MODEL SPLINE DENGAN ERROR BERKORELASI. Nalim, I Nyoman Budiantara dan Kartika Fitriasari Jurusan Statistika ITS Kampus ITS Sukolilo Surabaya 60111

Transkripsi

1 MODEL SPLINE DENGAN ERROR BERKORELASI Nalm I Nyoma Budatara da Kartka Ftrasar Jurusa Statstka ITS Kampus ITS Sukollo Surabaya 60 Abstract Sple smoothg s a popular method for estmatg the fucto oparametrc regresso model Its performace depeds greatly o the choce of smoothg parameters May methods of selectg smoothg parameters such as GCV GML ad UBR are developed uder the assumpto of depedet observatos They fal badly whe data are correlated I oparametrc regresso correlated error could be solved by fdg weghted estmator ad determe the correlato matrx from the error Estmato of oparametrc fucto s obtaed by mmzg the pealzed weghted least-square (PWLS I ths paper the exteso of the GML method to estmate the smoothg parameters ad correlato smulataeously s preseted Smulato was coducted to evaluate ad to compare the performace of the orgal GML ad the exteded GML method The exteded GML s recommeded sce t works well all smulato scheme Ths method s also able to llustrate the data cocetrato data a cotous chemcal process Keywords: Geeralzed cross valdato geeralzed maxmum lkelhood oparametrc regresso pealzed weghted least-square PENDAHULUAN Msalka dberka data berpasaga ( = da hubuga a- t y tara t da del ydasumska megkut mo- y = f ( t ε t [ ab ] = ( dmaa f ( t adalah kurva regres da ε adalah sesata radom yag dasumska memlk mea ol da vara σ Dalam pembahasa model regres parametrk betuk kurva regres dketahu sedagka dalam pedekata regres oparametrk tdak ada asums terhadap betuk kurva Kurva tersebut haya dasumska f ( t termuat dalam suatu ruag fugs tertetu dmaa pemlha ruag fugs dmotvas oleh sfat kehalusa (smoothess yag dmlk oleh fugs regres tersebut Adapu regres semparametrk merupaka gabuga dar pedekata regres parametrk da oparametrk Pada estmas kurva regres oparametrk sple memaka peraa yag cukup petg Sple dkembagka dar potoga polomal yag mempuya sfat fleksbel da efektf utuk meaga sfat lokal data [4] Sple yag ddasarka pada suatu persoala optmas telah dkembagka oleh [0] Pada peelta-peelta sebelumya sebaga besar peuls membahas bagamaa megestmas kurva regres oparametrk berdasarka asums bahwa sesata radom adalah depede Tdak sedkt kasus-kasus yag ada dalam aplkas serg terjad observas yag dperoleh salg berkorelas msalya data tme seres data spasal Bayak peuls yag mempelajar efek korelas dataraya ada yag membahas bagamaa efek korelas berpegaruh terhadap pemlha badwdth ([][5][6][7] Estmas badwdth dar mea square error (MSE telah dkaj oleh beberapa peelt ([][5] Data tmeseres dega metode cross-valdato utuk megetmas badwdth da fugs autokorelas dtelt oleh [6] Beberapa metode juga telah dkembagka utuk peghalus sple [] memperluas metode GCV utuk megestmas parameter peghalus da pa- 08

