MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN

Transkripsi

1 MATHunesa Jurnal Ilmiah Maemaika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN IDEAL ANTI FUZZY PADA ALJABAR_CI Sii Nur Laili (S1 Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Negeri Surabaya) siinurlaily57@gmail.com Raden Sulaiman (Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Negeri Surabaya) sulaimanraden@yahoo.com Absrak Srukur aljabar merupakan himpunan yang ak kosong dengan sau aau lebih operasi dan memenuhi aksioma aksioma yang berlaku. Pulak Sabhanpandi dan Biman Ch.Cheia memperkenalkan ideal ani fuzzy dalam aljabar-ci. Aljabar-CI merupakan suau himpunan ak kosong X, elemen khusus 1 dan operasi biner memenuhi aksioma : (i) x x = 1, (ii)1 x = x, (iii) x (y z) = y (x z), unuk semua x, y, z X. Misal A himpunan fuzzy pada aljabar-ci, A disebu ideal ani fuzzy jika unuk seiap x, y, z X memenuhi μ A (x y) μ A (y) dan (μ A ((x (y z)) z)) max{μ A (x), μ A (y)}. Hasil peneliian menjelaskan konsep dan srukur yang erkai dari ideal ani fuzzy pada aljabar-ci. Kaa Kunci: Aljabar-CI, ideal ani fuzzy, homomorfisme, hasil kali karesius Absrac The srucure of algebra is a non empy se wih one or more operaions and saisfy axioms. Pulak Sabhanpandi and Biman Ch.Cheia inroduced ani fuzzy ideals in CI-algebras. CI-algebra is a non empy se of X, a fixed elemen 1 and a binary operaion saisfies axioms : (i) x x = 1, (ii) 1 x = x, (iii) x (y z) = y (x z), for all x, y, z X. Le A fuzzy se of kci-algebra X, A is called an ani fuzzy ideasl of X if μ A (x y) μ A (y) and (μ A ((x (y z)) z)) max{μ A (x), μ A (y)} for every x, y, z X. The research resuls explain he concep and associaed srucure of ani fuzzy ideal in CI-algebra. Keywords: CI-algebra, ani fuzzy ideal, homomorphism, caresian produc PENDAHULUAN Srukur aljabar merupakan himpunan yang ak kosong dengan sau aau lebih operasi dan memenuhi aksioma aksioma yang berlaku. Maeri dari srukur aljabar yaiu grup dan ring. Namun, erdapa conoh lain dari srukur aljabar yang umumnya belum dikeahui, yaiu aljabar-ci. Aljabar-CI adalah himpunan ak kosong dengan sebuah operasi biner dan memenuhi aksioma pada aljabar-ci. Beberapa bagian yang erkain dengan dari aljabar-ci salah saunya yaiu, ideal. Seiring dengan perkembangan zaman, peneliian enang ideal dari aljabar-ci mulai dipadukan dengan konsep lain, salah saunya adalah konsep himpunan fuzzy. Pada ahun 1965, Prof. Lofi A. Zadeh memperkenalkan konsep himpunan fuzzy, yaiu perluasan dari himpunan klasik. Jika himpunan klasik mempunyai deraja keanggoaan 0 dan 1, lain halnya dengan himpunan fuzzy. Himpunan fuzzy mempunyai deraja keanggoaan yang erleak pada inerval [0,1]. Gagasan ideal fuzzy pada aljabar-ci diperkenalkan oleh Samy AM. Mosafa, Mokhar Ac. Abdel Naby, dan Osama R.Elgedy. Misal A himpunan fuzzy pada aljabar- CI, A disebu ideal fuzzy jika unuk seiap x, y, z X memenuhi μ A (x y) μ A (y) dan (μ A ((x (y z)) z)) min{μ A (x), xμ A (y)}. Para penelii mengembangkan konsep fuzzy yang dipadukan dalam berbagai eori, salah saunya gagasan fuzzy subgrup dan 48

