DESAIN KONTROL VIBRASI SEMI AKTIF REAKSI FIXED POINT MENGGUNAKAN PENGONTROL H. Sutrisno 1 dan Widowati 2

Transkripsi

1 ESAIN KONTROL VIBRASI SEMI AKTIF REAKSI FIXE POINT MENGGUNAKAN PENGONTROL H Strisno dan idowati, Jrsan Matmatika FMIPA UNIP Jl. Prof. H. Sodarto, S.H., Tmbalang, Smarang. Abstrat. Th smi ativ fixd oint ration ty of Strtr Vibration Control sign ontain of mass, sring, dashot, snsor and ontrollr. Th ontrollr in this systm dsignd sing H mthod. Cas stdy of Hard isk Prottion Systm mak to analysis th rforman of los loo systm and aal with th rforman of on loo systm viwd from ott of simlation sing MATLAB with st fntion and imls fntion as int. Kywords: Vibration ontrol dsign, H mthod, H ontrollr. PENAHULUAN Sat strktr mngandng massa dan lastisitas yang mmnyai kmaman ntk brgrak sara rlatif. Aabila grakan ini brlang sndiri dalam intrval wakt trtnt, grakan ini dinamakan gtaran / vibrasi (vibration) [8]. Gtaran daat brasal dari nrgi sisa yang diklarkan olh sistm srti gtaran ada msin ata brasal dari lar sistm srti gma bmi. Pada mmnya, gtaran tidak diinginkan karna daat mnimblkan bnyi, mrsak bagian sistm, dan mmindahkan gaya yang tidak diinginkan srta mnggrakkan bnda diskitar sistm. Olh karna it, dibthkan sat sistm yang kokoh (robst) yait ktahanan sistm akan sat gtaran yang dialami. Untk it, dikmbangkan brbagai maam dsain kontrol vibrasi srti ada Gambar. [7]. Gambar. Klasifikasi dsain kontrol vibrasi 45

2 . PERSAMAAN RUANG KEAAAN Prsamaan rang kadaan (Stat Sa Eqation) dari sat Sistm inamik Linar yang tidak brbah trhada wakt ata sistm LTI (Linar Tim Invariant) daat diksrsikan olh sistm rsamaan difrnsial brikt [6] x(t)=ax(t)+b(t), x(t 0 ) = x0, () y(t)=cx(t)+(t) () dngan ( ) n 0 x t R adalah kadaan sistm, m x( t ) adalah syarat awal sistm, ( t) R adalah int sistm, dan y( t) R adalah ott sistm. Sdangkan A, B, C, dan adalah matriks ral konstan. Fngsi alih dari int (t) k ott y(t) dinyatakan olh [6] G( s ) = C( si A ) B + (3) Sistm l trtt yait sistm yang trdiri dari Plant dirmm G dan ngontrol K, dan daat digambarkan dngan diagram blok ada gambar.. y z G K Gambar. iagram blok sistm l trtt Plant dirmm G trdiri dari objk yang dikontrol ditambahkan dngan sma fngsi bobot ntk objk trsbt. Int w mrakan sma int dari lar yang mmngarhi sistm trmask ganggan, z mrakan klaran yang di kndalikan (dikontrol), y mrakan klaran Plant yang dirmm dan dijadikan int k ngontrol, dan adalah maskan gaya kontrol k G. Bntk mm modl dinamik dari Plant dirmm G dibrikan olh [3] x(t) = Ax(t) + Bw(t) + B(t) z(t) = Cx(t) + w(t) + (t) (4) y(t) = Cx(t) + w(t) + (t) iasmsikan Plant G dan ngontrol K adalah ral rasional dan ror, shingga w modl rang kadaan dari G dan K daat ditntkan (availabl) dan ralisasi dari kda modl trsbt adalah trstabilkan (stabilizabl) dan trdtksi (dttabl) []. Ralisasi matriks alih lant dirmm G dari sistm rsamaan (4) brbntk A B B G ( s ) = C (5) C dngan asmsi-asmsi. (A,B ) trkontrol dan (C,A) trobsrvasi. (A,B ) trstabilkan dan (C,A) trdtksi T C = 0 I 3. [ ] [ ] B T 0 4. = I Asmsi-asmsi trsbt mnjamin bahwa da bah rsamaan aljabar riati yang brssaian dngan (5) mmnyai solsi trstabilkan dfinit ositif dan ntk asmsi mrakan syarat rl dan k saya G trstabilkan sara intrnal. Ada da bah asmsi tambahan yang disrtakan sara imlisit yait = 0 dan = 0. Kda asmsi tambahan ini dignakan ntk mnydrhanakan modl. ari modl yang sdah disdrhanakan ini, akan dignakan tori kontrol H yang disdrhanakan ntk mndsain ngontrolnya. 3. TEORI KONTROL H Misalkan ngontrol K mmnyai bntk mm brikt : v(t) = Av(t) ˆ + By(t) ˆ (t) Cv(t) ˆ y(t) ˆ (6) = + Masalah kontrol otimal H adalah mnari ngontrol otimal K(s) yang dirknankan sdmikian shingga T minimm. Ttai ntk mnari zw ngontrol K(s) yang otimal sangat slit diari baik mnggnakan ara analitik man mnggnakan ara nmrik, shingga k diari ngontrol 46