2 Nalm I Nyoma Budatara da Kartka Ftrasar (Model Sple dega Error Berkorelas rameter autokorelas [9] merepresetaska peghalus sple dega suatu model state-space da megguaka CV GCV da GML utuk megestmas suatu barsa autoregressve movg average [8] megguaka suatu frekues doma cross valdato utuk megestmas parameter peghalus Observas berkorelas sagat berpegaruh terhadap pemlha parameter peghalus yag merupaka hal petg pada pedekata sple Beberapa metode yag cukup populer dalam memlh parameter peghalus adalah geeralzed maxmum lkelhood (GML geeralzed cross valdato (GCV da ubased rsk (UBR [0] Metode-metode tersebut cederug kurag mampu megestmas dega bak terhadap parameter peghalus jka data yag dguaka memlk korelas postf da korelasya dabaka Utuk megatas masalah tersebut pada peelta aka dajuka suatu model peghalus sple yag mampu megestmas kurva regres da parameter peghalus jka data yag dguaka adalah observas data yag terdapat korelas Utuk meujukka bagamaa perbadga metode pemlha parameter peghalus stadar yag dakbatka oleh error yag berkorelas a- ka dlakuka smulas data dar model y = s( π / 00 ε = = dega ε dbagktka dar proses autoregressve orde pertama (AR( dega mea ol varas σ = 0 0 da korelas orde pertama ρ = Dalam kaja aka dberka metode GML utuk observas berkorelas yag megguaka pedekata sple Metode daplkaska pada data kosetras dar suatu proses kma (Box ad Jeks 994 ESTIMATOR MODEL SPLINE DENGAN ERROR BERKORELASI Berkut dberka beberapa defs yag aka dguaka pada pembahasa Defs Ruag er product adalah suatu ruag vektor X dega suatu er product yag ddefska pada X Ier product pada X adalah suatu pemetaa dar X X ke skalar d X; yatu utuk setap pasag vektor x da y terdapat suatu hubuga dega sebuah skalar yag dtuls sebaga x y Defs Reproducg kerel (rk dar H adalah suatu fugs R yag ddefska pada [ 0] [0] sedemka hgga utuk setap ttk tertetu t [0] berlaku R H dega R ( s = R( st da t f ( t = < R t f > f H Defs Reproducg kerel Hlbert space (rkhs H adalah suatu ruag Hlbert dar fugs-fugs berla real pada [0] dega sfat bahwa utuk setap t [0] fugsoal L t yag meghubugka f dega f (t Lt f f (t merupaka fugsoal ler terbatas dalam art terdapat blaga real c sedemka hgga Lt f = f ( t c f utuk semua f d rkhs dega adalah orm d ruag Hlbert Asumska data megkut model ( dega f W m da ε ~ N( 0 σ W Jka model data dhubugka dega permasalaha sple secara umum maka model ( mejad: y = L f ε = ( dega ε ~ N (0 σ W f H da L L merupaka fugsoal ler terbatas d H Msalka H dapat ddekomposs mejad H = H 0 H dmaa adalah drect sum Estmator f dperoleh dega mecar f H yag memmumka w ( y = f ( t λ Pf t ( 09

3 Jural Matematka Vol 8 No Desember 005: 07-6 dega P adalah proyeks ortogoal f pada H d H Betuk estmator f dberka melalu teorema berkut Teorema Msalka φ φm bass ruag H 0 da ξ ξ bass H Jka P adalah proyeks ortogoal dar f ke H dalam H da matrk T m adalah matrk full rak yag dberka oleh m T m = { Lφv } = v= ( maka fˆ yag memmumka ( dberka oleh: fˆ = m v= dega d = d d v v cξ = d φ (4 ( m ' = ( T' M T c = c c ' T' M ( = M ( I T( T' M T T' M y (5 M = Σ λw Σ = < ξ ξ > } j = y { j Bukt Karea f H = H 0 H maka f selalu dapat dtuls mejad = φ' d ξ' c degaφ' d H f 0 ξ' c H dmaa φ' d φ d φ = m d m ξ' c = ξ c ξ c Berdasarka teorema represetas Resz dperoleh { < η f > } = Td Σc (6 Karea P adalah proyeks ortogoal dar f pada H da φ ' H 0 maka P φ' d = 0 Sehgga dperoleh Pf = < ξ' c ξ' c > = c' ξξ' c = c' Σc (7 Substtus (6 da (7 ke ( dperoleh ( y Td Σc ' W ( y Td Σc λc' Σc (8 Dega memaksmumka ( dperoleh c = M (I - T (T' M T T' M y (9 d = ( T' M T T' M y (0 PEMILIHAN PARAMETER PENGHALUS Parameter peghalus merupaka pegotrol kesembaga atara kesesuaa kurva terhadap data da kemulusa kurva Beberapa peelt ([4][0] telah meujukka bahwa memasagka parameter peghalus yag sagat kecl atau besar a- ka memberka betuk fugs peyelesaa yag sagat kasar atau mulus Dla phak dgka suatu betuk estmator dsampg mempuya suatu derajat kemulusa juga sesua dega dataya Memlh parameter peghalus pada prspya adalah sama dega memlh ttk kot optmal yag meghaslka la GML mmum [] Berkut dberka metode utuk memlh parameter peghalus da parameter korelas yag optmal dega metode Geeralzed Maxmum Lkelhood (GML Dberka dua buah vektor z da w dega dekomposs sebaga berkut z Q' = y ( w T' η yag memeuh Q' Q = I m Q' T η = a / b da λ = σ / b = 0 ( m m Berdasarka dekomposs aka dtetuka dstrbus z da w melalu teorema berkut Teorema Msalka dberka varabel radom y = y y ' ( f = ( f ( t f ( t ' da ε = ( ε ε ' berdstrbus ormal dega mea ol da megkut model y = f ε dega E ( f = 0 E( ff' = bσ f a Σ f = TT' Σ E ( ε = 0 b 0

