Analisis Fungsi Gelombang dan Spektrum Energi Potensial Rosen Morse Menggunakan Metode Hipergeometri

Transkripsi

1

2 Jural Matematia & Sais, Agustus 0, Vol. 7 Nomor Aalisis Fugsi Gelombag da Spetrum Eergi Potesial Rose Morse Megguaa Metode Hipergeometri Abstra Suparmi ), Nurhayati,), Visa Ida Variai ), da Cari ) ) Program Studi Ilmu Fisia, Program Pascasarjaa Uiversitas Sebelas Maret Suraarta ) Program Studi Pedidia Fisia STKIP PGRI Potiaa deliurhayati@yahoo.com Diterima Maret 0 disetujui utu dipubliasia 9 Mei 0 Perilau partiel atomi dapat dipahami dega jelas bila eergi da fugi gelombag dari partiel tersebut dietahui. Spetrum eergi da fugsi gelombag utu partiel yag dipegaruhi oleh potesial Rose Morse diaalisis megguaa metode hipergeometri. Persamaa Schrödiger utu potesial Rose Morse diubah mejadi persamaa diferesial orde dua fugsi hipergeometri dega substitusi variabel da parameter secara tepat. Spetrum eergi diperoleh secara esa da fugsi gelombag diyataa dalam betu poliomial hipergeometri. Grafi potesial efetif dega spetrum eergi, fugsi gelombag tigat dasar, tigat pertama da edua serta rapat probabilitasya divisualisasia dega megguaa bahasa pemograma Delphi 7.0. Kata uci: Hipergeometri, Potesial Rose Morse, Spetrum eergi, Fugsi gelombag. Abstract Behavior of atomic particles ca be clearly uderstood if the eergy ad wave fuctios of the particle are ow. Eergy spectrum ad wave fuctios for particles govered by the Rose Morse potetial are aalyed usig hypergeometric method. Schrödiger euatio of Rose Morse potetial is reduced ito a secod order differetial euatio of hypergeometric fuctio by appropriate variable ad parameters substitutio. Eergy spectrum is exactly obtaied i the closed form ad the wave fuctios are expressed i the form of hypergeometric polyomials /series. The graphs of the effective potetial with the eergy levels, groudstate, first ad secod excited wave fuctios ad its desity probabilities are visualied usig Delphi 7.0. Keywords: Hypergeometry, Rose Morse potetial, Eergy spectrum, Wave fuctio.. Pedahulua Meaia uatum adalah suatu teori utu medesripsia perilau partiel-partiel ecil seperti eletro, proto, eutro, iti atom, atom, da moleul (Fitts, 00). Seja abad edua puluh, para ilmuwa fisia telah megembaga teori uatum. Seja itu, mucul ilmu fisia uatum yag dipelopori oleh Bohr, Heiseberg, Schrödiger da teori relativitas yag diugapa Eistei. Pada tahu 96, Edwi Schrödiger meyataa bahwa perilau eletro, termasu tigat-tigat eergi eletro yag disrit dalam atom megiuti suatu persamaa diferesial utu gelombag (Flugge, 977). Persamaa diferesial tersebut emudia dieal dega persamaa Schrödiger. Persamaa Schrödiger searag mejadi tulag puggug dalam memahami feomea uatum secara osepsioal da matematia. Dalam dua puluh tahu terahir, para ilmuwa dalam bidag meaia uatum membahas tetag peyelesaia persamaa Schrödiger utu sistem partiel yag dipegaruhi oleh potesial shape ivariat. Potesial-potesial ii dapat diselesaia secara esa dega SUSY Meaia Kuatum plus ide shape ivariace (Cooper, Khaer, da Suhatme, 994; Goudari da Vahidi, 0; Sheg d., 00) metode fatorisasi (Amai d., 0), persamaa diferesial tipe hipergeometri (Greier, 989; Tasi da Koca, 00), metode NU (Niiforov da Uvarov, 988; Iot da Apabio, 00). Persamaa Schrödiger utu potesial tertetu yag dapat diselesaia secara esa mempuyai pera yag sagat petig