3 sbotimal H yait ngontrol yang mmnyai norm yang k dkat dngan norm ngontrol otimal H. Untk slanjtnya, ngontrol sbotimal H k kita tlis dngan ngontrol H. Masalah kontrol sbotimal H adalah mnntkan sma ngontrol yang dirknankan K sdmikian shingga norm dari sistm l trtt T < γ ntk sat γ > 0. zw Torma. brikt mmbrikan mtod ntk mranang ngontrol H. Torma [] Trdaat ngontrol yang dirknankan sdmikian shingga T < γ jika dan hanya jika ktiga kondisi brikt trnhi. Matriks Hamiltonian H dom( Ri ) dan X : = Ri( H ) > 0. Matriks hamiltonian J dom( Ri ) dan Y : = Ri( J ) > 0 ρ X Y γ 3. ( ) < dngan T T A B B BB H γ = T T C C A T T T A C C C C J γ = T BB A Jika ktiga kondisi diatas dinhi, maka salah sat ngontrol K yang dirknankan mmnyai ralisasi  Z L K sb( s ) = (7) F 0 dngan  = A + γ B B X + B F + Z L C F L = B X T = Y C zw T T ( γ ) Z = X Y Torma mnnjkkan ksistnsi ngontrol H srta langkah-langkah ntk mnari ngontrol H yang dirknankan. Brikt dibrikan langkah-langkah ntk mranang ngontrol H. Langkah. Mnntkan nilai γ dngan mnggnakan Algoritma Bistion []. Langkah. Mnntkan matriks Hamiltonian H dan J yang brssaian dngan γ. Langkah 3. Mnntkan matriks X dan Y yang mrakan solsi dari rsamaan ( γ ) X A+ A X + X BB B B X + CC = 0 T T T T dan T T T T AY + Y A + Y C C γ C C Y + B B = 0 ( ) brtrt-trt mrakan rsamaan aljabar riati yang brssaian dngan matriks Hamiltonian H dan J. Langkah 4. Mnntkan ralisasi ngontrol H ada rsamaan (7). Kslrhan dari langkah-langkah ntk mranang ngontrol H diatas dinamakan mtod H. Jika ralisasi ngontrol sdah dirolh, slanjtnya kita ari fngsi alih sistm l trtt yang dilambangkan olh T zw yang didfinisikan olh [] T zw( s ) = C ( si A C ) B + (8) dngan A+ B ˆ ˆ C BC A =, BC ˆ ˆ A B + B ˆ B =, B ˆ C ˆ ˆ = C C C +, = ˆ 4. ESAIN KONTROL VIBRASI SEMI AKTIF REAKSI FIXE POINT sain kontrol vibrasi smi aktif raksi fixd oint mmnyai bntk srti ada Gambar 3. [5]. 47

