METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE ORDE-TINGGI UNTUK MENENTUKAN AKAR DARI PERSAMAAN NONLINEAR I. P. Edwar, M. Imran, L. Deswita Mahasiswa Program Studi S Matematika Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru 893, Indonesia edwar.iinpurnama@gmail.com ABSTRACT We discuss a derivation of a high-order iterative method based on Taylor expansion of a nonlinear function. The method is a special case of the method derived by Germani, A., et al. in Journal of Optimization Theory and Applications We show analytically with a different technique from those of Germani that the method is of four order. The numerical simulation using four nonlinear functions shows that the performance of the method is better than those of Newton method, Traub method, Halley method, and Chebyshev method. Keywords: high-order method, iterative method, Newton method, nonlinear equation ABSTRAK Skripsi ini membahas metode orde-tinggi yang diturunkan berdasarkan ekspansi Taylor dan merupakan hal khusus dari artikel Germani, A., et al., Journal of Optimization Theory and Applications Secara analitik dengan teknik yang berbeda dengan teknik yang digunakan Germani ditunjukkan bahwa metode orde-tinggi yang diperoleh berorde empat. Hasil simulasi menggunakan empat fungsi nonlinear menunjukkan bahwa metode orde tinggi unggul dari metode Newton, metode Traub, metode Halley, dan metode Chebyshev. Kata kunci: metode iterasi, metode Newton, metode orde-tinggi, persamaan nonlinear. PENDAHULUAN Dalam bidang matematika sering ditemui permasalahan yang berkaitan dengan menemukan solusi dari persamaan nonlinear fx =.

2 Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan adalah metode numerik, yang menghasilkan solusi hampiran. Metode Newton [3, h.55] merupakan salah satu dari metode numerik yang sering digunakan untuk menyelesaian persamaan nonlinear, yang bentuk iterasinya diberikan oleh x k = x k fx k, k =,,,... f x k Bila tebakan awal yang diberikan cukup dekat ke akar α, metode Newton konvergen kuadratik [3, h.57]. Metode Newton dapat dinyatakan dalam metode dua langkah juga sering disebut dengan metode Traub [6, h.84], y k = x k fx k f x k, 3 x k = y k fy k f x k untuk k. 4 Metode ini memerlukan perhitungan fungsi dan satu perhitungan derivatif periterasinya. Bila ekspansi Taylor untuk fx di sekitar x = x n dilakukan sampai suku ke tiga, maka diperoleh metode Halley [7, h.86] x k = x k dan metode Chebyshev [7, h.88], fx k f x k, k =,,,...,n, 5 f x k f x k fx k x k = x k fx k f x k f x k f x k f x k 3. 6 Metode iterasi 5 dan 6, sama-sama memiliki orde konvergensi tiga. Untuk orde yang lebih tinggi dari tiga, strategi penemuan metode iterasi menggunakan ekspansi Taylor secara langsung mengalami aljabar yang rumit. Untuk mengatasi ini A. Germani, C. Manes, P. Palumbo, dan M. Sciandrone memberikan teknik yang disajikannya dalam artikel Higher-Order Method for the Solution of a Nonlinear Scalar Equation [4]. Teknis yang dikemukakan Germani inilah yang menjadi bahasan artikel ini yang dibatasi untuk kasus ekspansi Taylor sampai suku ke empat.. METODE ORDE-TINGGI Germani [4] menyarankan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, dengan menyelesaikan sistem f i x =, i =,...,n. 7

3 Bila n = 3, maka ekspansi Taylor [, h.84] untuk 7 disekitar x = x k adalah fx k f x k x x k f x k x x k! f3 x k x x k 3 = f x k f x k x x k f x k x x k! f 3 x k x x k 3 = 8 f 3 x k f 3 x k x x k f3 x k x x k! f3 3 x k x x k 3 =. Sistem persamaan 8 diubah ke dalam bentuk matriks dengan fx k f x k f 3 x k f x k f x k f 3 x k f x k! f x k! f 3 x k! f 3 x k f 3 x k f 3 3 x k y,k y,k y 3,k =, 9 y i,k = x x k i, i =,,3. Sistem persamaan 9 dapat ditulis dalam bentuk Q 3 fx k y,k y,k =, y 3,k dengan Q 3 fx k = fx k f x k f x k f x k f 3 x k f 3 x k f x k! f x k! f 3 x k! f 3 x k f 3 x k f 3 3 x k. Karena semua subdeterminan dari Q 3 fx k tidak sama dengan nol, maka faktorisasi LU [, h.4] dari ada, yaitu Q 3 fx k = LU, 3 dengan dan U = L = fx k f x k fx k f 3 x k 3f x k 3fx k f x k!, 4 f 3 x k f x k f x k f x k f x k f x k

