METODE ITERASI OPTIMAL TANPA TURUNAN BERDASARKAN BEDA TERBAGI ABSTRACT

Transkripsi

1 METODE ITERASI OPTIMAL TANPA TURUNAN BERDASARKAN BEDA TERBAGI Amelia Riski, Putra. Supriadi 2, Agusni 2 Mahasiswa Program Studi S Matematika 2 Laboratorium Matematika Terapan, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia riskiameliabintikhaidir@yahoo.com ABSTRACT We discuss an iterative method free from derivative based on divided difference for solving nonlinear equation. This iterative method has the convergence of order six and for each iteration it requires four function evaluation, so the efficiency index has.565. Further more, the computational tes shows that the discussed method superior, both in the number of function evaluations, as well as the number of iterations needed to get a root. Keywords: divided difference, eficiency index, free derivative method, order of convergence. ABSTRAK Kertas kerja ini membahas metode iterasi tanpa turunan berdasarkan beda terbagi untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini mempunyai kekonvergenan orde enam dan pada setiap iterasinya melakukan evaluasi fungsi sebanyak empat kali perhitungan, indek efisiensinya adalah.565. Selanjutnya dari uji komputasi terlihat bahwa metode iterasi yang digunakan lebih unggul dari metode pembanding, baik dari perhitungan, maupun jumlah iterasi yang diperlukan untuk mendapatkan akar. Kata kunci: beda terbagi, indek efisiensi, metode iterasi tanpa turunan, orde konvergensi.. PENDAHULUAN Menemukan teknik untuk mendapat solusi persamaan nonlinear yang berbentuk f(x) = 0, () adalah suatu topik yang hangat dalam penelitian di bidang analisis numerik. Hal ini dikarenakan tidak semua kasus persamaan () dapat diselesaikan secara secara

2 analitik, seperti polinomial berderajat 5 atau lebih, sehingga solusi numerik menjadi alternatif. Metode numerik yang populer digunakan untuk menyelesaikan persamaan () adalah Metode Newton dengan bentuk iterasi x n+ = x n f(x n) f (x n ), f (x n ) 0 dan n = 0,,2,, (2) yang memiliki keonvergenan orde dua, [3, h ]. Dalam perkembangannya banyak peneliti berusaha untuk memodifikasi metode Newton dengan menghindari munculnya turunan di formula iterasi (2), diantaranya adalah Metode Steffensen, dengan bentuk iterasinya adalah x n+ = x n f(x n +f(x n )) f(x n ) dengan kekonvergenan orde dua [5, h. 278]. Metode iterasi lain yang menghindari munculnya turunan adalah yang diturunkan dari metode Potra dan Ptak yang dikemukakan oleh Dehghan-Hajarian, dengan kekonvergenan orde tiga [4]. Metode ini memiliki bentuk iterasi y n+ = x n (3) f(x n +f(x n )) f(x n ), (4) x n+ = x n f(x n)[f(y n+ f(x n )] f(x n +f(x n )) f(x n ). (5) Selanjutnya metode Jain [6] dengan bentuk sebagai berikut y n = x n f(x n +f(x n )) f(x n ), (6) f(x n ) 3 x n+ = x n f(x n +f(x n )) (f(x n ))(f(x n ) f(y n )). (7) Pada kertas kerja ini di bagian dua dibahas metode iterasi optimal tanpa turunan berdasarkan beda terbagi yang merupakan review dari artikel F. Soleymani [7], dengan judul Eficient Sixth-Order Nonlinear Equation Solver Free from Derivative, kemudian dilanjutkan di bagian tiga dengan melakukan komputasi numerik terhadap lima fungsi uji. 2. METODE ITERASI OPTIMAL Perhatikan Metode Iterasi Tiga Langkah sebagai berikut y n = x n f(x n) f (x n ), z n = y n f(y n) f (y n ), x n+ = z n f(z n) f (z n ). (8) 2

