Estimasi Densitas Mulus dengan Metode Wavelet. (Wavelet Method in Smooth Density Estimation)

Transkripsi

1 Supart da Subaar Estmas Destas Mulus dega Metode Wavelet (Wavelet Method Smooth Desty Estmato) Oleh Supart ) da Subaar ) Let X Abstract =,,, be depedet observato data from a dstrbuto wth a ukow desty fucto f. The fucto f could be estmated by parametrc ad oparametrc approach. I oparametrc approach, the fucto f s assumed to be a smooth fucto or quadratc tegrable fucto, so the fucto f could be estmated by kerel estmator or orthogoal seres estmator, especally by Fourer seres estmator. Aother orthogoal seres estmator whch could be use to estmate f s wavelet estmator. Wavelet estmator s a exteto of Fourer seres estmator but t has caracterstcs lke the kerel estmator. Key words : smooth desty, kerel estmator, Fourer seres estmator, wavelet estmator..pendahuluan Dalam aalss data cederug dartka sebaga proses perhtuga dalam peerapa metode statstka, msalya perhtuga mea, vara, koefse regres ataupu perhtuga jumlah kuadrat dalam aalsa vara, sehgga peraa da keguaa sebearya mejad serg terlupaka. Proses aalss data pada dasarya melput upaya peelusura da pegugkapa formas yag releva yag terkadug dalam data sepert peelusura da ) Staf Pegajar FMIPA, Udp, Semarag

2 Supart da Subaar pegugkapa struktur da pola data, da peyaja haslya dalam betuk lebh rgkas da sederhaa, sehgga pada akhrya megarah kepada keperlua adaya pejelasa da peafsra. Peelusura struktur data bertujua memerksa apakah suatu data dapat dwakl oleh suatu model tertetu, sedagka dalam peelusura pola data bertujua utuk memerksa apakah dstrbus dataya cederug megumpul d satu la tertetu atau pada beberapa la. ka dberka data pegamata depede X =,,,, utuk meetuka dstrbus dar X ekvale dega meetuka fugs destasya. Utuk megestmas fugs destas f dapat dlakuka dega dua pedekata yatu pedekata parametrk da oparametrk. Pedekata parametrk dlakuka jka asums betuk f dketahu da tergatug pada suatu parameter, sehgga megestmas f ekvale dega megestmas parameterya, sedagka pedekata oparametrk dlakuka jka asums betuk f tdak dketahu. Dalam hal dasumska bahwa fugs f termuat dalam kelas fugs mulus dalam art mempuya turua kotu atau tertegralka secara kuadrat. Utuk megestmas fugs mulus, tekk pemulusa yag bayak dbahas adalah tekk pemulus kerel da deret ortogoal, khususya deret Fourer. Estmator deret Fourer bayak dbahas oleh Eubak (988), sedagka estmator kerel bayak dbahas oleh Hardle (990). Selajutya, para lmuwa dataraya Daubeches (99), Vetterl da Kovacevc (995), Hall da Patl (995, 996), Odge(997) megembagka dalam estmator wavelet. Dalam tulsa aka dbahas tetag pecara estmator wavelet dar destas mulus, sfatsfat da cotoh smulasya dega program S+Wavelets for Wdows. ) Staf Pegajar FMIPA, UGM, Yogyakarta

3 Supart da Subaar. TEORI DASAR ka dberka X =,,, data pegamata depede dar suatu dstrbus detk dega destas f yag tak dketahu, maka ada dua cara utuk membuat suatu keputusa tetag destas f yatu dega pedekata parametrk da oparametrk. Pedekata parametrk dlakuka jka asums model dstrbus X dketahu, msalya data dar dstrbus ormal dega mea da vara yag tak dketahu, maka megestmas f ekvale dega megestmas parameter da dar data, sedagka pedekata oparametrk dlakuka jka asums model dstrbus X tak dketahu. Berkut metode oparametrk utuk megestmas destas f. Estmator hstogram Metode klask yag palg populer utuk megetahu betuk fugs destas adalah metode hstogram. Suatu hstogram dsusu dega meletakka ttk-ttk data ke dalam suatu b atau klas. Setap b dyataka secara grafk oleh segempat dega lebar sama da tgg proporsoal dega bayakya ttk-ttk data yag terletak dalam b terkat. B dtetuka dega memlh ttk awal x 0 da lebar b/pta (bwdth) h. Utuk sembarag teger l, suatu b memuat terval setegah terbuka [x o +lh, x o +(l+)h). Nla estmator destas hstogram d sembarag ttk x dapat dyataka sebaga f(x) yag sama dega x. h #X dalam b Pemlha lebar b h kecl, hstogram memuat bayak batag kecl-kecl, sedagka utuk h besar hstogram memuat sedkt batag besar-besar.