4 Nalm I Nyoma Budatara da Kartka Ftrasar (Model Sple dega Error Berkorelas E ( εε' = σ W da E ( fε' = 0 Jka f ( t t [0] mempuya dstrbus pror mproper dega fugs pror adalah m f ( t = ( / θ t b X ( t t [0] v vφv dega θ = ( θ θ m ' ~ N(0 ai a da b adalah kostata postf da zw mempuya dekomposs ( maka utuk a ( z ~ N(0 b Q' ( Σ λw Q ( w ~ N(0 b ( T' T( T' T Bukt: ( Karea var( y f σ - = bσ W da a Σ f = TT' Σ sehgga b - var (y = b( η TT' Σ λw Sehgga berdasarka dekomposs ( dperoleh var( z = Q' var( y[ Q' ]' - = b Q' ΣQ λq' W ( Q ( Dar dekomposs ( dperoleh w = ( T' y sehgga η var( w = ( T' var( y ( T' η b - = T' ( ηtt' Σ λw T η utuk η dperoleh lm var(w = b ( T' T( T' T η Teorema datas memperlhatka bahwa haya z yag tergatug pada λ sehgga estmas geeralzed maxmum lkelhood (GML utuk λ da ρ adalah memaksmumka log lkelhood berdasarka z: l ( λ ρ b z m = log b log Q' λ ρ Q z' ( Q' ( B λ ρ Q z C b η Memaksmumka l terhadap b dperoleh bˆ z' ( Q' λ ρ Q z = m Estmas GML terhadap λ da ρ adalah dega cara maksmumka: l ( λ ρ bˆ = m log bˆ log Q' λ ρ Q z' ( Q' B ( λ ρ Q z C bˆ m = log z' Q' λ ρ Qz m [det( Q' λ ρ Q ] /( dega C adalah suatu kostata Utuk memaksmumka l ( ˆ λ τ b ekvale dega memmumka M z' ( Q' λ ρ Q z ( λ τ = /( -m [det( Q' λ ρ Q ] C y' W ( I A y = ( /( -m [det ( W ( I A ] dmaa det adalah hasl kal la-la ege yag tak ol Karea λ = σ / b maka estmas varas σ adalah y' W ( I A y ˆσ = m 4 HASIL SIMULASI Stud smulas dlakuka utuk megevaluas da membadgka GML orgal da GML dega error berkorelas berdasarka krtera MSE mmum Model yag dpaka dalam smulas adalah y = s( π / ε = da membagktka error ε dar proses AR( dega mea 0 da meetapka tga ukura sampel = ; dua varas σ = 0 0 da tga korelas yatu ρ = Dega demka aka terdapat x x = 8 percobaa Ttk kot optmum dplh berdasarka la

5 Jural Matematka Vol 8 No Desember 005: 07-6 GML mmum selajutya model sple orgal da sple dega error berkorelas dhtug la MSE-ya utuk berbaga ukura sampel koefse korelas da varas Fugs sple yag dguaka adalah Cubc sple yatu fˆ( t = β β t β t β t β ( t k 0 4 β 5 ( t k β p ( t k p ( dega β β p adalah parameter model da k k p adalah ttk-ttk kot Pada smulas dega = 50 terdapat eam percobaa yag berbeda yag masg-masg aka dcobaka pada dua ukura varas da tga ukura korelas Adapu settg pertama dar smulas dega = 50 adalah dega memasag korelas sebesar 0 da varas sebesar 0 Pada semua replkas seluruh la MSE sple error berkorelas lebh kecl darpada MSE sple orgal I meujukka bahwa sple error berkorelas memlk kualtas yag lebh bak darpada sple orgal Rata-rata semua la MSE pada smulas utuk = 50 dega berbaga korelas da varas dberka pada Tabel Terlhat dar Tabel dar sebayak duapuluh lma replkas yag dlakuka dperoleh rata-rata MSE sple orgal sebesar yag lebh besar dar rata-rata sple dega error berkorelas Gambar berkut adalah hstogram ratarata MSE utuk = 50 Gambar memperlhatka dega megkatya varas meyebabka MSE utuk kedua model sple semak besar da jka koefse korelas megkat maka selsh MSE kedua model sple semak besar I meujukka bahwa apabla koefse korelas besar maka pedekata sple dega error berkorelas aka meg- Tabel Rata-rata la MSE utuk = 50 dega berbaga korelas da varas ρ Sple dega Error Sple Orgal σ Berkorelas MSE MSE Varas Sple Orgal Sple Korelas Korelas Gambar Hstogram rata-rata MSE utuk = 50