4 Selanjutnya persamaan ditulis menjadi LU = y,k y,k y 3,k. 6 Kemudian persamaan 6 akan diselesaikan dengan forward substitution dan backward substitution sehingga diperoleh y 3,k = f3 x k f x k 3, y,k = f x k f x k f x k f 3 x k, f x k 4 y,k = fx k f x k fxk f x k f x k f x k f x k f 3 x k f x k 6f x k fxk f x k Pada persamaan diketahui bahwa y,k = x x k, maka 3. 7 x = x k y,k. 8 Bila x dinyatakan dengan x k, maka persamaan 8 menjadi x k = x k y,k, 9 dan dengan mensubstitusikan nilai y,k pada persamaan 7 ke persamaan 9, diperoleh x k = x k fx k f x k f x k fxk f x k f x k f x k f 3 3 x k fxk, f x f x k 6f x k f k. x k Persamaan merupakan bentuk iterasi dari metode orde-tinggi. Berikut ini ditunjukkan orde konvergensi metode iterasi sebagaimana disaji Teorema. Teorema Orde Konvergensi Misalkan f : D R, dengan D R. Misalkan α D adalah akar sederhana fx =. Misalkan juga f mempunyai turunan pertama, ke dua, ke tiga, dan ke empat yang kontinu pada D. Jika x cukup dekat ke α maka metode iterasi pada persamaan mempunyai orde kekonvergenan empat dengan persamaan tingkat error, yaitu dengan F j = f j α,j. e k = F4 4F 5F3 8F 3 5F F 3 e 4 F k, 4

5 Bukti Misalkan α adalah akar dari persamaan fx = maka fα =. Asumsikan f α dan e k = x k α. Ekspansi Taylor dari fx k di sekitar x k = α sampai suku ke lima dan mengabaikan suku yang lebih tinggi, diperoleh fx k = fαf αx k α f αx k α f3 αx k α 3! f4 αx k α 4. 4! Karena α adalah akar, maka fα = dan persamaan menjadi fx k = F e k F e k F 3e 3 k 6 F 4e 4 k 4, dimana F j = f j α,j. Melalui cara yang sama, ekspansi Taylor dari f x k, f x k, dan f 3 x k di sekitar x k = α dengan mengabaikan suku ke enam dan seterusnya, didapat f x k = F F e k F 3e k F 4e 3 k F 5e 4 k, 3 F F 6F 4F Dari persamaan 3 didapat f x k = F F 3 e k F 4e k f 3 x k = F 3 F 4 e k F 5e k F 5e 3 k 6 F 6e 3 k 6 F 6e 4 k 4, 4 F 7e 4 k 4. 5 f x k = F F e k F F 3e k F F 4e 3 k 6F F 5e 4 k 4F. 6 Selanjutnya dengan bantuan deret geometri, persamaan 6 dapat ditulis menjadi f x k = F e k F 3 F e F F F F 3 k F 4 F F 3 F3 e 3 6F F 3 F 4 k F F 4 3F 3 3F F 3 F 4 F 3 4F 3 F4 F 5 F 5 4F e 4 k. 7 Selanjutnya persamaan 7 dikalikan dengan persamaan dan disederhanakan, sehingga diperoleh fx k f x k = e k e k F F3 F e 3 F4 F 3F F k F3 7F F 3 e 4 8F F 3 F k. 8 Kemudian dihitung f x k f x k dengan menggunakan persamaan 4 dan persamaan 5

