Modifikasi Metode Full Wave di Sekitar Titik Singular

Transkripsi

1 Kontrbus Fska Indonsa Vol. 3 No.3, Jul 2002 Abstrak odfkas tod Full Wav d Sktar Ttk Sngular Ttk Stawat Bdang Aplkas Gomagnt dan agnt Antarksa, Pusat Pmanfaatan Sans Antarksa LAPAN, Jl. Dr. Junjunan 33 Bandung, Indonsa -mal : rl58@yahoo.com odfkas tod full wav dlakukan untuk mnylsakan prsamaan glombang lktromagntk d sktar ttk sngular yang dsbabkan olh fk rsonan. Dasumskan bahwa mdum plasma yang non-homogn dstratfkas scara horsontal. odfkas trhadap matrks transs d sktar ttk sngular dngan mnggunakan fungs ksponnsal dan ntgras Pcard dprlukan untuk mmprolh solus tunggal (konvrgn). Solus trsbut brupa mdan lktromagntk pada lapsan tratas yang dnyatakan sbaga prkalan sjumlah matrks transs dngan mdan lktromagntk pada lapsan trbawah. Kata kunc : Full wav, rsonan, matrks transs, ntgras Pcard Abstract odfcaton of th full wav mthod s carrd out for solvng th lctromagntc wav quaton n th vcnty of a sngular pont whch s causd by a rsonanc ffct. It s assumd that an nhomognous plasma mdum s stratfd horzontally. odfcaton towards th transton matrx n th vcnty of th sngular pont, by usng an xponntal functon and Pcard ntgraton s ndd for obtanng a unqu (convrgnt) soluton. Th soluton n th form of th lctromagntc fld at th top layr can b rprsntd as a multplcaton of a numbr of th transton matrcs wth th lctromagntc fld at th bottom layr. Kywords : Full wav, rsonanc, transton matrx, Pcard ntgraton. Pndahuluan Ionosfr khususnya lapsan F mrupakan sarana komunkas rado pada frkuns tngg (HF), karna kmampuan mdum trsbut untuk mmantulkan nrg glombang scara total. Lapsan trbawah yatu lapsan D mskpun tdak dgunakan scara langsung sbaga mda komunkas pada frkuns trsbut akan ttap mmpunya pngaruh trhadap glombang rado HF yang mlntasnya. Ionosonda adalah salah satu jns radar yang sangat umum dgunakan untuk mngukur krapatan lktron bak pada lapsan F maupun lapsan E. Akan ttap pngukuran trhadap lapsan D sult dlakukan karna tnggnya tngkat pnyrapan nrg glombang HF. In brbda dngan glombang rado pada frkuns sangat rndah (VLF) yang mngalam pantulan sbagan saat mlntas lapsan D dan kurang dpngaruh olh gangguan d lapsan trsbut. Olh karna tu rntang VLF dapat dmanfaatkan untuk mnurunkan karaktrstk krapatan lktron mnggunakan wahana rokt. Karna pngukuran dngan rokt sfatnya tdak kontnu dan hanya pada rntang waktu yang sangat pndk maka prlu dlakukan smulas dngan cara mmasukkan profl krapatan lktron dan frkuns tumbukan antara lktron dan partkl ntral. Smulas trsbut tdak lan adalah dngan cara mnylsakan prsamaan glombang lktromagntk. Solus analtk bag mdum plasma yang non-sotropk dan non-homogn sangat sult dprolh. tod full wav yang mlbatkan matrks mrupakan salah satu solus numrk yang dprgunakan untuk mnylsakan prsamaan dfrnsal glombang. Dalam mtod n dasumskan bahwa mdum trdr atas sjumlah lapsan tps (stratfkas) yang homogn. Dngan cara dmkan maka solus prsamaan glombang dapat dnyatakan sbaga prkalan mdan glombang pada lapsan d bawahnya yang mlbatkan matrks transs. atrks trsbut mngandung karaktrstk mdum dalam stap lapsan dan mmpunya harga yang brhngga, dngan dmkan akan dprolh solus yang konvrgn. Solus mnjad tdak konvrgn d sktar ttk sngular karna fk rsonan. Scara fss fk rsonan dtunjukkan dngan pnngkatan ampltudo yang mrupakan ndkator adanya fnomna glombang whstlr yang muncul d lapsan D dan d magntosfr ). Untuk mmprolh solus yang konvrgn dprlukan modfkas trhadap matrks transs d sktar ttk sngular dngan mnggunakan ntgral Pcard. akalah n akan mngurakan langkah modfkas trsbut yang dlanjutkan dngan smulas mnggunakan profl krapatan lktron trtntu srta bbrapa paramtr glombang lannya untuk mmprolh profl mdan magnt dan mdan lstrk bag glombang lktromagntk. 