UNIVERSITAS INDONESIA PENGECEKAN ASUMSI PROPORTIONAL HAZARD PADA MODEL COX PH SKRIPSI RONI TUA YOHANES

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA PENGECEKAN ASUMSI PROPORTIONAL HAZARD PADA MODEL COX PH SKRIPSI RONI TUA YOHANES FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 0 Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

2 UNIVERSITAS INDONESIA PENGECEKAN ASUMSI PROPORTIONAL HAZARD PADA MODEL COX PH SKRIPSI Dajuka sebaga salah satu syarat utuk memperoleh gelar sarjaa sas RONI TUA YOHANES FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI SARJANA MATEMATIKA DEPOK JUNI 0 Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

3 HALAMAN PERNYATAAN ORISINALITAS Skrps adalah hasl karya saya sedr, da semua sumber bak yag dkutp maupu drujuk telah saya yataka dega bear. Nama : Ro Tua Yohaes NPM : Tada Taga : Taggal : 0 Ju 0 Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

4 HALAMAN PENGESAHAN Skrps dajuka oleh : Nama : Ro Tua Yohaes NPM : Program Stud : Matematka Judul Skrps : Pegeceka Asums Proportoal Hazard pada Model Cox PH Telah berhasl dpertahaka d hadapa Dewa Peguj da dterma sebaga baga persyarata yag dperluka utuk memperoleh gelar Sarjaa Sas pada Program Stud Matematka, Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Idoesa DEWAN PENGUJI Pembmbg : Sar Abdullah, S.S., M.Stats. ( ) Peguj : Fev Novkaza, S.S, M.S. ( ) Peguj : Mla Novta, S.S, M.S. ( ) Peguj : Dra. Saskya Mary Soemartojo, M.S. ( ) Dtetapka d : Depok Taggal : 0 Ju 0 Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

5 KATA PENGANTAR Segala puj syukur kepada Tuha Yesus atas kash, berkat, da peyertaa-nya d dalam sepajag hdup. Puj syukur juga kepada-nya atas kekuata yag dberka sehgga skrps dapat dselesaka. Peulsa skrps dlakuka dalam ragka memeuh salah satu syarat utuk mecapa gelar Sarjaa Sas Jurusa Matematka pada Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Idoesa. Peuls meyadar bahwa, tapa batua da bmbga dar berbaga phak, dar masa perkulaha sampa pada peyusua skrps, sagatlah sult bag peuls utuk meyelesaka skrps. Oleh karea tu, peuls megucapka terma kash kepada berbaga phak sebaga berkut:. Dose pembmbg peuls, Sar Abdullah, S.S, M.Stats, yag telah meyedaka waktu, teaga, da pkra utuk megarahka peuls dalam peyusua skrps. Terma kash juga utuk asehat, doa, dukuga, serta kesabara yag telah dberka d dalam suka da duka selama peyusua skrps.. Dr. Kk Aryat Sugeg, selaku pembmbg akademk peuls yag telah memberka araha, masuka, da dukuga selama lma tahu masa perkulaha peuls. 3. Ketua da Sekretars Departeme Matematka, Dr. Yud Satra da Rahm Rus, M.ScTech, atas segala batua serta dukuga yag telah dberka. 4. Dose-dose d Matematka, terma kash atas lmu yag dberka kepada peuls selama masa kulah. 5. Seluruh staf Tata Usaha, staf Perpustakaa, serta karyawa Departeme Matematka, terma kash atas segala batuaya. 6. Papa da M a m a, yag telah memberka batua materal, dukuga da doa, terma kash atas segala perhata, kash sayag, kesabara, da berbaga asehat yag telah dberka kepada peuls. v Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

6 7. Adk-adk serta keluarga peuls laya terma kash atas doa da dukugaya. 8. Tema-tema terdekat (Nov, La, Tka, Rat, Stefa). Terma kash atas batua selama perkulaha da waktu-waktu meyeagka bersama. 9. Tema-tema agkata 006, terma kash atas batua da kebersamaa selama perkulaha. Semoga sukses utuk kta semua. 0. Tema-tema la da phak-phak yag tdak dapat dsebutka satu-persatu, terma kash atas dukuga da doaya. Semoga Tuha Yag Maha Esa membalas segala kebaka semua phak yag telah membatu. Semoga skrps membawa mafaat bag pegembaga lmu pegetahua. Peuls 0 v Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

7 HALAMAN PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI TUGAS AKHIR UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS Sebaga svtas akademk Uverstas Idoesa, saya yag bertada taga d bawah : Nama : Ro Tua Yohaes NPM : Program Stud : S Departeme : Matematka Fakultas : MIPA (Matematka da Ilmu Pegetahua Alam) Jes karya : Skrps dem pegembaga lmu pegetahua, meyetuju utuk memberka kepada Uverstas Idoesa Hak Bebas Royalt Noeksklusf (No-exclusve Royalty Free Rght) atas karya lmah saya yag berjudul : Pegeceka Asums Proportoal Hazard pada Model Cox PH beserta peragkat yag ada (jka dperluka). Dega Hak Bebas Royalt Noeksklusf Uverstas Idoesa berhak meympa, megalhmeda/ format-ka, megelola dalam betuk pagkala data (database), merawat, da memublkaska tugas akhr saya selama tetap mecatumka ama saya sebaga peuls/pecpta da sebaga pemlk Hak Cpta. Demka peryataa saya buat dega sebearya. Dbuat d : Depok Pada taggal : 0 Ju 0 Yag meyataka (Ro Tua Yohaes) v Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

8 ABSTRAK Nama : Ro Tua Yohaes Program Stud : Matematka Judul : Pegeceka Asums Proportoal Hazard pada Model Cox PH Pada peelta survval, kadag kala survval tme dpegaruh oleh faktor-faktor la. Utuk kods tersebut dapat dguaka metode aalss regres dega model Cox PH. Dar model Cox, dperoleh bahwa hazard rato utuk dua dvdu dega la kovarat yag berbeda tdak aka dpegaruh oleh waktu. Atau dega perkataa la, hazard utuk satu dvdu proporsoal dega hazard dvdu laya dega keproporsoala yag kosta, tdak dpegaruh oleh waktu. Oleh sebab tu, ketka dterapka pada data harus dperksa apakah asums tersebut terpeuh. Pegeceka asums proportoal hazard aka dlakuka dega dua pedekata. Pedekata yag pertama dega grafk, yatu grafk log-log, da yag kedua dega peguja goodess-of-ft. Metode grafk memberka hasl yag subjektf sedagka peguja goodess-of-ft memberka hasl yag objektf berdasarka peguja statstk. Kata Kuc : aalss survval, survval tme, model Cox, proportoal hazard, grafk log-log, goodess-of-ft. x+70 halama : 7 gambar; 7 tabel Daftar Pustaka : 0 (97-00) v Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