4 Gambar 3. sain kontrol vibrasi smi aktif raksi fixd oint dngan m adalah massa Plant, k adalah konstanta gas, adalah kofisin dashot, S adalah snsor grak, x adalah osisi m ata jarak antara m dan tman, F adalah gaya yang bkrja ada m, dan Co adalah ngontrol. Prsamaan rang kadaan dari sistm ada Gambar 3 yait x = Ax + B, (9) y = Cx + (0) x x dngan x = x, x = x, = F, 0 0 A = k B = m m, m C = 0,, [ ] = 0 Misalkan P adalah lant, K adalah ngontrol, n o adalah nois, adalah fngsi bobot kontrol, dan adalah fngsi bobot kinrja, maka dsain kontrol vibrasi smi aktif raksi fixd oint daat digambarkan sabagai diagram blok ada Gambar 4 []. y x K k F m z Gambar 4. iagram blok dari Plant bsrta bobot kontrol, bobot kinrja dan ngontrol Untk mngbah masalah kontrol diagram blok ada Gambar 4 mnjadi F P S S C O y n o z masalah kontrol H, maka diagram blok trsbt dibah mnjadi diagram blok ada Gambar. []. Misalkan lant P, fngsi bobot, dan fngsi bobot mmnyai ralisasi rang kadaan sbagai brikt A B A B P = C, =, dan C A B = C maka lant dirmm G daat dirrsntasikan sbagai sistm rsamaan brikt : x = Ax + Bw + B z = Cx + w + y = Cx + w + () dngan x F x = x, w = n o z z = z x A 0 0 B 0 A = B C A 0, B = 0 0, 0 0 A 0 0 B C C 0 B = 0, C =, B 0 0 C 0 0 C = C 0 0, = 0 0, 0 =, = [ 0 ], = 0 Untk mndsain ngontrol H, dibthkan nilai-nilai ntk bsaran m, k, dan. Untk mnntkan bsaran-bsaran trsbt, akan dilakkan stdi kass ada sistm rotksi Hard isk yang diasang dibbraa alat transortasi srti sawat ata kaal ntk mnyiman data. 48

5 Skma dari sistm rotksi Hard isk bsrta ngontrolnya daat dilihat ada Gambar 5 x Gambar 5. Skma sistm rotksi Hard isk dan ngontrolnya Ssifikasi dari sistm ada Gambar 5 yait massa Hard isk (m) adalah 4,59 kg, konstanta gas (k ) adalah 3500 N/m dan kofisin dashot () adalah Ns/m [8]. Int ada sistm ini adalah Gaya F dan ottnya adalah osisi Hard isk ata jarak antara Hard isk dngan tman (x). Sistm ada Gambar 5 idntik dngan sistm ada Gambar 3, shingga brdasarkan rsamaan (9) dan (0), rsamaan rang kadaan lant sistm ini adalah x = Ax + B () y = Cx + (3) dngan x x = x, x x = x, = F 0 0 A = 3500, B =, 4,59 4,59 4,59 C = 0, = 0 [ ] Misalkan fngsi bobot kontrol yang diilih yait [] = (4) s + rsamaan rang kadaan dari fngsi bobot yait x = x + (5) F Hard m isk k z = x + 0 (6) S S C Misalkan fngsi bobot kinrja yang diilih yait [] s + = (7) s + 0 Prsamaan rang kadaan dari fngsi bobot yait x = 0x + 4 y (8) z =,5x + y (9) Brdasarkan rsamaan () dirolh rsamaan rang kadaan lant dirmm dari sistm rotksi hard disk yait x Ax B w B = + + = + + z C x w y = C x + w + dngan A = 4,59 4,59, B =4,59, B =4, C = 0 0 0,5, C = [ ] 0 0 = 0 0, 0 =, = [ 0 ], = 0 (0) Stlah rsamaan rang kadaan lant dirmm didaat, slanjtnya adalah mranang ngontrol yang dirknankan dalam hal ini ngontrol H dngan mnggnakan mtod H [], dngan langkah-langkah yang dignakan srti ada bagian 3. 49

