ASAS KETIDAKPASTIAN HEISENBERG DAN PERSAMAAN SCHRODINGER. gelombang de Broglie dalam kedaan tertentu alih alih sebagai suatu kuantitas yang

Transkripsi

1 ASAS KETIDAKPASTIAN HEISENBERG DAN PERSAMAAN SCHRODINGER a. Ketdakpastan Hesenberg a) Rumusan Umum Ketdakpastan Hesenberg Kenyataan bahwa sebuah partkel bergerak harus dpandang sebaga group gelombang de Brogle dalam kedaan tertentu alh alh sebaga suatu kuanttas yang terlokalsas menmbulakan batas dasar pada ketetapan pengukuran sfat partkel yang dapat dukur msalnya kedudukan momentum. Untuk menjelaskan faktor apa yang terlbat, marlah kta mennjau group gelombang dalam gambar.3 berkut Gambar.3. Group Gelombang Partkel yang bersesuaan dengan grup gelombang n dapat dperoleh dalam selang grup tersebut pada waktu tertentu. Tentu saja kerapatan peluang maksmum pada tengah tengah grup, sehngga patkel tersebut mempunya peluang terbesar untuk ddapatkan d daerah tersebut. Namun, kta tetap mempunya kemungknan untuk mendapatkan partkel pada suatu tempat jka tdak nol. Lebh sempt grup gelombang tu, lebh telt kedudukan partkel tu dapat dtentukan (Gambar.4a). Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

2 =? (a) 7 (b) Gambar.4. (a) Group gelombang de Brogle terbatas. Poss partkel dapat dtentukan secara tepat tetap panjang gelombangnya (karena momentum partkel) tdak dapat dtetapkan. (b) lebar group gelombang. Kn panjang dapat dtentukan secara tepat tetap bukan poss partkel. partkel) tdak dapat dtetapkan. Namun, panjang gelombang pada paket yang sempt tdak terdefnskan dengan bak ; tdak cukup banyak gelombang untuk menetapkan dengan tepat. In berart bahwa karena h mv, maka momentum mv bukan merupakan kuanttas yang dapat dukur secara tepat. Jka melakukan sederetan pengukuran momentum, akan dperoleh momentum dengan ksaran yang cukup lebar. Sebalknya, grup gelombang yang lebar sepert pada gambar.4b memlk panjang gelombang yang terdefnskan dengan bak. Momentum yang bersesuaan dengan panjang Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

3 gelombang n menjad kuanttas yang dapat dtentukan dengan telt, dan sederetan pengukuran momentum akan menghasl-kan ksaran yang sempt. Akan tetap d manakah kedudukan partkel tersebut? Lebar grup gelombang tersebut menjad terlalu besar untuk menentukan kedudukan pada suatu waktu. Jad kta sampa pada prnsp ketdakpastan : Tdak mungkn kta mengetahu keduanya yatu kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat yang bersamaan. Prnsp n dkemukakan oleh Werner Hesenberg pada tahun 97, dan merupakan salah satu hukum fss yang memegang peranan pentng. Persoalan berkutnya adalah mencar suatu besaran yang mampu menampung dan mempresentaskan sfat sfat partkel sekalgus sfat sfat gelombang. Dengan demkan kuanttas tersebut harus bersfat sebaga gelombang tetap tdak menyebar melankan terkurung d dalam ruang. Hal n dpenuh oleh paket gelombang yang merupakan kumpulan gelombang dan terkurung dalam ruang tertentu. Analss yang formal mendukung kesmpulan tersebut dan membuat kta mampu untuk menyatakannya secara kuanttatf. Contoh yang palng sederhana dar pembentukan grup gelombang, perhatkan kombnas dar dua gelombang bdang berkut :, t A t k cos, t A t k cos (.3) Pnsp superposs memberkan t, t, t, k k A R cos t (.4) Dengan ampltudo A R Dengan ampltudo A R Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

4 , k + k k A R A cos t (.5) Dalam bentuk grafk, + = Gambar.5. Superposs dua gelombang tunggal Bla gelombang tunggalnya dperbanyak,, k 3, k 3 4, k = k Gambar.6. Superposs dar n gelombang Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

5 Tampak dar gambar.6 bahwa paket gelombang terlokalsas d daerah yang sebesar dan lokalsas n yang dharapkan sebaga poss partkel klask. Gambar.7. Kemungknan poss partkel d daerah Setelah mendapatkann barang yang dapat menyatakan partkel sekalgus gelombang berkutnya harus dcar perumusan matematsnya. Formalsme matemats untuk paket gelombang yang terlokalsas tersebut tdak lan adalah transformas Fourer. (.6) Sebaga contoh, jka dstrbus gelombang dengan vektor gelombang sepert gambar. k, g(k), dberkan g (k) / - a / + a / k Gambar.8. Dstrbus g (k) Maka dstrbus gelombang d dalam ruang koordnat f(), Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

