Pertemuan 13 GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL

Transkripsi

1 Pertemuan GAIS SINGGUNG DAN GAIS NOMAL Persamaan Garis Singgung melalui titik (, ) - m ( - ) Persamaan Garis Normal melalui titik (, ) - ( - ) m Panjang Subtangens Y m

2 Panjang subnormal m Y Pemakaian Diferensial di bidang Mekanika ATI DEIVATIF SECAA GEOMETI DAN EKSTEM FUNGSI. Arti Derivatif Secara Geometri. Garis singgung Q g α f() β P Gb.4. Kita perhatikan hal-hal berikut pada Gb. 4. P(, ) di kurva f() Q( +, + ) P tetap/diam akibatna : 0 Q bergerak ke P 0 β T tg β tg β α

3 karena QPT β maka tg β Pada saat Q berimpit dengan P garis g menjadi garis singgung kurva di P, maka tg β 0 tidak tertentu. Padahal tg α itu ada dan tertentu, karena merupakan tg α gradien garis singgung di P, harga itulah merupakan pengertian sebagai berikut : limit 0. Maka dapat kita ambil karena Q P ( + ) f( + ) f() maka tg α d tg α d limit tg β 0 limit 0 f( + ) f() limit 0 f( + ) limit 0 f() Bentuk tersebut sesuai dengan definisi derivatif fungsi secara kalkulus, ang berarti turunan pertama suatu fungsi merupakan gradien garis singgung di setiap titik dari kurva tersebut (dalam selang kontinu). Contoh.. Tentukan gradien garis singgung grafik di titik ang absisna dan persamaan garis singgung tersebut. Jawab. 5, m 5 m - gradien garis singgung Jadi persamaan garis singgung : 0 -( ) - +. Tentukan persamaan garis singgung kurva + 5, di titik ang absisna dan ordinatna positif. Jawab ±4 ang memenuhi ketentuan 4

4 m - 4 m - 4 Jadi persamaan garis singgung kurva : 4-4 ( ) atau Tentukan persamaan garis singgung kurva di titik (0,- ). Jawab ' m Jadi persamaan garis singgung : + (-0) atau 4t 4. Tentukan garis singgung kurva :, di t t Jawab. t 5 dan 4 d t t m t d 4 t m Jadi persamaan garis singgung : 4. Garis Normal I P g f() A g garis singgung di P l g di P B Gb.4. C

5 l disebut garis normal di P Bila g dan l memotong sumbu X di A dan C, sedang B proeksi P pada sumbu X, maka : AP panjang garis singgung di P atau panjang tangen di P AB panjang sub tagen di P PC panjang normaldi P BC panjang sub normal di P Contoh.. Titik P dengan absis terletak di kurva Tentukan : a). persamaan garis singgung di P b). persamaan garis normal di P c). panjang tangen dan sub tagen di P d). panjang normal dan subnormal di P Jawab. a) P(, ) d d 5, m tgα 5 m garis singgung di P : m( ) b). garis normal di P : ( ) m ( ) + 4 c). g P (,) Gb.4. A B C

6 misalkan grafik seperti di atas g : potong A (, 0 ) l : + 4 potong C ( 4, 0 ) maka panjang tangen AP ( ) + ( 0) panjang sub tangen AB B _ A d). Selanjutna : panjang normal PC ( ) + ( 0) panjang sub normal C - B. Tentukan persamaan garis singgung kurva ang bergradien m - d Jawab d 4 - P (4,-) Jadi garis singgung tersebut + -( 4) + 0. Tentukan persamaan normal kurva 4 ang gradienna d d Jawab ini gradien garis singgung, karena garis d d normal garis singgung, maka gradien garis singgung P(4,-4) Jadi garis normal : + 4 ( 4 ) Y

7 4. Tentukan persamaan garis singgung kurva (+) ang sejajar garis - Jawab. - m ( + ) '. ( + ) P (0,) Jadi garis singgung : Tentukan persamaan garis singgung kurva ang melalui A(0, -). 8 Jawab. Perhatikan istilahna garis singgung melalui A, berarti A tidak pada kurva; tetapi kalau garis singgung pada /di A titik A pada kurva. ' m Misal g: + m ( 0) m- garis singgung melalui A sedang P pada g dan pada kurva A(0,-) P Maka g 8 m dan m Jadi g: Catatan : Bila secara analisis telah dimengerti, maka indeks pada dan tidak perlu ditulis, seperti contoh berikut.