6 7 kemudian disederhanakan, diperoleh f x k f x k = F F F F F 3 F F F 5 4F 5F 3F 4 F F 3 e k 3F F 3 F 4 F F F4 F 4 F5 F 5 5F3 F 3 F 4 F F3 F 4 F F 4 F F 4 6F F 3 3F 5F F 3 4F 3 F 3 e 3 k e k F 6 5F F 4 F F 4 4F 6F 3 6F e 4 k. 9 Selanjutnya dihitung f3 x k f x k dengan menggunakan persamaan 5 dan persamaan 7 kemudian disederhanakan, diperoleh f 3 x k f x k = F 3 F4 F F F 3 F F F F 4 F 3 F3 3 4F 3 F 4F 3 F 4 F F 3 F 3 F 4 6F F e k F 3 F 3 F 3 F 7F 3F 5 4F F 6F 6F F3 F 3 F 4 3F 3F F 4 F 3F 4 3F 4F 3F F 4 3F 3 F 3F 4 F F 4 F F 5 F e k F 6 6F F F 5 F F 5 e 3 k F 7 4F F 5F F 3 e 4 k. 3 Bila persamaan 8, 9, 3, disubstitusikan ke persamaan, maka setelah penyederhanaan diperoleh F4 x k = x k e k 5F3 5F F 3 e 4 4F 8F 3 F k, atau e k = F4 4F 5F3 8F 3 5F F 3 e 4 F k, 3 dengan e k = x k α. Bila diambil nilai mutlak kedua ruas pada persamaan 3, maka didapat e k e 4 k = F 4 5F3 5F F 3 4F 8F 3 F. Dari Definisi Orde Konvergensi [5, h.75] diperoleh kekonvergenan orde empat, maka Teorema terbukti. 6

7 3. SIMULASI NUMERIK Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik yang bertujuan untuk membandingkan banyak iterasi dari metode Newton MN, metode Traub MT 3 dan 4, metode Halley MH 5, Metode Chebyshev MC 6 dan metode Orde-Tinggi MOT dalam menemukan akar dari persamaan nonlinear. Dalam melakukan perbandingan ini, persamaan nonlinear yang digunakan adalah:. fx = x 3 x3, α = fx = x 3 3x x.4, α = fx = x 7 x 5 3x 3 x x, α = fx = sinx x, α = Perbandingan ke empat contoh di atas menggunakan program Matlab 7.., dengan menggunakan kriteria pemberhentian program komputasi yang sama untuk setiap metode, yaitu:. Jika f x k =,. Jika fx n Tol, 3. Jika x k x k Tol. dengan Tol adalah toleransi sebesar dan maksimum iterasi. Tabel merupakan Tabel perbandingan dari lima metode yang berbeda. Pada Tabel kolom pertama merupakan fungsi, kolom ke dua merupakan tebakan awal yangdinotasikandenganx,kolomketigasampaikolomketujuhmerupakanmetode yang dibandingkan, dan kolom terakhir merupakan nilai dari akar real yang dinotasikan dengan α. Tanda pada jumlah iterasi menyatakan bahwa metode konvergen ke akar yang lain tidak sama dengan nilai akar yang tertera pada kolom terakhir. Jumlah iterasi merupakan jumlah iterasi dari metode melebihi maksimum iterasi sedangkan Div Divergen menyatakan bahwa iterasi yang dihasilkan tidak menuju ke satu akar. Berdasarkan jumlah iterasi, maka dari Tabel terlihat bahwa terdapat perbedaan yang signifikan antara MN, MT, MH, MC, dan MOT. Masing-masing metode mempunyai keunggulan jumlah iterasi pada setiap tebakan awal yang berbeda. Secara umum MOT lebih unggul dari metode pembanding yang lain. 7

8 Tabel : Perbandingan dari beberapa metode iterasi Jumlah iterasi metode fx x MN MT MH MC MOT α * -. 6* 4 8* 7 f * * 3 3* 3. 4* 3* 3 3* 3 f.3 7* 35* 4* * * 8 3* * * 4* 4 4* 4 f 3. 7* Div * 6.5 8* * f * * 4* 5 4* * 3 Div 4 DAFTAR PUSTAKA [] Allaire, G. & S. M. Kaber. 8. Numerical Linear Algebra. Springer, New York. [] Bartle, R. G. & D. R. Shebert Introduction to Real Analysis, nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [3] Faires, J. D & R. L. Burden.. Numerical Methods, 3 rd Ed, Brooks Cole, Belmont [4] Germani, A., C. Manes., P. Palumbo., & M. Sciandrone. 6. Higher-Order Method for the Solution of a Nonlinear Scalar Equation. Journal of Optimization Theory and Applications, 3: [5] Mathews, J. H. & K. D. Fink Numerical Methods Using MATLAB, 3 rd Ed. Prentice Hall, New Jersey. [6] Traub, J. F Iterative Methods for Solution of Equations. Prentice Hall.Englewood Cliffs, New Jersey. [7] Wait, R The Numerical Solution of Algebraic Equations. John Wiley & Sons, Inc., Chicester. 8