Lampiran : Kekonvergenan Barisan Alternating Projection pada Himpunan yang tak Semuanya Konveks

Transkripsi

1 DAFTAR PUSTAKA [] Apkara, P., P. Gahet, G Becker. (995), Self-scheduled H Cotrol of Lear Paraeter-varyg Systes : a Desg Eeple, Autoatca, 3, [2] Bajerdpogcha, D., (997), Paraetrc Robust Cotroller Sythess Usg Lear Matr Iequaltes, Ph.D Dssertato, Staford Uversty. [3] Boyd, S., L. El-Ghaou, (994), Lear Matr Iequaltes Systes ad Cotrol Theory, SIAM Phladelpha. [4] Boyd, S., J. Dattorro., (23), Alteratg Projectos, Staford Uversty, Autu. [5] Cobettes, P.L., H.J. Trussell., (99), Method of Successve Projectos for Fdg a Coo Pot of Sets Metrc Spaces, Joural of Optzato Theory ad Applcatos, 67, [6] Gahet, P., (994), A Lear Matr Iequalty Approach to H Cotrol, Iteratoal Juoral of Robust ad Nolear Cotrol, 4, [7] Gahet, P., A. Nerovsk., A.J. Laub., M. Chlal., (995), LMI Cotrol Toolbo, The MathWork Ic. [8] Goddard, P.J., (995), Perforace-Preservg Cotroller Approato, Ph.D Dssertato, Trty College Cabrdge. [9] Grgorads, K.M., R.E Skelto. (995), Low-order Cotrol Desg for LMI Probles Usg Alteratg Projecto Methods, Autoatca, 32, [] Grgorads, K.M., (995), Optal H Model Reducto va Lear Matr Iequaltes : Cotous ad Dscrete-te Cases, Systes ad Cotrol Letters, 26, [] Gub., L.G, B.T. Polyak., E.V. Rak., (966), The Method of Projectos for Fdg The Coo Pot of Cove Sets, Moscow. [2] Packard, A., (994), Ga Schedulg va Lear Fractoal Trasforatos, Systes ad Cotrol Letters, 22, [3] Sachez-Pea, R.S., M Szaer, (998), Robust Systes Theory ad Applcato, Joh Wley&Sos, Ic. [4] Skelto, R.E., T. Iwasak, K.M. Grgorads., (998), A Ufed Algebrac Approach to Lear Cotrol Desg, Taylor ad Fracs. [5] Wdowat, (25), Reduks Orde Model da Pegedal utuk Syste Lear dega Paraeter Berubah-Ubah, Dsertas S3, Isttut Tekolog Badug. [6] Wu, F. (995), Cotrol of Lear Paraeter Varyg Systes, Ph.D. Dssertato, Departet of Mechacal Egeerg, Uversty of Calfora at Berkeley, CA. [7] Wu, F. (996), Iduced L 2 -or Model Reducto of Polytopc Ucerta Lear Systes, Autoatca, 32, [8] Wu, F. (997), Iduced L 2 -Nor Cotrol for LPV Systes wth Bouded Paraeter Varato Rates, Iteratoal Joural of Nolear ad Robust Cotrol. [9] Zaae, A.C., (953), Lear Aalyss, North-Hollad Publshg Co. [2] Zhou, K., J.C. Doyle. (998), Essetals of Robust Cotrol, Pretce Hall Iteratoal. [2] Zhou, K., P. Khargoekar. (988), A Algebrac Rccat Equato Approach to H Optzato, Systes ad Cotrol Letters,, 85-9.

2 Lapra : Kekovergea Barsa Alteratg Projecto pada Hpua yag tak Seuaya Koveks. Proyeks da Beberapa Sfat Hpua Dberka ruag Hlbert ( H, ), H tak kosog. Proyeks dar ttk H ke hpua dberka oleh P ( ) = f { y y }. Defs. a. Hpua dkataka proal jka setap ttk d H epuya palg sedkt satu proyeks pada. b. Hpua dkataka hpua Chebyshev jka setap ttk d H epuya tepat satu proyeks d. c. Hpua dkataka kopak terbatas (boudedly copact) jka rsaya dega sebarag bola tertutup adalah kopak. d. Hpua dkataka approately copact jka utuk setap H da setap barsa { y } dar ttk-ttk d sedeka sehgga { y } koverge ke P ( ), elk subbarsa yag koverge ke sebuah ttk d. 2. Peetaa Set-Valued da Peetaa Proyeks Sklk Defs 2. Dberka H da H 2 ruag Hlbert. Kelas dar sub hpua tak kosog tutup dar H dotaska dega 2 H. Peetaa set-valued dar ke 2 H 2 H adalah fugs T yag egawaka setap ttk H dega hpua ( ) 2 T d 2 H.