2 ani fuzzy subgrup diperkenalkan oleh R. Biswas. Berdasarkan gagasan R. Biswas dapa dimodifikasi unuk dierapkan pada konsep ideal dari aljabar-ci. Ideal ani fuzzy pada aljabar-ci diperkenalkan oleh Pulak Sabhapandi, dan Biman Ch. Cheia. Misal A himpunan fuzzy pada aljabar-ci, A disebu ideal ani fuzzy jika unuk seiap x, y, z X memenuhi μ A (x y) μ A (y) dan (μ A ((x (y z)) z)) max{μ A (x), μ A (y)}. Ideal ani fuzzy pada aljabar-ci memiliki banyak sifa-sifa yang erkai, seperi homomorfisme, hasil kali karesius dan seerusnya. Pada jurnal ini akan dibahas lebih lanju enang ideal ani fuzzy pada aljabar-ci, yaiu sifa-sifa dan karakerisik yang erkai dengan ideal ani fuzzy pada aljabar-ci. LANDASAN TEORI A. Operasi Biner Definisi 2.1 Misalkan F adalah F. Operasi biner " " di G adalah fungsi dari G G G. (Joseph A. Gallian, 2010 : 40) B. Operasi Uner Definisi 2.2 Fungsi dari G G disebu operasi uner. (Ana Sokolova, 2013 : 1) C. Grup Definisi 2.3 Suau grup (G, ) adalah pasangan eruru dengan G dan operasi biner sebagai beriku: 1. a * (b * c) = (a * b) * c, unuk semua a, b, c G 2. Ada e G a * e = e * a = a, unuk semua a G. Elemen e ini disebu elemen idenias. 3. Ada a 1 G a * a -1 = a -1 * a = e, unuk semua a G. Elemen a -1 disebu elemen invers dari a. D. Homomorfisma Grup (Hersein, 1995 : 40) Definisi 2.4 Pemeaan φ dari suau grup (G, ) ke grup (G, ο) dikaakan homomorfisme jika φ(k l) = φ(k) ο φ(l) unuk semua k, l G. E. Endomorfisme Grup (Joseph A. Gallian, 2010:200) Definisi 2.5 Homomorfisme suau grup ke grup yang sama dinamakan endomorfisme. F. Kernel Homomorfisme (Joseph A. Gallian, 2010:200) Definisi 2.6 Misalkan homomorfisme φ dari G ke G dengan idenias e didefinisikan kernel φ adalah {x G φ(x) = e}. Kernel φ dinoasikan dengan Kerφ. (Joseph A. Gallian, 2010:200) Definisi 2.8 Misal F dan H adalah himpunan fuzzy pada semesa X. A dikaakan irisan B jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai beriku: F H = {(x, μ F H (x)) μ F H = min(μ F (x), H(x))} Definisi 2.9 (Zimmerman, 1996:16) Misal F dan H adalah himpunan fuzzy pada semesa X. F dikaakan gabungan H jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai beriku: F H = {(x, μ F H (x)) dengan μ F H (x) = max(μ F (x), μ H (x))} Definisi 2.10 (Zimmerman, 1996:17) Misalkan A himpunan fuzzy pada semesa X. A dikaakan komplemen jika dan hanya jika, didefinisikan sebagai beriku : A c = {(x, μ A c(x)) μ A c(x) = 1 μ A (x)} Komplemen himpunan fuzzy A dinoasikan dengan A c. (Zimmerman, 1996:17) G. Hasil Kali Karesius Himpunan Fuzzy 49