9 ABSTRACT Name : Ro Tua Yohaes Program Study : Mathematcs Ttle : Checkg the Proportoal Hazard Assumpto Cox PH Model I survval studes, sometmes the tme utl the occurrece of a evet s flueced by other factors. Cox PH model, whch s oe of the sem parametrc regresso method ca be appled for the data aalyss. From ths Cox model, t s foud that the hazard rato for two dvduals wth dfferet covarates ot be affected by tme. I other words, hazard for a dvdual s proportoal wth hazard from aother dvdual wth costat proportoalty, ot affected by the tme. Therefore, whe appled to the data, t should be checked whether the assumptos are met. The assumpto of proportoal hazard wll be checked usg two approaches. The frst approach usg graph, the log-log graph, ad the secod by testg the goodess-of-ft. Graphcal method gves subjectve results whle the goodess-of-ft testg gves objectve results based o statstcal testg. Key Words : survval aalyss, survval tme, Cox model, proportoal hazard, log-log graph, goodess-of-ft. x+70 pages : 7 pctures; 7 tables Bblography : 0 (97-00) v Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... LEMBAR PERNYATAAN ORISINALITAS... LEMBAR PENGESAHAN... KATA PENGANTAR... v LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... v ABSTRAK... v DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR TABEL... x DAFTAR LAMPIRAN x. PENDAHULUAN.... Latar Belakag.... Perumusa Masalah....3 Tujua Peulsa....4 Pembatasa Masalah Sstematka Peulsa LANDASAN TEORI Survval Tme Cumulatve Dstrbuto Fucto Fugs Survval Fugs Hazard Peyesora Data Data Tersesor Kaa Data Tersesor Kr Data Tersesor Iterval....6 Taksra Kapla-Meer Model Cox Defs da Karakterstk Model Partal Lkelhood Koefse Korelas Pegeceka Asums Proportoal Hazard Pedekata Grafk: Grafk Log-log Survval Pegeceka utuk Varabel Kotu Pegeceka utuk Beberapa Varabel Pedekata dega Peguja Goodess of Ft (GOF) Schoefeld Resdual Koefse Korelas Rak Spearma Peguja Goodess of Ft Cotoh Peerapa Data...39 x Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

11 4. Aalss Data Pegeceka dega Grafk Log-log Pegeceka dega Goodess of Ft PENUTUP Kesmpula Sara DAFTAR PUSTAKA...50 x Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

12 DAFTAR GAMBAR Gambar. Cotoh data eksak da tersesor kaa... Gambar. Cotoh data eksak da tersesor kr... Gambar.3 Cotoh data tersesor terval...3 Gambar 3. Grafk log-log survval terhadap waktu...6 Gambar 4. Grafk log-log adjusted utuk clc...43 Gambar 4. Grafk log-log adjusted utuk prso...44 Gambar 4.3 Grafk log-log adjusted utuk dose...45 x Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

13 DAFTAR TABEL Tabel 3. Kompoe t, R, (X,,X p ), da (r,,r p ) utuk sampel dvdu dega k dvdu yag survval tme-ya teramat..38 Tabel 3. Kompoe t da r yag aka dlakuka pegeceka asums...38 Tabel 4. Hasl pegolaha data utuk peguja lkelhood rato...40 Tabel 4. Hasl pegolaha data utuk peguja Wald...4 Tabel 4.3 Rata-rata utuk masg-masg varabel...4 Tabel 4.4 Hasl pegolaha data utuk Schoefeld resdual...46 Tabel 4.5 Hasl pegolaha data utuk peguja korelas...48 x Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampra Pembukta persamaa var R Y...56 R Ya R Yb Lampra Pembukta a Lampra 3 Pembukta cov,...57 Lampra 4 Tabel data Caplehor dar 38 pecadu hero...59 Lampra 5 Tabel data Caplehor dar 38 pecadu hero dega Schoefeld resdual...65 x Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

15 BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Pada stud survval, basaya peelt tertark utuk melhat waktu hgga terjadya suatu evet tertetu. Aka tetap, pegamata haya berdasarka waktu kurag memberka formas yag memada. Terkadag, waktu survval tersebut dpegaruh oleh faktor-faktor la, msalya umur, jes kelam, kosums alkohol, tekaa darah, level gula darah, da la-la. Beberapa metode aalss terseda utuk medapatka formas dar data survval, msalya metode o parametrk dega grafk fugs survval megguaka estmas Kapla-Meer. Aka tetap, kelemahaya adalah haya melhat waktu survval saja tdak megakomodr keberadaa formas dar pegukura laya. Metode parametrk, msalya dega regres, memberka hasl yag lebh bak. Hal dkareaka pada regres parametrk dapat dketahu pola da kekuata hubuga atara waktu survval dega varabel-varabel la (dkeal kovarat). Aka tetap, kelemahaya adalah asums regres parametrk yag sult terpeuh pada data sebearya. Dega kods-kods tersebut, aka dguaka metode la utuk memodelka atara waktu survval dega kovarat-kovaratya. Memodelka pegaruh kovarat-kovarat pada survval dapat dlakuka dega memodelka codtoal hazard sebaga fugs dar kovarat-kovarat. Pada tugas akhr aka dguaka model Cox proportoal hazard (model Cox PH). Pada model Cox PH, codtoal hazard dar dvdu dega kovarat-kovarat merupaka produk dar basele hazard da fugs ekspoe kovarat-kovaratya. Fugs basele hazard merupaka fugs dar waktu (t) tetap tdak melbatka kovarat (X) sedagka baga ekspres ekspoesal melbatka kovarat tetap tdak melbatka waktu. Kovarat (X) d s dsebut tmedepedet kovarat. Varabel-varabel X yag tme-depedet merupaka varabel-varabel yag serg dega berjalaya waktu tdak aka megalam perubaha la. Dmugkka juga utuk megaggap varabel-varabel X melbatka waktu. Varabel yag demka dsebut varabel tme-depedet. Jka Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

16 megguaka varabel tme-depedet, model Cox dapat dguaka, tetap model tersebut tdak memeuh asums proportoal hazard da dsebut model exteded Cox. Dar model Cox, kta megeal hazard rato (HR) yatu perbadga hazard dar dua dvdu dega la kovarat-kovarat yag berbeda. Utuk dua dvdu dega masg-masg la kovaratya, maka hazard rato dar kedua dvdu utuk megalam evet pada suatu waktu t, haya bergatug pada lala dar kovaratya. Dapat dkataka, hazard utuk satu dvdu proporsoal dega hazard dvdu laya dega keproporsoala yag kosta, tdak dpegaruh oleh waktu. Hazard rato kosta terhadap waktu lah yag dsebut sebaga proportoal hazard (PH). Meggat kemudaha da keuggula dar model Cox PH sepert djelaska d atas, maka model sergkal dguaka dalam aalss survval. Ada beberapa hal yag harus dpeuh dalam pegguaa model Cox PH, dataraya adalah bahwa data memag memeuh asums proportoal hazard. Oleh karea tu, perlu dperksa lebh lajut apakah memag asums tersebut dpeuh. Jad, pada tugas akhr aka dbahas dua pedekata yag dapat dpaka utuk memerksa asums proportoal hazard. Pedekata yag pertama dega megguaka grafk da yag kedua dega peguja goodess-of-ft. Dega metode grafk, dguaka grafk log-log.. Perumusa Masalah Perumusa masalah yag dajuka pada tugas akhr adalah: Bagamaa megecek asums proportoal hazard dalam model Cox PH?.3 Tujua Peulsa Tujua peulsa tugas akhr adalah megecek asums proportoal hazard dalam model Cox PH dega ) metode grafk ) metode goodess-of-ft Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