3 Turunan pertama f (x n ) di x dapat ditaksir dengan menggunakan rumus forward difference[8] yaitu f (x n ) f(x n +f(x n )) f(x n ). (9) f(x n ) Untuk memperoleh metode Iterasi Tiga Langkah yaitu dengan menaksir turunan yang ada pada langkah pertama dengan Forward Difference (9) ke persamaan (8) diperoleh y n = x n f(w n ) f(x n ). (0) Turunan pada langkah kedua dan ketiga ditaksir dengan menngunakan interpolasi linear dan interpolasi kuadratik berdasarkan beda terbagi. Sehingga diperoleh Metode Iterasi Tiga Langkah yang berorde dua [7], y n = x n f(w n ) f(x n ),w n = x n +f(x n ) z n = y n f(y n) f (y n ), x n+ = z n f(z n) f (z n ). Dengan menggunakan hubungan w n = (x n +f(x n )) dan definisi beda terbagi [, h. -2], maka () y n = x n f(x n) f[w n,x n ]. (2) Selanjutnya akan dicari bentuk lain dari f (y n ) dan f (z n ) yaitu dengan cara mengaproksimasi bentuk turunan pertama f (y n ) dan f (z n ) pada persamaan (2). Nilai p (t) = a 0 +a (t x n ) adalah interpolasi polinomial orde satu untuk f(t), yaitu dengan nilai p (t) xn = f(x n ) dan p (t) yn = f(y n ). Sehingga diperoleh dan karena a 0 = f(x n ) maka f(t) p(t) = a 0 +a (t x n ), (3) f(x n ) = p (t) xn = a 0 +a (x n x n ) = a 0, (4) f(y n ) = p (t) yn = a 0 +a (y n x n ) = a 0, (5) a = f(y n) f(x n ) y n x n, = f[x n,y n ], a = f (y n ). (6) 3

4 Selanjutnya untuk mencari f (z n ), misalkan f(t) = p 2 (t) = b(t x n ) 2 +c(t x n )+d dengan p 2 (t) xn = f(x n ),p 2 (t) yn = f(y n ),p 2 (t) zn = f(z n ). Menggunakan kondisi ini diperoleh f(x n ) = b(x n x n ) 2 +c(x n x n )+d = d. (7) f(y n ) = b(y n x n ) 2 +c(y n x n )+f(x n ). (8) f(z n ) = b(z n x n ) 2 +c(z n x n )+f(x n ). (9) Dengan menggurangkan persamaan (8) dan (9) akan diperoleh nilai b dan c b = f[y n,x n ]+f[x n,z n ] y n z n, (20) c = (x n z n )f[x n,y n ]+(y n x n )f[x n,z n ], y n z n (2) f(z n ) =f[x n,z n ] f[x n,y n ]+f[y n,z n ]. (22) Dengan menggunakan hasil ini maka persamaan (20) dapat ditulis dalam bentuk y n = x n f(x n) f[x n,w n ],w n = x n +f(x n ) z n = y n f(y n) f[x n,y n ], (23) f(z n ) x n+ = z n f[x n,z n ] f[x n,y n ]+f[y n,z n ], yang disebut dengan metode Iterasi Optimal Tanpa Turunan Berdasarkan Beda Terbagi. Teorema (Orde Konvergensi) Misalkan α I akar sederhana dari fungsi f, f : I R yang terdiferensial secukupnya pada interval terbuka I. Jika x 0 cukup dekat dengan α, maka MIO mempunyai konvergensi orde enam sebagai berikut: e n+ = x n+ α = (+c ) 2 c 3 2(c 2 2 c c 3 ) e 6 c 5 n +O(e 7 n). dengan c k = f (k) (α), k =,2,3,. Bukti: Misalkan α adalah akar dari persamaan f(x) = 0, maka f(α) = 0 dan asumsikanf (α) 0. Misalkanjugae n = x n α. Denganmelakukanekspansitaylor [2, h.84] terhadap f(x n ) disekitar x n = α sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh f(x n ) = f(α)+f (α)(x n α)+ 2 f (α)(x n α) 2 + +O(x n α) 7. (24) 4

