PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK. Nurul Ain Farhana 1, Imran M. 2 ABSTRACT

Transkripsi

1 PEMILIHAN KOEFISIEN TERBAIK KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DAN TIGA TITIK Nurul Ain Farhana, Imran M Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 89 nurulainfarhana95@yahoocom ABSTRACT This article presents new formulae of weighted quadrature rules whose coefficients are obtained using the least square method The new formulae are different from the known quadrature rules Some numerical examples are given to show the approach of the new quadrature formulae Keywords: Weighted quadrature rule, system of linear equation, least-square method ABSTRAK Artikel ini mendiskusikan tentang formula kuadratur berbobot yang koefisiennya ditentukan menggunakan metode kuadrat terkecil Formula kuadratur yang diperoleh berbeda dengan metode kuadratur yang sudah dikenal Beberapa contoh numerik juga diberikan untuk memperjelas pendekatan dari formula kuadratur baru Kata kunci: Formula kuadratur berbobot, sistem persamaan linear, metode kuadrat terkecil PENDAHULUAN Matematika adalah cabang ilmu terpenting di dunia dan banyak diterapkan untuk menyelesaikan masalah diberbagai disiplin ilmu lainnya Salah satu masalah yang sering ditemui adalah persoalan integral yang berbentuk b fxdx a Teknik numerik yang digunakan untuk menyelesaikan masalah integral tersebut dinamakan integrasi numerik atau kuadratur Salah satu metode yang digunakan untuk menghampiri nilai integral adalah kuadratur Gauss Di dalam Burden dan Faires [, h 9] dijelaskan bahwa kuadratur Gauss memilih nodes untuk menghitung integral secara optimal dari pada menggunakan nodes yang berjarak sama Kuadratur nodes x, x,, x n pada interval [a, b]

2 dan bobot w, w,, w n dipilih untuk meminimalkan error yang diharapkan dalam pendekatan yang berbentuk b a wxfxdx N w j fx j, j= sehingga persamaan eksak untuk polinomial berderajat setinggi mungkin Perhitungan metode kuadratur Gauss hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak dan menghasilkan nilai error yang tidak sama dengan nol Hal yang selalu diharapkan dalam perhitungan adalah menghasilkan error yang minimum, sehingga diperlukan untuk mencari koefisien w j yang tepat pada persamaan Salah satu teknik matematika yang digunakan adalah metode kuadrat terkecil [8, h 74] Pada artikel ini ditinjau sebagian tulisan dari artikel Hashemiparast et al [5] Di bagian dua dibahas metode kuadrat terkecil yang diperlukan untuk menentukan koefisien terbaik formula kuadratur kuadrat terkecil Di bagian tiga disajikan formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dengan fungsi bobot wx = pada interval [0, ] Kemudian di bagian empat disajikan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik dengan fungsi bobot wx = x pada interval [, ] Di bagian terakhir dilakukan komputasi numerik terhadap tiga contoh fungsi yang berbeda untuk formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik METODE KUADRAT TERKECIL Misalkan {ϕ i x} menjadi sebuah basis untuk polinomial berderajat paling banyak n yang berbentuk [7, h 8] vx = c i ϕ i x, i=0 dengan c i adalah nilai-nilai yang belum diketahui Jika x i adalah nodes yang berbeda sedemikian sehingga a i,j = ϕ j x i, dengan i = 0,,, m dan j = 0,,, n, maka diperoleh y i = vx i = c j a i,j Masalah yang muncul sekarang adalah bagaimana menentukan koefisien c j yang tidak diketahui besarnya sedemikian sehingga m E = y i c j a i,j, i=0