17 3.4 Pembatasa Masalah Permasalaha pada tugas akhr dbatas utuk: ) data tersesor kaa tpe I yag o formatf, ) varabel pejelas (kovarat) yag tme-depedet, 3) tdak ada yag tes pada data tme to evet..5 Sstematka Peulsa Bab : Bab bers Pedahulua. Terdr dar latar belakag, perumusa masalah, tujua peulsa, pembatasa masalah, da sstematka peulsa. Bab : Bab bers Ladasa Teor. Pada bab djelaska megea survval tme, cumulatve dstrbuto fucto, fugs survval, fugs hazard, peyesora data, taksra Kapla-Meer fugs survval, model Cox, da koefse korelas. Pada peyesora data dbahas data tersesor kaa da tersesor kr. Pada model Cox dbahas defs da karakterstk model, hazard rato, da partal lkelhood. Bab 3: Pada bab 3 djelaska megea Pegeceka Asums Proporsoal Hazard pada Model Cox PH. Pejelasaya melput pedekata grafk da peguja goodessof-ft. Pada pedekata grafk dguaka grafk log-log. Bab 4: Bab 4 bers Cotoh Peerapa pada Data. Terdr dar pejelasa megea data yag dguaka pada bab da pegeceka asums pada model Cox berdasarka data. Pegeceka dlakuka dega pedekata grafk log-log da goodess-of-ft. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

18 4 Bab 5: Bab 5 bers Peutup. Terdr dar kesmpula yag dperoleh dar tugas akhr da sara utuk pegembaga tugas akhr. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

19 BAB LANDASAN TEORI. Survval Tme Data survval berhubuga dega waktu sampa terjadya kejada (evet) yag dperhatka. Survval tme merupaka varabel yag megukur waktu dar suatu ttk awal sampa ke suatu ttk akhr yag mejad perhata. Dalam meyataka survval tme, dguaka skala pegukura waktu sepert tahu, bula, har, jam, met, detk, atau laya. Dalam pegamata, perlu dperhatka pedefsa ttk awal (waktu awal pegamata) da ttk akhr (waktu akhr pegamata). Pedefsa waktu akhr termasuk mudah cotohya kambuhya rasa sakt, sembuh dar peyakt, atau kemata. Medefska awal kejada yag mejad patoka waktu awal pegamata lebh susah utuk dlakuka. Msalya dalam bdag meds utuk pegamata waktu kemata. Waktu awal dapat ddefska sebaga waktu mula terdagoss peyaktya tetap ada juga yag medefska waktu awalya adalah waktu mula terfeks peyaktya. Survval tme selalu o egatf da dapat berupa data eksak, data tersesor, atau data terpacug.. Cumulatve Dstrbuto Fucto Msalka varabel radom T meujukka survval tme dar dvdu dalam populas, T merupaka varabel radom o egatf dalam terval [0, ). Cumulatve dstrbuto fucto atau c.d.f. dar varabel T, dyataka Ft, adalah probabltas bahwa varabel aka lebh kecl atau sama dega la t apapu yag dplh. Maka, Pr F t T t. (.) Dkeal juga probablty desty fucto atau p.d.f. yatu probabltas varabel pada saat berla t dyataka c.d.f. f t. p.d.f juga merupaka turua dar 5 Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

20 6.3 Fugs Survval Fugs survval dapat ddefska sebaga probabltas dvdu dapat survve lebh dar waktu t. Secara matemats dyataka sebaga Pr T t. (.) Jka T merupaka varabel radom kotu, maka fugs survval merupaka kompleme dar c.d.f. yatu Pr Pr S T T t T t F t. (.3) Sela tu, fugs survval dyataka dalam p.d.f. sebaga tegral dar p.d.f., f t, yatu Pr T t f u du (.4) karea p.d.f. merupaka turua dar c.d.f. maka, f t t d df t d. (.5) dt dt dt Utuk T merupaka varabel dskrt, msalka T memlk la pada t, j,,..., dega probablty mass fucto j j j p t Pr T t, j,,..., (.6) dega t t... t Fugs survval utuk varabel radom T adalah Pr j T t p t. (.7) tj t Fugs survval, St, dapat dplot pada grafk yag meggambarka probabltas dvdu aka survve pada beberapa ttk waktu t atara 0 sampa. Fugs survval memlk sfat-sfat sebaga berkut: - fugs mooto tak ak, - saat t 0, ; t 0 meujukka waktu awal pegamata. Pada awal pegamata belum ada dvdu yag megalam kejada sehgga probabltas survval pada saat tu adalah. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

21 7 - saat t, 0; t meujukka waktu pegamata yag berlagsug tapa batas yag pada akhrya tdak ada seoragpu yag survve sehgga fugs survval meuju Fugs Hazard Fugs hazard ddefska sebaga staeous rate suatu dvdu utuk megalam evet dalam terval waktu dar t sampa t+δt jka dketahu dvdu tersebut mash dapat bertaha hdup sampa dega waktu t. Secara matemats dapat dtulska sebaga berkut: ht Pr t T t t T t lm t 0 t. (.8) Jka T adalah suatu varabel radom kotu, hazard dapat dyataka dalam betuk la dega meghubugka p.d.f da fugs survval yatu: t 0 Pr lm t 0 Pr lm t 0 Pr t T t t T t ht lm t 0 t Pr lm ht Pr lm t 0 t T t t T t P T t t t T t t P T t t t T t t t t T t t t f t. (.9) Berdasarka pembahasa sebelumya (.5) dketahu bahwa d sehgga f t dt ht dapat dyataka sebaga berkut: Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

22 8 ht ht d f t dt l d d d dt d l. (.0) dt Dega megtegralka kedua ss persamaa d atas aka memberka betuk fugs survval yag dyataka dalam fugs hazard: sebaga d l ht dt t t d l S u hudu du t h u du l S u t t l l 0 h u du S h u du l t 0 du t exp hudu. (.) 0 Dkeal juga cumulatve hazard fucto H t t 0 Ht, yag ddefska h u du. (.) Berdasarka hasl sebelumya (.), dperoleh persamaa atau H t exp H t (.3) l (.4) Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

23 9 dega maka, Jka T adalah varabel radom dskret, maka fugs hazard dberka oleh: j j j h t Pr T t T t, j,,..., h t j St0. Pr T t j T t Pr T t Pr T t Pr T t Pr T t Pr T j j j tj j j j p tj, (.5) Dketahu bahwa j Pr T t j j Pr j Pr T Tj Pr T t j Pr T t j pt j j T t j j j sehgga p t. (.6) Berdasarka hasl tersebut, ht j dapat dyataka sebaga p t j j j j ht j, j,,..., (.7) j j j Sepert fugs survval, fugs hazard juga dapat dplot sebaga kurva fugs hazard terhadap la t. Namu, berbeda dega fugs survval, kurva ht tdak harus dmula dar da bergerak ke bawah meuju 0, tetap kurva ht bsa dmula dar la berapapu ht 0 da bergerak ke atas da ke bawah terhadap waktu t. Dega perkataa la, utuk suatu la tertetu t, fugs hazard ht mempuya karakterstk sepert berkut: Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

24 0 - selalu berla o egatf, ht 0, - tdak memlk batas atas..5 Peyesora Data Data survval dapat berupa data eksak, data tersesor, atau data terpacug. Data eksak terjad ketka waktu terjadya kejada (evet) tepat dketahu. Data tersesor terjad ketka waktu terjadya kejada tdak dketahu da haya dketahu beberapa formas megea waktu sampa terjadya kejada. Data terpacug terjad karea adaya peyarga beberapa subyek sehgga pegamat tdak memperhatka mereka. Haya dvdu-dvdu dega pegalama tertetu, megalam kejada sebelum kejada yag dperhatka, yag aka damat. Pada subbab aka dfokuska utuk membahas data tersesor yag terdr dar tersesor kaa, tersesor kr, da tersesor terval..5. Data tersesor kaa Data tersesor kaa terjad ketka dvdu memlk survval tme melebh suatu la tertetu. Secara umum terdapat beberapa alasa sehgga terjadya sesor kaa - dvdu belum megalam kejada setelah pegamata berakhr, - dvdu tdak melajutka pegamata yag sedag berlagsug, - dvdu dkeluarka dar pegamata karea megalam kejada tetap buka kejada yag mejad perhata. Sebaga cotoh, (Kle & Moeschberger, 997) eksperme hewa pada Natoal Ceter for Toxologcal Research (NCTR) dega sekelompok tkus dber zat karsoge. Tujuaya adalah utuk megetahu efek zat karsoge terhadap waktu hdup. Tkus-tkus damat dar awal pegamata hgga mat atau hgga akhr waktu pegamata selesa. Cotoh tersebut dlustraska pada gambar berkut: Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