6 Grafknya, f(k) 6/a /a /a 6/a 4/a 4/a Gambar.9. Transformas Fourer dar g(k) Dar uraan contoh dan gambar transformas Fourer d atas, dperoleh hubungan antara dan k (atau p). Hubungan antara dan k bergantung pada bentuk paket gelombang dan bergantung pada k, ddefnskan. Perkalan ( ) ( k) akan mnmum jka paket gelombang berbentuk fungs Gaussan, dalam hal n ternyata transformas Fourernya juga merupakan fungs Gaussan juga. Jka dan kk dambl devas standar dar fungs () dan g(k), maka harga mnmum k = ½. Karena pada umumnya paket gelombang tdak memlk bentuk Gaussan (bentuk lonceng), maka lebh realsts jka hubungan antara dan k dnyatakann sebaga berkut : k ½ (.7) Panjang gelombang de Brogle untuk sebuah partkel bermomentum p adalah : Blangan gelombang yang bersesuaan dengannya adalah : Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

7 Oleh karena tu, suatu ketdakpastan k dalam jumlah gelombang pada gelombang de Brogle berhubugan dengan hasl hasl partkel dalam suatu ketdakpastan p dalam momentum partkel menurut Persamaan Karena Dan p h 4 (prnsp ketdakpastan) (.8) Persamaan n menyatakan bahwa hasl kal ketdakpastan kedudukan benda pada suatu saat dan ketdakpastan komponen momentum dalam arah yatu p pada saat yang sama lebh besar atau sama dengan h / 4π. Kta tdak mungkn menentukan secara serentak kedudukan dan momentum suatu benda. Jka datur supaya kecl yang bersesuaan dengan paket gelombang yang sempt, maka p akan menjad besar. Sebalknya, p dreduks dengan suatu cara tertentu, maka paket gelombangnya akan melebar dan menjad besar. Ketdakpastan n bukan dtmbulkan oleh alat yang kurang bak tetap dtmbulkan oleh sfat ketdakpastan alamah dar kuanttas yang terkat. Setap ketdakpastan nstrumental atau statstk hanya akan menambah besar hasl kal p. Karena kta tdak mengetahu secara tepat apa partkel tu atau bagamana momentumnya, kta tdak dapat menyatakan apapun dengan past bagamana kedudukan partkel tu kelak dan seberapa cepat partkel tad bergerak. Jad, kta tdak dapat mengetahu masa depan karena kta tdak mengetahu masa kn. Kuanttas h/π serng muncul dalam fska modern, karena ternyata kuanttas tu merupakan satuan dasar dar momentum sudut. Kuanttas n serng dsngkat dengan ħ (baca ; h bar) : Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

8 Selanjutnya, dalam buku n kta akan memaka ħ sebaga penggant dalam ħ, prnsp ketdakpastan menjad : h/π. Dnyatakan p (.9) b) Perhtungan p Untuk Berbaga Keadaan Tetapan Planck berharga sangat kecl hanya 6, J s sehngga pembatasan yang dtmbulkan oleh prnsp ketdakpastan hanya pentng dalam duna atomk. Dalam skala n, prnsp n sangat menolong untuk mengert banyak gejala. Perlu dngat bahwa batas bawah ħ / untuk p sangat jarang dcapa : basanya p ħ. Bentuk lan dar prnsp ketdakpastan kadang kadang berguna. Mungkn kta ngn mengukur energ E yang dpancarkan pada suatu waktu selama selang waktu t dalam suatu proses atomk. Jka energ berbentuk gelombang elektromagnetk, batas waktu yang terseda membatas ketepatan kta menentukan frekuens dar gelombang tu. Marlah kta anggap paket gelombang tu sebaga satu gelombang. Karenaa frekuens gelombang yang sedang dpelajar sama dengan blangan yang kta htung dbag dengan selang waktu, ketdakpastan frekuens dalam pengukuran kta adalah : Ketdakpastan energ yang bersesuaan alah : Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