3 adalah minimum dengan y i = vx i dapat bernilai sebarang Untuk meminimumkan persamaan diturunkan secara parsial terhadap c k kemudian disamakan dengan nol Jadi untuk setiap k = 0,,, n diperoleh c k E = m y i i=0 c j a i,j a i,k = 0 4 Dengan menyusun ulang pada persamaan 4 diperoleh sistem persamaan linear berukuran n n dengan koefisien c j yang tidak diketahui Jadi diperoleh m a i,k a i,j c j = i=0 m a i,k y i 5 i=0 Persamaan 5 dapat ditulis dalam bentuk matriks, yaitu A T AC = A T Y, 6 dengan A = a 0,0 a 0, a 0,n a,0 a, a,n a m,0 a m, a m,n, C = c 0 c c n, Y = y 0 y y m Persamaan 6 dinamakan sistem persamaan normal Selanjutnya bila masalah integrasi ditaksir dengan formula aturan Gauss diperoleh b w i x j i = x k wxdx, 7 dengan {x j j = 0,,, n } dan k = 0,,,, n Misalkan µ k = b a a x k wxdx, 8 persamaan 7 ditulis untuk setiap j diperoleh w + w + + w n = µ 0 w x + w x + + w n x n = µ = w x n + w x n + + w n x n n = µ n 9 Sistem persamaan linear 9 tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan invers matriks walaupun nilai-nilai x i diketahui Hal ini disebabkan koefisien matriks pada sistem persamaan 9 berkondisi buruk [6, h 4] Untuk menyelesaikan ini

4 digunakan metode kuadrat terkecil Untuk itu, misalkan terdapat solusi aproksimasi dari persamaan 7 sedemikian hingga error yang bersesuaian dengan solusi tersebut pada setiap baris adalah e j = µ j w i x j i, j = 0,,, n 0 Selanjutnya untuk menentukan koefisien w i, kedua ruas dari persamaan 0 dikuadratkan sehingga diperoleh e j = µ j w i x j i Bila persamaan dijumlahkan untuk j = 0,,, n diperoleh n e j = n µ j Misalkan n e j = Ê, persamaan dapat ditulis menjadi Ê = n µ j w i x j i w i x j i Persamaan memiliki bentuk sama dengan persamaan, oleh karena itu untuk meminimumkan persamaan diikuti pembahasan pada persamaan 4 diperoleh n x j k xj i w i x j k µ j 4 n = Untuk sederhananya, misalkan v n m = [, x m, x m,, x n m ] merupakan sebuah vektor sehingga persamaan 4 dapat dibentuk menjadi matriks yaitu MW = N, 5 dengan M = v n v n v n v n v n v n n v n v n v n v n v n v n n v n n v n v n n v n v n n v n n n n, W = w w w n n, 4

5 N = µ 0 + x µ + + x n µ n µ 0 + x µ + + x n µ n µ 0 + x n µ + + x n n µ n n 6 Matriks M adalah sebuah matriks simetris yang memenuhi hasil kali dalam [, h 75] v n i v n j = v n j v n i = + x i x j + x i x j + + x n i x n j 7 Dengan menggunakan penjabaran deret geometri bentuk persamaan 7 menjadi v n i v n j = x ix j n x i x j, 8 dengan x i x j Jadi, matriks M dapat ditulis menjadi x n x x n x x x x x n x n x M = x x x n x n x n x x n x n x n x x x n n x x n x x n n x x n x n n x n 9 n n FORMULA KUADRATUR KUADRAT TERKECIL DUA TITIK DENGAN FUNGSI BOBOT wx = PADA INTERVAL [0, ] Misalkan x =, x = adalah sebarang titik pada interval [0, ] Untuk menentukan koefisien terbaik w, w pada rumus pendekatan fxdx = w f + w f, 0 0 digunakan metode kuadrat terkecil Dengan memperhatikan sistem linear 9 diperoleh M = dengan menggunakan persamaan 8 diperoleh , µ 0 =, µ =, µ =, µ = 4 Selanjutnya dari persamaan 6 diperoleh N = = [ ] 5

6 Oleh karena itu, dari persamaan 5 diperoleh [ 0 4+ ] 6 [ ] [ w = w ], Penyelesaian dari persamaan adalah w = w = } Jadi, dengan mensubstitusikan nilai-nilai pada persamaan 0 diperoleh fxdx = f f, 0 yang merupakan formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik Apabila mengacu pada 0, dengan menyelesaikan sistem linear 9 untuk x dan x diperoleh error-nya sebagai berikut: e 0 = w + w µ 0 = , e = w x + w x µ = , e = w x + w x µ = , e = w x + w x µ = FORMULA KUADRATUR KUADRAT TERKECIL TIGA TITIK DENGAN FUNGSI BOBOT wx = x PADA INTERVAL [, ] Misalkan x =, x = 0, dan x = tiga titik yang diketahui pada interval [, ] Untuk menentukan koefisien terbaik w, w, dan w dalam pendekatan x fxdx = w f + w f0 + w f, 4 digunakan metode kuadrat terkecil Dengan memperhatikan sistem linear yang bersesuaian dengan persamaan 9 diperoleh M = Kemudian dengan menggunakan persamaan 8 diperoleh µ 0 = 4, µ = µ = µ 5 = 0, µ = 4 5, µ 4 = 4 5 6