5 Karena f(α) = 0 dan e n = x n α maka f(x n ) = c e n + +c 6 e 6 n +O(e 7 n), (25) dengan c k = f (k) (α), k =,2,3,. Dan dengan menggunakan bentuk f(x n ) ini diperoleh w n = x n +c e n +c 2 e 2 n +c 3 e 3 n +c 4 e 4 n +c 5 e 5 n +c 6 e 6 n +O(e 7 n). (26) Melalui cara yang sama, hasil ekspansi Taylor dari f(w n ) disekitar w n = α adalah f(w n ) =(c 2 +c )e n +(c 2 +3c c 2 +c 2 c 2 )e 2 n + +8c 2 2c 4 +7c 2 3c 2 +7c c 6 +7c 2 c 5 +7c 3 c 4 +c 3 c c 6 c 2 +20c 6 c 3 +5c 6 c 4 +6c 6 c 5 +c 6 c 6 +22c 2 c c 5 +2c 4 c c c 4 c 2 c c 5 c 3 c 2 +30c 5 c 2 c 2 +5c 5 c 4 c 2 +5c 3 c 2 c 4 +8c 3 c c 4 +6c 2 3c c 2 +4c 4 c 3 c 3 +c 6 )e 6 n. (27) Dengan menggunakan hasil yang dibentuk oleh persamaan(24) dan(27) dan dengan menggunakan deret geometri y n = α+(+ )c 2 e 2 n + (2+(2+c )c )c 2 2 +c (c +)(c +2). (28) c c 2 Cara yang sama, bentuk ekspansi f(y n ) disekitar y n = α sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh ( ) f(y n ) =(+c )c 2 e 2 (2+c (2+c ))c 2 2 n + +(+c )(2+c )c 3 e 3 n c + +O(e 7 n). (29) Dengan menggunakan definisi beda terbagi untuk f[x n,y n ] dan setelah dilakukan penyederhanaan seperti langkah sebelumnya diperoleh z n =α+ c 2 c e 3 n + + ( 3+c (3+c ))c 3 2 +c (+c )(3+c )c 2 c 3 e 4 c 3 n + +O(e 7 n), (30) dan melakukan ekspansi Taylor terhadap f(z n ) disekitar z n = α sehingga diperoleh f(z n ) =(+ )c 2 c 2e 3 n +( (3+c (3+c ))c 3 2 +c (+c )(3+c )c 2 c 3 e 4 c 2 n + +O(e 7 n). (3) Selanjutnya dengan menggunakan hasil-hasil yang telah diperoleh x n,f(x n ) y n,f(y n ),z n dan f(z n ) maka beda terbagi pada persamaan (20) dapat ditulis sebagai berikut [f(x n ),f(z n )]+[f(z n ),f(y n )] [f(x n ),f(y n )] =c + (+c2 )c 2 (2c 2 2 c c 3 ) e 3 c 2 n + +O(e 7 n), (32) 5

