EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN SOLUSI HARGA OPSI EROPA

Transkripsi

1 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 6 Me 009 EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN SOLUSI HARGA OPSI EROPA SUTRIMA zutrma@yahoo.co.d Jurusan Matematka FMIPA UNS Abstrak Harga ops tpe Eropa oleh Black and Scholes (973) merupakan fungs dar asset pokok dan waktu. Secara matemats hubungan fungs n dapat dmodelkan sebaga persamaan dferensal parsal, yang dkenal sebaga model Black-Scholes. Model Black- Scholes n merupakan tpe masalah Cauchy abstrak. Untuk tpe masalah n, Teorema Hlle- Yosda dalam semgrup dapat dgunakan untuk membuktkan eksstens dan ketunggalan solus masalah tersebut. Untuk tujuan n dplh ruang dengan syarat-syarat tertentu, kemudan dtunjukkan bahwa operator Black-Scholes yang muncul dalam masalah Cauchy merupakan generator nfntesmal dar semgrup-c 0 T(t). Kata kunc: harga ops Eropa, operator Black-Scholes, semgrup, generator nfntesmal PENDAHULUAN Ops merupakan nvestas aset fnansal yang banyak dlakukan, dsampng nvestas pada aset rl sepert: tanah, mesn, bangunan, dan emas. Ops adalah suatu jens kontrak antara dua phak dmana satu phak member hak kepada phak lan untuk membel dan menjual aset tertentu pada harga dan perode tertentu. Hak untuk membel suatu saham dengan harga tertentu/harga kesepakatan (exercse prce) dsebut ops bel (call opton), sedangkan hak untuk menjual suatu saham dengan harga tertentu pada waktu tertentu atau sebelumnya dsebut ops jual (put opton). Masa jatuh tempo (expry date) merupakan tanggal hak pembel saham untuk melakukan exercse habs (Husnan, 993 ). Berdasarkan waktu eksekus yang terjad, ops dkelompokkan menjad dua, yatu tpe Eropa dan tpe Amerka. Ops tpe Eropa adalah ops yang hanya dapat dlaksanakan pada tanggal tertentu saja. Sedangkan tpe Amerka adalah ops yang dapat dlaksanakan pada tanggal tertentu atau sebelumnya. Namun yang banyak danut pasar keuangan adalah model ops tpe Eropa. Ops tpe Eropa mendasarkan pada beberapa asums, antara lan: saham tdak memberkan pembayaran devden, tdak ada baya transaks dan pajak, tngkat suku bunga bebas-resko konstan selama umur ops, dan perubahan harga saham mengkut pola acak (Husnan, 993 ). Black dan Scholes (973) berhasl menyusun model pergerakan harga ops tpe Eropa, yang selanjutnya dsebut model Black-Scholes. Model Black-Scholes dar ops bel tpe Eropa C, sebaga fungs aset pokok, x, dan waktu, t, sehngga C = C(x,t) memenuh persamaan dferensal parsal: C C C + σ x + rx rc = 0 (.) t x x dengan C(0,t) = 0; C(x,t) x apabla x ; (.) C(x,T) = C T = maks(x E,0), x (0, ), dengan σ volatltas aset pokok, E harga kesepakatan, T waktu jatuh tempo, dan r tngkat suku bunga. Dalam hal n σ dan r dambl konstanta, dan aset tanpa devden. Secara terpsah Merton (973) juga menelt pergerakan harga ops. Hal yang sama dlakukan Wlmot. (00). M-87

