Weight Estimation Using Generalized Moving Average

Transkripsi

1 IPTEK, The Joural for Techolog ad Scece, Vol. 9, No. 4, November 8 3 Weght Estmato Usg Geeralzed Movg Average Jerr Dw Trjoo Puromo, I Noma Budatara, da Kartka Ftrasar Abstract Estmato of regresso curve usuall coducted usg three methods; parametrc method, o-parametrc method, ad sem-parametrc method. No-parametrc method has several techques, whch are hstogram, kerel, ad sple. From varous tpes of sple techques, weghted parsal sple s developed to solve heterokedastct problem, ths s due to the ablt of orgal partal sple model hadlg the heterokedastct problem. Dfferet techques are used choosg the weghted crtera, oe of the techque s Geeralzed Movg Average (GMA). Stud about the amout of electrct power loss PT. PLN East Java Provce, North Surabaa Rego, resulted that there was a tedec of heterogeeous varace.usg weghted partal sple model wth GMA method gve better result tha orgal partal sple model. Ths fdg dcates the model of weghted partal sple usg GMA method s better tha orgal partal sple model explag the heterogeet of varace. Kewords Weghted partal sple, Geeralzed Movg Average, Orgal sple I. PENDAHULUAN stmas kurva regres umuma dlakuka dega E pedekata parametrk ag mula dperkealka oleh Laplace sejak abad XVIII da juga Boscovch pada tahu 757. Dalam regres parametrk dasumska bahwa betuk kurva regres f dketahu. Pembuata asums tersebut berdasarka pada teor, pegalama masa lalu atau tersedaa sumber-sumber la ag dapat member pegetahua atau formas ag terperc. Estmas dapat juga dlakuka berdasarka pedekata ag tdak terkat dega asums betuk kurva regres tertetu, ag memberka fleksbltas ag lebh besar dar kurva regres. Metode pedekata sepert damaka pedekata oparametrk ag mula dkeal sejak abad XIX. Ada beberapa tekk utuk megestmas dalam regres oparametrk, atara la hstogram, estmator Kerel, Sple, da la-la. Masalah ag serg mucul dalam regres adalah tdak semua varabel pejelas dapat ddekat dega pedekata parametrk, karea tdak adaa formas tetag betuk hubuga varabel pejelas tersebut dega varabel respoa, sehgga harus dguaka pedekata oparametrk. Dega meggabugka dua pedekata tersebut dalam suatu pedekata regres aka ddapatka suatu model semparametrk. Estmas mo- Naskah dterma pada taggal 3 September 8, selesa revs pada taggal Desember 8 Jerr Dw T.P., I Noma B., da Kartka F. adalah dose jurusa Statstka, FMIPA, Isttut Tekolog Sepuluh Nopember, Surabaa, INDONESIA. E-mal : jerrpuromo@ahoo.com del semparametrk ekuvale dega megestmas parameter-parameter pada kompoe parametrk da estmas kurva pada kompoe oparametrk. Dalam peelta Dewaa [], terdapat eam varabel predktor, atu jumlah gaggua jes beda (X ), jumlah gaggua jes alam (X ), jumlah gaggua jes ut pembagkt (X 3 ), jumlah gaggua jes peralata (X 4 ), jumlah pekerjaa oleh phak PT PLN (X 5 ), jumlah gaggua jes sebab la (X 6 ), serta varabel respo, jumlah eerg lstrk ag hlag d Surabaa Utara. Dalam peelta ada kecederuga vara ag tdak homoge. Hal terlhat dar vsualsas data atara varabel-varabel predktor tersebut dega varabel respo. Adaa kecederuga adaa vara ag tdak homoge meebabka hasl ag dperoleh kurag dapat mejelaska hubuga atara varabel respo da predktor d a- tas. Karea tu dguaka pembobot utuk megatas ketdaksamaa vara, karea sple orgal ag dguaka kurag dapat mejelaska adaa ketdaksamaa vara. Model semparametrk dperkealka oleh He da Sh [], Egle, Grager, Rce, da Wess [3], Gree, Jeso, da Scheult [4], serta Heckma [5]. Model drumuska sebaga: = x γ f(t )ε, =,,, () dega x =(x,,x p ) da t, =,,, merupaka varabel-varabel predktor. Vektor γ =(γ,,γ p ) R p tdak dketahu da f dasumska merupaka aggota aggota ruag Sobolev W m [, ] ={f f (k), k =,,, m- kotu pada [,], da (m) (). Resdual ε f t dt < berdstrbus [ ] depede dega mea ol da varas σ. Estmator f dperoleh dar memmumka Pealzed Least Square (PLS): l (f)=r(f) J(f), f W m [,] () Fugsoal l (f) memuat tga kompoe, atu kompoe lkelhood R(f), fugsoal pealt J(f) da parameter peghalus. Estmator tpe PLS dkembagka oleh Heckma [5], Eubak [6], Wahba [7], serta Che da Shau [8] utuk estmator sple parsal orgal, dega megambl kesamaa-kesamaa: ( ) R(f)= x γ f ( t ) (3) = [ ] J(f)= (m) f () t dt (4) Betuk estmator γ da f dperoleh dega memmumka PLS:

2 4 IPTEK, The Joural for Techolog ad Scece, Vol. 9, No. 4, November 8 ( ) l () f = x f ( t ) ( m [ ) f () t ] = Pada ss la, Sh da L [9] megembagka model semparametrk utuk estmator sple parsal tpe-orm L. Estmator γ da f dperoleh dega memmumka Pealzed Leats Square (PLS) da meggat persamaa (3): R(f) = x γ f ( t ) = dt (5) (6) Lebh lajut He da Sh [9] megusulka pegguaa estmator sple parsal tpe-m (meda) utuk pedekata mea respo regres semparametrk. Estmator dperoleh dega memmumka PLS da meggat persamaa (3) : ( ) R(f) = ρ x γ f ( t ) (7) = ρ fugs koveks. Beberapa macam tpe sple ag dkembagka para peelt d atas, dkembagka model sple parsal terbobot utuk megatas ketdaksamaa varas, dkareaka model sple parsal kurag sesua utuk meaga ketdaksamaa varas regres semparametrk. Model dkembagka oleh Budatara [] serta Subaar da Budatara []. Betuk estmator dperoleh dega memmumka Pealzed Least Square Terbobot (PLST): l ( ) () f = x f ( t ) = [ ] w ( m f ) () t dt (8) utuk setap f aggota ruag sobolev W m [,]. Betuk estmator sple parsal terbobot dpegaruh o- leh parameter peghalus. Utuk, estmator sple parsal terbobot merupaka estmator polomal []. Estmator kompoe parametrk merupaka estmator ag kosste da berdstrbus ormal asmtotk []. II. SPLINE DALAM REGRESI NONPARAMETRIK DAN ESTIMASI BOBOT Estmas kurva regres umuma dlakuka dega tga pedekata, atu pedekata parametrk dega asums betuk kurva regres dketahu, pedekata oparametrk, dega asums pedekata kurva regres tdak dketahu, serta pedekata semparametrk ag merupaka gabuga atara pedekata parametrk da oparametrk. A. Sple Dalam Regres Noparametrk Fugs sple berorde (m-) dega ttk-ttk kots S, S,...,S k adalah sebarag fugs ag dapat dsajka dalam betuk [5]: k h αt j = j= k ( t S ) j S (t) = δ (8) k dega ( t ) = j=,,..., k S j k ( t S ) j,t Sj, t < S j α da δ adalah kostata real da S, S,...,S k adalah ttk-ttk kots. B. Estmas Bobot Pada dasara ada dua macam cara medapatka estmas bobot. Pertama dega coba-coba (tral error). Sstem tral error adalah medapatka bobot dega megguaka fugs predktora (Motgomer da Peck []). Namu demka sult utuk meemuka bobot ag optmal karea baaka kombas dar fugs predktor tersebut. Cara kedua adalah dega estmas megguaka Movg Average Slverma [3]. Metode estmas dega Movg Average salah satua adalah Geeralzed Movg Average (GMA), dega megambl persamaa: w ˆ = ( m ) - r * = m dega: m = max (, k) = m (, k) / * w { f ( t )} r = ˆ{ ( )} / σˆ = σ = w tra { f ( t )} tra( ) III. DATA PENELITIAN Regres semparametrk dguaka utuk megaalss data, dmaa terjad perubaha perlaku dar data tersebut pada terval-terval tertetu. Salah satu metode regres semparametrk ag dguaka adalah sple. A. Sple Parsal Orgal Sebaga vsualsas sple parsal orgal dguaka data peelta Dewaa [] tetag jumlah eerg lstrk ag hlag d PT PLN dstrbus Jawa Tmur Wlaah Surabaa Utara. Dalam peelta Dewaa [] terdapat dua varabel predktor, atu gaggua jes beda (x ), da jes gaggua jes ut pembagkt (x ), serta varabel respo jumlah eerg lstrk ag hlag. Vsualsas sple parsal jumlah eerg lstrk ag hlag dapat dlhat pada Gambar da Gambar. Gambar memperlhatka hubuga atara jumlah e- erg lstrk ag hlag d PT PLN dega gaggua jes beda (x ) memperlhatka adaa perubaha pola perlaku data dsektar ttk 9 da 4,. Berdasarka Tabel, ddapatka bahwa hubuga atara keduaa dapat djelaska dega model sple lear. Gambar memperlhatka estmas sple orgal hubuga atara jumlah eerg lstrk ag hlag dega gaggua jes beda (x ) adalah sple lear dega dua ttk kots. Gambar 3 meujukka hubuga atara jumlah eerg lstrk ag hlag dega gaggua jes ut pembagkt (x ). Dar s terlhat hubuga keduaa adalah lear. Sedagka Gambar 4 meujukka regres lear jumlah eerg lstrk ag hlag dega gaggua jes ut pembagkt (x ). Dar keempat gambar tersebut terlhat adaa kasus heterokedaststas, karea mak besar la x, varas juga mak besar. Model sple parsal orgal utuk data adalah:

3 IPTEK, The Joural for Techolog ad Scece, Vol. 9, No. 4, November 8 5 =,93,5x 54,73 ( x 9) 5, ( x ) 4, 4,73x ε Nla koefse determas utuk model sebesar 66,39%. Berdasarka model sple parsal orgal, memperlhatka kasus heterokedaststas (vara resdual tdak kosta). I terlhat dar plot atara resdual dega ŷ (Gambar 5) ag betuka tdak radom (horzotal bad) melaka berbetuk corog. Hal megdkaska bahwa model sple parsal orgal kurag dapat mejelaska adaa kasus heterokedaststas. TABEL SKOR GCV SPLINE PARSIAL ORIGINAL DENGAN SATU TITIK KNOTS No Orde Ttk Kot GCV 9,3 4, 6893,65 9, 4, 689,78 3 9, 4, 689,46 4 9, 4, 689,8 5 9, 4, 689,6 6 9, 4,3 689, x Gambar. Plot atara da x x Gambar Plot atara da x da estmas sple orgal x Gambar 3. Plot atara da x

4 6 IPTEK, The Joural for Techolog ad Scece, Vol. 9, No. 4, November 8 Regresso Plot = 85,49 4,93934 x S = 94,8883 R-Sq = 45,7 % R-Sq(adj) = 44,4 % x Gambar 4. Plot da x da regres lear 5 5 resdu hat Gambar 5 Plot atara resdual da ŷ

5 IPTEK, The Joural for Techolog ad Scece, Vol. 9, No. 4, November 8 7 Gambar 6 Plot tga dmes sple parsal orgal atara respo ( = hjau) da la taksra respo( ŷ =merah) B. Sple Parsal Terbobot Pada aalss d atas terlhat bahwa sple parsal orgal kurag mampu mejelaska adaa heterokedaststas. Utuk megatas adaa heterokedaststas dberka suatu bobot ag sesua. Salah satu metode utuk medapatka bobot adalah dega Geeralzed Movg Average (GMA) [3]. TABEL SKOR GCV SPLINE PARSIAL TERBOBOT DENGAN SATU KNOTS No Orde Ttk Kots GCV 3 6 9, , , , , , ,85 Tabel memperlhatka model sple kuadratk terbobot dega ttk kots 5 mempua la GCV terkecl, atu 73,85. Estmas model sple parsal terbobot dberka oleh: ŷ = γ γ x γ x γ 3 ( x S) γ 4 x Berdasarka aalss dagostk resdual ddapatka model sple kuadratk terbobot mempua varas data ag kosta da berdstrbus ormal. Selajuta dlakuka uj hpotess koefse-koefse regres. Pertama dlakuka uj hpotess seretak. H : γ = γ = γ = γ 3 = γ 4 = H : palg sedkt ada satu γ Rgkasa aalss varas model sple terbobot dberka dalam Tabel 3. Dega tgkat sgfkas α =,5 dperoleh kesmpula bahwa palg sedkt ada satu γ, =,,, 3, 4. Selajuta dlakuka uj koefse-koefse regres, terutama fugs trucated (γ 3 ) ag memberka pegaruh sgfka terhadap model. H : γ =, H : γ H : γ =, H : γ H : γ =, H : γ H : γ 3 =, H : γ 3 H : γ 4 =, H : γ 4 Sumber Varas TABEL 3 ANALISIS VARIANSI MODEL SPLINE PARSIAL TERBOBOT Deraja t Bebas Jumlah Kuadrat (JK) Ratarata JK Regres ,335 Resdual Total Nla F-tabel:,68988 F