8 6. P(-,0) dan kurva : 4, Tentukan persamaan garis melalui P meninggung kurva. Jawab. 4 ' 4. m m Garis malalui P m( + ) m( + ) m m 4 m 4 8 4m 4 m m m Jadi garis singgung ada g : + m g : Catatan: ada garis singgung bila titik di pihak luar kurva ada garis singgung bila titik pada kurva ada 0 garis singgung bila titik di pihak dalam kurva.

9 . Ekstrem Fungsi. Pengertian Kita anggap turunan pertama, kedua, dan ketiga suatu fungsi masih merupakan fungsi juga. F(), ' ' F () f(), '' '' ' F () f () g(), ''' ''' F () f f () g () h () '' ' () g () h() Kaitan istilah : fungsi grafik/kurva ekstrem puncak maksimum tertinggi minimum terendah harga nol titik potong dll dll dengan sumbu X Kita bicarakan fungsi f() dengan gambarna. Yang akan kita bicarakan hana titik titik puncak (stasioner), belok datar dan belok miring (disebut titik belok karena arah berubah grafik fungsi turunan pertama mencapai ekstrem, aitu : Q,B,C ). P Q B A C F () C f () Q B g () h () gb

10 A P naik, 0 T C Q > P-B-T turun, < 0 P Titik tertinggi relatif T Titik terendah relatif Q Titikbelok mendatar B,C Titik belok miring Pada P, T, Q, dan pada pada pada P T Q '' '' '' ''' < 0 > 0 0 Pada B dan C '' ''' 0 P T Q diperoleh dari, dan B diperoleh dari '' C (a) grafik fungsi ang dicari ekstrem dan titik belokna (b) grafik fungsi turunan pertama (c) grafik fungsi turunan kedua (d) grafik fungsi turunan ketiga Ciri-ciri titik-titik tersebut (lihat gambar) sebagai berikut : P titik tertinggi/maksimum,, T titik terendah/minimum,, Q titik belok datar,, ' ', ' ' <0 ' ' >0 ' ' ' >0 B titik belok miring ke kiri, < 0, ' ', ' ' ' > 0 C titik belok miring ke kanan, < 0, ' ', ' ' ' < 0

11 Sebenarna masih ada lagi titi-titik khusus aitu : D ' + titik tertinggi / maksimum E ' - titik terendah / minimum ' tak tentu titik terasing Tetapi titik D, E, dan F di sini tidak di bicarakan. F() Dari uraian dapatdi simpulkan : Sarat perlu ekstrem / belok datar ' Sarat cukup:maksimum bila ' ' < 0 min imum bila ' ' > 0 belok datar bila ' ' ''' 0 '' Sarat perlu b elok miring F(X) miring kiri ' < 0 Sarat cukup: miring kanan ' > 0 ''' 0. Aplikasi Ekstrem Fungsi Yang baru saja kita bicarakan adalah tentang ekstrem fungsi, kita kenakan pada grafik fungsi tersebut angdi gambarkan sebagai ordinat puncak dan titik belok. Pengertian ekstrem fungsi banak di gunakan dalam bidang fisika, kimia, biologi, ekonomi, kerekaasaan dan sebagaina. Biasana masalah-masalah/persoalan ang bersifat kuantitatif ang dapat di fungsikan, dengan demikian dapat di cari ekstremna. Dala hal ini arti ekstrem aplikasina dapat berarti terbanak- tersedikit, terjauh- terdekat, terbesar-terkecil, dan sebagaina. Berikut ini bebrapa contoh kegunaan pengertian ekstem. Contoh.

12 . Petruk dan bagong membagi uang p 000,-. Bila bagian petruk dan bagong dikalikan mencapai ekstem. Berapakah bagian masing-masing? Dan berapakah ekstrem tersebut? Ekstrem maksimum atau ekstrem minimum? Jawab. Masalah tersebut kita matematikkan demikian : misalna uang petruk p dan uang bagong b, maka p + b 00 kalau p. b z berarti z (000-b).b -b +000b. z sebagai fungsi dari b. dz z mencapai ekstrem bila b db b 500 p 500 d z < 0 db Jadi uang masing-masing adalah p. 500,- Ekstrem dasil kali uang mereka adalah p ,- Dan jenis ekstrem adalah maksimum karena z ' ' - < 0 Catatan : Dengan sendirina bila pengertian fungsi dan ekstrem fungsi sudah di pahami benar-benar, maka untuk menelesaikan persoalan tersebut tidak sepanjang itu.. Kawat sepanjang seratus meter di potong menjadi dua, ang satu di bentuk lingkaran dan ang lain di bentuk bujur sangkar. Tentukan panjang masing-masing agar jumlah luas daerah lingkaran dan bujur sangkar tersebut maksimum (π ). 7 Jawab. A C B - Potongan kawat AC di bentuk (a) Gb. 4.5 (b) lingkaran Gb. 4.5 (a) - Potongan kawat CB dibentuk bujur sangkar Gb. 4.5 (b)

