2. TINJAUAN PUSTAKA. Pada model berbasis area diasumsikan bahwa peubah yang menjadi perhatian merupakan fungsi dari rata-rata peubah respon, = g( )

Transkripsi

1 . INJAUAN PUSAKA. Model Area Kecl Model area kecl erupakan odel dasar dala pendugaan area kecl. Model n dkelopokkan enjad dua kelopok yatu odel berbass area (basc area level odel odel berbass unt (basc unt level odel... Model Berbass Area Pada odel berbass area dasuskan bahwa peubah yang enjad perhatan erupakan fungs dar rata-rata peubah respon, g( untuk g(. Y tertentu yang berkatan dengan data penyerta area kecl x ( x,, x engkut odel lner sebaga berkut: L x β + bv,,..., (. p dengan b adalah kostanta bernla postf yang dketahu β ( β,..., β p adalah vektor koefsen regres berukuran p x. Segkan v adalah pengaruh acak area kecl yang dasuskan elk sebaran dentk yang salng bebas yakn dengan E ( v 0, V (v σ v A( 0 (. E enyatakan nla harapan odel V raga odel. Serngkal pengaruh acak v ggap enyebar noral. Untuk elakukan nferens tentang rata-rata area kecl Y pada odel (., dsalkan bahwa penduga langsung Yˆ ada, sehngga ˆ g(ŷ + e,,..., (.3 dengan galat contoh e bebas serta E p ( e 0, V p ( e D Basanya raga contoh ψ dketahu. ψ (.4 Dengan enggabungkan persaaan (. (.3 aka dperoleh odel

2 dengan ˆ x β + b v + e,,..., (.5 v e salng bebas. Model (.5 n erupakan kasus khusus dar odel capuran lner dkenal pula sebaga odel Fay Herrot dala lteratur area kecl, karena ereka yang pertaa kal enggunakan odel tersebut pada pendugaan area kecl (Rao Model Berbass Unt Model berbass unt engasuskan bahwa data penyerta unt x j ( x,..., j xjp ada untuk asng-asng anggota populas j dala asngasng area kecl, naun kag cukup dengan rata-rata populas X dketahu saja. Selanjutnya peubah perhatan y j ggap berkatan dengan x j engkut odel regres lner galat tersarang satu tahap y x j β + v e ; j,..., N,..., (.6 j + j Pengaruh acak area kecl v n epunya sebaran dentk salng bebas, e j kje~ j dengan konstanta k j dketahu e~ j peubah acak yang elk sebaran dentk bebas pula serta bebas dengan v, E ( ~ 0, e j V ~ e (.7 ( j σ e Serngkal dasuskan bahwa v e berdstrbus noral.. Model Fay-Herrot Model Fay-Herrot adalah odel yang banyak dpaka dala pendugaan area kecl erupakan odel capuran lner. Fay and Herrot (979 enggunakan odel dua level berkut untuk enduga pendapatan perkapta untuk area kecl d Aerka Serkat dengan populas kurang dar 000. Level : y ~ N(, D Level : ~ N ( β, A x Model dua level d atas dapat dtulskan sebaga odel lner capuran sebaga berkut :

3 y + e x β + v + e dana v ~ N ( 0, A e ~ N ( 0,,,..., (.8 D Pengaruh acak area v N( 0, A ~ dgunakan untuk enghubungkan rataan area kecl dengan vektor peubah penyerta x yang serng dperoleh dar data sensus. Paraeter β A uunya tdak dketahu dduga dar sebaran argnal y. Raga contoh D basanya dasuskan dketahu..3 Penduga EBLUP Model dasar pendugaan area kecl oleh Fay-Herrot (979 enjad dasar dala pengebangan pendugaan area kecl berbass odel yang banyak dbahas dala berbaga lteratur. Jka β + v adalah paraeter yang enjad x perhatan y adalah nla pendugaan langsung berdasarkan rancangan surve, aka y + e dana area kecl. Model tersebut dapat dtuls enjad e adalah saplng error v adalah pengaruh acak y β + v + e (.9 x dengan v e salng bebas serta v ~ N( 0, A e N( 0, D ~ untuk,...,. Dasuskan bahwa β A (keragaan antar area kecl tdak dketahu, tetap D (keragaan karena saplng error untuk,,..., dketahu. Penduga terbak (best predctor, BP bag β + v jka β A x dketahu adalah BP ˆ ˆ y β, A x β + B y x β (.0 ( ( ( dengan B D ( A + D untuk,,...,. Jka A dketahu, β dapat dduga dengan etode kuadrat terkecl terbobot (A dengan ensubsttus β oleh βˆ pada yatu β ( X V X X V Y BP ˆ, aka dperoleh ˆ BLUP BLUP ˆ ( y A x βˆ + ( B ( y x βˆ ( y A ( B y B x βˆ ˆ ˆ + (.