25 A B C D E eksak eksak tersesor kaa tersesor kaa tersesor kaa waktu awal waktu akhr Gambar. Cotoh data eksak da tersesor kaa Dar gambar d atas, survval tme B da C dketahu secara past tetap survval tme A, D, da E tersesor kaa. E keluar atau hlag dar pegamata sebelum waktu akhr pegamata. A da D mash hdup hgga waktu akhr pegamata sehgga memlk survval tme yag tersesor kaa..5. Data Tersesor Kr Data tersesor kr terjad ketka survval tme dar dvdu kurag dar suatu la tertetu atau kejada yag dperhatka sudah dalam dvdu sebelum pegamata dlakuka. Sebaga cotoh, pada suatu pusat pembelajara aak usa d, pegamata dfokuska pada peguja aak-aak utuk meetuka kapa seorag aak belajar utuk melakuka suatu tugas tertetu (msalka berbcara). Ketka pegamata berlagsug mugk aka dketahu bahwa ada aak-aak yag sudah dapat berbcara. Dar cotoh tersebut, waktu awal merupaka saat aak-aak lahr da waktu akhr adalah setelah (msalka) dua tahu perode pegamata. Maka, Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

26 waktu yag tersesor kr merupaka waktu dar lahr hgga dapat berbcara. Cotoh tersebut dlustraska pada gambar berkut: A B C D E tersesor kr tersesor kr tersesor kr eksak eksak waktu awal awal pegamata waktu akhr Gambar. Cotoh data eksak da tersesor kr Dar gambar d atas, survval tme A da D dketahu secara past tetap survval tme B, C, da E tersesor kr. B, C, da E sudah megalam evet, dalam cotoh dapat berbcara, sebelum pegamata dlakuka. A da D megalam evet, dapat berbcara, dalam jagka waktu pegamata sehgga memlk survval tme yag eksak..5.3 Data Tersesor Iterval Data tersesor terval terjad ketka evet yag mejad perhata terjad pada suatu terval tertetu. Peyesora terval basaya terjad pada pegamata logtudal yag memlk pegamata follow-up secara perodk. Sebaga cotoh, (Kle & Moeschberger, 997) pada Framgham Heart Study, usa dar pase ketka pertama kal medapatka coroary heart dsease (CHD) basaya dketahu secara past. Namu, usa ketka terjadya pertama Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

27 3 kal subkategor aga pectors haya dketahu pada dua pemerksaa kls, kurag lebh berjarak dua tahu. Dar cotoh tersebut, kejada yag g damat adalah waktu hgga terjad pertama kal subkategor aga pectors. Utuk tu, pase melakuka pemerksaa kls secara perodk setap dua tahu. Ketka seorag pase megalam kejada, maka waktu pastya tdak dketahu tetap berada d atara terval dua pegamata. Cotoh tersebut dlustraska pada gambar berkut: A B C D E tersesor kr tersesor terval tersesor terval tersesor kaa tersesor kaa waktu awal waktu akhr Gambar.3 Cotoh data tersesor terval Peyesora terval merupaka geeralsas dar peyesora kaa atau kr. Peyesora terval yag dyataka sebaga L, R, ketka batas kr merupaka 0 da batas kaa suatu la tertetu, ddapatka sesor kr, da ketka batas kr merupaka suatu la tertetu da batas kaa tak terhgga, ddapatka sesor kaa. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

28 4.6. Taksra Kapla-Meer Metode peaksra Kapla-Meer merupaka metode peaksra oparametrk fugs survval yag bayak dguaka. Peaksra mecakup keseluruha data yag ada, bak yag tdak tersesor maupu yag tersesor. Msalka pada data berukura terdapat k survval tme yag berbeda, t t... tk. Pada setap t, terdapat sebayak Y dvdu yag beresko megalam evet. Beresko megalam evet berart mereka belum megalam evet atau tdak tersesor sebelum t. Jka terdapat dvdu yag tersesor pada tepat t, mereka juga daggap beresko megalam evet pada t. Msalka d bayakya dvdu yag megalam evet pada waktu t. Taksra Kapla-Meer ddefska sebaga: Sˆ t t t d (.8) t t t t Y Peaksra Kapla-Meer dsebut juga sebaga product-lmt estmator da berkut aka dtujukka. Msalka: t t t meyataka survval tme tdak tersesor pada data, -... k dega t 0 0 da t k -,,,,...,, m -. t t t meyataka survval tme utuk dvdu yag tersesor dalam terval t, t da tersesor dalam t, t. m adalah bayakya dvdu yag d meyataka bayakya dvdu yag megalam evet pada waktu t. Msalka dberka gambar lustras sebaga berkut: t (0) =0 t () t () t (k) t (k+) = Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

29 5 - Msalka terval utuk gambar d atas dbag mejad dua kelompok, yatu t, t 0 kelompok pertama da t, t dega,,..., k kelompok kedua. - Pada terval t, t 0 belum ada dvdu yag megalam evet da haya ada dvdu-dvdu yag megalam peyesora. t (0) t 0, t 0, t 0,m0 t () - Karea evet terjad pertama kal saat t sampa t k, maka mula pada terval t, t terval t, t k k, kemuda t, da seterusya da seterusya sampa terdapat sebayak d dvdu yag megalam evet saat t,,,..., k, da juga terdapat dvdu-dvdu yag tersesor pada terval t, t dega,,..., k. d t () t, t, t,m t (+) Dar lustras d atas, dapat dbetuk fugs lkelhood sebaga berkut: m m L T t T t T t j j 0 Pr k d 0, Pr j Pr, j (.9) Jka probabltas utuk suatu observas tersesor t, jdberka sebaga observas tak tersesor berkutya t, maka probabltasya mejad Pr T t, da dega megaggap PrT t, j persamaa d atas dapat dtuls: sama utuk semua j, maka Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

30 6 Uverstas Idoesa m k d j k d m d k d m d d k d m d d m L k d m k d m m d m k d m m d m k d m m k d m m d L (.0) dega. 0 Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

31 7 sehgga j, maka persamaa (.0) dapat dtuls (.),,..., k j k m d m 0 d L k m d m j d d m d m d m d m j dm k k d m j j k... k d m k k k 3 3 m d m d m... d m d m... d m k k d m d m... d m m d m... d k d 3 3 k k 3 3 k k d k m k d d m k k k k d m d m... d m k k k k m k d m d Y d (.) L dega Y d m d m... d m. k k Kemuda aka dmaksmumka k (.3) log L d log Y d log utuk masg-masg,..., k. Turuka log L terhadap dperoleh dlog L d Y d d. (.4) Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