13 P L P π π + P L L π L 5 L π + L π + 5 π + 5 π. π π dl d P L 4 π π 7 4 π Jadi panjang masing-masing P π 44 m dan P 4 56 m. Sebuah container, volumena 7 m, panjang. lebar. Tentukan ukuran container tersebut agar bahan ang digunakan sehemat-hematna. Jawab. misal container seperti Gb. 4.6 GB. 4.6 V 7 6 Bahan sehemat-hematna kita artikan luas minimum. L L 6 8 L L 4 7 ; 4 Jadi ukuran container te rsebut panjang 6 meter lebar meter tinggi 4 meter + 6

14 4. Sebuah kaleng susu berbentuk silinder, luas silinder 94 cm. Tentukan ukuran silinder, agar isi silinder tersebut sebanak-banakna Jawab : misalna silinder seperti Gb. 4.7 Luas π + πt 94 π. 7 t t 46 π π 46 π V π t π. π V 46 π Gb. 4.7 V 46 π π 46 49π t t 4 7π Jadi ukuran silinder tersebut 7 cm dan tinggi 4 cm Tentukan koordinat puncak grafik dengan persamaan ( )(4 ) ( + )( ) Jawab : ' ( ) Pembilang bila disederhanakan P 5 +, Q 5, + Bila ditanakan tertinggi / terendah, ditinjau : na. 6. Tentukan maksimum / minimum f () 6

15 ( 6) ( ) ( ). Jawab : f '() ( 6) 4 f ' () ( 6) f ' ' () f ' ' (5) < 0 > , bila f () dicari f () f (), f (5) 4 f ' ' ( ) 4 maksimum min imum 4, 5 A M Gb D C Pada daerah setengah lingkungan dengan jarijari dibuat empat segi panjang, seperti Gb.4.8. B Tentukan luas maksimum daerah empat segi panjang tersebut. Jawab : misal sisi-sisi empst segi panjang tersebut dan Maka + Luas..

16 dl +. ( ).( ) d Jadi L ABCD maksimum.. L ABCD maksimum Dapat dibaangkan bahwa luas mencapai maksimum bila atau panjang kali lebar. C 8. Pada lingkaran berjari-jari ` dibuat segitiga singgung N Q ABC sama kaki (ACBC) seperti Gb Tentukan luas minimum segitiga tersebut. A Gb. 4.9 B Jawab. misal AB dan CP t, maka CN t- CQN CPB

17 CQ t t t t t (t t) t L ABC.t ( ).6. L ( ) (t ).. Jadi L t L. ABC Dapat juga sudut segitiga diambil sebagai variabel. 9. D b Q C Lingkaran berjari-jari, dibuat trapesium singgung sama kaki seperti Gb A α α Tentukan luas minimum daerah trapesium N tersebut. Jawab : diambil variabel-variabel seperti pada a P B gambar, berarti : Gb. 4.0 a dan b tgα tg α L L L trapesium. (a + b) (a + b) trapesium + tg α tg tg + α tg α α trapesium cos α sin α 4 + sin cos α α sin α cos α α 45 o L 4. cos α sin α Jadi L minimum 4 bujur sangkar). (trapesium berupa

18 0. Segitiga ABC, sisi c sama dengan jari-jari lingkaran luarna (). Tentukan luas maksimum ABC tersebut. Jawab. c sin γ sin γ sin γ γ o, α + β 50 o Luas ABC sin α.sinβ.sin γ (rumus) Luas ABC sin α.sinβ. Luas ABC sin α.sinβ Luas ABC sin α.sin (50 0 α) dl sin α.cos(50 0 α).( ) + cosα.sin (50 0 α) dα sin α.cos(50 0 α) cosα.sin (50 0 α) sin ( α 50 o + α) α 50 o α 75 0 Jadi L ABC maksimum sin 75 o.sin 75 o sin 75 o L ( cos50 o ) ( + 4 L ( + ) 4 segitiga sama kaki (AC BC) )