2 Sutrma/Eksstens dan Ketunggalan Perkembangan teor semgrup begtu mengesankan dalam usaha membantu memecahkan masalah waktu kontnu, yang basanya dalam bentuk persamaan dferensal parsal. Masalah (.) (.) jka dtnjau dar teor persamaan dferensal parsal termasuk klasfkas persamaan dferensal parsal parabolk tpe masalah Cauchy. Untuk tpe masalah n, pendekatan semgrup dapat dmplementaskan untuk membuktkan eksstens dan ketunggalan penyelesaan masalah tersebut (Pazy, 983; Curtan dan Zwart, 995). Oleh karena tu dalam artkel akan dberkan syarat cukup dan syarat perlu eksstens ketunggalan penyelesaan masalah (.)-(.) melalu pendekatan semgrup Teor Semgrup Teor semgrup memberkan kontrbus yang sgnfkan terhadap pemecahan masalah waktu kontnu dar masalah Cauchy abstrak. Dalam hal n, hasl yang sangat terkenal adalah teorema Hlle- Yosda. Defns. Msalkan X adalah ruang Banach. Keluarga operator terbatas dar X ke X berparameter-satu T(t), 0 t < dsebut semgrup pada X, jka memenuh: (a) T(0) = I, dengan I operator denttas pada X, (b) T(s + t) = T(s)T(t) untuk setap s, t 0. Semgrup dar operator lnear terbatas T(t) dkatakan kontnu seragam (unformly contnuous) jka lm Tt ( ) I = 0. t 0 Dar defns n jelas bahwa jka T(t) kontnu seragam, maka lm Tx ( ) Tt ( ) = 0. x t Operator lnear A yang ddefnskan dengan Ttx () x Ax = lm t 0 t Ttx () x pada DA ( ) = x X: lm ada dsebut generator nfntesmal dar semgrup T(t). t 0 t Berkatan dengan defns n, Pazy (983) dan Curtn dan Zwart (995) memberkan hasl berkut. Teorema. Operator lnear A adalah generator nfntesmal dar semgrup kontnu seragam jka dan hanya jka A operator lnear terbatas. Dar Defns. jelas bahwa semgrup T(t) mempunya generator nfntesmal yang tunggal. Lebh lanjut, jka T(t) kontnu seragam, maka mempunya generator nfntesmal berupa operator lnear terbatas. Defns.3 Semgrup T(t), 0 t <, dar operator lnear terbatas pada X dkata-kan kontnu kuat (strongly contnuous), jka lm Ttx ( ) = x t 0 untuk setap x X. Semgrup kontnu kuat dar operator lnear terbatas pada X selanjut-nya dsebut semgrup-c 0. M-88

3 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 6 Me 009 Msalkan A operator lnear, tdak harus terbatas, pada X, hmpunan resolvent dar A, dnotaskan ρ(a), ddefnskan sebaga hmpunan dar semua blangan kompleks λ sehngga (λi A) - adalah operator terbatas pada X. Keluarga operator lnear terbatas R(λ:A) = (λi A) -, λ ρ(a), dsebut resolvent dar A. Defns.4 Semgrup T(t), 0 t <, dar operator lnear terbatas pada X dsebut semgrup penyusutan (contracton), jka T(t) semgrup-c 0 dan memenuh untuk setap t 0. Tt () Teorema berkut dkenal sebaga teorema Hlle-Yosda (Curtan dan Zwart, 995) yang sangat pentng dalam peneltan n. Teorema.5 Operator lnear A adalah generator nfntesmal dar semgrup kontraks jka dan hanya jka (a) A tertutup dan DA ( ) = X, (b) Hmpunan resolvent ρ(a) memuat Ρ + dan untuk setap λ > 0 berlaku R( λ : A) λ 995). Sebaga akbat teorema datas akan berlaku hasl berkut n (Pazy, 983; Curtan dan Zwart, Akbat.6 Operator lnear A memenuh Tt () e ωt bst dan hanya bst bstra generator nfntesmal dar semgrup-c 0 yang (a) A tertutup dan DA ( ) = X, (b) Hmpunan resolvent ρ(a) memuat snar {λ Χ : Imλ = 0, λ > ω } dan untuk setap λ > 0 berlaku R( λ : A) λ ω. Akbat.7 Msalkan A bstra generator nfntesmal dar semgrup-c 0 yang memenuh Tt () e ωt. Jka c > maks(0, ω) dan x DA ( ), maka T(t)x c+ λx = e R( λ: A) xdλ π. c Teorema berkut merupakan kontrbus dar teor semgrup dalam memecahkan masalah Cauchy bstrae (Pazy, 983). Teorema.8 Msalkan A operator lnear rapat dengan hmpunan resolvent tak kosong. Masalah nla awal M-89