4 Dala praktek, bak β aupun A basanya tdak dketahu sehngga untuk kasus pendugaan dengan BLUP, A terlebh dahulu harus dduga. Untuk enduga A dapat dgunakan etode keungknan aksu (axu lkelhood, ML, etode keungknan aksu terkendala (restrcted axu lkelhood, REML, etode adjusted for densty axzaton (ADM atau etode oen. Dengan ensubsttus β oleh βˆ A oleh Â terhadap penduga BLUP, aka akan dperoleh suatu penduga baru ˆ ˆ ( y ˆ x βˆ + ( ˆ ( x βˆ A B y ( y ˆ ( ˆ ˆ x βˆ A B y + B EBLUP ˆ EBLUP ˆ (. yang keu dkenal sebaga eprcal best lnear unbased predctor (EBLUP..4 eknk Pendugaan Selang Rset pada selang predks area kecl sebagan besar dpusatkan pada kasus khusus odel Fay-Herrot, yang dgabarkan sebaga berkut :. Bergantung pada (,, Y ( L, n n Y, LY n engkut sebaran noral n-peubah dengan rataan atrks dspers D dengan eleen dagonal utaa dketahu D > 0 eleen lannya 0. Dsn selanjutnya seua vektor erupakan vektor kolo, untuk setap vektor (atrks a (A.. Peubah engkut sebaran noral n-peubah dengan rataan X β untuk suatu atks X berukuran n x p vektor tetap β yang tdak dketahu. Matrks dspersnya AI n dana I n adalah atrks denttas berdens n A adalah suatu konstanta yang tdak dketahu. Ada beberapa plhan dala ebangun dugaan selang β + v, x yatu hanya enggunakan odel level untuk data aatan, hanya level untuk koponen enja kekuatan, atau kobnas dar keduanya.

5 I D Selang yang hanya ddasarkan pada odel level dberkan oleh ( : y z α D α ±. Selang n tdak efsen, karena rata-rata panjang selang terlalu besar untuk ebuat suatu kespulan. In dsebabkan oleh keragaan yang tngg pada penduga ttk y. Suatu selang yang ddasarkan hanya pada odel level engabakan data spesfk area yang pentng sepert yang dodelkan pada level, n engakbatkan hal yatu kegagalan pada ketersangkutan dengan area kecl kegagalan enghaskan keakuratan coverage. Oleh karena tu, dperlukan teknk pendugaan selang yang engkobnaskan kedua level dar odel Fay-Herrot. Pendekatan populer adalah etode Bayes Eprk (eprcal Bayes yang dkeukakan oleh Cox(Chatterjee et.al 006 sebaga berkut : dana I ( Bˆ y + Bˆ x ˆ ± z ( D ( Bˆ α β C : (.3 Bˆ adalah penduga dar B D ( A + D, βˆ adalah penduga dar β x adalah bars ke- dar atrks X. Selang predks n secara asytotk encapa coverage probablty yang dngnkan, tetap tdak cukup akurat bag banyak terapan area kecl. Kekurangakuratan n terkat dengan keragaan tabahan yang dhaslkan dar pendugaan β A. D sapng pendekatan analtk, pebuatan selang predks juga dlakukan dengan kalbras enggunakan teknk bootstrap yang berbeda-beda. Perbedaan n terletak pada cara pebangktan contoh koreks bas, sepert yang dlakukan oleh Lard and Lous Carln and Gelfand (Chatterjee et.al(006. Pada akhrnya, Chatterjee et.al. (006 enghaslkan selang predks dengan tngkat keakuratan yang tngg enggunakan bootstrap paraetrk..5 Selang Predks Menggunakan Bootstrap Paraetrk Model capuran lner berkut erupakan odel area kecl yang uu dgunakan :

