METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR. Rino Martino 1 ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR Rino Martino 1 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia rinomartin4@gmail.com ABSTRACT A family of secant-like method with a parameter to solve a nonlinear equation is discussed in this article. This method has super-linear convergence, (1 + 5)/2. Furthermore, the numerical computation shows that the choice of the parameter can affect the number of iteration needed to solve a nonlinear equation. Keywords: Nonlinear equation, order of convergence, secant method, secant-like method. ABSTRAK Artikel ini membahas metode iterasi baru bertipe secant untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini mempunyai orde kekonvergenan super-linear, yaitu (1 + 5)/2. Selanjutnya uji komputasi numerik menunjukkan bahwa pemilihan parameter dapat berpengaruh terhadap jumlah iterasi yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu persamaan nonlinear. Kata kunci: Metode iterasi bertipe secant, metode secant, orde kekonvergenan, persamaan nonlinear. 1. PENDAHULUAN Permasalahan matematika yang diterapkan di berbagai bidang ilmu sering kali berakhir dengan penentuan solusi persamaan nonlinear f(x) = 0. (1) Solusi persamaan nonlinear (1) dapat diperoleh dengan menggunakan metode analitik, yang menghasilkan solusi eksak atau solusi sejati. Tetapi, adakalanya persamaan nonlinear tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Oleh karena itu, digunakan metode numerik. Hasil dari penyelesaian metode numerik merupakan Repository FMIPA 1

2 nilai perkiraan atau pendekatan dari penyelesaian analitik atau eksak, sehingga terdapat nilai kesalahan yang akan ditoleransi, namun nilai tersebut harus tidak lebih besar dari nilai toleransi. Salah satu metode numerik yang populer digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear (1) adalah metode secant [2, h ]. Adapun bentuk iterasi metode secant dengan nilai awal x 0 dan x 1 adalah x n x n 1 x n+1 = x n f(x n ), n 1. (2) f(x n ) f(x n 1 ) Metode secant memiliki persamaan error dengan bentuk e n f (r) f (r) e ne n 1 (3) dan orde kekonvergenan metode secant adalah (1 + 5)/2 (super-linear) [1, h. 67]. Dalam perkembangannya banyak peneliti menemukan metode iterasi bertipe secant, di antaranya adalah metode iterasi yang dikemukakan oleh V. Kanwar, J.R. Sharma, dan Mamta [6], dengan bentuk iterasinya adalah 2(x n x n 1 )f(x n ) x n+1 = x n, (f(x n ) f(x n 1 )) ± (f(x n ) f(x n 1 )) 2 + 4αf(x n )(x n x n 1 ) 2 (4) dengan n = 1, 2, 3,... dan α adalah sebuah parameter. Jika α = 0, maka metode iterasi (4) akan kembali ke formula metode secant (2). Metode iterasi (4) memiliki perhitungan nilai akar kuadrat. Hal ini membuat metode ini akan sulit diterapkan dalam beberapa kasus. Selain itu, untuk menghindari rounding error (kesalahan pembulatan) pada persamaan (4), maka berlaku kondisi tambahan pada persamaan (4) sehingga menjadi dimana dengan x n+1 = x n 2(x n x n 1 )f(x n ) K + Sign(K) K 2 + 4αf(x n )(x n x n 1 ) 2, (5) Sign(K) = K = f(x n ) f(x n 1 ), { 1, untuk K 0, 1, untuk K < 0. untuk n = 1, 2, 3,.... Metode Kanwar memiliki persamaan error yang sama dengan persamaan error metode secant, yaitu (1 + 5)/2 (super-linear). Artikel ini merupakan review dari jurnal Liang Chen [4], dengan judul A Family of Improved Secant-like Method with Super-linear Convergence. Pada bagian dua dibahas metode iterasi baru bertipe secant dengan menerapkan proses awal pembentukan formula iterasi yang sama seperti proses awal pembentukan formula iterasi (4) sehingga ditemukan formula iterasi yang berbeda, kemudian dilanjutkan pada bagian tiga dengan melakukan contoh komputasi numerik terhadap lima fungsi uji. Repository FMIPA 2

