SYARAT DIRICHLET. 1, 1 < t < 0

Transkripsi

1 SYARAT DIRICHET Misalkan f t adalah fungsi yang licin bagian demi bagian, berperioda, maka deret fourier konvergen. Ke nilai f t untuk setiap titik di mana fungsi f kontinu.. Ke nilai f t + + f t bagi tiap titik t dimana fungsi f diskontinu. Catatan: f t + + f t menyatakan nilai rata-rata dari limit kiri dan limit kanan fungsi f di titik t. Jika f kontinu di t. Jelas dipenuhi pula f t = f t + + f t (licin). f t =, < t <, < t < Fungsi tersebut adalah fungsi periodik dengan perioda. Tentukan konvergen ke nilai berapa deret Fourier tersebut di titik-titik kekontinuan =, 3, 5 dan di titik-titik ke tak kontinuan =,,3 Jawab: Menurut syarat dirichlet maka dititik kekontinuan = konvergen ke = 3 konvergen ke = 5 konvergen ke Menurut syarat dirichlet maka dititik ketak kontinuan = konvergen ke + = = konvergen ke + = = 3 konvergen ke + = FUNGSI GENAP DAN GANJI Fungsi f dikatakan fungsi genap jika f = f untuk setiap D f, dan katakan fungsi ganjil jika f = f untuk setiap D f. Berdasarkan pengertian ini, grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y dan grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik,.. Fungsi f = adalah fungsi genap karena f = = = f untuk setiap D f = R

2 . Fungsi f = 3 + adalah fungsi ganjil karena f = 3 + = 3 + = f untuk setiap D f = R Jika f adalah fungsi genap, maka f d = f d. Jika f fungsi ganjil maka f d =. Maka koefisien-koefisien untuk deret fourier untuk fungsi yang merupakan fungsi genap menjadi: a = f d a n = Maka deret Fourier untuk fungsi genpa menjadi: f b n = d f = a + a n n= Sedangkan untuk fungsi ganjil, koefisen-koefisien deret Fourier: b n = a = a n = f d Maka deret fourier untuk fungsi ganjil menjadi: Diketahui fungsi: f = n= b n f =, < < Periodik dengan perioda, sehingga f + = f. Nyatakan fungsi tersebut dalam deret Fourier. Jawab: Fungsi f = adalah suatu fungsi genap T =, sehingga = T =, akan teruraikan dalam deret cous. b n =

3 a = d = = = 6 a n = d Untuk menyelesaikan integral di atas harus digunakan integral parsial Misal u = du = d dan dv = d v = = 4 d = 4 d Untuk d Misal u = du = d dan dv = d v = Maka = 4 + d = 4 + = = 4 4 = n Maka deret Fourier dari fungsi f : f = + n n= DERET FOURIER SINUS DAN KOSINUS SEPARUH JANGKAUAN Dalam kehidupan nyata sering kali fungsi f hanya terdefinisi dalam suatu selang positif, < <. Oleh karena itu, seringkali perlu untuk memperluasnya ke seluruh sumbu, baik arah sumbu positif maupun ke arah sumbu negatif. Dalam hal ini ada tiga pilihan yang dapat dilakukan sehingga berikut:

4 . Fungsi f diperluas menjadi fungsi periodik tidak ganjil-tidak genap dengan periodik T = ; dan selang dasar < <. Selang dasar < < diperluas ke selang negatif secara simetris terhadap sumbu = menjadi < < dan fungsi f diperluas menjadi fungsi periodik dengan perioda T = dalam hal ini punya dua pilihan diperluas ke fungsi genap atau ganjil. Diketahui sebuah fungsi yang terdefinisi pada sehingga daerah: f = f =, < <, < < Nyatakan dalam fungsi ini dalam: a. Deret Fourier fungsi cous b. Deret Fourier fungsi us c. Deret Fourier fungsi cous-us Jawab:. Gambar fungsi f jika diperluas kedalam fungsi cous (genap): Karena fungsi tersebut diperluas dalam bentuk fungsi genap dengan periode T = 4 maka diperoleh =, koefisien-koefisien untuk deret Fouriernya: b n = a n = a = f d f d = d + d = = = = d + d = d d Untuk d akan digunakan integral parsial Misal u = du = d dan dv = d = d v = d = +

5 Maka integral diatas menjadi a n = d = = 4 Maka deret fourier fungsi di atas adalah 4 = 4 = 4 f = 4 4 n=. Gambar fungsi f jika diperluas kedalam fungsi us (ganjil): Karena fungsi tersebut diperluas dalam bentuk fungsi ganjil dengan periode T = 4 maka diperoleh =, koefisien-koefisien untuk deret Fouriernya: a = dan a n = b n = f d = d + d = d d Untuk d akan digunakan integral parsial Misal u = du = d dan dv = d = d v = + d = + = = + 4 Maka integral diatas menjadi a n = d + 4 = + 4 = = 4

6 Maka deret fourier fungsi di atas adalah f = n= 4 3. Gambar fungsi f jika diperluas kedalam fungsi cous-us (bukan ganjil-genap): - - Karena fungsi tersebut diperluas dalam bentuk fungsi bukan ganjil-genap dengan periode T = maka diperoleh =, koefisien-koefisien untuk deret Fouriernya: a = f d = d + d = = = a n = f d Dengan melihat jawaban nomor kita peroleh = d + d = d d a n = + = = n =, jika n genap n π, jika n ganjil = b n = f d Dengan melihat nomor kita peroleh b n = + Maka deret fourier fungsi di atas adalah = d + d = d d = + + = f = 4 + n π n= +