6 8 IPTEK, The Joural for Techolog ad Scece, Vol. 9, No. 4, November 8 TABEL 4 ESTIMASI MODEL SPLINE PARSIAL TERBOBOT DENGAN METODE GMA Koefse Estmas St Dev t-htug γ γ 45 4 γ - -3 γ γ Nla t-tabel :,4394 Tabel 4 memperlhatka γ saja ag tdak sgfka terhadap model, sehgga γ tdak dmasukka ke dalam model. TABEL 5 ESTIMASI MODEL PARSIAL TERBOBOT DENGAN METODE GMA Koefse Estmas St Dev t-htug γ 68,776 3 γ γ 3 7,38 6 γ 4,35 4 Nla t-tabel:,69 Tabel 5 d atas memperlhatka model sple parsal terbobot dega megguaka metode GMA adalah: ŷ = 68,78x 7x 7,4 ( x 5),4x Nla koefse determas utuk model sebesar 7,9%. Gambar 7. Plot tga dmes sple parsal terbobot dega metode GMA. ( =hjau ; ŷ =merah) Berdasarka aalss d atas dapat dsmpulka bahwa sple parsal dega bobot lebh bak dbadgka sple parsal orgal. Hal terlhat dar la R sple dega bobot ag lebh besar dbadgka sple tapa bobot, dsampg gambar tga dmes atara ŷ (merah) da (hjau) ag meujukka bahwa utuk sple dega bobot la ŷ merupaka estmas ag bak utuk, karea plot atara keduaa bermpt. IV. KESIMPULAN Sple parsal orgal kurag sesua utuk permasalaha ketdaksamaa vara (heterokedaststas). Model sple dega bobot laak dpertmbagka sebaga suatu model pedekata, karea memberka hasl ag lebh dbadgka sple parsal orgal. Ada dua cara dalam peetua bobot, pertama dega tral error, da kedua megguaka estmas bobot dega Movg Average. Metode estmas dega Movg Average salah satua adalah Geeralzed Movg Average (GMA). Model sple terbobot dega megguaka GMA adalah: ŷ = 68,78x 7x 7,4 ( x ),4x Nla koefse determas utuk model sebesar 7,9%.

7 IPTEK, The Joural for Techolog ad Scece, Vol. 9, No. 4, November 8 9 V. DAFTAR PUSTAKA [] Dewaa, I. Peerapa Model Noparametrk Dega Metode Sple Pada Jumlah Eerg Lstrk Yag Hlag d PT PLN Dstrbus Jawa Tmur Wlaah Surabaa Utara, Tugas Akhr, ITS, Surabaa. 4. [] He,X. da Sh,P. Bvarate Tesor Product B-Sple a Partl Lear Models, Joural of Multvarate Aalss, 58, [3] Egle, R.L, Grager, C., Rce, J. ad Wess, A. Semparametrc Estmates of Relato Betwee Weather ad Electrct Sales, Joural of The Amerca Statstcal Assocato, 8, [4] Gree, P., Jeso, C.,Seheult, A. Aalss of Feld Expermets b Least Square Smoothg, Joural of The Roal Statstcal Socet, Ser. B, 47, [5] Heckma, N. Sple Smoothg a Partl Lear Models, Joural of The Roal Statstcal Socet, ser B, 48, [6] Eubak, R.L. A Note o Smoothess Prors ad Nolear Regresso., Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 8, [7] Wahba, G. Sple Models for Observasoal Data, SIAM, Peslvaa. 99. [8] Che, H. da Shau, J.J.H. Data Drve Effcet Estmators for a Partall Lear Model. The Aals of Statstcs,, [9] Sh, P., da L, G. O the Rate Covergece of Mmum L - Norm Estmates a partl Lear Model, Commucato Statstcs, Theor ad Methods, 3, [] Budatara, I.N. Estmator Sple Terbobot Dalam Regres Semparametrk, Majalah Ilmu Pegetahua da Tekolog,, [] Subaar da Budatara, I.N. Weghted Sple Estmator a Partall Lear Models, Proceedg of the SEAMS-GMU Iteratoal Coferece 999 o Mathematcs ad Its Applcatos, [] Motgomer, D.C ad Peck, E.A. Itroducto to Lear Regresso Aalss, New York. oh Wle ad Sos. 98. [3] Slverma, B.W. Some Aspect of The Sple Smoothg Approach to Noparametrc Regresso Curve Fttg (Wth Dscusso), Joural of The Roal Statstcal Socet, ser B, 47,