9 Sehngga Perhtungan yang lebh telt menjad : berdasarkan sfat paket gelombang mengubah hasl tersebut E t (.0) Contoh.. :. Atom hdrogen berjar jar 5,3 0 - m. Gunakan prnsp ketdakpastan untuk memperkrakan energ elektron yang dapat dmlknya dalam atom tu. Penyelesaan : D sn kta dapatkan untuk = 5,3 0 - m, Elektron yang momentumnya sebesar tu berperlaku sebaga partkel klask, dan energ knetknya adalah : Yang sama dengan 3,4 ev, sebenarnya energ knetk elektron pada tngkat energ terendah dalam atom hdrogen adalah 3,6 ev.. Sebuah elektron yang terekstas mengeluarkan kelebhan energnya dengan memancarkan sebuah foton yang memlk frekuens karakterstk tertentu. Perode rata rata yang berlangsung antara ekstas elektron dan saat memancarkannya adalah 0-8 s. Car ketdakpastan energ dan frekuens foton tu. Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

10 Penyelesaan : Energ foton tertentu dengan besar : Ketdakpastan frekuens cahaya dberkan dalam bentuk : b. Persamaan Schrodngerr a) Fungs persamaan Schrodnger Sepert yang dterangkan pada pembahasan mater sebelumnya, kuanttas yang dperlukan dalam mekanka kuantum alah fungs gelombang dar benda tu, maka pada bagan n akan dtunjukkan bahwa Persamaan gelombangnya harus memenuh persyaratan dan memlk banyak solus. Walaupun sendr tdak mempunya tafsran fss, kuadrat besaran mutlaknya (atau sama dengan * jka kompleks) yang dcar pada suatu tempat tertentu pada suatu saat berbandng lurus dengan peluang untuk mendapatkan benda tu d tempat tu pada saat tu. Momentum, momentum sudut dan energ dar benda dapat dperoleh dar. Persoalan mekanka kuantum adalah untuk menentukan dar benda tu bla kebebasan gerak dbatas oleh aks gaya eksternal. Dalam kejadan tu, fungs gelombang adalah kompleks, dengan bagan real maupun majner, kerapatan peluang dberkan oleh hasl kal * dar dan Konjugate Kompleks *. Konjugate kompleks dar sembarang fungs dperoleh dengan menggant (= ) dengan d manapun konjugate kompleks tad tampl dalam fungs. Setap fungs kompleks dapat dtuls dalam bentuk = A + B Dengan A dan B adalah fungs real. Konjugate kompleks * dar adalah Dengan demkan * = A B Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

11 * = A B = A + B Karena = -. Jad * akan selalu berupa kuanttas real postf. Bahkan, sebelum kta mennjau perhtungan awal dar, kta dapat membangun persyaratan yang harus dpenuhnya. Karena berbandng lurus dengan kerapatan peluang P untuk mendapatkan benda yang dperkan (dgambarkan) oleh, ntegral ke seluruh ruang harus berhngga benda harus ddapatkan pada suatu tempat. Jka dv 0 Partkel tu tdak ada, dan ntegralnya jelas tdak bsa dan tetap berart sesuatu; tdak bsa negatf atau kompleks karena cara ddefnskannya, sehngga satu-satunya kemungknan yang tertnggal alah suatu kuanttas yang berhngga supaya memang memberkan benda real. Basanya untuk memudahkan, kta ambl sama dengan kerapatan (denstas) peluang P untuk mendapatkan partkel yang dgambarkan oleh, ketmbang hanya berbandng lurus dengan P. jka sama dengan P, maka benar bahwa Karena dv (3.) P dv Ialah suat pernyataan matemats bahwa partkel tu ada d suatu tempat untuk setap saat. Jumlah semua peluang yang mungkn harus tertentu. Fungs gelombang yang memenuh Persamaan (3.) dnamakan ternormalsas. Setap fungs gelombang yang bsa dpaka dapat dnormalsaskan dengan mengalkannya dengan tetapan yang sesua; kta akan melhat hal n dengan segera bagamana hal n dlakukan. D sampng bsa dnormalsas, harus berharga tunggal, karena P hanya berharga tunggal pada tempat dan waktu tertentu, dan kontnu. Pennjauan momentum member syarat bahwa turunan parsal Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