3 Misalkan 2. METODE ITERASI BARU BERTIPE SECANT DENGAN KEKONVERGENAN SUPER-LINEAR y = f(x) (6) mewakili grafik fungsi f(x) dan asumsikan bahwa x 0 dan x 1 merupakan tebakan awal yang dibutuhkan untuk menemukan akar persamaan nonlinear f(x) = 0, katakan r. Kemudian fungsi linear, katakan p(x), yang grafiknya melalui titik (x 0, f(x 0 )) dan (x 1, f(x 1 )) dan fungsi tersebut mengaproksimasi fungsi f(x) adalah y f(x 1 ) f(x 0 ) f(x 1 ) = x x 1 x 0 x 1 y = p(x) = f(x 1 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x x 1 ). (7) Kemudian, persamaan parabola yang titik puncaknya (x 1, 0) dan sumbunya sejajar dengan sumbu-y adalah y = α(x x 1 ) 2, (8) dengan α adalah sebuah parameter. Parabola pada persamaan (8) akan melebar jika α menuju nol dan menyempit jika α membesar. Parabola pada persamaan (8) memotong grafik p(x) pada titik (x 2, p(x 2 )), sehingga persamaan (7) menjadi dan persamaan (8) menjadi Dari persamaan (9) dan (10) diperoleh p(x 2 ) = f(x 1 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x 2 x 1 ), (9) p(x 2 ) = α(x 2 x 1 ) 2. (10) f(x 1 ) + f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x 2 x 1 ) = α(x 2 x 1 ) 2 α(x 2 x 1 ) 2 f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 (x 2 x 1 ) f(x 1 ) = 0. (11) Kemudian, dengan memfaktorkan (x 2 x 1 ) dari dua suku pertama pada persamaan (11) sehingga diperoleh [ α(x 2 x 1 ) f(x ] 1) f(x 0 ) (x 2 x 1 ) f(x 1 ) = 0 x 1 x 0 f(x 1 ) x 2 x 1 = α(x 2 x 1 ) f(x 1) f(x 0 ) x 1 x 0 f(x 1 )(x 1 x 0 ) = α(x 2 x 1 )(x 1 x 0 ) (f(x 1 ) f(x 0 )). Repository FMIPA 3

4 Dengan mengaproksimasi x 2 di ruas kanan dengan formula metode secant, diperoleh f(x 1 )(x 1 x 0 ) x 2 x 1 = α(x 2 x 1 )(x 1 x 0 ) (f(x 1 ) f(x 0 )) f(x 1 )(x 1 x 0 ) = ( ) x α x 1 f(x 1 ) 1 x 0 x f(x 1 ) f(x 0 ) 1 (x 1 x 0 ) (f(x 1 ) f(x 0 )) x 2 = x 1 f(x 1)(x 1 x 0 )(f(x 1 ) f(x 0 )) [f(x 1 ) f(x 0 )] 2 + αf(x 1 )(x 1 x 0 ) 2. (12) Jadi, bentuk umum dari metode iterasi baru bertipe secant adalah x n+1 = x n f(x n)(x n x n 1 )(f(x n ) f(x n 1 )) [f(x n ) f(x n 1 )] 2 + αf(x n )(x n x n 1 ) 2, (13) dengan n = 1, 2, 3,... dan α adalah sebuah konstanta. Sama halnya dengan metode iterasi (5), pemilihan α pada metode iterasi (13) sangat berpengaruh terhadap iterasi, yaitu akan berpengaruh terhadap parabola yang akan digunakan. Jika diambil α = 0, maka parabola tidak terbentuk dan iterasi kembali ke metode secant. Teorema 1 (Orde Kekonvergenan) Asumsikan bahwa fungsi f : D R R yang kontinu untuk sebuah interval terbuka D mempunyai akar sederhana r D. Misalkan f(x) mempunyai turunan pertama, kedua, dan ketiga pada interval D, maka orde kekonvergenan dari metode yang diberikan oleh persamaan (13) adalah (1 + 5)/2. Bukti: Misalkan r adalah akar dari persamaan f(x) = 0, maka f(r) = 0. Dengan menggunakan Teorema Taylor [3, h ], f(x n ) diekspansikan di sekitar r, diperoleh f(x n ) = f(r) + f (r)(x n r) + f (r) 2! (x n r) 2 + f (r) (x n r) 3 +. (14) 3! Misalkan e n = x n r, dan karena f(r) = 0 maka persamaan (14) menjadi ( f(x n ) = f (r) e n + 1 f (r) 2! f (r) e2 n + 1 ) f (r) 3! f (r) e3 n +. (15) Misalkan C k = 1 k! f (k) (r), k = 2, 3,..., maka persamaan (15) menjadi f (r) f(x n ) = f (r) ( e n + C 2 e 2 n + C 3 e 3 n + ). (16) Dengan cara yang sama, f(x n 1 ) diekspansikan di sekitar r adalah f(x n 1 ) = f (r) ( e n 1 + C 2 e 2 n 1 + C 3 e 3 n 1 + ). (17) Repository FMIPA 4