6 ngan mnggnakan rogram MATLAB, dirolh 0,00 0 0, ,003 0 X = 0,0057 0,003 0, ,53 0, , Y = 0, dan ralisasi ngontrol H ada rsamaan (7) yait sbagai brikt Aˆ Bˆ K sb( s ) = Cˆ ˆ dngan 0, ˆ ˆ 76,573 0,3965 0,000 0 A = A =, ,0099 0, ˆB = ZL = = ,000 0, Ĉ = F = 0, , , ˆ = 0 Stlah ralisasi dari ngontrol sdah dirolh, maka daat kita ari fngsi alih sistm l trtt. Brdasarkan rsamaan (0), fngsi alih sistm l trtt dari sistm ini adalah : ( ) G ( s) G ( s) Tzw s = G ( s) = G ( s) G ( s) dngan 3 0,4357 s,9 s 334,3 s 664,5 G ( s) = s + 8,783 s s s s +,34.0 s +, ,99.0 s 4,859.0 s+,888.0 G ( s) = s + 6,783 s s s + 5,887 s +, ,398.0 s 9,77.0 s+ 3,776.0 G ( s) = s ,783 s s s + 6,0.0 s +,34.0 s+, s + 6,783 s s s + 5,887.0 s+, ,09.0 s,53.0 s,779.0 s 0,0068 s 0, ( ) = G s dan rsamaan rang kadaan dari sistm l trtt adalah x (t) = A x (t) + B w(t)x x(t) z(t) = C + w(t) v(t) ata daat ditliskan sbagai A B Tzw = C dngan A = ,57, , , , ,573,3965 0, , , , B = 0 0, , C = 0 0 0, , = 0 0 Sistm l trtt ini stabil karna R λ A < dngan nilai ign dari ( i ( )) 0 matriks A yait λ = λ =, ,5879i λ =,983 7,5879i 3 λ4 =, ,5877i λ =,933 7,5877i 5 λ = 6 λ = 0 7 λ =

7 Slanjtnya, kinrja (rformansi) dari sistm l trbka dan sistm l trtt dibrikan ada Gambar 6 samai dngan Gambar 8. ari Gambar 7 daat dilihat rbandingan rformansi sistm l trbka dngan l trtt. Prformansi sistm l trtt lbih baik dibandingkan l trbka, daat dilihat dari grafiknya, dimana osilasi dari sistm l trtt mmnyai amlitdo yang lbih kil dari ada amlitdo sistm l trbka. akt yang dibthkan ntk mnaai kstabilan sistm l trtt lbih at dibanding sistm l trbka, daat dilihat dari grafik diatas dimana ada wakt skitar,5 dtik, sistm l trtt sdah brhnti brosilasi, sdangka sistm l trbka masih brosilasi. Gambar 6. Grafik Rson Frknsi Grafik rson frknsi daat dignakan ntk mngtahi rformansi sistm dilihat dari nilai magnitdo. Smakin kil nilai magnitdo, maka rformansi akan smakin baik. ari grafik ada Gambar 6, daat dilihat bahwa nilai Magnitdo sistm l trtt adalah -3,7 db ada frknsi 6,9 rad/s, lbih kil dibanding l trbka yait -49,6 db ada frknsi 7,6 rad/s. Ini mnnjkkan rformansi sistm l ttt lbih baik dibanding l trbka dilihat dari nilai Magnitdo ada grafik rson frknsi. Pada Gambar 7 brikt disajikan grafik Imls Rsons. Gambar 8. Grafik St Rsons ari grafik st rsons ada Gambar 8 daat dilihat bahwa rformansi sistm l trtt lbih baik dari ada sistm l trbka dimana osilasi dari sistm l trtt lbih kil dibandingkan dngan sistm l trbka. Prbandingan rformansi antara sistm l trbka (sblm dikontrol) dngan sistm l trtt (stlah dikontrol) daat dilihat ada Tabl dan Tabl. Gambar 7. Grafik Imls Rsons 5