6 Y Xβ + Zv + e (.4 d ana X(n x p Z(n x q adalah atrks yang dketahu, Y(n x adalah data pengaatan, v enyebar noral N(0,A e enyebar noral N(0,D. A A ( ψ ( q q D D ( ψ ( n n tergantung pada ψ ( ψ ψ Lψ ' 0,, k, suatu vektor berukuran (k + x dar koponen raga tetap. Perhatkan bahwa atrks dspers dar data aatan Y dberkan oleh (ψ D ZAZ. Σ + Kta tertark dala enyeldk sebaran dar Θ c ( Xβ + Zv, dana c adalah vektor tetap yang dketahu berukuran (n x. Ketka c ( 0,0, L,, L,0 dana hanya eleen ke- bernla, erupakan rataan area kecl ke- atau. Ketka ( β,ψ dana syarat Y, φ dketahu, ( μ, σ ΘY (.5 ~ N Θ Θ μ Θ μ Θ σ Θ erupakan nla tengah raga posteror dar dengan c Xβ + c ZAZ Σ ( Y Xβ c DΣ Xβ + c ZAZ Σ Y (.6 ' ( A AZ Σ ZA Z c Θ σ c Z (.7 Secara ala kta dapat ebangun selang predks dar dengan : [ μ zασ, μ ασ ] PI ( + z (.8 Dala praktek, basanya φ tdak dketahu dduga dengan sebaran arjnal Y. Keu penduga EBLUP dar adalah μˆ, yang dhaslkan dar μ dengan φ dgantkan oleh φˆ. Juga penduga raga nave dar dberkan oleh σ ˆ yang dhaslkan dengan φ dgantkan oleh φˆ. Selang predks nave dbuat sebaga : [ ˆ μ z α ˆ σ, ˆ μ z α ˆ σ ] PI nave ( + (.9 Selang predks n basanya terlalu sept untuk encapa target coverage probablty yang dharapkan terkat keragaan yang dsebabkan oleh pendugaan

7 φ pada σˆ. Chaterjee et.al.(006 engeukakan suatu selang predks enggunakan pendekatan bootstrap paraetrk. Mereka enggunakan μˆ ˆ σ untuk ebangun selang predks. Karena ( / noral baku, dala hal n ˆ μ ˆ σ tdak enyebar z α bukan erupakan cut-off yang bak. Mereka encar cut-off t dar contoh bootstrap. Selang predks etode n adalah : [ ˆ μ t ˆ σ, ˆ μ t ˆ σ ] PI boot + (.0 ( dana t t d atas dperoleh dengan enggunakan { [ ˆ μ t ˆ σ, ˆ μ + t ˆ σ ]} α P, dana peluang P berkenaan dengan sebaran bootstrap paraetrk, μˆ σˆ adalah saa sepert, μˆ σˆ. Peluang nla paraeter tercakup dala selang predks (coverage probablty etode n akurat sapa dengan O( -3/ (Chaterjee et.al Metode-Metode Pendugaan Selang Predks Berdasarkan perkebangannya, etode yang dgunakan untuk enduga selang predks dar rataan area kecl x β + v sebagan dapat durakan sebaga berkut :.6. Metode Langsung (Drect Method Metode n ddasarkan hanya pada data (Level tdak enggunakan nforas odel pror (Level. Selang predks etode langsung dberkan oleh : PI [ y z α D, y z D ] α + (. D ( α Jelas bahwa selang predks n elk coverage probablty - α. Akan tetap, selang predks n tdak efsen karena rata-rata panjang selang terlalu besar untuk ebuat kespulan. Hal n terkat dengan keragaan yang tngg pada pendugaan ttk y.

8 .6. Metode Sntetk [ x z A] α Ketka β A dketahu, dapat dbangun selang predks sebaga β ± tanpa enggunakan data. Ketka β A tdak dketahu, β A dapat dduga dar sebaran argnal y endapatkan cut-off dar etode bootstrap paraetrk. Selang predks etode n dberkan oleh : PI t x ˆ t A x + t A β ˆ, ˆ ˆ β (. Synt ( Dana ˆβ ( X X X Y Â adalah penduga REML. Nla t t d atas dhaslkan enggunakan ˆ ˆ ˆ P β < x t A α ˆ ˆ ˆ P β > x + t A α dana peluang P berkenaan dengan sebaran bootstrap paraetrk, ˆμ Â adalah saa sepert, μˆ σˆ kecual bahwa contoh bootstrap dgunakan dala enggant contoh asl. Contoh-contoh bootstrap ( y,,, L N dbangktkan enurut ~ N( x ˆ, β Aˆ, ( D y ~ N,. Karena etode n hanya enggunakan level kedua dar odel, raga pror basanya lebh besar darpada raga posteror dar Y. Panjang rata-rata dar selang predks bootstrap paraetrk sntetk selalu lebh besar dar yang ddasarkan pada sebaran bersyarat Y, yang dgunakan dala selang predks bootstrap paraetrk..6.3 Metode Cox Metode Cox erupakan teknk pendugaan selang yang engkobnaskan kedua level dar odel Fay-Herrot. Selang predks Cox druuskan sebaga berkut : I ( ˆ ˆ B y + B x ˆ ± z ( D ( Bˆ α C : β (.3