12 ,, y z Harus berhngga, kontnu dan berharga tunggal. Hanya fungs gelombang dengan sfat-sfat tersebut dapat memberkan hasl yang berart fss jka dpaka dalam perhtungan, jad hanya fungs gelombang yang berperlaku bak yang dznkan sebaga representas matemats dar benda nyata. Jka kta sudah mempunya fungs gelombang yang ternormalsas dan dapat dterma, peluang (kemungknan) partkel dapat dtemukan pada suatu daerah tertentu alah ntegral kerapatan peluang dalam daerah tu terhadap volume. Untuk partkel yang geraknya terbatas pada arah, maka peluang untuk mendapatkan partkel antara dan alah Peluang d (3.) Persamaan SchrÖdnger yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanka kuantum serupa dengan hukum gerak kedua yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanka Newton, adalah Persamaan gelombang dalam varabel. Sebelum kta menangan Persamaan SchrÖdnger, terlebh dahulu kta tnjau ulang Persamaan gelombang. y v y t (3.3) Yang menentukan gelombang dengan kuanttas varabel y yang menjalar dalam arah dengan kelajuan v. Dalam kasus gelombang pada tal terbentang, y menyatakan pergeseran tal dar sumbu ; dalam kasus gelombang buny, y menyatakan perbedaan tekanan, dalam kasus gelombang cahaya, y menyatakan besarnya medan lstrk atau elektronon. Persamaan gelombang sepert d atas dturunkan dalam buku mekanka untuk gelombang mekans dan dalam buku kelstrkan dan kemagnetan gelombang elektromagnetk. Contoh 3.. Fungs gelombang suatu partkel yang bergerak sepanjang sumbu adalah : () = Ce - sn Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

13 a. Tentukan konstanta C jka fungs gelombang ternormalsas. b. Jka =, htung kemungknan untuk mendapatkan partkel berada d sebelah kanan =. Penyelesaan : a. Secara eksplst () dberkan oleh () = Ce sn, Ce - sn, Untuk < 0 Untuk > 0 Sehngga () = C e sn, Untuk < 0 C e - sn, Untuk > 0 Tampak bahwa fungs terakhr adalah fungs genap, karena tu 0 d C e sn d C e sn d 0 C e sn d 0 Untuk menghtung ntegral terakhr n, tulskan fungs snus dalam bentuk eksponensal dan dperoleh ( ) ( ) C e e e d 4 0 C ( e ) e ( ) e 0 Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

14 Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas C C Dperoleh konstanta normalsas C : C Sehngga e sn ) ( b. Besar kemungknan partkel berada d ) ( d t P sn ) ( d e cos sn e Untuk =, 068 0, e t P 3... Persamaan SchrÖdnger : Bergantung Waktu Dalam mekanka kuantum, fungs gelombang bersesuaan dengan varabel gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun, tdak sepert y, bukanlah suatu

15 kuanttas yang dapat terukur, sehngga dapat berupa kuanttas kompleks. Karena tulah kta akan menganggap dalam arah dnyatakan oleh Ae ( t / v) (3.4) Jka kta gant dalam rumus d atas dengan dan v dengan, dperoleh ( t / ) Ae (3.5) Yang bentuknya menguntungkan, karena kta telah mengetahu hubungan dan dnyatakan dalam energ total E dan momentum p dar partkel yang dperkan oleh. Karena E h dan h p p Dperoleh Ae ( / ) ( E t p ) (3.6) Persamaan (3.6) merupakan penggambaran matemats gelombang ekvalen dar partkel bebas yang berenerg total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +. Pernyataan fungs gelombang yang dberkan dalam Persamaan (3.6) hanya berlaku untuk partkel yang bergerak bebas, sedangkan kta lebh tertark pada stuas dengan gerak partkel yang dpengaruh berbaga pembatasan. Yang harus kta lakukan sekarang adalah mendapatkan Persamaan dferensal pokok untuk, kemudan memecahkan untuk stuas yang khusus. Persamaan n, yang dsebut Persamaan SchrÖdnger dapat dperoleh dengan berbaga cara, tetap semuanya mengandung kelemahan yang sama : Persamaan tu tdak dapat dturunkan secara ketat dar prnsp fss yang ada karena Persamaan tu menyatakan sesuatu yang baru. Apa yang akan dlakukan d sn adalah menunjukkan suatu cara untuk memperoleh Persamaan gelombang, kemudan membahas pentngnya hasl tersebut. Kta mula dengan mendferensas Persamaan (3.6) dua kal terhadap yang menghaslkan Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

16 p (3.7) dan sekal terhadap t, dperoleh t E (3.8) Untuk kelajuan yang kecl terhadap kelajuan cahaya, energ total partkel E alah jumlah dar energ elektrono p /m dan energ potensal V, dengan V pada umumnya merupakan fungs kedudukan dan waktu t : p E m V (3.9) Fungs V menyatakan pengaruh dar ssa semesta pada partkel. Tentu saja, hanya sebagan dar semesta yang bernteraks dengan partkel ; msalnya dalam kasus elektron dalam atom hdrogen, hanya medan lstrk nt yang dperhtung-kan. Dengan mengalkan kedua suku Persamaan (3.9) dengan fungs gelombang, akan menghaslkan : E p m V (3.0) Dar Persamaan (3.7) dan (3.8), dapat dlhat bahwa E t (3.) Dan p (3.) Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