8 Tabl. Prbandingan rformansi imls rsons NO PERFORMANSI LUP TERBUKA LUP TERTUTUP Pak Amlitdo 0,00736 m (0,058 dtk) 0, m (0,09 dtk) Sttling Tim 3,6 dtk,86 dtk 3 Stady Stat 5,96 dtk 3,36 dtk Tabl. Prbandingan rformansi st rsons N PERFORMANSI LUP TERBUKA LUP TERTUTUP O Pak Amlitdo 0, m (0,6 dtk) 0,00086 m (4,04 dtk) % Ovrshoot 87, % 0,06 % 3 Sttling Tim 3, dtk, dtk 4 Ris Tim 0,0384dtk 0,985 dtk 5 Stady Stat 5,96 dtk 3,36 dtk ari Tabl dan daat dibandingkan bahwa rformansi sistm l trtt lbih baik dari ada sistm l trbka. 5. PENUTUP Mtod H mrakan mtod yang fktif ntk mndsain sbah ngontrol yang dignakan ntk mrdksi vibrasi sat strktr. Pngontrol H diknakan ada Sistm Kontrol Vibrasi Smi Aktif Raksi Fixd Point, dan dilakkan stdi kass ada sistm rotksi Hard isk. Simlasi dilakkan mnggnakan rogram MATLAB dngan int fngsi tangga dan fngsi imlsa. ari hasil simlasi dirolh bahwa Pngontrol H yang didsain mam mrdksi vibrasi ada sistm dngan slisih amlitdo gtaran lbih dari sarh dari amlitdo gtaran sistm tana ngontrol. Pngontrol H ini mam mnstabilkan sistm l trtt dalam wakt 3,36 dtik, lbih baik jika dibandingkan dngan sistm l trbka yang mnaai kstabilan dalam wakt 5,96 dtik. Pngontrol H daat dialikasikan ada brbagai ti dsain kontrol vibrasi yang lain srti ti aktif dan ti hibrid. Stdi kass jga daat dilakkan ada strktr yang lain, srti sistm ssnsi kndaraan, sistm rdam gdng ata ada sistm krta. 6. AFTAR PUSTAKA [] Anton, Howard. (997), Aljabar Linir Elmntr, Alih bahasa olh Pantr Silaban, I Nyoman Ssila, Pnrbit Erlangga, Jakarta. [] Barabanov, Andry E., Ghlhak, Andry. (00), layd Tim Varying H Control sign, Saint Ptrsbrg Stat Univrsity, Rssia. (htt:// diakss trakhir ada tanggal 9 Oktobr 008). [3] Colanri, Patrizio, Groml, Jos C., Loatlli, Artro. (997), Control Thory And sign : An RH And RH Viw Point, Aadmi Prss, In, California. [4] Hadly, G. (983), Aljabar Linir, Alih bahasa olh rs. Naiosos, ra. Nonik Somartoyo, Pnrbit Erlangga, Jakarta. [5] Kilb, R.E., Gavin, H.P., illnbk, C.J. (005), Tnd Vibration Absorbrs : Analysis, Visalization, Eksrimntation, and sign, Pratt Shool Enginring k Univrsity, rham. [6] Ogata, Katshiko. (995), Modrn Control Enginring, Sond Edition, Prnti-Hall Intrnational, In., Singaor. 5

9 [7] Stio, Hrlin., Stio, Sangriyadi. (005), Kontrol Vibrasi Strktr Bangnan dngan Mnggnakan Prdam Massa Aktif. Jrnal Infrastrktr an Lingkngan Binaan Vol.. [8] Sto, iliam. (997), Gtaran Mkanis, Tori an Soal-soal, Alih bahasa olh Ir. arwin Sbayang, Pnrbit Erlangga, Jakarta. [9] Sofrony, Jorg, Trnr, Matthw C., Postlthwait, Ian, Anti-ind Synthsis Using Riati Eqations, htt:// (diakss trakhir ada tanggal Stmbr 008). [0] Th ikibook of atomati, Control Systms And Control Systms Enginring ith Classial and Modrn Thniqs And Advand Conts, htt://n.wikibooks.org/, (diakss trakhir ada tanggal 9 Oktobr 008). [] ikibooks Tam. (006), Control Systms And Control Systms Enginring ith Classial And Modrn Thniqs And Advand Conts, ikimdia Fondation In. [] Zho, Kmin, oyl, John C. (998), Essntials Of Robst Control, Prnti-Hall, In, Nw Jrsy. [3] Zho, Kmin, oyl, John C., Glovr, Kith. (996), Robst and Otimal Control, Prnti-Hall, In, Nw Jrsy. 53