dalam meaia uatum area spetrum eergi da fugsi gelombag yag diperolehya memberia iformasi yag aurat tetag perilau dari partiel. Peyelesaia persamaa Schrödiger utu osilator harmoi satu dimesi (OH D) da utu atom H juga dapat dilaua dega megguaa persamaa diferesial orde dua fugsi hipergeometri da hipergeometri cofluet (Greier, 989). Metode peyelesaia persamaa Schrödiger yag baya diguaa dalam dasa warsa terahir adalah metode NU da SUSY Meaia Kuatum plus ide shape ivariace. Metode NU, diembaga oleh A. F. Niiforov da V. B. Uvarov (Niiforov da Uvarov, 988), adalah salah satu cara utu meyelesaia persamaa Schrödiger dega potesial tertetu melalui substitusi variabel da parameter sehigga persamaa Schrödiger teredusi mejadi persamaa diferesial orde dua fugsi hipergeometri (persamaa tipe hipergeometri) da dalam maalah ii disebut sebagai metode hipergeometri. Karea persamaa 7

3 7 Suparmi d, Aalisis Fugsi Gelombag da Spetrum Eergi Potesial Rose Morse Megguaa... tipe hipergeometri medasari peyelesaia persamaa Schrödiger utu beberapa cara yag lai da juga sudah diapliasia pada dua potesial yag sagat familiar dalam uatum, OH D da atom H, dalam buu-buu uatum utu mahasiswa tigat sarjaa jurusa fisia, maa perlu diaji apliasiya utu potesial shape ivariace da o-shape ivariace. Potesial-potesial shape ivariace tersebut diataraya potesial Krater (Sadeghi da Pourhassa, 008), potesial Ecart (Goudari da Vahidi, 0) potesial Poschl Teller (Flugge, 977; Iomata da Kayed, 985), potesial Poschl-Teller termodifiasi (Flugge, 977), potesial Hulthe, (Ihdair, 0) potesial Maig Rose (Meyur da Dedath, 009), potesial Rose Morse (Iot da Apabio, 00; Amai d., 0). Pada maalah ii disajia peyelesaia persamaa Schrödiger utu sistem partiel yag dipegaruhi oleh potesial Rose Morse hiperboli (RMH). Spetrum eergi da fugsi gelombag dari potesial RMH diaalisis megguaa persamaa diferesial fugsi hipergeometri. Potesial RMH ii mempuyai peraa yag petig dalam pemodela gaya-gaya atar atom atau moleul (Iot da Apabio, 00) da juga sebagai adidat yag aa diguaa utu medisripsia uar dalam uatum chromo-dyamics (Castillo, 009) disampig potesial Rose Morse trigoometri. Dega dietahuiya variabel yag disubstitusia pada persamaa Schrödiger utu potesial RMH sehigga berubah mejadi persamaa tipe hipergeometri, maa diharapa dapat memberi ispirasi utu substitusi variabel pada sistem potesial yag lai sehigga ditemua spetrum eergi da fugsi gelombagya. Peyelesaia persamaa Schrödiger utu potesial tertetu dapat ditemua dega cara megubahya mejadi persamaa diferesial tipe hipergeometri dega melalui substitusi variabel, parameter da fugsi gelombag yag lagahlagahya mirip dega lagah-lagah pada peyelesaia persamaa Schrödiger bagia radial utu atom H yag pemecahaya megguaa peyelesaia pedeata di seitar titi-titi istemewa, yag mecaup titi-titi ordiary atau regular sigular, dega megguaa persamaa diferesial Frobeius (Arfe, 005). Persamaa diferesial hipergeometri yag diusula oleh Gauβ (Greier, 989) diyataa sebagai d φ dφ ( ) ( c ( a b ) ) abφ = 0 () d d Persamaa () mempuyai dua buah titi reguler sigular yaitu di titi = 0 da =. Persamaa () dapat diselesaia dega betu deret di seitar titi = 0 yaitu, s Φ = a () Peyelesaia umum betu persamaa diferesial orde dua fugsi hipergeometri (Greier, 989) (PDO-H) pada persamaa () yag diperoleh dega cara memasua persamaa () e dalam persamaa () adalah di maa F ( a, b; c; ) = Φ( ) ab = c! a = = a( a ) b( b ) c( c )! ( a )( a ) b( b )( b ) c( c )( c ) 3! 