17 dengan mensubsttuskan pernyataan untuk E dan p dalam Persamaan (3.0) akan dperoleh V (3.3) t m Persamaan terakhr n adalah Persamaan SchrÖdnger yang Bergantung Waktu. Dalam tga dmens, Persamaan SchrÖdnger bergantung waktu dberkan oleh V (3.4) t m y z D mana energ potensal partkel V merupakan fungs dar, y, z, dan t. Persamaan gerak kuantum partkel d dalam potensal V (, t) dberkan oleh (, t) (, t) V (, t) (3.5) t m Setap pembatasan yang dapat membatas gerak partkel dapat mempengaruh fungs energ potensal V. Sekal bentuk V dketahu, Persamaan Schrodnger nya dapat dpecahkan untuk mendapatkan fungs gelombang partkel, sehngga kerapatan peluang dapat dtentukan untuk, y, z, dan t tertentu. D sn Persamaan SchrÖdnger dperoleh mula dar fungs gelombang partkel yang bergerak bebas. Perluasan Persamaan SchrÖdnger untuk kasus khusus partkel bebas (energ potensal V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partkel yang mengalam gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [ V = V(, y, z, t )] merupakan suatu kemungknan yang bsa dtempuh, tetap tdak ada satu cara a pror yang membuktkan perluasan tu benar. Yang bsa kta lakukan hanyalah mengambl postulat bahwa Persamaan SchrÖdnger berlaku, pecahkan untuk berbaga stuas fss dan bandngkan haslnya dengan hasl ekspermen. Jka haslnya sesua, maka postulat yang terkat dalam Persamaan SchrÖdnger sah ; jka tdak sesua, postulatnya harus dbuang dan pendekatan yang lan harus djejak. Dengan kata lan, Persamaan SchrÖdnger tdak bsa dturunkan dar prnsp pertama, tetap Persamaan tu merupakan prnsp pertama. Dalam kenyataannya, Persamaan SchrÖdnger telah menghaslkan ramalan yang sangat tepat mengena hasl ekspermen yang dperoleh. Tentu saja, harus kta ngat bahwa Persamaan (3.4) hanya bsa dpaka untuk persoalan non relatvstk dan rumusan yang lebh memakan pkran dperlukan jka kelajuan partkel yang mendekat kecepatan cahaya tertkat. Karena Persamaan tu bersesuaan dengan ekspermen dalam batas-batas Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

18 berlakunya, kta harus mengaku bahwa Persamaan SchrÖdnger menyatakan suatu postulat yang berhasl mengena aspek tertentu dar duna fss Persamaan SchrÖdnger : Keadaan Stasoner (Tunak) Dalam banyak stuas, energ potensal sebuah partkel tdak bergantung dar waktu secara eksplst ; gaya yang beraks padanya ; jad V, hanya berubah terhadap kedudukan partkel. Jka hal tu benar, Persamaan SchrÖdnger dapat dsederhanakan dengan menadakan kebergantungan terhadap waktu t. Mula-mula kta perhatkan bahwa fungs gelombang satu dmens partkel bebas dapat dtuls Ae Ae ( / )( Et p ) ( E / ) t ( p / ) ( E / ) t e (3.6) e In berart, merupakan hasl kal fungs bergantung waktu e (E/ħ)t dan fungs yang bergantung kedudukan. Kenyataannya, perubahan terhadap waktu dar semua fungs partkel yang mengalam aks dar gaya tunak mempunya bentuk yang sama sepert partkel bebas. Dengan mensubsttuskan dar Persamaan (3.6) ke Persamaan SchrÖdnger yang bergantung waktu, dperoleh ( E / ) t ( E / ) t ( E / ) t E e e V e (3.7) m Sehngga, jka dbag dengan faktor eksponensal tu, m ( E V ) 0 (3.8) Persamaan (3.8) merupakan bentuk keadaan tunak Persamaan SchrÖdnger. Dalam tga dmens menjad Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

