BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

Transkripsi

1 BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi serig dijumpai masalah miimisasi dega pembatas persamaa yag secara umum ditulis dalam betuk: Miimumka Terhadap pembatas f(x) h(x) = 0..(1.1) m x R, f : R R, h : R R, m < dimaa f(x) adalah fugsi tujua da h(x) adalah fugsi pembatas. Pada masalah ii dapat diasumsika bahwa fugsi f da h adalah fugsi yag mempuyai turua kedua yag kotiu. Salah satu metode yag dapat diguaka utuk meyelesaika masalah optimisasi berpembatas persamaa adalah metode pegali agrage. Prisip metode pegali agrage adalah megubah masalah optimisasi berpembatas persamaa mejadi masalah optimisasi tapa pembatas dega megguaka fugsi agrage, yaitu: ( x λ ) = f ( x) + λh( x) T Dimaa λ ( λ λ,..., λ ), (1.2) = da vektor riil tak ol λ disebut pegali agrage. 1, 2 m Solusi optimum dari masalah (1.1) ditetuka dega mecari titik optimum dari fugsi ( x,λ) tersebut., yaitu dega meetuka titik ekstrim da meguji titik ekstrim

2 Dalam teori optimisasi klasik (ueberger,1984) telah dikemukaka bahwa: 1. Syarat perlu Misalka x adalah titik ekstrim dari f(x) terhadap h(x)=0. Syarat perlu agar miimum lokal adalah: y T ( x ) y 0, y 2 2 dimaa : ( x ) = f ( x ) + λ T h( x ) M = { y : h( x ) y = 0} ( x ) =...(1.3) matriks dari turua parsial kedua f da h terhadap x M = bidag siggug 2. Syarat cukup Misalka x adalah titik ekstrim dari f(x) terhadap h(x)=0. Syarat cukup agar miimum lokal adalah: y T ( x ) y > 0, y (1.4) Berdasarka syarat cukup da syarat perlu tersebut di atas, peulis tertarik utuk megkaji yarat cukupda syarat perlu orde dua yag ekivale dega syarat (1.3) da (1.4). Atas dasar itulah peelitia ii diberi judul: Studi Tetag Syarat Perlu da Syarat Cukup Dalam Optimisasi Berpembatas Persamaa. 1.2 Rumusa Masalah Berdasarka uraia dari latar belakag tersebut, maka yag mejadi rumusa masalah dari peelitia ii adalah bagaimaa syarat orde dua ekivale dega syarat y T ( x ) y 0, y da y T ( x ) y > 0, y.

3 1.3 Tujua Peelitia Berdasarka masalah yag telah dirumuska di atas, maka tujua dari peelitia ii adalah utuk meujukka syarat perlu da syatrat cukup yag ekivale dega syarat y T ( x ) y 0, y da y T ( x ) y > 0, y masalah optimisasi berpembatas persamaa. dalam meyelesaika 1.4 Mafaat Peelitia Mafaat dari peelitia ii adalah memperoleh gambara megeai ide dasar da lagkah-lagkah teoritis dalam optimisasi berpembatas persamaa dega syarat perlu da syarat cukup. 1.5 Tijaua Pustaka Titik ekstrim dari suatu fugsi adalah titik maksimum atau titik miimum peraa petig dalam optimisasi. Misalka f adalah fugsi riil dega domai D R. a. Fugsi f dikataka mempuyai ilai maksimum lokal, jika ada selag buka (, x x1 2 ) yag memuat x sehigga memeuhi f ( x) f ( x ), x pada selag buka tersebut. b. Fugsi f dikataka mempuyai ilai maksimum global pada titik x jika f ( x) f ( x ), x D. c. Fugsi f dikataka mempuyai ilai miimum lokal, jika ada selag buka ( x1, x 2 ) yag memuat x sehigga memeuhi f ( x) f ( x ), x pada selag buka tersebut. d. Fugsi f dikataka mempuyai ilai miimum global pada titik f ( x) f ( x ), x D. x jika

4 Selajutya, misalka f terdiferesial di x D R. Jika turua parsial dari f kotiu di x maka f disebut diferesial secara kotiu di x, da jika turua parsial kedua dari f kotiu maka x maka f disebut mempuyai turua parsial kedua yag kotiu di x. Gradie dari f pada x diotasika dega f (x) da didefeisika dega: f x f x f x f x = δ ( ) δ ( ) δ ( ( ),,..., ) δx1 δx2 δx da matriks Hessia (H) dari f pada x adalah matriks yag diperoleh dari turua 2 parsial kedua yag diotasika dega f ( x). Pada masalah optimisasi berpembatas persamaa diasumsika bahwa m da fugsi-fugsi f da h I, (i=1,2,,m) adalah kotiu da mempuyai turua parsial kedua yag kotiu. Dega megambil h = (h 1,h 2,,h m ) maka masalah optimisasi yag terdapat pada persamaa (2.3) tersebut dapat ditulis mejadi: Miimumka f ( x) Dega pembatas: ( x) h = 0 x D R Suatu titik fisibel. x D yag memeuhi seluruh pembatas fugsi f ( x) disebut titik 1.5 Metoda Peelitia Metoda peelitia yag diguaka adalah peelitia literature atau studi kepustakaa, yaitu: Pertama, memperkealka beberapa pegertia dasar tetag masalah optimisasi berpembatas persamaa.

5 Kedua, megkaji teorema megeai syarat perlu da syarat cukup yag ekivale dega syarat yag sudah diketahui sebelumya da pembuktiaya. Ketiga, membuat suatu cotoh kasus dega megguaka syarat perlu da syarat cukup.