0 ( a) ( b)! ( c) 3... (3) ( a) = a( a )( a )( a 3 )... ( a ) (4.a) ( ) 0 = (4.b) dega harga s yag di pilih sama dega ol, s = 0. Persamaa (3) mempuyai harga bila semua peyebut dari deret tersebut tida ol, maa c -, di maa = 0,,,... Jia a = - atau b = -, maa peyelesaia yag berupa deret pada persamaa(3) mejadi terputus sehigga diperoleh peyelesaia betu deret yag berhigga yaitu polyomial pagat da diperoleh tigat eergi e. Karea dari persamaa () dapat diperoleh fugsi gelombag da spetrum eergi suatu sistem yag dipegaruhi oleh potesial tertetu, maa persamaa Schrödiger utu potesial tertetu harus diubah mejadi persamaa () dega melalui substitusi variabel da/atau parameter. Dalam maalah ii eergi potesial sistem merupaa fugsi hiperboli yag merupaa fugsi posisi sudut dega satua radia yag diperoleh dari fugsi x e e espoesial sederhaa yaitu tah x = da x x e e x x e e cosh x = x merupaa variabel posisi sudut dega satua radia dega retag < x <. Dalam maalah ii haya dibahas potesial Rose Morse hiperboli (RMH) betu husus (sederhaa) di maa harga sama dega satu. Bila maa fugsi sih x merupaa fugsi sih x yag umum atau juga disebut fugsi sih x yag terdeformasi. Fugsi gelombag da spetrum eergi yag aa diaalisis dega megguaa metode Hipergeometri adalah potesial RMH dega eergi potesial diyataa sebagai V eff ( v ) h v = tah x m cosh x x (5) Persamaa Schrödiger utu potesial RMH diyataa sebagai ( v ) h d Ψ h v m dx m cosh dega 0 < v( v ). tah xψ = EΨ (6) x

4 Jural Matematia & Sais, Agustus 0, Vol. 7 Nomor 73 Persamaa (6) aa diaalisis dega metode Hipergeometri maa persamaa (6) harus diubah mejadi persamaa yag betuya sama dega persamaa () dega cara mesubstitusia variabel yag sesuai. Substitusi varabel ii terispirasi dari pegubaha variabel pada formula SUSY WKB (Iomata d., 99) da pegubaha persamaa Schrödiger utu potesial Poschl-Teller I yag diselesaia dega persamaa diferesial hipergeometri (Flugge, 977). Dega mesubstitusia variabel tah x = (7) di maa utu x =, = da x =, = e dalam persamaa (6) maa diperoleh ( ) ( ) v d d ( v ) Ψ 4 dψ d 4 ( ) Ψ = 0 (8) m dega = E h Persamaa (8) merupaa persamaa diferesial orde dua yag mempuyai dua buah titi regular sigular di titi = 0 da =. Seperti pada peyelesaia persamaa diferesial bagia radial atom hidroge (Greier, 998), maa peyelesaia pedeata persamaa (8) di seitar titi = 0 adalah a Ψ ~ (9a) da di seitar titi = adalah Ψ ~ ( ) β (9b) Dari edua peyelesaia pedeata diperoleh peyelesaia umum yag merupaa hasil ali atara peyelesaia pedeata dega suatu fugsi yag ditulisa sebagai α β ( ) f ( ) Ψ = (9) Dega memasua persamaa (9) e dalam persamaa (8) da dega melaua substitusi parameter yag juga terispirasi oleh substitusi parameter pada potesial Poschl-Teller (Flugge, 977) = 4α (0a) = 4β (0b) maa persamaa (8) berubah mejadi ' ( ) f ( ) {( α ) ( α β ) } f ( ) { v( v ) ( α β )( α β ) } f = 0 () Betu persamaa () sama dega betu persamaa () maa persamaa () mempuyai peyelesaia yag sama betuya dega persamaa (3). Dega membadiga persamaa () dega persamaa () diperoleh da a = α β v, b = α β v c = α (b) da peyelesaia persamaa () adalah ( ) ( a ) = ( b ) f ( ) F a, b ; c ; = (3) = 0 ( c )! Fugsi gelombag pada persamaa (3) ada haya bila c = α 0 da spetrum eergi utu potesial RMH diperoleh dari