19 y z m ( E V ) 0 (3.9) Pada umumnya, Persamaan keadaan tunak SchrÖdnger dapat dpecahkan hanya untuk harga E tertentu. Dalam pernyataan tu tdak dtmbulkan oleh kesukaran matemats yang mungkn ada, tetap oleh sesuatu yang lebh mendasar ( fundamental). Memecahkan Persamaan SchrÖdnger untuk suatu sstem berart memperoleh suatu fungs gelombang yang tdak saja memenuh Persamaan dan syarat batas yang ada, tetap juga harus memenuh syarat bsa dtermanya fungs gelombang yatu turunannya harus kontnu, berhngga, dan berharga tunggal. Bla tdak terdapat fungs gelombang sepert tu, system tu tdak mungkn berada dalam keadaan tunak. Jad kuantsas energ muncul dalam mekanka gelombang sebaga unsur wajar dar teor tad, dan kuantsas energ dalam duna fss dnyatakan sebaga gejala unversal yang merupakan cr dar semua sstem yang mantap. Suatu analog yang sangat dekat dan sudah dkenal bagamana kuantsas energ tmbul dalam memecahkan Persamaan SchrÖdnger alah dalam tal terpentang yang panjangnya L yang keduanya ujungnya terkat. Dalam hal n, sebaga gant gelombang tunggal yang menjalar terus-menerus dalam satu arah, gelombang akan menjalar dalam arah + dan secara serentak dengan syarat bahwa pergeseran y selalu nol pada kedua ujung tal. Suatu fungs y (, t) yang dapat dterma untuk menyatakan pergeseran (smpangan) dengan turunannya, harus sepert yang berperlaku bak dengan turunannya, dan lag harus real karena y menyatakan suatu kuanttas yang dapat dukur langsung. Satusatunya pemecahan Persamaan gelombang y v y t Yang sesua dengan berbaga pembatasan tu alah pemecahan yang panjang gelombangnya memenuh L n ; n = 0,,, 3,.. n Sepert yang dtunjukkan dalam Gambar 4.. = L = L = /3 Rbuthermanto00438 fska kuantum L untuk Unverstas = / L

20 Kombnas Persamaan gelombang dan pembatasan yang merupakan syarat pemecahannyalah yang mendorong kta untuk menympulkan bahwa y (, t) hanya dapat ada untuk panjang gelombang tertentu n. Contoh 3.. : Sebuah partkel bergerak yang memenuh Persamaan : 30 50t, t 5,0 e Htunglah energ dan momentum partkel tersebut. Penyelesaan : p op 30 50t, t 5,0 e 30 50t 30 5,0 e 34 30, t, , t 3, ,t Jad besarnya energ yang dmlk partkel tersebut adalah : 3, J. Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

21 E op t t t A e k, 50, t 5, , t Jad momentum dar partkel tersebut adalah : 5, kg m/s Harga Ekspektas, Operator, Fungs dan Harga Egen Sekal lag, seandanya fungs gelombang sudah dperoleh, kta dapat mengajukan beberapa pertanyaan lag. Msalnya, d manakah partkel serng berada atau berapa momentum rata-rata partkel? Jawaban atas pertanyaan n dberkan oleh teorema Ehrenfest. Karena kta tdak dapat lag berbcara dengan suatu kepastan tentang kedudukan partkel, maka kta tdak dapat pula menjamn kepastan hasl satu kal pengukuran suatu besaran fska yang bergantung pada kedudukannya. Namun demkan, jka kta dapat menghtung probabltas yang berkatan dengan setap koordnat, maka kta dapat menemukan hasl yang mungkn dar suatu pengukuran satu kal atau rata-rata hasl dar sejumlah besar pengukuran berkal-kal. Sebaga contoh, andakanlah kta ngn mencar rata-rata kedudukan sebuah partkel dengan mengukur koordnat nya. Dengan melakukan sejumlah besar pengukuran berkal-kal, kta dapat bahwa dengan mengukur nla sebanyak n kal, sebanyak n, dan seterusnya, maka dengan cara yang lazm, kta dapat memperoleh nla rata-ratanya, yatu n n... n n... n n Jka kta mempersoalkan sebuah partkel, kta harus menggant blangan n dar partkel dengan peluang P bahwa partkel tu bsa ddapatkan dalam selang d d. Besar peluang n adalah P = d Dengan merupakan fungs gelombang partkel yang dambl pada =. Dengan substtus n dan mengubah jumlah dengan ntegral, kta lhat bahwa harga rata-rata kedudukan partkel tunggal alah Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

