... N2 (x)] T x [ 1). (9) Penjumlahan dari N1 i (x) dan N2 i (x) berdasarkan definisi [2] dan sifat Disjoinedness dari fungsi Block-Pulse (BPFs) diperoleh: N1 i (x) + N2 i (x) = ϕ i (x) dengan ϕ i (x) merupakan BPFs ke-i dan terdefinisi pada persamaan (2) sehingga: i= N1 i (x) + i= N2 i (x) = 1 x < 1. (1) Berdasarkan persamaan (1) maka jelas bahwa {N1 i (x)} i= dan {N2 i (x)} i= disjoint. Sifat Orthogonality fungsi Block-Pulse (BPFs) yang terdapat pada fungsi Basis Baru (NFs) berasal dari dan N1 i (x)n1 j (x)dx = 8 15 hδ ij N2 i (x)n2 j (x)dx = 3 15 hδ ij N1 i (x)n2 j (x)dx (11) N2 i (x)n1 j (x)dx (12) dengan i j = m 1 dan δ ij merupakan notasi fungsi delta Kronecker. Representasi dari dua vektor N1(x) dan N1 T (x) berdasarkan sifat disjointedness ditunjukkan sebagai berikut: N1 (x) N1(x)N1 T N1 1 (x) (x) = = diagn1(x) N1 (x) N2 (x) N2(x)N2 T N2 1 (x) (x) = N2 (x) N1(x)N2 T (x) =N2(x)N1 T (x) = m m. = diagn2(x) Misalkan V merupakan 2m-vektor dengan bentuk V T = (V 1 V 2) T dengan V 1 dan V 2 berukuran m. Selanjutnya direpresentasikan perkalian vektor dari fungsi Repository FMIPA 4

5 Basis Baru (NFs) dengan vektor V yang tak diketahui seperti N(x)N T (x)v. Maka diperoleh ( ) ( ) N1(x) V 1 N(x)N T (x)v = (N1 T (x) N2 T (x)) N2(x) V 2 = diag(n(x))v = diag(v )N(x) N(x)N T (x)v = ṼN(x) (13) dengan Ṽ merupakan matriks diagonal berukuran 2m 2m. Misalkan terdapat matriks B berukuran m m ( ) B11 B12 B = B21 B22 maka matriks B juga dapat diaproksimasi dengan menggunakan perkalian dua vektor fungsi Basis Baru (NFs) sehingga ( ) ( ) B11 B12 N1(x) N T (x)bn(x) = (N1 T (x) N2 T (x)) B21 B22 N2(x) = N1 T (x)b11n1(x) + N2 T (x)b22n2(x) N T (x)bn(x) = B11 T N1(x) + B22 T N2(x) dengan B11 dan B22 merupakan m-vektor dengan elemen yang sama dengan entri diagonal dari matriks B maka N T (x)bn(x) = B T N(x). (14) Perluasan fungsi Basis Baru (NFs) pada interval [ 1) didefinisikan C1 dan C2 sebagai bentuk koefisien fungsi Basis Baru (NFs) dengan C1 i = f(ih) dan C2 i = f(i + 1)h untuk i = 1 m 1. Maka suatu fungsi f(x) dapat dihampiri menjadi f(x) i= f(ih)n1 i (x) + i= f((i + 1)h)N2 i (x) f(x) = C1 T N1(x) + C2 T N2(x). i= Apabila C didefinisikan dengan maka ( C1 C2 i= ) f(x) = C1 T N1(x) + C2 T N2(x) f(x) = C T N(x) (15) Repository FMIPA 5