32 8 Dega meyamaka turua tersebut dega ol da meyelesaka persamaaya aka dperoleh solus utuk adalah d Y utuk,,..., k. Maka, ˆ d merupaka taksra yag aka memaksmumka fugs Y lkelhood L da log L. Sehgga ddapat, ˆ d j, j,,... k j Y j Utuk t secara umum, peaksr Kapla-Meer ddefska sebaga Sˆ t t t d j t t t j t Y j (.5).7 Model Cox Dalam aalss survval, ada kalaya peelt g melhat hubuga survval tme dega faktor-faktor la (kovarat), utuk tu aka dguaka peaksra dega pemodela regres. Model regres utuk masalah survval yag serg dguaka adalah model Cox. Model Cox adalah model semparametrk yag artya tdak dketahu dstrbus dar data sehgga tdak dketahu betuk fugsoal dar fugs basele hazard. Aka tetap parameter-parameter, β, dar model dapat dketahu dstrbusya. Pada tugas akhr aka dguaka model Cox proportoal hazard..7. Defs da karakterstk model dega Model Cox PH drumuska sebaga berkut: - h p ht, X h0 texp lx l (.6) l 0 t merupaka fugs basele hazard, - X,..., X p merupaka varabel-varabel pejelas (kovarat), -,..., p merupaka koefse model Cox. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

33 9 Model Cox, jka semua X-ya berla ol maka betukya aka tereduks mejad fugs basele hazard. Hal meujukka bahwa fugs basele hazard merupaka fugs awal sebelum dkeaka dega faktor-faktor X. Fugs basele hazard, h0 t, tdak perlu dketahu dstrbusya. Dar model Cox PH, dketahu bahwa fugs basele hazard merupaka fugs dar t tetap tdak megadug X. Sedagka, ekspres ekspoesal dar model Cox PH megadug X tetap tdak megadug t. X yag tdak bergatug pada t dsebut varabel yag tme-depedet. Dmugkka juga utuk meggaggap bahwa X bergatug terhadap t, X yag demka dsebut varabel yag tme-depedet. Jka terdapat varabel tme-depedet, model Cox tetap dapat dguaka aka tetap tdak memeuh asums PH da modelya dsebut model exteded Cox. Pada model Cox PH dkeal hazard rato (HR) yatu perbadga hazard dar dua dvdu dega la kovarat-kovarat yag berbeda. Utuk dvdu pertama dega kovarat X* da dvdu kedua dega kovarat X, hazard rato dapat dtulska sebaga berkut: * ht, X HR ht, X 0 t p h0 texp lx l p h0 texp lx l h h 0 t exp exp p l p l * l l * lx l lx l HR exp X X p * l l l. (.7) l Dar hasl tersebut dperoleh bahwa perbadga hazard utuk setap dvdu dega dvdu la dega la kovarat berbeda aka kosta tdak dpegaruh waktu. Dega perkataa la, hazard utuk satu dvdu Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

34 0 proporsoal dega hazard dvdu laya dega keproporsoala yag kosta, tdak dpegaruh oleh waktu. Kods lah yag dsebut dega proportoal hazard (PH). Pada baga sebelumya fugs hazard dapat dyataka melalu fugs survval. Dega megguaka persamaa (.3), fugs survval dapat dyataka sebaga, exp H t, X X. (.8) Fugs cumulatve hazard pada (.) dapat dyataka t, X, X H t h u du 0 h u X du p t 0 exp 0 l l l p t exp lx l h0 udu 0 l p exp l Substtus persamaa (.9) ke (.8), dperoleh, X e e lxl H0 t. (.9) p exp lxl H0 t l 0 p exp lxl H0 t l p lxl S (.30) exp t l e H t adalah 0 yag merupaka fugs survval dar model Cox dega fugs basele survval Partal lkelhood Sepert halya pada model regres la, aka dtaksr parameter-parameter. Utuk meaksr parameter dega metode maksmum lkelhood aka dtulska probabltas (p.d.f.) dar data sebaga fugs dar parameter pada model. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

35 Msalka, f t X merupaka p.d.f. utuk evet pada saat t,,,...,. Utuk dvdu dega evet yag teramat pada saat t, berkotrbus f t, X pada lkelhood. Utuk dvdu yag tersesor pada saat t, haya dketahu bahwa dvdu tersebut survve sampa saat t da observas tersebut berkotrbus, dyataka sebaga StX pada lkelhood. Maka, fugs lkelhood utuk data c,, c L β f t X X (.3) dega c merupaka dkator peyesora, jka survval tme utuk dvdu ke- teramat da 0 jka tersesor. Berdasarka persamaa (.9) dketahu ht f t sehgga ht f t. Dega formas, substtuska ke persamaa (.3) c c β, X, X, X L h t h t c, X, X Dega mesubsttuska persamaa model Cox (.6) da persamaa fugs survval berdasarka model Cox, (.30), meghaslka fugs lkelhood c p p l Xl 0 l l 0 l exp Lβ h t exp X l. (.3) Aka dmaksmumka fugs lkelhood (.3) yag aka memberka taksra parameter, juga taksra fugs basele hazard, da fugs basele survval tetap masalah tdak mudah ddapatka. Utuk tu, pada model Cox dguaka peaksra partal lkelhood utuk meaksr parameter-parameter pada modelya. Msalka terdapat dvdu,,..., da masg-masg memlk p- vektor kovarat X... X X p. Dar dvdu tersebut, msalka k dvdu megalam evet sehgga terdapat -k dvdu yag tersesor. Msalka D Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

36 adalah hmpua yag beraggotaka dvdu-dvdu yag megalam evet. Model Cox PH utuk dvdu D dyataka sebaga: h t h0 t exp βx. (.33) dega β... p adalah koefse model Cox. teramat da Msalka t t... tk merupaka survval tme utuk evet yag R hmpua dvdu yag beresko utuk megalam evet pada saat t. Berdasarka Cox, lkelhood d waktu t dyataka L expβx expβx. (.34) qr q Raso tersebut meyataka bahwa hazard utuk dvdu pada saat t relatf terhadap cumulatve hazard utuk semua dvdu yag beresko pada saat evet terjad utuk dvdu ke-. Sehgga partal lkelhood utuk semua dvdu adalah β L L L... L k q R k expβx expβx Log dar partal lkelhood (.35) adalah q. (.35) k k log Lβ βx log exp β X q. (.36) qr Utuk medapatka taksra maksmum partal lkelhood, aka dturuka persamaa (.36) terhadap β yatu X expβx q log Lβ β β X. (.37) k k q qr X exp q qr Dega meyamaka masg-masg turua pada (.37) dega ol da meyelesaka persamaaya aka dperoleh taksra utuk parameter yag tdak dketahu. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

37 3.8 Koefse Korelas Koefse korelas merupaka ukura kekuata hubuga (ler) atara dua varabel. Koefse korelas haya memperhatka hubuga dua varabel da tdak meympulka adaya sebab-akbat. Utuk dua varabel radom X da Y, koefse korelas atara dua varabel tersebut memlk karakterstk sepert berkut: - laya berada d atara - sampa, - laya medekat -, berart terdapat korelas egatf yag kuat, - laya medekat, berart terdapat korelas postf yag kuat, - laya medekat 0, berart tdak terdapat korelas. Koefse korelas utuk populas dyataka sebaga berkut XY var cov, E X E X Y E Y var X Y E X E X E Y E Y. (.38) Jka korelas terbeut dtaksr megguaka data sampel berukura, dapat dguaka Pearso s product momet correlato coeffcet yag ddefska sebaga r X X Y Y X X Y Y r merupaka varabel radom da memlk suatu dstrbus.. (.39) Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