2. Prsamaan Glombang Scara umum prsamaan dasar yang brkatan dngan pnjalaran glombang dalam mdum plasma yang non-sotropk dan non-homogn dturunkan dar prsamaan axwll dan rlas konsttutf. Prsamaan trsbut djabarkan dalam sstm koordnat kartsan dngan sumbu z mnunjukkan arah vrtkal, sdangkan sumbu (x-z) dan sumbu (x-y) masng-masng mrupakan tmpat kdudukan bdang datang, dngan normal glombang mmbuat sudutθ trhadap vrtkal, srta 79

2 80 KFI Vol. 3 No. 3, 2002 bdang horzontal. Dngan dmkan prsamaan glombang dapat dnyatakan olh prsamaan dfrnsal 2,3) brkut, d( z) = jk0t( z) () Vktor trdr dar komponn mdan lstrk dan mdan magnt : E x, E y, H x dan H y. Notas j mnyatakan bagan majnr. k o =ω/c mrupakan blangan glombang d ruang hampa. atrkst (4x4) mmuat kosnus dan snus sudut datang glombang (θ) srta matrks susptbltas yang mrupakan fungs ktnggan dngan lmn-lmn sbaga brkut, = xx yx zx xy yy zy Karaktrstk onosfr sprt krapatan lktron dan frkuns tumbukan antara lktron dan partkl ntral trkandung dalam matrks trsbut dngan rncan sbaga brkut, xx = -X(U 2 -l 2 Y 2 )/U(U 2 -Y 2 ) xy = -X(-jUnY-lnY 2 )/U(U 2 -Y 2 ) xz = X(jUmY+lmY 2 )/U(U 2 -Y 2 ) yx = X(jUnY+lmY 2 )/U(U 2 -Y 2 ) yy = -X(U-m 2 Y 2 )/U(U 2 -Y 2 ) yz = -X(jUlY-nmY 2 )/U(U 2 -Y 2 ) zx = -X(jUmY-lnY 2 )/U(U 2 -Y 2 ) zy = X(jUlY+mnY 2 )/U(U 2 -Y 2 ) zz = -X(U-n 2 Y 2 )/U(U 2 -Y 2 ) U = -jz, Z = ν/ω, X = (ω p /ω) 2, ω p = 2 N/mε 0 ω h =B/m, Y= ω h /ω. Bsaran ω p, ω dan ω h masng-masng stara dngan frkuns plasma, frkuns glombang dan frkuns gro. N, ν dan B mnyatakan krapatan lktron, frkuns tumbukan (antara lktron dan partkl) srta nduks mdan magnt bum. Notas ε 0, dan m mrupakan prmtvtas ruang hampa, muatan lktron dan massa lktron. Faktor (l, m, n) mnunjukkan kosnus arah dar vktor mdan magnt bum. xz yz zz 3. Solus Prsamaan Glombang Stratfkas (pmbagan) dlakukan trhadap rntang ktnggan scara horzontal mnjad lapsanlapsan tps yang homogn dngan asums krapatan lktron konstan. dan glombang (prsamaan ) dapat ddfnskan sbaga kombnas lnar mpat komponn (mod) karaktrstk yang trdr dar glombang ordnr dan glombang kstra-ordnr, ktka dpancarkan dan dpantulkan. Kombnas trsbut drumuskan dalam prsamaan brkut 3), = Sf (2) j atrks S dngan ord 4x4 mmuat matrks T dan nla gn (q) yang tdak lan mrupakan akar dar prsamaan karaktrstk (prsamaan 3); sdangkan f j mrupakan ampltudo komponn karaktrstk yang brbntuk -jk q j z 0. Dngan mnsubsttus prsamaan (2) k dalam prsamaan () bsrta asums d atas maka prsamaan glombang dapat dnyatakan sbaga prsamaan dfrnsal lnar smultan dngan kofsn konstan. Solus non-trval bg sstm prsamaan dfrnsal n ddapat mlalu prsamaan karaktrstk 4) dt ( T -qi ) = 0 (3) dngan I mnyatakan matrks satuan (4x4). Pnjabaran prsamaan (3) mnghaslkan prsamaan pangkat mpat yang dknal dngan prsamaan Bookr. Varabl q yang tdak lan adalah solus bag prsamaan d atas mnyatakan ndks bas arah vrtkal. Apabla prsamaan (2) dtrapkan pada stap lapsan maka dprolh total mdan pada lapsan tratas sbaga prkalan dar total mdan pada lapsan trbawah 5) ( zn) = K( z) (4) = n- K = S (5) - S K adalah matrks transs, sdangkan lmn dan pada matrks brkut mrupakan fungs lmn matrks T dan q. atrks S dnyatakan dalam bntuk, S = (6) q q q q atrks dagonal j (4x4) mmuat lmn, dngan ktbalan lapsan (ntrval lapsan) h = z+ z. Indks dan ndks sampa 4 mnunjukkan lapsan k, komponn ordnr dan ktraordnr saat glombang dpancarkan dan dpantulkan. 