5 Dari persamaan (16) dan (17) diperoleh f(x n ) f(x n 1 ) = f (r) ( (e n e n 1 ) + C 2 (e n e n 1 ) 2 + C 3 (e n e n 1 ) 3 + ) f(x n ) f(x n 1 ) = f (r)(e n e n 1 ) ( 1 + C 2 (e n e n 1 ) + C 3 (e n e n 1 ) 2 + ). (18) Kemudian persamaan (16), (17), dan (18) disubstitusikan ke persamaan (13), diperoleh (e n + C 2 e 2 n + )(1 + C 2 (e n + e n 1 ) + ) x n+1 = x n (1 + C 2 (e n + e n 1 ) + ) 2 + α (e f (r) n + C 2 e 2 n + ) x n+1 r = x n r 1 + ( 2C 2 + e n + 2C 2 e 2 n + C 2 e n e n 1 + ) α e f (r) n + 2C 2 e n 1 + C2(e 2 n + e n 1 ) 2 + e n + 2C 2 e 2 n + C 2 e n e n 1 + e n+1 = e n ( ) 1 + 2C 2 + e n + 2C 2 e n 1 + α f (r) Kemudian dengan menggunakan identitas deret geometri α C f (r) 2e 2 n +. (19) p = 1 p + p2 p 3 +, ( ) dan dengan memisalkan p = 2C 2 + α e f (r) n +2C 2 e n 1, maka persamaan (19) menjadi e n+1 = e n (e n + 2C 2 e 2 n + C 2 e n e n 1 + ) [ (( 1 2C 2 + α ) ) e f n + 2C 2 e n 1 (r) (( + 2C 2 + = C 2 e n e n 1 + α f (r) ) e n + 2C 2 e n 1 ) 2 + C 2 e n e n 1 e n+1 1 f (r) 2! f (r) e ne n 1. (20) Persamaan (20) merupakan persamaan error metode iterasi baru bertipe secant. Dapat dilihat bahwa persamaan (20) sama dengan persamaan error metode secant, persamaan (3), maka dapat disimpulkan bahwa orde kekonvergenan dari metode iterasi baru bertipe secant sama dengan orde kekonvergenan metode secant, yaitu (1 + 5)/2 (super-linear). ] Repository FMIPA 5

6 3. CONTOH NUMERIK Pada bagian ini akan dilakukan uji komputasi numerik untuk membandingkan kecepatan kekonvergenan pada metode secant, metode Kanwar, dan metode iterasi baru bertipe secant dalam menghampiri pembuat nol suatu fungsi nonlinear f(x). Dalam hal ini akan dibandingkan banyak iterasi pada ketiga metode tersebut. Adapun fungsi-fungsi yang digunakan dalam simulasi numerik ini adalah sebagai berikut: 1. f 1 (x) = xe x2 sin 2 (x) + 3 cos(x) + 5, 2. f 2 (x) = x 3 2x 5, 3. f 3 (x) = xe x 1, 4. f 4 (x) = xe x cos(x), dan 5. f 5 (x) = sin 2 (x) x Uji komputasi numerik ini dilakukan dengan menggunakan program Matlab R2011a dengan M-file dari algoritma masing-masing metode. Dalam uji komputasi numerik ini ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama, yaitu sebagai berikut: 1. jika nilai mutlak dari evaluasi fungsi lebih kecil dari nilai toleransi yang ditetapkan, f(x n+1 ) < T ol, atau 2. jika nilai mutlak dari selisih dua akar hampiran terakhir lebih kecil dari nilai toleransi yang ditetapkan, x n+1 x n < T ol, atau 3. jika iterasi mencapai batas maksimum iterasi. Toleransi yang ditetapkan dalam contoh numerik ini adalah T ol = dan batas maksimum iterasi yaitu N = 100 iterasi. Untuk lebih jelasnya akan diberikan hasil komputasi dari contoh-contoh fungsi yang telah diberikan. Hasil komputasi disajikan dalam bentuk tabel, yaitu Tabel 1, 2, 3, dan 4. Tabel 1 merupakan tabel yang menyajikan perbandingan hasil komputasi dari ketiga metode terhadap suatu fungsi, tebakan awal, dan α yang diberikan. Sedangkan Tabel 2, 3, dan 4 menyajikan banyaknya iterasi yang diperlukan masingmasing metode dalam menyelesaikan persamaan nonlinear dengan beberapa nilai α yang berbeda untuk setiap fungsi yang diberikan. Dalam uji komputasi numerik ini, penulis melakukan lebih dari satu komputasi dengan nilai α yang berbeda untuk tiap contoh fungsi yang diberikan. Tebakan awal dan nilai-nilai α pada tiap komputasi disesuaikan dengan tebakan awal dan nilai-nilai α yang digunakan oleh Liang Chen [4]. Tabel 1 menunjukkan bahwa walaupun metode secant, metode Kanwar, dan metode iterasi baru bertipe secant memiliki orde kekonvergenan yang sama, yaitu (1 + 5)/2, namun dengan pemilihan nilai α yang tepat, maka metode iterasi baru Repository FMIPA 6