9 dana Bˆ adalah penduga dar B D ( A + D, βˆ adalah penduga dar β x adalah bars ke- dar atrks X. Selang predks n secara asytotk encapa coverage probablty yang dngnkan, tetap tdak cukup akurat bag banyak terapan area kecl. Kekurangakuratan n terkat dengan keragaan tabahan yang dhaslkan dar pendugaan β A..6.4 Metode Bootstrap Paraetrk dengan Penduga REML Chatterjee, Lahr and L (006 engeukakan etode bootstrap paraetrk baru. Mereka enyusun selang predks enggunakan penduga eprcal Bayes (EB penduga raga navenya. Selang predks yang dkeukakan untuk odel Fay-Herrot adalah : PI PB ( Bˆ y + Bx ˆ ˆ t D ( Bˆ ( Bˆ y + Bx ˆ ˆ + t D ( ˆ, β β B (.3 ˆ, βˆ (X X X Y Â adalah penduga REML. Nla dana B D /( Aˆ + D t t dperoleh dar contoh bootstrap enggunakan : ( ˆ ˆ B y + Bx ˆ β t D ( ˆ α P < B ( ˆ ˆ B y + Bx ˆ β + t D ( ˆ α P > B dana peluang P berkenaan dengan sebaran bootstrap paraetrk, ˆβ ˆB adalah saa sepert, βˆ Bˆ kecual bahwa contoh bootstrap dgunakan dala enggant contoh asl. Contoh-contoh bootstrap ( y,,, L N dbangktkan enurut ~ N( x ˆ, β Aˆ, ( D y ~ N,..6.5 Metode Bootstrap Paraetrk dengan penduga ADM Dala etode n, seua skea dala ebangun selang predks saa dengan etode bootstrap paraetrk dengan penduga REML, kecual dala hal n dgunakan penduga ADM dar A sebaga penggant penduga REML.

10 .7 Penduga raga REML ADM Dala praktek, koponen raga basanya tdak dketahu. Metode ML REML dgunakan untuk enduga koponen raga. Ketka julah area kecl terbatas, MLE kurang bak. Morrs (dala Lahr 006, enyarankan etode ADM. Berkenaan dengan REML adjusted lkelhood L(A sebaga kepekatan posteror dar A, dperoleh odus posteror dengan eaksukan L(A. L(A rght-skewed jka kecl, sehngga rataan A elebh odusnya. Metode ADM eaksukan AL(A enggantkan L(A yang eberkan hasl lebh bak darpada odus. Perkalan oleh A engoreks underestas dar A juga kekonvergenan B. Forula penduga raga REML ADM adalah sebaga berkut (L, 007 : ˆ A REML Aˆ ADM ax s ( 0, dengan s ( y y ( y y ( y y + 8( 4 Ketka enggunakan etode REML, ada keungknan ddapatkan nla negatf dar pendugaan A, yang keu dubah enjad A ˆ 0. Pendugaan nol tu akan ebuat pendugaan raga berasalah, juga enyebabkan kesultan dala prosedur perhtungan. dak sepert penduga ML REML, penduga ADM selalu postf B ada d antara 0..8 Pendugaan Selang Predks Metode-etode pendugaan selang predks d atas yang dbangun dar sebaran eprk enggunakan contoh bootstrap (etode bootstrap paraetrk engasuskan sebaran eprk adalah setr, sehngga untuk eudahkan proses perhtungan pebandngan selang predks dgunakan etode persentl.

11 Akan tetap jka sebaran eprk yang dhaslkan kurang setr, yang dapat dlhat dar pengujan skewness N ( Y Y ( N s 3 3 aka selang predks dapat dbangun dengan enggunakan etode Bas Corrected-accelerated (BCa. Langkah-langkah etode BCa : Htung propors yang lebh kecl dar : P entukan faktor koreks z φ - (P Htung dengan Jacknfe : a ( n 3 n 3 / 6 ( Htung : φ z + a z z + Φ ( α ( z a( + Φ ( α α α φ z + a z + Φ Htung : ( α ( α ( z a( z + Φ N B α N B α