3 Definisi 2.11 Hasil kali karesius himpunan fuzzy didefinisikan sebagai beriku : Misalkan A 1, A 2,, A n merupakan himpunan fuzzy yang beruru-uru pada X 1, X 2,, X n. Hasil kali karesius himpunan fuzzy A 1 A 2 A n didefinisikan sebagai beriku: A 1 A 2 A n = {(x, μ (A1 A 2 A n )) μ (A1 A 2 A n )(x) = min{μ Ai (x i ) x = (x 1, x 2,, x n ), x i X i }} PEMBAHASAN A. Aljabar-CI Definisi 3.1 (Zimmerman, 1996:28) Aljabar-CI (X,,1) adalah suau himpunan ak kosong X, dengan operasi biner " " dan elemen khusus 1 yang memenuhi aksioma sebagai beriku: (i) p p = 1, unuk semua p X (ii) 1 p = p, unuk semua p X (iii) p (q r) = q (p r), unuk semua p. q. r X Selanjunya, jika p. q (X,,1) maka kia ulis p q jika p q = 1 (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 1) Conoh 3.1 Misalkan X = {1, a, b, c, d, 0} dengan operasi didefinisikan sebagai beriku: I II 1 a b c d a b c d 0 a 1 1 a c c d b c c c c 1 a b 1 a b d 1 1 a 1 1 a X adalah aljabar-ci. Karena X memenuhi semua aksioma pada aljabar-ci. Lemma 3.1 Jika (X,,1) aljabar-ci, maka p ((p q) q) = 1 unuk semua x, y X. (Sabhapandi da n Ch. Cheia, 2016 : 135) Lemma 3.2 Jika (X,,1) aljabar-ci, maka (x y) a1 = (x a1) (y a1) unuk semua x, y X. (Sabhapandi dan Ch. Cheia, 2016 : 135) Definisi 3.2 Suau aljabar-ci (X,,1) bersifa ransiif, jika (q r) ((p q) (p r)) = 1 unuk semua p, q, r ε X (Mosafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485) Definisi 3.3 Suau aljabar-ci (X,,1) bersifa komuaif, jika (p q) q = (q p) p unuk semua p. qε X (Borumand dan Rezaei, 2012 : 16) Definisi 3.4 Suau aljabar-ci (X,,1) bersifa disribuif diri jika p (q r) = (p q) (p r) unuk semua p, q, r ε X. (Mosafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485) B. Ideal Pada Aljabar-CI Definisi 3.5 Suau subhimpunan ak kosong I pada aljabar-ci (X,,1) disebu ideal pada X, p X dan k, l I memenuhi : (i) p k I. (ii) (k (l p)) p I (Sabhapandi dan Ch. Cheia, 2016 : 135) Conoh 3.5 Misalkan X = {1, a, b, c, d, 0} dengan operasi didefinisikan sebagai beriku: I II 1 a b c d a b c d 0 a 1 1 a c c d b c c c c 1 a b 1 a b d 1 1 a 1 1 a X adalah aljabar-ci. Karena X memenuhi semua aksioma pada aljabar-ci. Lemma 3.3 Jika (X,,1) aljabar-ci. Maka berlaku: (i) Seiap ideal dari (X,,1) aljabar-ci memua 1 50