7 Selanjutnya dari persamaan 6 diperoleh µ 0 + x µ + x µ + x µ + x 4 µ 4 + x 5 µ 5 N = µ 0 + x µ + x µ + x µ + x 4 µ 4 + x 5 µ 5 = µ 0 + x µ + x µ + x µ + x 4 µ 4 + x 5 µ Oleh karena itu, dari persamaan 5 diperoleh w w w = Solusi dari persamaan 5 adalah w = w = 595 w = Jadi, dengan mensubstitusikan nilai-nilai 6 pada persamaan 4 diperoleh x fxdx = f + 99 f f, 7 yang merupakan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik Apabila mengacu pada 0, dengan menyelesaikan sistem linear 9 untuk x, x, dan x diperoleh error-nya sebagai berikut: e 0 = w + w + w µ 0 = 0, e = w x + w x + w x µ = 0, e = w x + w x + w x µ = 4 57, e = w x + w x + w x µ = 0, e 4 = w x 4 + w x 4 + w x 4 µ 4 = 6 57, e 5 = w x 5 + w x 5 + w x 5 µ 5 = 0 5 KOMPUTASI NUMERIK Pada bagian ini diberikan enam contoh fungsi beserta solusi eksak yang digunakan untuk melakukan uji komputasi numerik terhadap formula yang dikemukakan, yaitu f = 0 x e x dx = f = 0 cos x π xdx = f = 0 x xdx =

8 4 f 4 = x cosπxdx = f 5 = x e x dx = f 6 = x + xdx = Formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik dengan fungsi bobot wx = digunakan untuk menghitung integral f, f, dan f dan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik dengan fungsi bobot wx = x digunakan untuk menghitung integral f 4, f 5, dan f 6 Hasil penerapan metode ini disajikan pada Tabel Adapun notasi-notasi yang digunakan pada Tabel yaitu LS menyatakan formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik, ELS menyatakan error dari formula kuadratur kuadrat terkecil dua titik, LS menyatakan formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik, dan ELS menyatakan error formula kuadratur kuadrat terkecil tiga titik Tabel : Hasil Komputasi Formula Kuadratur Kuadrat Terkecil Dua Titik dan Formula Kuadratur Kuadrat Terkecil Tiga Titik f i Formula Nilai f LS ELS f LS ELS f LS ELS f 4 LS ELS f 5 LS ELS f 6 LS ELS Berdasarkan Tabel, LS berhasil menemukan nilai taksiran yang diharapkan untuk f, f, dan f dan LS juga berhasil menemukan nilai taksiran yang diharapkan untuk f 4, f 5, dan f 6 Kemudian dapat dilihat setiap formula terdapat nilai error-nya Sehingga penggunaan formula kuadratur baru dapat dijadikan alternatif lain untuk memperoleh nilai taksiran suatu integral Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr Imran M, MSc yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini 8

9 DAFTAR PUSTAKA [] H Anton, Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima, Terj dari Elementary Linear Algebra, Fifth Edition, oleh P Silaban dan I N Susila, Penerbit Erlangga, Jakarta, 987 [] H Anton, dan C Rorres, Aljabar Linear Elementer, Edisi Kedelapan, Terj dari Elementary Linear Algebra, Eighth Edition, oleh R Indriasari dan I Harmein, Penerbit Erlangga, Jakarta, 008 [] R L Burden, dan J D Faires, Numerical Analysis, Ninth Ed, Brools/Cole, Boston, 0 [4] P J Davis dan P Rabinowitz, Methods of Numerical Integration, Second Edition, Academic Press, New York, 984 [5] S M Hashemiparast, M Masjed-Jamei, dan M Dehghan, On selection of the best coefficients in interpolatory quadrature rules, Journal of Applied Mathematics and Computation, 8 006, [6] V I Krylov, Approximate Calculation of Integrals, Macmillan, New York, 96 [7] S J Leon, Linear Algebra and Applications, Ninth Edition, Pearson Education, Boston, 05 [8] J H Mathews, Numerical Methods for Mathematics, Sciences, and Engineering, Prentice-Hall International, New York, 987 9