odisi bahwa harga, a = sehigga dari persamaa diperoleh α β v = (4) Cara lai utu megubah persamaa Schrödiger mejadi persamaa tipe hipergeometri. Persamaa (9) dimasua e persamaa (8) diperoleh ( ) α β α β ( ) { f α α β f f } ( αβ α β ) f f [( ) ( ) ] ( ) v 4 f ( v ) α 4β α β ( ) = 0 (5) 4 4( ) Setelah disederhaaa persamaa (5) mejadi ( ) f [( α ) ( α β ) ] f α β { α β v 4 4 ( ) ( α β )} f = 0 ( v ) αβ (6) Dega meola pembilag pada suu yag berpeyebut da (-) pada grup suu terahir persamaa (6) diperoleh da = 4 (7a) α = 4 (7b) β persamaa (6) mejadi ( ) f [( α ) ( α β ) ] f { v( v ) ( β )( α β ) } f = 0 α (8) yag merupaa persamaa diferesial fugsi hipergeometri. Peyelesaia dega cara ii megaraha ita bahwa persamaa Schrödiger utu sembarag potesial yag shape ivariace da o-shape ivariace selalu dapat diubah mejadi persamaa tipe hipergeometri selama fugsi gelombagya dimisala seperti pada persamaa (8).. Metode Pejabara fugsi gelombag da spetrum eergi utu potesial RMH megguaa metode hipergeometri dilaua dega beberapa lagah. Lagah pertama yaitu meetua persamaa Schrödiger utu potesial Rose Morse yag diyataa pada persamaa (6). Selajutya mecari substitusi variabel yag sesuai yaitu yag diyataa

5 74 Suparmi d, Aalisis Fugsi Gelombag da Spetrum Eergi Potesial Rose Morse Megguaa... pada persamaa (7) agar persamaa Schrödiger berubah mejadi persamaa diferesial orde dua peratara pada persamaa (8). Lagah etiga melaua substitusi parameter yag diyataa pada persamaa (0a) da (0b) da fugsi gelombag yag diperoleh dari peyelesaia pedeata di seitar titi regular sigular = 0, persamaa (9a) da =, persamaa (9b) pada persamaa (8) sehigga berubah mejadi persamaa diferesial orde dua fugsi hipergeometri persamaa (). Dega membadiga persamaa () da () da megguaa persamaa (4) diperoleh fugsi gelombag seperti pada persamaa (3) sebagai F a, b ; c, = ( ) (, ( α β );α, ) ( ) ( α β ) 0 ( α )! ( )( α β ) F = = = [ α! ( )( )( α β )( α β )...] ( α )( α )! (9) Persamaa gelombag secara legap diperoleh dega memasua persamaa (0a), (0b), (4) da (9) e dalam persamaa (9). Fugsi gelombag dasar diperoleh dari odisi bahwa = 0, sedaga fugsi gelombag teresitasi tigat pertama, edua, etiga, diperoleh dari odisi =,, 3, pada persamaa (9) da (9). Dega megguaa persamaa (8a), (0a), (0b) da (4) diperoleh spetrum eergi potesial RMH. Dega meetua ilai-ilai dari variabel da v maa spetrum eergi dari potesial Rose Morse dapat dihitug secara aaliti. Fugsi gelombag tigat dasar, tigat teresitasi da rapat probabilitasya divisualisasia dega excel atau pemrograma Delphi Hasil da Pembahasa Dega megguaa persamaa (0a), (0b) da (4) diperoleh = (0) ( v ) ( v ) Bila persamaa (0) dimasua e dalam persamaa (8a) maa diperoleh spetrum eergi sistem yaitu E h = m ( v ) ( l ) () Dega memvariasi harga, v da pada persamaa () da dega odisi v diperoleh tigat-tigat eergi dari partiel. Pada Tabel disajia tigat-tigat eergi utu = 0 da h utu v = 8 da v = 0 dega = da harga m yag bervariasi. Bila harga = v = 0, maa meurut persamaa () harga tigat eergi utu = 0 sama dega utu = 9 yaitu E = (0 ) satua, (Tabel ). Demiia juga utu v = 8, = 0, meurut persamaa () harga tigat eergi utu = sama dega utu = 6 yaitu E = -9,00 satua. Pada Tabel dapat dilihat bahwa ada beberapa harga tigat eergi yag sama utu harga yag berbeda, maa sistem uatum dari potesial RMH dalam eadaa terdegeerasi. Dari persamaa () dapat ditujua bahwa retag eergi utu harga v < v sama dega retag eergi utu 0 < v utu harga yag sama, tetapi harga tigat eergi aa semai egatif utu > v. Bila sistem potesial ii diapliasia utu medisripsia gaya atar moleul maa semai egatif eergi semai uat iataya. Dega megguaa persamaa (0a), (0b) da (6) diperoleh α = v v β = v v Deret hipergeometri diperoleh dega megguaa persamaa (9),, da yaitu (, ( β );α ) F α, (c) Persamaa fugsi gelombag utu sistem partiel yag dipegaruhi oleh potesial RMH diperoleh dari persamaa (9), (9) da () sebagai α β x) = Ψ( ) = C( ) ( ) x (, ( β );α ) Ψ( F α, (3) Fugsi gelombag tigat dasar diperoleh dari persamaa (3) utu = 0, sedaga fugsi gelombag teresitasi tigat pertama, edua, diperoleh dari persamaa (3) dega =, =,. Dari persamaa (7) da (3) diperoleh fugsi gelombag tigat dasar sebagai utu = v v sechx cosh x sih x Ψ ( x) = (4) 0 v F,(v); v, = (5) v v v da utu = F,, l ( v ); v ( v ) v( v ) (6) = v v v v v v

6 Jural Matematia & Sais, Agustus 0, Vol. 7 Nomor 75 Fugsi gelombag teresitasi tigat pertama (=) da tigat e dua (=) utu v=0, =0 yag diperoleh dari persamaa (3), (4) da (5) adalah 9, sec hx cosh x sih x 0( tah x) Ψ ( x) = (7) 8 sec hx cosh x sih x Ψ( x ) = 9,5 ( tah x) 95( tah x) ( )( ) 0,5 0,5,5, Tabel. Tigat eergi potesial Rose Morse N v = 0, = 0 v = 8, =0 E E 0-0,00-65,56-8,3-5,04-65,56-38,78 3-5,04-9, ,78 -,5 5-9,00-0, 6 -,5-9,00 7-0, -0,00 8-9,00 9-0,00 (8) Pada Tabel dapat dilihat bahwa harga eergi terbesar utu yag sama da v yag berbeda adalah sama besar yaitu -0, tetapi pada tigat eergi () yag berbeda. Gambar. Grafi fugsi gelombag tigat dasar Rose Morse dega v = 0, = 0, = 0 da v = 8, = 0, = 0. Gambar meujua grafi fugsi gelombag tigat dasar ta terormalisasi sebagai fugsi sudut ( dalam radia) utu v = 0, = 0 da v = 8, = 0 yag divisualisasia dega excel. Gambar tersebut juga dapat direprodusi dega pemrograma Delphi 7.0 dari persamaa (4). Fugsi gelombag tigat dasar diperoleh utu = 0 seperti ditujua pada persamaa (4). Gambar. Grafi probabilitas Rose Morse dega v = 0, = 0, = da v = 8, = 4, =. Gambar meujua visualisasi rapat ebolehjadia utu eadaa tigat dasar dega v = 0, = 0 da v = 8, = 0. Puca grafi meujua peluag terbesar utu ditemua partiel dalam odisi eadaa dasar. Rapat probabilitas partiel dalam eadaa tigat dasar yag diperoleh dari persamaa (0) adalah ( v) ( v) sechx cosh x sih x Ψ 0 = (5) Grafi dari deret hipergeometri utu = da = utu v = = 0 yag diyataa pada persamaa () da () ditujua pada Gambar 3 da Gambar 3, sedaga grafi fugsi gelombag teresitasi pertama da edua serta rapat probabilitasya utu v = = 0 dicatuma pada Gambar 5 da Gambar 6. Pada fugsi gelombag yag orthogoal berlau * Ψm ( x) Ψ ( x) dx * d = Ψm( = 0 ) Ψ ( ) δ (6) m ( )

7 76 Suparmi d, Aalisis Fugsi Gelombag da Spetrum Eergi Potesial Rose Morse Megguaa... d di maa dx =. ( ) Persamaa (9) dapat ditulisa sebagai α ( ) β Ψ( ) = C ( ) ( ) ( α β ) ( α ) 0! = (7) Dari persamaa (6) da (7) diperoleh odisi ormalisasi fugsi gelombag sebagai * Ψ ( x) Ψ ( x) dx = ( C ) ( ) ( ) ( ) ( ) α β j α β ( α ) ( α ) j = 0 = 0 β ( ) d = α j ( ) 0 m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) α β j α β C j= 0 = 0 ( α ) ( α ) j B α j,β = (8) ( ) di maa B( α j,β ) = dega adalah fugsi Beta ( α j) Γ( β ) ( α j β ) Γ B ( α j,β ) = (9) Γ Dari persamaa (8) da (9) dapat diperoleh fator ormalisasi C. Pada Gambar 3 