38 BAB 3 PENGECEKAN ASUMSI PROPORTIONAL HAZARD Pada tugas akhr aka dbahas dua pedekata utuk pegeceka asums proportoal hazard yatu dega grafk da peguja goodess-of-ft. Pada pedekata dega grafk aka dguaka grafk log-log. 3. Pedekata Grafk: Grafk Log-log Survval Secara sgkat, lagkah-lagkah pegeceka asums proportoal hazard dega grafk log-log survval adalah:. mecar taksra fugs survval, Sˆ t, X, berdasarka model Cox,. mecar la log-log survval, l l S ˆ t, X, 3. membetuk grafk dega sumbu-x merupaka survval tme da sumbu-y la l l S ˆ t, X, 4. asums proportoal hazard dpeuh jka utuk dua dvdu dega kovarat yag berbeda, kurva pada grafkya aka paralel. Pada bab sebelumya telah ddapatka fugs survval dar model Cox, X exp pada persamaa (.30) yatu l 0 p lxl. Formula log-log megharuska ambl log dar fugs survval dua kal. Karea fugs survval merupaka fugs probabltas, 0 St, X, sehgga log dar, berla egatf, St X X selalu l, 0. Utuk tu perlu degaska log yag pertama agar berla postf sehgga dapat dambl log utuk yag kedua, 0 l St, X, l l St, X. Trasformas log-log fugs survval adalah sebaga berkut:, X 0 p exp lxl l p exp lxl l, X l S0 t l 4 Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

39 5 exp p lx l l S0 t l p l l, X l exp lx l l S0 t l l exp l l p lx l S0 t l p exp l l l lxl S0 t (3.) Aka dtujukka bahwa grafk taksra log-log dapat dguaka utuk megevaluas asums proportoal hazard. Msalka utuk dua dvdu memlk karakterstk pada vektor kovarat X masg-masg X da X. X X X, X,..., X p X, X,..., X p Masg-masg kurva log-log dar dua dvdu tersebut adalah p X l l, X l l l l 0 l p X l l, X l l l l 0 l. (3.) Kurva log-log survval dvdu pertama dkurag kurva log-log survval dvdu kedua X X l l, l l, p p l X l l l S0 t l X l l l S0 t l l p X l l l l l l p p X l X l Xl (3.3) l Hasl yag dperoleh meujukka bahwa hasl peguragaya tdak lag bergatug pada waktu t. Sekarag dtamplka hasl dar taksra kurva log-log survval dar kedua dvdu pada satu grafk dega sumbu-x merupaka survval tme da sumbu-y Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

40 6 la l l S ˆ t, X da ddapatka kedua kurvaya paralel. Jarak atara dua kurva utuk dua dvdu berbeda merupaka betuk ekspres ler yag tdak megadug waktu. Gambar 3. Grafk log-log survval terhadap waktu Keparalela dar grafk log-log survval utuk model Cox PH memberka pedekata secara grafk utuk medapatka asums proportoal hazard. Yatu, jka model Cox memeuh asums proportoal hazard utuk kovarat-kovarat yag dberka, dharapka plot utuk kurva log-log survval dvdu-dvdu yag berbeda aka hampr paralel. Namu, terdapat kelemaha jka megguaka metode grafk log-log survval yatu tdak dketahu secara jelas sejauh maa jarak paralel dar kurva aka dsebut paralel. Peelt aka memberka pertmbaga masg-masg yag juga dsesuaka dega bayakya data yag dguaka. Solus yag drekomedaska adalah megambl keputusa dega megasumska bahwa asums proportoal hazard dpeuh kecual memag terlhat jelas bahwa grafk log-log survval tdak paralel (msalya berpotoga). 3.. Pegeceka utuk Varabel Kotu Hal yag perlu dperhatka dalam pegeceka asums PH dega grafk log-log adalah pegeceka asums utuk kovarat (varabel predktor) yag Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

41 7 merupaka varabel kotu. Agar dapat dgambarka pada grafk log-log survval dega bak, varabel kotu tersebut dubah mejad beberapa kategor. Pemlha kategor atau pegkategoraya tergatug dar peelt dega pertmbaga bayakya data yag ada. Jka jumlah kategor yag dplh cukup bayak, data aka megecl utuk setap kategor, meyebabka kesulta utuk membadgka utuk tap-tap kurva. Utuk tu pegkategora dar varabel kotu tersebut dsaraka bayakya kategor sesedkt mugk (dua atau tga). Pemlha kategorya juga yag aka memberka maka dega jelas terhadap varabel tersebut. Terdapat dua cara mecar fugs log-log dar varabel kotu. Pertama dega dbetuk model megguaka c- varabel dummy utuk varabel X dega c kategor. Sebaga cotoh, terdapat tga kovarat, X, X, da X 3, dega X 3 varabel kotu. Kovarat X 3 aka dbetuk 3 kategor (msal, redah, sedag, da tgg) sehgga terdapat dummy varabel sebut, X 3 da X 3. Model Cox yag terbetuk adalah dega, exp h t X h t X X X X (3.4) jka tgg jka sedag X 3 da X 3 0 laya 0 laya sehgga tgg = (,0); sedag = (0,); da redah = (0,0). Taksra fugs survval-ya, Xtgg ˆ 0, Xsedag ˆ 0 Sˆ t Sˆ t, X ˆ Sˆ t redah 0 Betuk log-log survval-ya exp ˆ X ˆ X ˆ X 3 3 exp ˆ X ˆ X ˆ X 4 3 exp ˆ X ˆ X. (3.5) Xtgg Xsedag l l Sˆ t, ˆ X ˆ X ˆ X l l l l Sˆ t, ˆ X ˆ X ˆ X l l. (3.6) l l Sˆ t, redah ˆ ˆ X X l l S0 t X Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

42 8 Cara kedua adalah dega dbetuk model megguaka kovarat kotu yag dperhatka (X 3 ). Taksra fugs survval-ya dcar utuk masg-masg kategor dega megguaka la (msalka) rata-rata dar X 3 pada tap kategor. Dega megguaka cotoh d atas, model Cox yag terbetuk adalah, exp h t X h t X X X. (3.7) Taksra fugs survval-ya, Xtgg ˆ 0, Xsedag ˆ 0 Sˆ t Sˆ t, X ˆ Sˆ t redah 0 Betuk log-log survval-ya exp ˆ X ˆ X ˆ X 3 3(tgg) exp ˆ X ˆ X ˆ X 3 3(sedag) exp ˆ X ˆ X ˆ X 3 3(redah). (3.8) Xtgg 3 3(tgg) 0 Xsedag 3 3(sedag) 0 l l Sˆ t, ˆ X ˆ X ˆ X l l l l Sˆ t, ˆ X ˆ X ˆ X l l. (3.9) l l Sˆ t, redah ˆ ˆ ˆ X X 3X 3(redah) l l S0 t X 3.. Pegeceka utuk Beberapa Varabel Hal la yag perlu dperhatka adalah bagamaa megecek asums proportoal hazard utuk beberapa varabel yag ada. Solus pertama adalah dega megkategorka semua varabel secara terpsah, membetuk kombas dar kategor-kategor tersebut, da membadgka kurva log-log utuk semua kombas pada grafk. Akbat dega cara tersebut, jumlah data pada masg-masg kategor aka megecl jka terdapat bayak kombas dar kategor-kategor. Sela tu, meskpu terdapat jumlah data yag cukup utuk kombas kategor, aka sult utuk meetuka varabel apa yag memberka ketdakparalela pada grafk. Msalka pada pegamata terdapat dua kovarat, yatu X dega kategor da X dega 3 kategor. Maka terdapat eam kombas kategor da eam kurva log-log survval yag dplot pada satu grafk. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