3. Ttk Sngular jk q h 0 Pross pantulan yang ddntfkas olh ndks bas mmpunya pranan pntng dalam pnjalaran glombang rado d onosfr. Scara umum glombang rado pada rntang VLF akan mngalam pantulan sbagan ktka mnjalar d lapsan D. Akan ttap dalam konds trtntu ndks bas mnjad sangat bsar (tak brhngga) yang brart tdak trjad pantulan. Fnomna n dsbabkan olh fk rsonan yang brkatan rat dngan munculnya glombang whstlr. Indks bas q yang tak brhngga mngakbatkan matrks K (prsamaan 4) juga mmpunya nla yang tdak brhngga. Olh karna tu mtod full wav tdak dapat dtrapkan untuk mnylsakan prsamaan glombang yang mmuat ttk sngular. Konds sprt n trjad apabla frkuns tumbukan jauh lbh kcl dar frkuns glombang (ν << ω) dan X yang sbandng dngan krapatan lktron mmpunya harga, 2 Y X = (7) 2 2 n Y Notas X, Y dan n tlah djlaskan pada bagan 2.

3 KFI Vol. 3 No. 3, odfkas tod Full wav Solus prsamaan glombang dapat pula dnyatakan sbaga fungs kponnsal matrks, jk T ( z ) 0 ( z) =, z z z+ (8) dngan mngambl z = z + maka ddapat 6), ( z + ) = Q( z ) (9) jkot h yang mana Q =. atrks transs Q, bla durakan dalam bntuk drt maka haslnya akan sama dngan matrks transs K. Substtus prsamaan (9) pada lapsan tratas hngga lapsan trbawah dan durakan dalam drt aclaurn srta dtulskan kmbal dalam bntuk drt ntgral Pcard dngan h 0, dprolh prsamaan 7), z n- zn ) = ( I -jk T ( z) ( 0 z + z n- z n- 2 ( jk0) T ( z) T ( v) dv L).( z z z ) (0) Drt d atas akan konvrgn absolut dan konvrgn unform dalam stap lapsan trtutup yang trmuat dalam rntang ktnggan z hngga z n. Drt trsbut juga mrupakan solus dar prsamaan glombang (prsamaan ). Konds n trpnuh apabla matrks T kontnu. Lnarsas krapatan lktron dalam lapsan yang mmuat ttk sngular dlakukan agar ntgras matrks T konvrgn, sprt dnyatakan olh prsamaan d bawah n, X = az + b () Brdasarkan tor matrks nla T ( z) konvrgn dan suku ktga, kmpat dan brkutnya dalam prsamaan (0) lambat laun mnjad kcl shngga dapat dabakan. Slanjutnya matrks transs baru K s dbangun dar prsamaan (0) dalam bntuk, z + 0 z s K I jk T ( z) (2) Dngan mnsubsttuskan prsamaan () k dalam prsamaan (2) akan dprolh matrks transs yang brhngga, shngga scara ksluruhan total mdan glombang (prsamaan 4) dalam suatu rntang ktnggan dapat dsusun kmbal yang dnyatakan olh prsamaan brkut, j + 2 s K K j = n- = j- ( z ) = K ( z ) (3) n Solus khusus dprolh dar prs. (3) dngan mnrapkan syarat awal dan syarat batas. Syarat awal mngasumskan bahwa pada lapsan k-n hanya ada dua komponn (prdaman dan pnjalaran) yang dpancarkan sdangkan mdum d bawah onosfr dpandang sbaga ruang hampa, dngan dmkan glombang lktromagntk dapat durakan mnjad komponn yang sjajar dan komponn tgak lurus trhadap arah pnjalaran glombang. 