ditujua grafi deret hipergeometri utu = da = yag merupaa grafi dari persamaa (c) j j Gambar 4. Grafi fugsi gelombag Rose Morse dega v = 8 da = 0, = (persamaa 7) da = (persamaa 8). Pada Gambar 5 ditujua grafi rapat probabilitas utu potesial Rose Morse dega v = 8, = 0 = da =. Gambar 3. Grafi deret hipergeometri utu v = 0, = 0, = da =. Pada Gambar 4 ditujua grafi fugsi gelombag teresitasi esatu da edua utu v = 8 da = 0 da rapat probabilitasya ditujua pada Gambar 5. Gambar 5. Grafi rapat probabilitas utu potesial Rose Morse dega v = 0, = 0, = da =. 4. Kesimpula Fugsi gelombag da spetrum eergi utu sistem yag dipegaruhi oleh potesial Rose Morse hiperboli dapat diaalisis dega meyelesaia

8 Jural Matematia & Sais, Agustus 0, Vol. 7 Nomor 77 persamaa Schrödiger megguaa metode hipergeometri. Potesial efetif RMH beserta spetrum eergiya, fugsi gelombag tigat dasar, teresitasi pertama da edua da rapat probabilitasya utu sistem yag dipegaruhi oleh potesial Rose Morse divisualisasia dega tepat da mudah megguaa excel atau program Delphi 7.0. Ucapa Terima Kasih Maalah ii dibiayai oleh Hibah Pasca Sarjaa 0 dega omor otra 345/UN7.6/ PN/0. Daftar Pustaa Amai, A. R., M. A. Moghrimoae, H. Ghorbapour, ad S. Baregara, 0, The Ladder Operator of Rose Morse Potetial with Cetrifugal Term by Factoriatio Method, Afri. J. Math. Phys., 0, Arfe, G. B., 005, Mathematical Methods For Physics, 6 th, Elsevier Academic Press, USA. Castillo, D. E. A., 009, Exactly Solvable Potetials ad Romaovsi Polyomials i Quatum Mechaics, arxiv: v (mathph). Cooper, F., A. Khare, ad U. Suhatme, 994, Supersymmetry ad Quatum Mechaics, arxiv. hep-th/940509v, -54. Fitts, D. D., 00, Priciples of Quatum Mechaics, Cambridge Uiversity Press, ISBN: Virtual. Flugge, S., 977, Practical Quatum Mechaics I, Spiger-Verlaag, New Yor. Goudari, H. ad V. Vahidi, 0, Supersymmetric Approach for Ecart Potetial Usig the NU Method, Adv. Studies Theor. Phys., 5, 0, Greier, 989, Quatum Mechaics, A Itroductio, Physics Departemet, Frafurt Uiversity. Ihdair, S. M., 0, Quatiatio Rule Solutio to the Hulthe Potetial i Arbitrary Dimesio by a New Approximate Scheme for the Cetrifugal Term, arxiv v [uat-ph], -5. Iot, A. N. ad L. E. Apabio, 00, Approximate Solutio of the Schrödiger Euatio with Rose Morse Potetial Icludig the Cetrifugal Term, Appl. Phys. Res., :, Iomata, A., ad M. A. Kayed, 985, Path-Itegral Quatiatio of The Symmetric Poschl- Teller Potetial, Phys. Lett., 08A,, 9-3. Iomata A., A. Suparmi, ad S. Kurth, 99, Proceedig of 8 th Iteratioal Colloium o Group Theoretical Methods i Physics, eds. V. V. Dodoov ad V. I. Ma o, (Spriger, Berli), 399. Meyur, S. ad D. Dedath, 009, Solutio of Schrödiger euatio with Hulthe plus Maig Rose potetial, Lat. Am. J. Phys. Educ., 3,, Meyur, S. ad D. Dedath, 00, Eige Spectra for Woods Saxo plus Rose Morse, Lat. Am. J. Phys. Educ., 4, 3, Niiforov, A. F. ad U. B. Uvarov, 988, Special Fuctio i Mathematical Physics, Birhausa, Basel. Sadeghi, J. ad B. Pourhassa, 008, Exact Solutio of The No-Cetral Potetial Modified Krater Potetial, EJTP 5, 7, Sheg, J. C., Z. Yig, Z. X. Li, ad S. L. Tia, 00, Idetity for the Expoetial-Type Molecule Potetials ad the Supersymmetry Shape Ivariace, Comm. Theor. Phys.(Chia), 36, Tasi, F. ad G. Koca, 00, Approximate Solutio of Schrödiger Euatio for Ecart potetial with Cetrifugal Term, Chi. Phys. B, 9:9, -6.