4 (ii) Jika I adalah ideal dari (X,,1), maka (k p) p I, unuk semua a I dan p X. C. Ideal Fuzzy Dan Ideal Ani Fuzzy pada Aljabar-CI Definisi 3.6 aljabar-ci (X,,1). Maka A disebu ideal fuzzy jika p. q. r X berlaku kondisi : (i) μ A (p q) μ A (q) (ii) (μ A ((p (q r)) r)) min{μ A (p), μ A (q)} Definisi 3.7 aljabar-ci (X,,1). Maka A disebu ideal ani fuzzy jika unuk seiap p, q X memenuhi kondisi : (i) μ A (p q) μ A (q) (ii) μ A ((p (q r)) r) max{μ A (p), μ A (q)} aljabar-ci (X,,1). Maka A disebu subaljabar fuzzy X, jika μ A (p q) min{μ A (p), aμ A (q)}. Unuk semua p, q X. Definisi 3.10 aljabar-ci (X,,1). Maka A disebu subaljabar ani fuzzy X, jika μ A (x y) max{μ A (x), μ A (y)} unuk semua x, y X. Teorema 3.3 aljabar-ci (X,,1). Maka seiap subaljabar ani fuzzy X selalu memenuhi ideal ani fuzzy pada X. Teorema 3.1 Jika A ideal ani fuzzy pada aljabar-ci (X,,1), maka μ A (1) μ A (x), unuk seiap x X. Teorema 3.2 Jika A ideal ani fuzzy pada aljabar-ci (X,,1), maka μ A ((p q) q) μ A (p), unuk seiap p. q X. (Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Buki: μ A ((p q) q) = μ A ((p (1 q)) q) max{μ A (p), μ A (1)} μ A (p) Definisi 3.8 Suau subhimpunan ak kosong I X pada aljabar- CI (X,,1) disebu subaljabar dari X, jika x y I, unuk seiap x, y I. (Mosafa, Naby, dan Elgendy, 2011 : 485) D. Subaljabar fuzzy dan Subaljabar Ani Fuzzy pada Aljabar-CI Definisi 3.9 Definisi 3.12 aljabar-ci (X,,1). Subhimpunan level pada himpunan fuzzy A adalah himpunan Teorema 3.4 μ A = {x X μ A (x) } (R.Biswas, 1990 : 121) Misal A = {(x, μ A (x)); x X} merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-ci (X,,1). Jika μ A merupakan subaljabar ani fuzzy unuk seiap [0,1], maka μ A memenuhi salah sau dari μ A = aau μ A subaljabar (X,,1). Buki: Misalkan μ A merupakan subaljabar ani fuzzy pada X dan μ A. Misal p, q μ A berdasarkan definisi 3.11 berlaku : μ A (p) Maka, μ A (q) Unuk p q μ A berlaku: μ A (p q) 51

5 Karena μ A merupakan subaljabar ani fuzzy, maka unuk seiap x, y μ A berlaku : μ A (p q) max{μ A (p), μ A (q)} Diperoleh μ A (p q) max{μ A (p), μ A (q)} dengan p q μ A, dan μ A subaljabar Jadi μ A subaljabar ani fuzzy pada aljabar-ci E. Homomorfisme dan Ani Homomorfisme Pada Aljabar-CI Definisi 3.13 Misalkan (X,,1) dan (Y,, 1 ) merupakan aljabar- CI. Suau pemeaan f: X Y disebu homomorfisme, jika f(p q) = f(p) f(q) unuk semua p, q X. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Definisi 3.14 Misalkan (X,,1) dan (Y,, 1 ) merupakan aljabar- CI. Suau pemeaan f: X Y disebu ani homomorfisme, f(p q) = f(p) f(q) unuk semua p, q X. (selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Definisi 3.15 Misalkan X aljabar-ci f: X X merupakan homomorfisme dan A merupakan himpunan fuzzy pada X. Didefinisikan suau himpunan fuzzy baru pada X yaiu μ f dengan μ f (x) = μ A (f(x)) unuk semua x pada X. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Teorema 3.5 Misalkan X: aljabar-ci f: X X merupakan endomorfisme. Jika A ideal ani fuzzy pada X, maka μ f ideal ani fuzzy pada X. Buki: Misalkan p, q, r X, f homomorfisme, dan A ideal ani fuzzy pada X maka berlaku : (i) μ A (p q) μ A (q) μ f (p q) = μ(f(p q)) μ f (x y) = μ(f(p) f(q)) μ f (x y) μ(f(q)) = μ f (q) Jadi μ f (p q) μ(f(q)) (ii) μ f ((p (q r)) r) = μ (f ((p (q r)) r)) = μ (f(p (q q)) f(q)) = μ ((f(p) f(q r)) f(r)) = μ ((f(p) (f(q) f(r))) f(r)) Karena A ideal ani fuzzy pada X, μ (f ((p (q r)) r)) max {μ ((f(p) (f(q) f(r))) f(r))} max{μ(f(p)), μ(f(q))} Sehingga, max{μ(f(p)), μ(f(q))} Jadi, μ f ideal ani fuzzy pada X. μ f ((p (q r)) r) Teorema 3.6 Misalkan f: X Y epimorfisme pada aljabar-ci X. Jika μ f ideal ani fuzzy pada X, maka A ideal ani fuzzy pada Y. Buki : Misalkan y Y, maka x X f sehingga f(x) = y Misalkan y 1, y 2, y 3 Y (i) Karena A ideal ani fuzzy pada X, sehingga μ A (y 1 y 2 ) μ A (y 2 ) μ f (y 1 y 2 ) = μ(f(x 1 x 2 )) μ f (x y) = μ(f(x 1 ) f(x 2 )) μ f (x y) μ(f(x 2 )) = μ(f(y 2 )) = μ f (y 2 ) Jadi μ f (y 1 y 2 ) μ(f(y 2 )) (ii) μ f ((y 1 (y 2 y 3 )) y 3 ) = μ (f ((x 1 (ax 2 x 3 )) x 3 )) = μ (f(x 1 (ax 2 x 3 )) f(x 3 )) = μ ((f(x 1 ) f(ax 2 x 3 )) f(x 3 )) = μ ((f(x 1 ) (f(ax 2 ) f(x 3 ))) f(x 3 )) Karena A ideal ani fuzzy pada Y, μ (f ((x 1 (x 2 z)) x 3 )) max {μ ((f(x 1 ) (f(x 2 ) f(x 3 ))) f(x 3 ))} = max{μ(f(x 1 )), μ(f(x 2 ))} max{μ(f(x 1 )), μ(f(x 2 ))} 52

6 = max{μ(f(y 1 )), μ(f(y 2 ))} Sehingga, max{μ(f(y 1 )), μ(f(y 2 ))} Jadi, A ideal ani fuzzy pada Y Teorema 3.7 μ f ((y 1 (y 2 y 3 )) y 3 ) Misalkan f: X Y homomorfisme pada aljabar-ci X. Jika A ideal ani fuzzy pada Y, maka μ f ideal ani fuzzy pada X. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 3) Buki : Misalkan p, q, r X, f homomorfisme, karena A ideal ani fuzzy pada Y maka berlaku : (i) μ A (p q) μ A (q) berdasarkan definisi 3.14 μ f (p) = μ(f(p)) μ f (p q) = μ(f(p q)) μ f (x y) = μ(f(p) f(q)) Teorema 3.8 Misalkan (X,,1) dan (Y,, 1 ) aljabar-ci dan f: X Y homomorfisme pada aljabar-ci. Maka Ker(f) merupakan ideal Buki : Misalkan p (q r) Ker(f) dan y Ker(f) Maka f(p (q r)) = 1 dan f(y) = 1 1 = f(p (q r)) 1 = f(p) f(q r) 1 = f(p) (1 f(r)) 1 = f(p) f(r) 1 = f(p r) Sehingga x z ker (f) Maka ker (f) merupakan ideal μ f (x y) μ(f(q)) = μ f (q) Jadi μ f (p q) μ(f(q)) (ii) μ f ((p (q r)) r) = μ (f ((p (q r)) r)) = μ(f(p (q r)) f(r)) = μ ((f(p) f(q r)) f(r)) = μ ((f(p) (f(q) f(r))) f(r)) Karena A ideal ani fuzzy pada Y, μ (f ((p (q r)) r)) max {μ ((f(p) (f(q) f(r))) f(r))} = max{μ(f(p)), μ(f(q))} max{μ(f(p)), μ(f(q))} Jadi max{μ(f(p)), μ(f(q))} Maka μ f ideal ani fuzzy pada X μ f ((p (q r)) r) F. Hasil Kali Karesius pada Ideal Ani Fuzzy dari Aljabar-CI Definisi 3.16 Misalkan A dan B merupakan ideal fuzzy pada X. Hasil kali karesius A B: X X [0,1] didefinisikan dengan (A B)(p, q) =min {μ A (p), μ B (q)}, unuk semua p, q X. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4) Definisi 3.17 Misalkan A dan B merupakan ideal ani fuzzy pada X. Hasil kali karesius A B: X X [0,1] didefinisikan dengan (A B)(p, q) =max {μ A (p), μ B (q)}, unuk semua p, q X. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4) Teorema 3.9 Jika A dan B ideal ani fuzzy pada aljabar-ci X, maka A B ideal ani fuzzy pada X X. (Selvam, Priya, dan Ramachandran, 2012 : 4) Lemma 3.4 Suau subhimpunan ak kosong I X pada aljabar- CI (X,,1). Jika I ideal maka memenuhi 1 I dan (x (y z) I x z I) unuk semua x, z X dan y I PENUTUP A. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan di aas erdapa beberapa eorema yang berkaian dan sudah dibukikan adalah: 53

7 1. Misalkan A merupakan himpunan fuzzy pada aljabar-ci (X,,1). Maka seiap subaljabar ani fuzzy X selalu memenuhi ideal ani fuzzy pada X. 2. Misalkan X: aljabar-ci f: X X merupakan endomorfisme. Jika A ideal ani fuzzy pada X, maka μ f ideal ani fuzzy pada X. 3. Misalkan f: X Y homomorfisme pada aljabar-ci X. Jika A ideal ani fuzzy pada Y, maka μ f ideal ani fuzzy pada X. 4. Misalkan (X,,1) dan (Y,, 1 ) aljabar-ci dan f: X Y homomorfisme pada aljabar- CI. Maka Ker(f) merupakan ideal 5. Jika A dan B ideal ani fuzzy pada aljabar-ci X, maka A B ideal ani fuzzy pada X X. yseme2015/algebraicsrucure.pdf. Diakses anggal 28 Desember 2016). T. Priya, dan T. Ramachandran Ani Fuzzy Ideals of CI-algebras and is lower level cus. Inernaional Journal of Mahemaical Archive. Vol. 3 (7) : hal Zimmerman Fuzzy Se Theory and i s Applicaion. Third Ediion. Bosom: Kluwer Academic. B. Saran Pada jurnal ini hanya membahas enang sifa-sifa karakerisik ideal ani fuzzy pada aljabar-ci. Penulis menyarankan bagi pembaca unuk mengkaji lebih dalam enang ideal ani fuzzy pada aljabar-ci.. DAFTAR PUSTAKA Biswas, R Fuzzy Subgroups and Ani Fuzzy Subgroups. Fuzzy Se and Sysem. Vol.35 : hal Gallian, Joseph A Coemporary Absrac Algebra. Sevenh Ediion. Duluh: Universiy of Minnesoa Duluh. Hersein, I.N Absrac Algebra. Third Ediion. USA: Prenice-HAll, Inc. Mosafa, Samy M, Mokhar A. Abdel Naby dan Osama R. Elgendy Fuzzy Ideal On CI-algebras. Journal of American Science. Vol.7 : hal Sabhanapandi, Pulak dan Biman Ch. Cheia CIalgebras and is Fuzzy Ideal. Inernaional Journal of Mahemaics Trends and Technology. Vol 33 (2): hal Saeid, A. Borumand dan A. Rezaei Quoien CIalgebras. Bullein of The Transilvania Universiy of Brasov. Vol 54 (5): hal Selvam, P. M. Sihar, T. Priya, dan T. Ramachandran Ani Fuzzy subalgebra and Homomorphism of CI-algebras. Inernaional Journal of Engineering Research and Technology. Vol. 1 (5) : hal Sokolova, Ana Algebraic Srucure, (online). (hp://cs.unisalzburg.a/~anas/eaching/formales 54