3 Defs 3. Peetaa set-valued T dkataka upper secotous pada ttk setap lgkuga buka V dar T( ) terdapat lgkuga buka U dar sehgga T( ) V utuk seua U. d H jka utuk sedeka Peetaa set-valued T dkataka upper secotous jka T upper secotous pada setap H. { 2 } Jka T upper secotous aka hpua (, y) H H y T( ) pada ruag hasl kal ruag Hlbert H H 2. adalah tutup Defs 4. a. Operator proyeks pada hpua Chebyshev H adalah fugs π dar H ke yag eetaka seua ttk ke hasl proyeks tuggal d. b. Operator proyeks pada hpua proal H adalah peetaa set-valued Π yag ddefska sebaga Π : X 2 { = ( )} a y y P () Teorea. Peetaa Proyeks Π pada sub hpua approately copact yag tak kosog H adalah upper secotous. Defs 5. Dberka { } Γ=,..., koleks terurut dar hpua proal d ruag Hlbert H. Utuk seua {,..., }, ddefska Π adalah peetaa proyeks pada

4 yag ddefska sebaga peetaa set-valued dar H ke 2 H. Maka, peetaa koposs Π=Π o... o Π dsebut peetaa proyeks sklk dar Γ. Teorea 2. Peetaa proyeks sklk dar sebarag koleks terurut yag berhgga dar hpua approately copact yag tak kosog dala ruag Hlbert H adalah peetaa yag upper secotous dar H ke 2 H. 3. Kekovergea Lokal Barsa Alteratg Projecto Defs 6. Dberka peetaa proyeks sklk dar koleks terurut hpua proately { } Γ=,..., d ruag Hlbert H. Maka, utuk setap ttk H barsa alteratg projecto (relatf terhadap Γ da ( ) + Π utuk seua. ) adalah barsa { } dega Dega kata la, utuk y proyeks dar pada, aka y adalah proyeks dar y pada, da seterusya da proyeks dar 2 y pada adalah. Defs 7. Dberka { } Γ=,..., koleks terurut hpua proal d ruag Hlbert H dega = I tak kosog. Msalka Π adalah peetaa proyeks sklk dar Γ = da Y adalah hpua ttk-ttk d dugkka gagal utuk ereduks P ( ) sedeka sehgga lagkah teras, yatu ' ' { ( ) ( ) ( )} Y = Π P P.

5 Radus atraks dar Γ ddefska sebaga { ( ) } Rego atraks dar Γ ddefska sebaga f P Y jka Y ρ = (2) + utuk yag la { ( ) } R = P <ρ (3) Dar defs datas, dperoleh dua akbat berkut : a. P ( ' ) P ( ), R, ' ( ) < Π (4) b. Π( ) R, R (5) Defs 8. Dberka { } Γ=,..., koleks terurut dar hpua proal d ruag Hlbert H dega = I tak kosog. Msalka R adalah rego atraks dar Γ da Π = adalah peetaa proyeks sklk dar Γ. Ttk H dsebut ttk atraks dar Γ jka utuk setap barsa alteratg projecto { } terdapat blaga bulat oegatf v sedeka sehgga v R. Blaga bulat oegatf terkecl v yag eeuh hal datas dsebut deks atraks dar barsa alteratg projecto yag berkata. Dar defs 8, (4) da (5) ddapat jka ttk atraks da { } { } alteratg projecto dega deks atraks v, aka barsa P ( ) barsa tak ak da v { ( ) ( )} v+ P P R,. adalah barsa v adalah

6 Dega kata la, ekor dar setap barsa alteratg projecto yag dula dar ttk atraks terletak pada rego atraks. Lebh lajut, dar (4) berakbat bahwa seua ttk tetap dar Π d R ejad hpua solus. Jad, jka seua hpua adalah hpua approately copact dala defs 8, lt dar setap barsa alteratg projecto yag koverge yag dula dar ttk atraks adalah ttk solus. Hal teruat dala teorea berkut. Teorea 3. Dberka { } Γ=,..., koleks terurut dar hpua approately copact d ruag Hlbert H dega = I tak kosog da terbatas da = kopak terbatas. Msalka adalah ttk atraks dar Γ, { } sebarag barsa alteratg projecto. Maka, { } koverge ke sebuah ttk d.