5. Smulas dan Pmbahasan Untuk dapat mlakukan prhtungan numrk dprlukan bbrapa data masukan sbaga stud kasus sprt yang trtra dalam tabl. Tabl. Data yang dgunakan dalam smulas Paramtr Kuanttas Krapatan lktron Eksponnsal Rntang ktnggan [km] Sudut datang 0 [drajat] Frkuns glombang 0 [khz] Frkuns gro.2 [Hz] Azmuth 25 [drajat] Sudut DIP 4 [drajat] Banyak lapsan 0000,5000, 3000,000,500 Dngan mngambl ν<<ω maka ttk sngular atau rsonans trjad d sktar ktnggan 77.8 km yang brssuaan dngan harga krapatan lktron pada prsamaan (7). Ttk sngular yang trjad pada ktnggan trsbut mnybabkan matrks transs mmpunya harga tak brhngga shngga tdak dprolh solus yang konvrgn. Untuk mngtahu hal trsbut dlakukan pngamblan ktbalan lapsan yang brvaras. Pmbagan rntang ktnggan trhadap banyaknya lapsan (Tabl ) yang dgunakan dalam smulas n mmbrkan varas ktbalan lapsan (h) yatu 60 m, 30 m, 0 m, 6 m dan 3 m. asng-masng ktbalan lapsan mrupakan lmn yang mmbntuk matrks dagonal (prsamaan 5). Dngan mnggunakan prsamaan 4, dprolh profl ampltudo mdan magnt dan mdan lstrk dar glombang VLF untuk stap ktbalan lapsan (Gambar a dan b). Prlaku ampltudo mdan magnt pada arah-x, H x, slan mmprlhatkan solus yang tdak konvrgn pada stap ktbalan lapsan, juga brharga tak hngga d sktar ttk sngular (Gambar a).

4 82 KFI Vol. 3 No. 3, 2002 s transs K, dalam lapsan yang mmuat ttk sngular, shngga dprolh profl ampltudo mdan magnt, H x, yang konvrgn sprt dprlhatkan dalam Gambar 2a, mskpun ktbalan lapsan brvaras. Gambar a Profl mdan magnt H x sblum modfkas Hal n dsbabkan olh karna ndks bas arah vrtkal, q (mmpunya harga tak brhngga d sktar ttk sngular), stara dngan prbandngan komponn mdan magnt trhadap komponn mdan lstrk (H x /E x ). Pnybab lan adalah syarat batas yang dgunakan dalam prhtungan n yatu mdan glombang datang (komponn mdan lstrk) sjajar dngan arah pnjalaran glombang (mod T), shngga pngaruh nla q yang tak brhngga lbh domnan pada komponn mdan magnt, H x, darpada komponn mdan lstrk E x (Gambar b). Gambar 2a Profl mdan magnt H x modfkas Gambar 2b. Profl mdan lstrk E x modfkas Dngan prosdur yang sama dprolh profl ampltudo mdan lstrk, E x, yang brharga tunggal (Gambar 2b). Gambar b Profl mdan lstrk E x modfkas Akuras modfkas mtod full wav cukup tngg, trbukt hngga ktbalan lapsan mncapa 3 mtr dapat djamn kontnutas ntgras matrks T. atrks n slanjutnya dprgunakan untuk mndapatkan matrks

5 KFI Vol. 3 No. 3, Ksmpulan odfkas mtod full wav trhadap matrks transs yang mmuat ttk sngular, mmbrkan solus prsamaan glombang lktromagntk yang konvrgn. odfkas trhadap mtoda trsbut mmlk akuras yang cukup tngg. Harga ampltudo yang tak brhngga sbaga fk rsonans pngaruhnya lbh domnan trhadap komponn mdan magnt. Hal n brkatan rat dngan asums bahwa glombang datang sjajar dngan arah pnjalaran glombang (mod T). Daftar Pustaka. Nubrt, T., t al., Obsrvatons on th GEOS satllt of whstlr mod sgnals transmttd by th omga navgaton systm transmttr n Northrn Norway, J. of Gophys. Rs., 88, A5, (983). 2. Thomas, A.S., Numrcal full wav soluton tchnqus for th calculaton of low frquncy plan wav flds n th onosphr, Journal Inst. Tlcom. Engrs, 2, 4, (966). 3. Buddn, K.G., Rado wav propagaton n th onosphr, Cambrdg Unv. Prss., London, (985). 4. Yuj, I. And S. Horowtz, agnto-ononc couplng n an nhomognous ansotropc mdum, Rado Sc.,, (966). 5. Nagano, I.,. ambo and G. Hutatsush, Numrcal calculaton of lctromagntc wavs n an ansotropc multlayrd mdum, Rado Sc., 0, 6, (975). 6. Stawat, T., astr thss, study on th vcnty of rsonanc, Kanazawa Unvrsty, Japan, (994). 7. Gantmachr, F.R., Th thory of matrcs, Chlsa publshng company, Nw York, (964).