6 Selain itu untuk setiap p bilangan bulat positif pada fungsi f(x) dapat diaproksimasi menggunakan basis baru seperti [f(x)] p C T p N(x) dengan C p merupakan vektor kolom yang elemen ke-p nya merupakan elemen dari vektor C tersebut. Lemma 3: Misalkan C 2m-vektor dan C p merupakan koefisien fungsi Basis Baru (NFs) dari f(x) dan [f(x)] p. Jika maka C = [ C1 T C2 T ] = [C1 C C1 C2 C C2 ] T C p = [ C1 p C1 p 1...C1 p C2 p C2 p 1... C2 p ] T (16) dengan p 1 bilangan bulat positif. Selanjutnya pada persamaan (1) terdapat k(x t) sebagai sebuah fungsi sebarang dari dua variabel. Fungsi tersebut dapat ditransformasikan menggunakan fungsi Basis Baru (NFs) sehingga k(x t) N T (x)kn (t) dengan N(x) dan N (t) merupakan vektor dari fungsi Basis Baru (NFs) dan h = 1 m dan h = 1. Selain itu k juga merupakan koefisien matriks 2m 2m yang berbentuk: m ( ) k11 k12 k = k21 k22 dengan k11 ij = k(ih jh) k12 ij = k(ih (j + 1)h) k21 ij = k((i + 1)h jh) k22 ij = k((i + 1)h (j + 1)h). Salah satu sifat fungsi Block-Pulse (BPFs) yaitu orthogonality dari N 1(x) dan N2(x) pada persamaan (11) dan (12) dan N1 i (x)n2 j (x)dx = selanjutnya perhatikan bahwa D = N(x)N T (x)dx h 15 N2 i (x)n1 j (x)dx = 2 15 hδ ij [ 8Im m 2I m m 2I m m 3I m m ] (17) Maka untuk menghampiri perhatikan bahwa N(x)dx berdasarkan persamaan (6) dan (7) (i+1)h ih N1 i (x)dx 2 3 h Repository FMIPA 6

7 dan sehingga (i+1)h ih N2 i (x)dx 1 3 h x < ih 1 N(x)dx (2 h) ih x < (i + 1)h 3 2 h (i + 1)h x < 1. 3 Oleh karena itu Hal ini berlaku untuk N2 i (r) N1 i (x)dx h [ ]N(x). 6 N2 i (x)dx h [ ]N(x) 6 dengan N(x) didefinisikan pada persamaan (8) dan (9). Sehingga dapat dikatakan bahwa N(x)dx PN(x) dengan P 2m 2m disebut operasi matriks yang diintegralkan dan direpresentasikan dari: P = h 2. (18) m 2m 3. SOLUSI NUMERIK PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR MENGGUNAKAN FUNGSI BASIS BARU (NFs) Misalkan terdapat bentuk persamaan Integral Volterra-Fredholm nonlinear sebagai berikut : u(x) = f(x) + k 1 (x t)[u(t)] p 1 dt + k 2 (x t)[u(t)] p 2 dt; x < 1 (19) Repository FMIPA 7

8 dengan f(x) L 2 [ 1) k 1 (x t) ([ 1) [ 1)) dan k 2 (x t) L 2 ([ 1) [ 1)) merupakan fungsi yang diketahui sedangkan u(x) tidak diketahui serta p 1 dan p 2 merupakan bilangan bulat positif. Menggunakan aproksimasi fungsi f(x) k 1 (x t) k 2 (x t) u(x) [u(x)] p 1 dan [u(x)] p 2 yang bergantung pada fungsi Basis Baru (NFs) diperoleh: f(x) F T N(x) k 1 (x t) N T (x)k 1 N(x) k 2 (x t) N T (x)k 2 N(x) u(x) U T N(x) [u(x)] p 1 U T p 1 N(x) [u(x)] p 2 U T p 2 N(x). Selanjutnya substitusikan aproksimasi fungsi pada persamaan (2) ke persamaan (19) sehingga diperoleh: U T N(x) =F T N(x) + =F T N(x) + N T (x)k 1 N(t)U T p 1 N(t)dt + N(x) T (x)k 1 N(t)N T (t)u p1 dt + N T (x)k 2 N(t)U T p 2 N(t)dt (2) N T K 2 N(t)N T (t)u p2 dt U T N(x) =F T N(x) + N T (x)k 1 N(t)N T (t)u p1 dt + N T (x)k 2 N(t)N T (t)u p2 dt dengan menggunakan persamaan (13) dan persamaan (17) diperoleh suatu persamaan baru yaitu U T N(x) = F T N(x) + N T (x)k 1 Ũ p1 N(t)dt + N T (x)k 2 DU p2 menggunakan persamaan (18) diperoleh: U T N(x) = F T N(x) + N T (x)k 1 Ũ p1 P N(x) + N T (x)k 2 DU p2. (21) Bila diketahui pada persamaan (14) N T (x)bn(x) B T N(x) diasumsikan bahwa B = K 1 Ũ p1 P kemudian substitusikan ke persamaan (14) sehingga menjadi N T (x)k 1 Ũ p1 PN(x) B T N(x) (22) Selanjutnya substitusikan persamaan (22) ke persamaan (21) sehingga diperoleh U T N(x) = F T N(x) + N T (x)bn(x) + N T (x)k 2 DU p2 = F T N(x) + B T N(x) + N T (x)k 2 DU p2 U T N(x) = F T N(x) + B T N(x) + B T N(x) + (K 2 DU p2 ) T N(x). (23) Repository FMIPA 8