4 Supart da Subaar Estmator kerel Suatu fugs K(.) dsebut fugs kerel jka K fugs kotu, berharga rl, smetrs, terbatas da K(y)dy. ka K suatu kerel dega sfat j. x K(x) dx 0, utuk j,,..., r r. x K(x) dx 0 atau, maka K dsebut kerel order r.. Estmator destas kerel merupaka pegembaga dar estmator hstogram. ka X =,,, data pegamata depede dar suatu dstrbus dega destas f (tak dketahu), maka estmator destas kerel f dega kerel K da lebar jedela h ddefska sebaga fˆ (x) h K x - X h Lema Dberka X =,,, data pegamata depede dar suatu dstrbus dega destas f da dasumska fc (R), c K = K (u)du, d K = u K (u)du. ka, h0 da h maka Bas ( fˆh (x) ) = (h /)f (x)d K +o(h ) da Var( fˆh (x) ) = (h) - c K f(x) +o((h) - ). Akbat MSE( fˆh (x) ) (h) - f(x)c K + ¼ h 4 [f (x)] d K, IMSE( fˆh (x) ) {(h) - c K + /4 [h 4 d K [f (x)] ] dx Estmator kerel tertlak

5 Supart da Subaar K(.,.) dsebut kerel tertlak jka K(.,.) merupaka fugs smetrs yag memeuh: (c ). K(x, y) c ( x y ), x, y R, dega c, c suatu kostata postp.. K(x, y) dy, x R. Dalam kasus kerel basa K(x,y) = K (x - y), utuk suatu fugs uvarat K. ka dberka suatu fugs uvarat dega sfat : (c c x ), xr. (x) 3. (x k), x R, k maka K(x,y) = (x k) (y k) merupaka suatu kerel tertlak. Dega megguaka k kerel tertlak K(.,.) da lebar jedela h, maka estmator destas f adalah fˆ (x) (h) h K(h x,h X ) Lema Dberka X =,,, data pegamata depede dar suatu dstrbus dega destas f, fc (R) da ddefska (x) =, h0 da h maka y K(x, x y)dy, (x) = K (x, x+y)dy. ka Bas ( fˆh (x) ) = (h /)f (x) (h - x)+o(h ) da Var ( fˆh (x) ) = (h) - (h - x)f(x)+o((h) - ). Akbat MSE( fˆh (x) ) (h) - (h - x) f(x) + ¼ h 4 [ f (x) (h - x)] IMSE( fˆh (x) ) (h) - [(h - x) f(x) ]dx + /4 [h 4 [f (x) ) (h - x)] ] dx

6 Supart da Subaar Dalam estmator kerel / kerel tertlak, tgkat kemulusa fˆ h dtetuka oleh fugs kerel K da lebar jedela h yag dsebut parameter pemulus, tetap pegaruh kerel K tdak sedoma parameter pemulus h. Nla h yag kecl memberka grafk yag kurag mulus sedagka la h yag besar memberka grafk yag sagat mulus. Oleh karea tu, perlu dplh la h optmal utuk medapatka grafk optmal. Salah satu cara memlh parameter pemulus h optmal meurut Hardle (990), dega memmalka IMSE dar fˆ h. Dega cara ddapat h opt -/5 da IMSE opt -4/5. ka fc r, maka h opt -/(r+) da IMSE opt -r/(r+). Estmator deret ortogoal Dasumska f L (R) dega L (R) ruag fugs yag kuadratya tertegralka, dega kata la L (R) = {f : f(x) dx }. Meurut Vetterl da Kovacecc (995), L (R) merupaka ruag Hlbert dega perkala skalar da orma yag ddefska sebaga f, g f(x)g(x)dx da f f,f f(x) dx. Karea L (R) merupaka ruag Hlbert dega sedrya merupaka ruag vektor (berdmes tak hgga). ka { j } j=,,... sstem ortoormal legkap dar L (R), maka sembarag fl (R) dapat dyataka sebaga f j j j dega j suatu skalar yag dtetuka dega rumus

7 Supart da Subaar j = f, j da memeuh dettas Parseval j f j. Karea f(x) dx, berakbat j <, sehgga j 0, utuk j. Oleh karea tu, f dapat ddekat oleh j f j j j, utuk suatu blaga bulat cukup besar. ka X =,,, data pegamata depede dar suatu dstrbus dega fugs destas f tak dketahu, maka estmator dar f adalah fˆ j j dega j ˆ. Khususya jka f L [0,], maka f dapat ddekat oleh deret Fourer, j j(x ) f (x) = a o a jcos(jx) b js(jx) j a j = / <f,cos(j.)>, j = 0,,,..., b j = / <f,s(j.)>, j =,,3,...,, dega koefse Fourer Estmator deret Fourer dar destas f adalah (x) â â cos(jx) bˆ s(jx) dega estmator koefse Fourer : â j cos(jx )dx, j = 0,,,..., bˆ j s(jx ), j =,,3,...,. fˆ o j j, j