6 Nalm I Nyoma Budatara da Kartka Ftrasar (Model Sple dega Error Berkorelas haslka model yag lebh bak Plot data smulas utuk = 50 ρ = 08 da σ = 0 beserta kurva estmas sple dega error berkorelas da sple orgal dberka pada Gambar Berdasarka hasl uj sgfkas model da parameter yag melput peguja hpotess aalss resdual da aalss varas utuk sple error berkorelas da sple orgal maka dperoleh model pedekata fˆ ( t = t 00 t 0 000t 0 0( t ( t 9 (Lampra Nla MSE pada sple dega error berkorelas seluruhya lebh kecl darpada la MSE model sple orgal Perbedaa rata-rata dua la MSE sagat kecl dsebabka karea koefse korelas yag dambl sagat kecl Selajutya dpasag varas 0 Pemasaga varas meyebabka membesarya la MSE dar kedua model sple Percobaa terakhr dar smulas dega = 00 adalah dega memasag korelas = 08 da varas = 0 Plot hasl smulas pada percobaa dapat dlhat pada Gambar Gambar Plot data smulas (ttk-ttk kurva pedekata sple error berkorelas (kurva sold da kurva pedekata sple orgal (kurva putus-putus utuk = 50 ρ = 08 da σ = 0 dega la MSE sebesar 0098 Sedagka model kurva pedekata sple dega error berkorelas adalah: fˆ ( t 0000t 0007( t = 0 0( t 45 dega la MSE utuk model adalah sebesar 00 Berdasarka la MSE dperoleh kesmpula bahwa model sple dega error berkorelas memlk kualtas yag lebh bak Pada smulas selajutya dcobaka pada = 00 dega dua macam varas da tga koefse korelas Hasl dar semua smulas utuk = 00 ρ = 05 da σ = 0 dapat dlhat pada Tabel Gambar Plot data smulas utuk =00 ρ = 08 da σ = 0 Data asal (ttk-ttk estmas sple dega error berkorelas (kurva sold estmas sple orgal(kurva ttk-ttk Berdasarka hasl uj sgfkas model da koefse regres utuk sple orgal dperoleh model pedekata: fˆ ( t = t 00664t t 0 00( t 8 000( t 7 dega la MSE utuk model adalah 067 Sedagka utuk sple dega error berkorelas dperoleh model pedekata: fˆ ( t = t 000t t 0 000( t ( t 46 dega la MSE sebesar 00 Terlhat dar la MSE bahwa model pedekata sple dega error berkorelas lebh bak darpada model sple orgal

7 Jural Matematka Vol 8 No Desember 005: 07-6 Gambar 4 Plot data smulas (ttk-ttk Estmas dega sple orgal (kurva putus-putus estmas dega sple terbobot (kurva sold Pada baga smulas berkutya dcobaka pada = 50 dega dua macam varas da tga macam korelas Selajutya aka dtamplka uj sgfkas model da parameter utuk = 50 ρ = 0 8 da σ = 0 Plot data smulas beserta kurva pedekata sple dega error berkorelas da sple orgal bsa dberka pada Gambar 4 Berdasarka hasl uj sgfkas model parameter dberka model pedekata kurva regres sple orgal adalah: fˆ ( t = t 000t 0 00t 00047( t ( t 8 dega MSE sebesar 0 Sedagka model pedekata kurva regres dega sple error berkorelas adalah: f ( t = t 000t 0 08t 00567( t ( t 0 dega la MSE utuk model adalah 0 Dar hasl keseluruha smulas dperoleh kesmpula bahwa model sple dega error berkorelas lebh bak darpada model sple orgal utuk kasus data yag memlk korelas atar error karea semua la MSE utuk model sple dega error berkorelas lebh kecl darpada sple orgal 5 APLIKASI Pada baga dberka peerapa model sple dega error berkorelas pada kosetras dar suatu proses kma Data memuat 97 pegukura yag dcatat setap dua jam (Box ad Jeks 994 Permasalaha yag mucul adalah bagamaa meetuka estmas utuk model data tersebut Utuk megestmas kurva regres pada data kosetras kma dguaka cubc sple Estmas kurva regres pada data dguaka cubc sple [] da [] telah megguaka data utuk megestmas parameter peghalus da parameter korelas Dar hasl yag dperoleh oleh [] ddapatka error yag megkut model AR( dega la parameter korelas sebesar 005 da varas sebesar 0098 Pada peelta megguaka hasl estmas parameter yag dperoleh oleh [] Gambar 5 Plot data kosetras kma yag dcatat setap dua jam Pertama dguaka pedekata sple orgal tapa mempertmbagka adaya korelas atar error Pemlha ttk kot optmal ddasarka pada krtera GML mmum Dega metode GML dperoleh ttk kot optmal pada t = 5 da t = dega la GML mmum 694 Hasl uj sgfkas model da koefse regres memberka model kurva pedekata utuk sple orgal adalah fˆ ( t = t 649 t 0 75( t 5 075( t dega la MSE sebesar 009 Selajutya karea errorya salg berkorelas da megkut model AR( 4