22 d d (3.0) Jka merupakan fungs gelombang yang ternormalsas, penyebut dalam Persamaan (3.0) sama dengan peluang bahwa partkel tu terdapat d suatu tempat antara = - dan =, sehngga harganya =. Dalam kasus n d (3.) Persamaan (3.) n menyatakan harga bahwa terletak pada pusat massa ( elektronon begtu) dar ; jka dplot terhadap pada suatu grafk dan bdang yang dbatas kurva dan sumbu dguntng, ttk setmbangnya alah. Nla rata-rata yang dhtung menurut Persamaan (3.) dkenal sebaga harga ekspektas (epectaton values). Prosedur yang sama dengan yang telah dlakukan d atas dapat dpaka untuk memperoleh harga ekspektas G() dar suatu kuanttas [msalnya, energ potensal V()] yang merupakan fungs dar kedudukan partkel yang dgambarkan oleh fungs gelombang. Haslnya adalah G G d (3.) Harga ekspektas momentum p tdak dapat dhtung dengan cara basa yang demkan sederhana, karena sesua dengan prnsp ketdakpastan, tdak ada fungs sepert p() yang dapat berlaku. Jka kta menentukan, sehngga dengan demkan = 0, kta tdak dapat menentukan p yang bersesuaan karena p h/. Masalah yang sama terjad untuk harga ekspektas energ E. Pada bagan sebelumnya kta lhat bagamana harga ekspektas dapat dperoleh dar kuanttas yang merupakan fungs poss dar partkel yang dnyatakan oleh fungs gelombang. Jad kta dapat memperoleh harga ekspektas pada setap saat t dar harga, Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

23 dan energ potensal partkel V(), keduanya merupakan bagan dar pemeran yang lengkap dar keadaan partkel. Kuanttas dnams yang lan, sepert momentum p dan energ E, tdak dapat dperlakukan dengan cara yang sama. Harga Ekspektas dar p dan E harus dhtung dar : Persamaan n sangat langsung, sampa kta menyadar bahwa karena = (, t), harus menyatakan p dan E sebaga fungs dar dan t supaya kta dapat melakukan ntegras, tetap prnsp ketdakpastan mengakbatkan tdak terdapatnya fungs sepert p(, t) dan E(, t) ; sekal, dan t dtentukan, hubungan berart bahwa kta tdak dapat, pada prnspnya, menentukan p dan E secara eksak. Dalam fska klask tdak terdapat pembatasan sepert tu, karena dalam duna makroskopk prnsp ketdakpastan dapat dabakan. Jka kta terapkan hukum gerak kedua pada gerak benda yang mengalam berbaga gaya, kta mengharapkan untuk mendapatkan p(, t) dan E(, t) dar solusnya sepert juga (t) ; untuk memecahkan persoalan tersebut dalam mekanka klask padaa pokoknya berart menentukan tempuhan masa depan gerak benda tersebut. Dalam fska kuantum, d phak lan, semua yang kta dapatkan secara langsung dar Persamaan SchrÖdnger dar gerak partkel tu alah fungs gelombang, dan tempuhan masa depan gerak partkel tu sepert juga keadaan awalnyaa hanya dketahu peluangnya, alh-alh sesuatu yang sudah tertentu. Saran untuk mendapatkan dan dengan cara yang benar alah dengan (/ħ)(et p) ) mendferensas fungs gelombang partkel bebas = A e terhadap dan t. Dperoleh Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

24 yang dapat dtuls dengan cara p (3.3) E (3.4) t Jelaslah kuanttas dnams p dalam cara tertentu bersesuaan dengan operator dferensal / / dan kuanttas dnams E bersesuaan dengan operator dferensal / t (Operator memberkan nformas kepada kta operas apa yang harus dlakukan pada kuanttas yang dtuls setelahnya. / t mengnstrukskan kepada kta untuk mengambl turunan yang terdapat setelahnya terhadap t dan haslnya dkalkan dengan ). Kta basa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehngga p merupakan operator yang bersesuaan dengan momentum p dan E alah operator yang bersesuaan dengan energ E. Dar Persamaan (3.3) dan Persamaan (3.4) operator n alah p E (Operator momentum) (3.5) (Operator energ) (3.6) t Walaupun kta hanya menunjukkan persesuaan yang dnyatakan dalam Persamaan (3.5) dan Persamaan (3.6) berlaku untuk partkel bebas, hubungan tu ternyata berlaku umum yang kesahannya dengan kesahan Persamaan SchrÖdnger. Untuk mendukung pernyataan n, kta dapat menggant Persamaan E = T + V untuk energ total partkel dengan Persamaan operator E = T + V (3.7) karena energ knetk T dnyatakan dengan momentum p menurut hubungan p T m Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

25 Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas dperoleh m m m p T (3.8) yang kta sebut operator energ knetk. Persamaan (3.7) dapat dtuls sebaga berkut. V m t (3.9) Sekarang kta kalkan denttas = dengan Persamaan (3.9), dperoleh V m t (3.30) yang merupakan Persamaan SchrÖdnger. Mempostulatkan Persamaan (3.3) dan Persamaan (3.4) setara dengan mempostulatkan Persamaan SchrÖdnger. Karena p dan E dapat dgant dengan operator yang bersesuaan dalam Persamaan, kta dapat memaka operator n untuk mendapatkan harga ekspektas dar p dan E. Jad harga ekspektas p alah d d d p p * * * (3.3) dan harga ekspektas untuk E adalah d t d t d E E * * * (4.3)