4 Sutrma/Eksstens dan Ketunggalan du() t = Au() t, t > 0, u(t 0 ) = x (x X) (.) dt mempunya penyelesaan tunggal u(t), yang mempunya turunan kontnu pada [0,), untuk setap x D(A) jka hanya jka A generator nfntesmal dar semgrup-c 0 T(t). HASIL PENELITIAN Sebaga langkah awal, dkonstruks ruang X yang memungknkan operator Black-Scholes dapat bekerja. Ddefnskan dengan { : (0, ), } X = f x + f C f < (3.) + sup ( ) 0 x< f = x f x, (3.) dan C(0,) menyatakan hmpunan semua fungs kontnu pada (0,). Mudah dtunjukkan bahwa f merupakan norma pada X. Selanjutnya, ddefnskan operator A: DA ( ) X X dengan f x f x Af = σ x rx + rf (3.3) dengan { } D( A) = f X : Af X. (3.4) Dapat dtunjukkan bahwa operator A bersfat lnear pada D(A). Dengan operator n persamaan dferensal parsal (.) dapat dtulskan kembal sebaga du() t = Au() t. (3.5) dt Persamaan n sepadan dengan masalah Cauchy (.). Syarat perlu agar Teorema.8 dapat dmplementaskan terhadap (3.5), maka X haruslah ruang Banach. Teorema 3. Ruang ( X, f ) merupakan ruang Banach. Bukt. Ambl sembarang barsan Cauchy ( f n ) d dalam X terhadap norma f. Dberkan sembarang ε > 0, maka terdapat H Ν sehngga untuk m, n H berlaku f m n f < ε. (3.6) M-90

5 Akbatnya untuk untuk m, n H berlaku Jad untuk setap x [0,), ( ) Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 6 Me x fm x fn x ( ) ( ) < ε untuk setap x [0,). fn( x ) adalah barsan Cauchy d dalam Ρ, sehngga konvergen dalam Ρ. Ddefnskan f sebaga fungs lmt, yatu f( x) = lm f ( x) untuk setap x [0,). Dengan (3.7), untuk setap n H berlaku + x f x f x n ( ) ( ) n < ε untuk setap x [0,). Hal n menunjukkan bahwa ( f n ) konvergen seragam ke f pada [0,). Karena ( n ) n f barsan fungs kontnu, maka dengan Teorema 8.. (Bartle, 99) f kontnu pada [0,), sehngga f X. Jad, ( X, f ) adalah ruang bernorma yang lengkap, yatu ruang Banach. Teorema 3. Operator dferensal A adalah generator nfntesmal dar semgrup-c 0 T(t). Bukt. Untuk ddefnskan C { 0, f : x + f( x) C0 } =.Operator A tertutup, dan D(A) rapat d dalam X karena D(A) memuat C 0, yang mana rapat d dalam X. Untuk membuktkan bahwa A adalah generator nfntesmal harus dtunjukkan bahwa hmpunan resolvent ρ(a) memuat snar {λ Χ : Imλ = 0, λ > ω } dan untuk setap λ > 0 berlaku R( λ : A) λ ω. Dengan kata lan, harus dcar fungs g d dalam D(A) sehngga yatu, Persamaan n dapat dtulskan kembal sebaga ( λi Agx ) ( ) = f( x) (3.7) dg d g ( λ r) g( x) + rx + σ x = f ( x). (3.8) dx dx dg d ( rgx ) ( ) + r x + x gx ( ) = f( x) λ σ σ dx dx Untuk menyelesakan (3.0) akan dgunakan transformas Melln, yatu s ( ) 0. (3.9) M( gx ( )) s = x gxdx ( ) (Res > 0). (3.0) M-9