43 9 Kovarat Kovarat Kategor Kategor Kategor Kategor Kategor 3 Kov. kat. da kov. kat. Kov. kat. da kov. kat. Kov. kat. da kov. kat. Kov. kat. da kov. kat. Kov. kat. da kov. kat. Kov. kat. da kov. kat. Solus kedua utuk meghadap masalah adalah dega megecek asums proportoal hazard utuk satu kovarat dsesuaka dega kovarat la yag dasumska memeuh asums proportoal hazard. Msalka pegamata dega dua kovarat X da X dega taksra model Cox, ˆ exp 3 hˆ t X h t X X. (3.0) 0 Maka, log-log fugs survval-ya adalah l l Sˆ t, X 3X l l S0 t X. (3.) Jka dperksa asums proportoal hazard utuk kovarat pertama, dasumska kovarat kedua telah memeuh asums. Sehgga betuk log-log fugs survvalya aka berubah dega la X yag dsesuaka mejad rata-rataya yatu l l, X X 3X l l, (3.) begtu pula sebalkya. 0 Pada model Cox, dstrbus dar data tdak dketahu sehgga tdak dketahu la da fugs basele hazard maupu basele survval. Utuk tu agar dapat meghtug kurva log-log survval perlu dtaksr la dar fugs basele survval. Peghtuga pada peragkat luak aka medapatka hasl lagsug tetap aka bermasalah jka dlakuka peghtuga secara maual. Solusya adalah dapat dguaka taksra Kapla-Meer, pada rumus (.8), utuk medapatka taksra fugs basele survval apabla dlakuka peghtuga lalu membetuk grafk log-log survval secara maual. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

44 30 3. Pedekata dega Peguja Goodess of Ft (GOF) Pada baga sebelumya, dguaka pedekata dega metode grafk utuk megecek asums proportoal hazard. Pada subbab aka dguaka pegeceka dega peguja goodess of ft. Metode aka memberka hasl yag lebh obyektf karea megguaka peguja secara statstk. Peguja asums proportoal hazard secara statstk aka dguaka Schoefeld resdual. Utuk setap kovarat pada model, Schoefeld resdual terdefs utuk setap dvdu yag megalam evet. Peguja asums proportoal hazard ddasarka pada perkraa bahwa asums proportoal hazard terpeuh utuk suatu kovarat jka Schoefeld resdual utuk kovarat tersebut tdak berkorelas dega waktu. Adapu lagkah-lagkah pegujaya sebaga berkut:. Mecar taksra model Cox PH da mecar Schoefeld resdual utuk masg-masg kovarat.. Membuat varabel rak survval tme yatu waktu terjad evet (survval tme) yag durutka. Idvdu yag megalam evet pertama kal dber la, megalam evet selajutya dber la, da seterusya. 3. Meguj korelas atara varabel pada lagkah pertama da kedua. Hpotess ullya korelas atara Schoefeld resdual da rak survval tme adalah ol. Peolaka hpotess ull berart asums PH tdak dpeuh. 3.. Schoefeld Resdual Msalka terdapat dvdu,,..., da masg-masg memlk p- vektor kovarat X... X X p. Dar dvdu tersebut, msalka sebayak k megalam evet da sebayak ( k ) yag tersesor, sehgga tme-to-evetya adalah t t... tk. Sebut hmpua yag memuat dvdu yag megalam evet adalah D. Model Cox PH utuk dvdu D dyataka sebaga: h t h0 t exp βx (3.3) dega β... p adalah koefse model Cox. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

45 3 Utuk masg-masg kovarat, (Schoefeld, 98) Schoefeld resdual utuk dvdu ke- kovarat ke-l ddefska sebaga l l l r X E X R. (3.4) Resdual ke- kovarat ke-l merupaka beda atara la observas codtoal expectato-ya jka dketahu R. X l da Berkut adalah pejelasa utuk Schoefeld resdual. Msalka R merupaka hmpua dvdu yag beresko utuk megalam evet pada saat t. Berdasarka Cox, lkelhood utuk semua dvdu yag megalam evet dyataka L β k qr exp expβx. (3.5) βx Log dar partal lkelhood (3.5) adalah q k k log Lβ βx log exp β X q. (3.6) qr Turua persamaa (3.6) terhadap β yatu Pada model X expβx q log Lβ β β X. (3.7) E X l k k q qr X exp q qr X merupaka varabel radom dega R qr X qr ql expβx expβx q q. (3.8) Dega meyamaka masg-masg turua pada (3.7) dega ol da meyelesaka persamaaya aka dperoleh taksra utuk parameter yag tdak dketahu. Dega kata la, taksra utuk parameter merupaka solus dar k X l E X l R 0 (3.9) dega Xl E Xl R merupaka Schoefeld resdual. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

46 3 3.. Koefse Korelas Rak Spearma Pada bab, telah djelaska megea koefse korelas da taksra koefse korelas utuk sampel dega megguaka Pearso s product momet correlato coeffcet. Pearso s product momet correlato coeffcet, r, yag ddefska pada (.39) merupaka varabel radom da memlk suatu dstrbus. Fugs dstrbus dar r bergatug pada fugs dstrbus bvarat dar (X,Y). Jka fugs dstrbus dar (X,Y) tdak dketahu aka meyebabka r tdak memlk la sebaga statstk uj pada peguja statstk. Utuk kods tersebut, terdapat ukura korelas dega fugs dstrbus yag tdak bergatug pada fugs dstrbus bvarat dar (X,Y), jka X da Y depedet, sehgga dapat dguaka sebaga statstk uj pada peguja oparametrk. Ukura korelas yag aka dbahas merupaka fugs dar rak observas. Pada tugas akhr aka dguaka Spearma s rak correlato coeffcet atau Spearma s rho. Data terdr dar sampel radom bvarat berukura, X Y X Y X Y. Msalka...,, X yag laya utuk,,..., palg kecl dar,,...,,,,, R X merupaka rak dar X yag dbadgka dega. Yatu X X X, kecl, da selajutya dega rak dberka utuk R X jka X merupaka yag R X jka X merupaka yag kedua palg X yag palg besar. Begtu juga halya utuk RY berla sama dega,,..., atau bergatug pada besar dar Y yag dbadgka dega Y, Y,..., Y utuk setap. Utuk data kembar, masg-masg dberka la rata-rata dar rak yag aka dberka jka tdak kembar. Rumus dar Spearma s rak correlato coeffcet, r S, ddapatka dar Pearso s product momet correlato coeffcet dega la X da Y merupaka rak-ya. Sehgga ddapatka la-la sebaga berkut: - R X... da RY, (3.0) Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

47 33 - R X R X da RY R X... - da RY,, (3.) - R X R X da RY RY , (3.3) - R X R Y R X R X R X R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y - R X R Y R X R X R Y R Y (3.), (3.4) Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

48 34 - R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R Y, (3.5) (3.6) Dega mesubsttus hasl-hasl tersebut ke dalam persamaa (.39) maka, r r S S R X R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R Y R X R X R Y R Y R Y R X 6 R Y R X 6 RY R X RY (3.7) Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

49 35 Betuk la dar r S dapat dyataka sebaga berkut r S R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R Y R X R Y R X R Y R X R Y R X R X R Y R Y R X R Y R X R Y R X R Y R X R Y R X R X R Y R Y RY RY R X R Y R X R Y R X R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R Y R X R X R Y R X R Y R Y R X R X R Y R X R X R Y R X R Y R X R Y R X 3 R Y 4 R X R Y 3 (3.8) Peguja hpotess utuk koefse korelas rak Spearma ddefska sebaga berkut: Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