9 dengan mengabaikan N(x) maka persamaan (23) menjadi U = F + B + K 2 DU p2 dengan persamaan ini merupakan persamaan nonlinear dari sistem aljabar. 4. CONTOH NUMERIK Contoh 1. Misalkan persamaan integral Fredholm nonlinear dengan u(x) = e x x < 1. Pada soal diketahui u(x) = e x+1 f(x) = e x+1 k(x t) = e x 2t u(x) = e x e x 2t [u(t)] 3 dt [u(x)] p = [u(t)] 3 ; p = 3. Misalkan dipilih m = 32 maka nilai setiap koefisien fungsi Basis Baru (NFs) yang diaproksimasi pada persamaan (2) harus diperoleh terlebih dahulu. Solusi eksak dan aproksimasinya diperoleh seperti pada Tabel 1. Tabel 1: Solusi Numerik untuk Contoh 1 x i Solusi Solusi Numerik Eksak (m=32) Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa hasil yang diperoleh dan metode yang digunakan sangat akurat dan mendekati solusi eksak. Contoh 2. Misalkan persamaan integral Fredholm nonlinear u(x) = e x (1 + 2e3 )x 9 + xt[u(t)] 3 dt Repository FMIPA 9

10 dengan u(x) = e x x < 1. Pada soal diketahui f(x) = e x (1 + 2e3 )x 9 k(x t) = xt u(x) = e x [u(x)] p = [u(t)] 3 ; p = 3. Misalkan dipilih m = 32 maka nilai setiap koefisien fungsi Basis Baru (NFs) yang diaproksimasi pada persamaan (2) harus diperoleh terlebih dahulu. Solusi eksak dan aproksimasinya seperti pada Tabel 2. Tabel 2: Solusi Numerik untuk Contoh 2 x i Solusi Solusi Numerik Eksak (m=32) Berdasarkan Tabel 2 terlihat bahwa hasil yang diperoleh dan metode yang digunakan sangat akurat dan mendekati solusi eksak. 5. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya maka dapat disimpulkan bahwa proses untuk mendapatkan solusi numerik persamaan integral Volterra - Fredholm nonlinear adalah dengan menggunakan representasi dari fungsi Basis Baru dan operasi matriksnya yang kemudian digunakan untuk mendapatkan sebuah persamaan aljabar. Selanjutnya dihasilkan solusi aproksimasi dengan sistem metode iterasi Newton. Untuk menunjukkan konvergensi dan stabilitas metode ini dijalankan dengan meningkatkan m sehingga hasil komputasi lebih akurat lagi. Metode ini dapat dijalankan dengan sangat cepat bahkan untuk nilai m yang besar. Repository FMIPA 1

11 Ucapan Terima Kasih Ucapan terima kasih diberikan kepada Dr. Leli Deswita M.Si yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Bartle R. G. & R. D. Shebert Introduction to Real Analysis 4 rd Ed. John Wiley & Sons Inc. New York. [2] Babolian E. & Z. Masouri. 28. Direct Method to Solve Volterra Integral Equations of the First Kind Using Operational Matrix with Block Pulse Functions. Computational and Applied Mathematics 195: [3] Deb. A. A. Dasgubta & G. Sarkar. 26. A New Set of Orthogonal Functions and Its Application to the Analysis of Dynamic System Journal of the Franklin Institute 343: [4] Maleknejad K. & M. T. Kajani. 22. Solving Integro-Differential Equation by Using Hybrid Legendre and Block-Pulse Functions. Computational and Applied Mathematics 11: [5] Wazwaz. A.M Linear and Nonlinear Integral Equations. Higher Education Press Beijing. Repository FMIPA 11