6 Sutrma/Eksstens dan Ketunggalan Dengan transformas Melln n dperoleh bahwa d M x gx ( s) sgs dx ( ) = ( ), d M x g( x) ( s) = sg( s), dx (3.) dengan Gs () = M gs (). Dengan (3.), (3.9) dtransformas menjad dan penyelesaan untuk G(s) Gs () = λ σ + σ = ( rgs ) () r sgs () sgs () Fs () Fs () σ s r σ s r+ λ (/ ) ( (/ ) ), (3.) = Fs ( ). σ s ( r/ σ ) s (( r λ)/ σ ) (3.3) = Fs ( )., σ ( s s )( s s ) dengan s = r σ ± r σ + λ = ± β λ, untuk = r / σ / ;, / / ( / /) β = ( r / σ + / ). Dambl kasus r > (/ ) σ, untuk kasus yang lan dbuktkan serupa. Dengan menerapkan nvers tranformas Melln terhadap (3.3) dperoleh s s { } f( x) ( s s ).( x x ), 0 < x<, gx ( ) = 0, < x <, (3.4) dengan * menyatakan konvolus Melln, yatu x f g( x) = f g( y) dy 0 y y (3.5) Akbatnya, untuk 0 < y <, g(x) = R(λ:A)f M-9

7 Prosdng Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Unverstas Neger Yogyakarta, 6 Me 009 β λ x. + β λ β λ 0 = f y y dy σ ( λ β ). (3.6) y y D phak lan, dengan (3.6) dan tranformas varabel u = x / y memberkan β λ β λ β λ x + x x g( x) C f. x u du u du σ λ β x u x u (3.7) dengan c konstanta postf. Dengan menghtung dua ntegral terakhr dperoleh sehngga, λ β / + x gx ( ) C f, (3.8) g C f λ β / (3.9) dengan c konstanta postf, dan Reλ β (/ )( / σ / ) 4 > = r +. Dengan Akbat.6 dan Akbat.7, A membangktkan semgrup-c0 T(t) dengan T(t)f(x) = π c+ c λx e [ R( λ: A) f]( x) dλ β λ β λ c x a a x x + λ + x β λ = e f ( u) x u du d λ πσ c x u u u ( λ β ) untuk Reλ β >. Dengan Teorema.8 dan Teorema 3. telah dapat dbuktkan eksstens dan ketunggalan solus dar masalah (.)-(.) dengan syarat C X. Lebh lanjut, solus tersebut secara ekplst dapat dtentukan, sebagamana dberkan oleh teorema berkut. Teorema 3.3 Terdapat solus tunggal C(x,t) dar masalah (.)-(.) d dalam ruang X, dan C(x,t) = T(t)C T. KESIMPULAN Melalu pendekatan teor semgrup eksstens dan ketunggalan solus harga ops Eropa dapat dtentukan. Hal n dlakukan dengan mengkonstrukskan ruang Banach X yang memungknkan operator Black-Scholes A bekerja. Selanjutnya, dtunjukkan bahwa operator A adalah generator nfntesmal dar semgrup-c 0. M-93

8 Sutrma/Eksstens dan Ketunggalan DAFTAR PUSTAKA Bartle, R.G dan Sherbert, D.R. (99). Introducton to Real Analyss. Sngapore: John Wley & Sons, Inc. Black, F and Scholes, M. (973) The Prcng of Optons and Corporate Labltes. J. Polt. Econ. 8, pp Curtan, R.F and Zwart, H.J. (995). Introducton to Infnte-Dmensonal Lnear Systems Theory. New York: Sprnger-Verlag. Husnan, S. (993 ). Dasar-Dasar Teor Portopolo dan Analss Sekurtas. UPP-AMP, YKPN, Yogyakarta. Merton, R.C. (973). Theory of Ratonal Opton Prcng. Bell J. Econom. Management Sc. 4, pp Pazy, A. (983). Semgroups of Lnear Operators and Applcatons to Partal Dfferental Equatons. New York: Sprnger-Verlag, Wlmot, P. (00). Paul Wlmott Introduces Quanttatve Fnance. New York: John Wley & Sons. M-94