8 Nalm I Nyoma Budatara da Kartka Ftrasar (Model Sple dega Error Berkorelas maka dlakuka pedekata sple dega megguaka bobot (Wag998 Matrks pembobot yag dguaka adalah matrks kovara dar AR( Berdasarka hasl uj sgfkas model da koefse regres dperoleh model pedekata sple dega error berkorelas yatu f ( t = t 596 t t 00( t ( t dega la MSE sebesar 005 Berdasarka tgkat sgfkas 5% dperoleh kesmpula bahwa model sple dega megguaka bobot lebh bak dbadgka sple orgal jka dtjau dar la MSE Plot data kosetras kma beserta model pedekata sple orgal da sple dega error berkorelas dberka pada Gambar 6 Dar plot tersebut (gambar 6 terlhat bahwa model pedekata sple dega error berkorelas lebh sesua utuk megestmas kurva regres pada data I juga terbukt dega lebh keclya la MSE sple dega error berkorelas darpada MSE sple orgal Gambar 6 Plot data kosetras kma kurva estmas model sple dega error berkorelas (kurva sold kurva estmas sple orgal (kurva putus-putus 6 DAFTAR PUSTAKA [] Altma NS (990 Kerel Smoothg of Data Wth Correlated Errors Joural of the Amerca Statstcal Assocato 85: [] Budatara IN da Subaar (999 Estmator Sple Terbobot dalam Regres Semparametrk Majalah Ilmu Pegetahua da Tekolog 0: 0-09 [] Dggle PJ ad Huthcso MF (989 O Sple Smoothg Wth Autocorrelated Errors The Australa Joural of Statstcs 6: -9 [4] Eubak R (988 Sple Smoothg ad Noparametrc Regresso New York: Marcel Dekker [5] Hart JD (99 Kerel Regresso Estmato wth Tme Seres Errors Joural of the Royal Statstcal Socety 5(B: 7-87 [6] Hart JD (994 Automated Kerel Smoothg of Depedet Data by Usg Tme Seres Cross-Valdato Joural of the Royal Statstcal Socety 56(B: 7-87 [7] Herrma E Gasser T ad Kep A (99 Choce of Badwth for Kerel Regresso Whe Resduals are CorrelatedBometrcs 79: [8] Hurvch C M ad Zeger SL (990 A Frequecy Doma Crtero for Regresso Wth Autocorrelated Errors Joural of the Amerca Statstcal Assocato 85: [9] Koh R Asley CF ad Wog C (99 Noparametrc Sple Regresso Wth Autoregressve Movg Average Errors Bometrcs 79: 5-46 [0] Wahba G (985 A Comparso of GCV da GML for Choosg the Smoothg Parameters the Geeralzed Sple Smoothg Problem The Aals of Statstcs 4: [] Wahba G (990 Sple Models for Observatoal Data CBMS-NSF Regoal Coferece Seres Appled Mathematcs Phladelpha: SIAM 59 [] Wag Y (998 Smoothg Sple Models wth Correlated Radom Errors Joural of The Royal Statstcal Socety ser B 5

9 LAMPIRAN Tabel Hasl smulas utuk = 00 ρ = 05 da σ = 0 Replkas Orgal Sple Correlated Error Sple Kot Kot GML MSE Kot Kot GML MSE