50 36 - Uj dua arah H 0 : X da Y salg bebas. H : X da Y tdak salg bebas. Dega tgkat sgfkas, H 0 dtolak jka rs rs, - Uj satu arah utuk korelas postf H 0 : X da Y salg bebas. H : X da Y berhubuga postf. Dega tgkat sgfkas, H 0 dtolak jka rs rs,. - Uj satu arah utuk korelas egatf H 0 : X da Y salg bebas. H : X da Y berhubuga egatf. Dega tgkat sgfkas, H 0 dtolak jka rs rs,. Utuk ukura sampel dega besar, (Hollader ad Wolfe, 999) 30, dguaka aproksmas keormala (stadardzed) dar r S. Betuk terstadarsas dar r S adalah * S r r (3.9) (Persamaa 3.9 dbuktka pada lampra ) S Jka H 0 bear, * r S memlk dstrbus asmptotk N(0,) ketka meuju tak hgga. Sehgga prosedur pegujaya adalah - Uj dua arah H 0 : X da Y salg bebas. H : X da Y tdak salg bebas. Dega tgkat sgfkas, H 0 dtolak jka r * S z - Uj satu arah utuk korelas postf H 0 : X da Y salg bebas. H : X da Y berhubuga postf. Dega tgkat sgfkas, H 0 dtolak jka * rs z. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

51 37 - Uj satu arah utuk korelas egatf H 0 : X da Y salg bebas. H : X da Y berhubuga egatf. Dega tgkat sgfkas, H 0 dtolak jka * rs z Peguja goodess of ft Peguja statstk utuk pegeceka asums PH adalah dega meguj korelas atara Schoefeld resdual dega rak survval tme utuk masgmasg kovarat. Schoefeld resdual terdefs utuk survval tme yag teramat (eksak). Sehgga utuk dvdu dega sebayak k dvdu yag memlk survval tme yag eksak, t t... tk, da kovarat pada saat t, X... X X p, terdapat Schoefeld resdual pada t yag merupaka vektor r... r r p,,..., k. Utuk pegeceka asums proportoal hazard dega goodess of ft, aka dlhat korelas atara Schoefeld resdual dega rak survval tme. Pegeceka asums pada kovarat pertama, X, aka dcek korelas atara rak survval tme,,..., k t t dega rak r,..., r k, pegeceka asums pada kovarat kedua, X, aka dcek korelas atara rak survval tme, t,..., t k dega rak r,..., r k, demka selajutya hgga pegeceka asums pada kovarat ke-p, X p, aka dcek korelas atara rak survval tme, t,..., t k dega rak r,..., p r kp. Utuk tu dapat dlustraska sebaga berkut Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

52 38 Tabel 3. Kompoe t, R, (X,,X p ), da (r,,r p ) utuk sampel dvdu dega k dvdu yag survval tme-ya teramat t R X r X r X p r p t R X r X r X p r p t R X r X r X p r p t k R k X k r k X k r k X kp r kp Tabel 3. Kompoe t da r yag aka dlakuka pegeceka asums t r t r t r p t r t r t r p t r t r t r p t k r k t k r k t k r kp cek asums utuk kovarat X cek asums utuk kovarat X cek asums utuk kovarat X p Koefse korelas atara survval tme dega Schoefeld resdual dhtug dega megguaka Spearma s rak correlato coeffcet da peguja hpotessya dguaka sepert yag sudah dyataka pada subbab sebelumya. Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

53 BAB 4 CONTOH PENERAPAN Dalam bab, aka dbahas pegeceka asums proportoal hazard pada data. Pegeceka asums aka dlakuka dega dua pedekata yatu secara grafk, yatu dega grafk log-log, da peguja goodess-of-ft. Pegolaha data utuk mecar taksra model Cox PH, grafk log-log, da peguja korelas dguaka peragkat luak statstk. 4. Data Data yag dguaka pada tugas akhr adalah data peelta d Australa pada tahu 99 oleh Caplehor et al. Data peelta dbadgka 38 pecadu hero yag dberka dua jes pegobata methadoe yag berbeda utuk dtelt waktu lamaya berada dalam klk. Survval tme dar pase adalah waktu, dalam har, hgga keluar dar klk atau tersesor. Dar 38 dvdu terdapat 50 dvdu dega survval tme yag teramat da 88 dvdu dega survval tme yag tersesor. Sela tu, terdapat dua kovarat tambaha yatu, catata pejara da doss maksmum methadoe, yag dpercaya mempegaruh survval tme. Keteraga utuk varabel-varabel yag terlbat dberka sebaga berkut: - clc ( atau ), - survval status (0 = cesored, = departed from clc), - survval tme (days) - prso record (0 = oe, = ay), - maxmum methadoe dose (mg/day). 4. Aalss Data Terlebh dahulu dbetuk model Cox yag melhat hubuga survval tme dega jes pegobata methadoe, catata pejara, da doss maksmum methadoe. 39 Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

54 40 berkut: dega Model umum Cox yag aka dbuat berdasarka data adalah sebaga, exp h t X h t x x x (4.) t adalah survval tme (dalam har), X adalah clc, X adalah prso, X 3 adalah dose. Utuk peguja lkelhood rato yag meguj sgfkas parameter, dperoleh la - Log lkelhood utuk 0 Sedagka utuk model Cox (4.) dperoleh dar statstk uj lkelhood rato, dega derajat bebas 3. β, LL β adalah LL 0 β = Sehgga la X LR, adalah yag berdstrbus ch-square Tabel 4. Hasl pegolaha data utuk peguja lkelhood rato - Log Lkelhood β 0 - Log Lkelhood β Ch-square df Sg Dega megambl la = 0.05, dar tabel 4. dperoleh la sg. yag lebh kecl dar. Jad, dapat dsmpulka bahwa parameter β secara bersama-sama berkotrbus secara sgfka pada model Cox. Utuk peguja Wald yag meguj sgfkas masg-masg parameter, dperoleh la yag dberka pada tabel berkut Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0

55 4 Tabel 4. Hasl pegolaha data utuk peguja Wald Parameter Koefse Wald df Sg Dega megambl la = 0.05, dar tabel 4. dperoleh la sg. yag lebh kecl dar utuk parameter da 3. Sedagka parameter sgfka utuk la = 0.0. Jad, varabel clc, prso, da dose memberka kotrbus secara sgfka pada model Cox. Sehgga taksra model Cox kta adalah, ˆ exp hˆ t X h t x x x (4.) 0 3 Setelah kta medapatka taksra model Cox, kta aka megecek apakah asums proportoal hazard terpeuh. Pegeceka asums proportoal hazard aka dlakuka dega megguaka grafk log-log da peguja goodess-offt. 4.. Pegeceka dega Grafk Log-log Setelah kta medapatka taksra model Cox (4.), kta aka megecek asums proportoal hazard utuk masg-masg varabel. Karea kta memlk tga varabel pejelas, utuk megecek asums masg-masg varabel aka dguaka grafk log-log adjusted. Utuk megecek asums varabel clc, aka dasumska bahwa varabel prso da dose memeuh asums begtu juga utuk pegeceka asums pada varabel prso da dose dasumska bahwa varabel la, yag tdak sedag dperksa, telah memeuh asums PH. Berdasarka model Cox (4.), taksra fugs survval-ya adalah Sˆ t, Sˆ t exp.009 x x 0.035x 3 X (4.3) 0 Uverstas Idoesa Pegeceka asums..., Ro Tua Yohaes, FMIPA UI, 0