6 sehingga dengan membagi persamaan (3) dan persamaan (32) dan menggunakan langkah terakhir dari persamaan (20) diperoleh karena e n+ = x n+ α maka x n+ = α (+c2 )c 3 2(c 2 2 c c 3 ) e 6 c 5 n +O(e 7 n), (33) e n+ = (+c2 )c 3 2(c 2 2 c c 3 ) e 6 c 5 n +O(e 7 n). (34) Dari definisi orde konvergensi diperoleh kekonvergenan orde enam, maka Teorema terbukti. Pada setiap iterasinya MIO melakukan evaluasi fungsi sebanyak empat kali maka indek efisiensinya adalah.565 [7]. 3. SIMULASI NUMERIK Pada bagian ini dilakukan simulasi numerik yang bertujuan untuk membandingkan banyak iterasi dari metode Newton (MN) persamaan (2), metode Steffensen (MS) persamaan (3), metode Dehghan-Hajarian (MDH) persamaan (4)-(5) dan metode Iterasi Optimal Tanpa Turunan Berdasarkan Beda Terbagi(MIO) persamaan (20) dalam menemukan akar dari persamaan nonlinear. Dalam melakukan perbandingan ini, persamaan nonlinear yang digunakan adalah: f = (sin(x)) 2 +x α = 0 f 2 = (+x 3 )cos( πx )+.85 α = f 3 = (sin(x)) 2 x 2 + α = f 4 = e x +sin(x) α = f 5 = xe x 0. α = Perbandingan kelima contoh di atas menggunakan program MATLAB 5.3 dengan kriteria pemberhentian untuk setiap adalah. Jika selisih nilai mutlak antara dua iterasi yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan. 2. Jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari tolerasnsi yang diberikan. 3. Jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi. 6

7 Tabel : Perbandingan Komputasi dan TNE untuk MN, MS, MDH, MJ, MLi dan MIO f i x 0 Metode n TNE f(x n ) x n x n MN e e MS e e 03 MDH e e 02 f MJ e e 03 MLi e e 007 MIO e e 005 MN e e MS e e 02 MDH e e 006 MJ e e 0 MLi e e 009 MIO e e 05 MN e e MS e e 00 MDH e e 02 f 2 MJ e e 02 MLi e e 007 MIO e e 04 MN e e MS e e 00 MDH e e 007 MJ e e 008 MLi e e 0 MIO e e 005 MN e e MS e e 04 MDH e e 02 f 3 MJ e e 007 MLi e e 006 MIO e e 02 MN e e MS e e 008 MDH e e 009 MJ e e 02 MLi e e 005 MIO e e 005 7

8 f x 0 Metode n TNE f(x n ) x n x n MN e e MS e e 02 MDH e e 007 MJ e e 009 MLi e e 008 MIO e e 007 MN e e 02.6 MS e e 02 MDH e e 009 MJ e e 04 MLi e e 006 MIO e e 003 MN e e MS e e 00 MDH e e 008 MJ e e 02 MLi e e 007 MIO e e 004 MN e e MS e e 03 MDH e e 007 MJ e e 009 MLi e e 04 MIO e e 006 f 4 f 5 Hasil komputasi untuk setiap metode yang dibandingkan diberikan pada Tabel. Berdasarkan komputasi numerik, Tabel, tidak terlihat perbedaan yang cukup berarti antara MN, MS, MDGH, MJ, MLi dan MIO baik dari segi iterasi maupun dari tingkat kesalahan (error). Secara keseluruhan untuk semua komputasi yang dilakukan metode Iterasi Bebas Turunan lebih cepat mencapai akar. DAFTAR PUSTAKA [] Atkinson, K. E Elementary Numerical Analysis, 2 nd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [2] Bartle, R. G. & D. R. Shebert Introduction to Real Analysis, 3 rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York. [3] Cheney, W.and Kincaid, D Numerical Methods for Mathematics and Computing, 6 th Edition. Brook/Cole Publishing Company, California 8

9 [4] Deghan, M., & M. Hajarian, 200. Some derivative free quadratic and cubic convergence iterative formulas for solving nonlinear equation.applied Mathematics and Computation. 29:9-3. [5] Gautschi, W. 20. Numerical Analysis, 2 nd. West Lafayette, Indiana. [6] Jain, P Steffensen type method for solving nonlinear equation.applied Mathematics and Computation. 209: [7] Soleymani, F. 20. Eficient Sixth-Order Nonlinear Equation Solver Free from Derivative. Computational and Applied Mathematics, 2. h [8] Samuer, T. Numerical Analysis. Pearson Education, Inc., Boston. [9] Traub, J.F Iterative Methods for the Solution of Equations. Prentice Hall Inc. Englewood Cliffs. 9