26 keduanya Persamaan (3.3) dan Persamaan (3.3) dapat dhtung untuk fungs gelombang yang dapat dterma (, t). Jelaslah bahwa kta perlu menyatakan harga ekspektas yang bersangkutan dengan operator dalam bentuk p * p d Alternatf lan alah p * d * d * 0 karena * dan harus 0 d = dan * p d * d tdak mempunya art. Dalam kasus kuanttas aljabar sepert dan V() urutan faktor dalam ntegran tdak pentng, tetap jka operator dferensal terlbat, urutan yang benar dar faktor tu harus dtelt. Setap kuanttas yang teramat G yang merupakan karakterstk suatu elektron fss dapat dnyatakan dengan operator mekanka kuantum yang cocok G. Untuk memperoleh operator n, kta perlu menyatakan G dalam dan p dan menggant p dengan / /. Fungs gelombang dar sstem dketahu, maka harga ekspektas G(, p) alah p G, * G d (3.33) (Harga Ekspektas Operator) Hasl n memperkuat pernyataan yang dbuat sebelumnya bahwa dar dapat dperoleh semua nformas mengena elektron yang dperbolehkan oleh prnsp ketdakpastan. Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

27 Persyaratan bahwa varabel dnams tertentu G terbatas pada harga dskrt G n dengan kata lan G terkuantsas alah fungs gelombang n dar elektron sedemkan sehngga G n = G n n (Persamaan Harga Egen) (3.34) dengan G menyatakan operator yang bersesuaan dengan G dan masng-masng G n merupakan blangan real. Bla Persamaan (3.34) berlaku untuk fungs gelombang sebuah elektron, postulat pokok (kenyataannya, sa tu-satunya postulat pokok) dar mekanka kuantum bahwa pengukuran G hanya dapat menghaslkan satu harga G n. Jka pengukuran G dlakukan pada sejumlah elektron dentk semua berada dalam keadaan yang dperkan oleh fungs egen k, masng-masng pengukuran menghaslkan harga tunggal G k. Operator energ total E dar Persamaan (3.7) basanya dtuls sebaga, H m V (3.35) dan dsebut operator Hamltonan; kuanttas tu merupakan energ total elektron dnyatakan dalam koordnat dan momentum. Jelaslah Persamaan SchrÖdnger keadaan tunak dapat dtuls sebaga berkut. E n n = H n (3.36) Harga energ E n supaya Persamaan keadaan tunak Schrodnger dapat dpecahkan dsebut harga egen dan fungs gelombang yang bersesuaan n dsebut fungs egen. (Istlah n berasal dar bahasa Jerman Egenwert, yang berart harga karakterstk yang sesungguhnya, dan Egenfunkton, atau fungs karakterstk sesungguhnya ). Tngkat energ dskrt atom hydrogen 4 me 3 n E n 0 n =,, 3,.. Merupakan contoh sekelompok harga egen. Kta akan lhat pada Bab berkutnya mengapa harga tertentu E yang menghaslkan fungs gelombang dapat dterma untuk elektron dalam atom elektronon. Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas

28 Contoh pentng varabel dnams selan energ total yang ddapatkan terkuantsaskan dalam keadaan mantap alah momentum sudut. Dalam kasus atom elektron, kta akan dapatkan bahwa harga egen besar momentum sudut d-tentukan oleh L l ( l ) l = 0,,, (n ) Tentu saja, suatu varabel dnams G boleh tdak terkuantsas. Dalam hal n pengukuran G pada sejumlah elektron dentk tdak menghaslkan hasl yang unk melankan harga yang tersebar yang rata-ratanya merupakan harga ekspektas G G d Dalam atom elektron, kedudukan elektronon tdak terkuantsas, sehngga kta lec membayangkan elektronon berada d sektar nt dengan peluang tertentu per satuan volume tetap tanpa ada kedudukan tertentu yang dapat dramalkan atau orbt tertentu menurut pengertan klask. Pernyataan peluang n tdak bertentangan dengan kenyataan bahwa ekspermen yang dlakukan pada atom elektronon selalu menunjukkan bahwa atom tu selalu mengandung satu elektron, bukan 7 persen elektron dalam satu daerah dan 73 persen d daerah lannya; peluang tu menunjukkan peluang untuk mendapatkan elektron, dan walaupun peluang n menyebar dalam ruang, elektronnya sendr tdak. Rbuthermanto00438 fska kuantum untuk Unverstas