7 Tabel 1: Tabel perbandingan hasil uji komputasi metode secant, metode Kanwar, dan metode iterasi baru bertipe secant n Metode Secant Metode Kanwar Metode Baru Fungsi Pertama f 1 (x) = xe x2 sin 2 (x) + 3 cos(x) + 5 x 0 = 2, x 1 = 1, dan α = Fungsi Kedua f 2 (x) = x 3 2x 5 x 0 = 0, x 1 = 2, dan α = Fungsi Ketiga f 3 (x) = xe x 1 x 0 = 1, x 1 = 0.5, dan α = Fungsi Keempat f 4 (x) = xe x cos(x) x 0 = 1, x 1 = 4, dan α = Repository FMIPA 7

8 n Metode Secant Metode Kanwar Metode Baru Fungsi Kelima f 5 (x) = sin 2 (x) x x 0 = 2, x 1 = 1.5, dan α = bertipe secant akan lebih unggul dari metode secant dan metode Kanwar dalam hal banyak iterasi yang diperlukan. Pemilihan α dapat mempengaruhi banyak iterasi yang diperlukan metode Kanwar dan metode iterasi baru bertipe secant untuk menyelesaikan suatu persamaan nonlinear, serta jika α = 0 maka metode Kanwar dan metode iterasi baru bertipe secant akan menjadi metode secant. Oleh karena itu, kemudian akan dilakukan uji komputasi dengan beberapa nilai α yang berbeda untuk menunjukkan pengaruh pemilihan α terhadap hasil komputasi dari metode Kanwar dan metode iterasi baru bertipe secant. Tabel 2: Hasil uji komputasi metode secant Fungsi Tebakan Awal x 0 x 1 n x n+1 f(x n+1 ) x n+1 x n f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x) f 4 (x) f 5 (x) Repository FMIPA 8

9 Tabel 3: Hasil uji komputasi metode Kanwar dengan beberapa nilai α Tebakan Awal x 0 = 2 x 1 = 1 x 0 = 0 x 1 = 2 x 0 = 1 x 1 = 0.5 x 0 = 1 x 1 = 4 x 0 = 2 x 1 = 1.5 α n x n+1 f(x n+1 ) x n+1 x n f 1 (x) = xe x2 sin 2 (x) + 3 cos(x) f 2 (x) = x 3 2x f 3 (x) = xe x f 4 (x) = xe x cos(x) f 5 (x) = sin 2 (x) x Repository FMIPA 9

10 Tabel 4: Hasil uji komputasi metode iterasi baru bertipe secant dengan beberapa nilai α Tebakan Awal x 0 = 2 x 1 = 1 x 0 = 0 x 1 = 2 x 0 = 1 x 1 = 0.5 x 0 = 1 x 1 = 4 x 0 = 2 x 1 = 1.5 α n x n+1 f(x n+1 ) x n+1 x n f 1 (x) = xe x2 sin 2 (x) + 3 cos(x) f 2 (x) = x 3 2x f 3 (x) = xe x f 4 (x) = xe x cos(x) f 5 (x) = sin 2 (x) x Repository FMIPA 10

11 Berdasarkan hasil uji komputasi numerik yang ditunjukkan oleh Tabel 2, 3, 4, dapat dilihat bahwa pemilihan nilai α dapat mempengaruhi banyaknya iterasi yang diperlukan metode Kanwar dan metode iterasi baru bertipe secant untuk menyelesaikan suatu persamaan nonlinear. Ketiga tabel tersebut juga menunjukkan bahwa ketika nilai α mendekati 0, maka banyak iterasi akan konsisten menuju banyak iterasi yang diperlukan metode secant. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Bapak Dr. Syamsudhuha, M.Sc dan Bapak Supriadi Putra, M.Si yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] Atkinson, K. E An Introduction to Numerical Analysis, Second Edition. John Wiley & Son, Inc., New York. [2] Atkinson, K. E Elementary Numerical Analysis, Second Edition. John Wiley & Son, Inc., New York. [3] Bartle, R. G. & D. R. Sherbert Introduction to Real Analysis, Third Edition. John Wiley & Son, Inc., New York. [4] Chen, L A Family of Improved Secant-like Method with Super-linear Convergence. International Journal of Mathematical, Computational Science and Engineering, 7(4): [5] Kincaid, D. R. & E. W. Cheney Numerical Analysis Mathematics of Scientific Computing. Brooks/Cole Publishing Company, California. [6] Kanwar, V., J.R. Sharma, & Mamta A New Family of Secant-Like Methods with Super-linear Convergence. Applied Mathematics and Computations, 171: [7] Mathews, J.H. & K.D. Fink Numerical Methods Using MATLAB, Third Edition. Prentice Hall, New Jersey. Repository FMIPA 11