SOLUSI TERBESAR PERTIDAKSAMAAN A O KROSS X KURANG DARI X DARI B O DOT X MENGGUNAKAN RESIDUASI MATRIKS ATAS SEMIRING IDEMPOTEN

Transkripsi

1 J Sas Dasar (1) SOLUSI TRBSR PRTIDKSMN O KROSS X KURNG DRI X DRI B O DOT X MNGGUNKN RSIDUSI MTRIKS TS SMIRING IDMPOTN TH BST SOLUTION OR INQULITIS O O CROSS X LOWR THN X ROM B O DOT X USING HIGH MTRIX RSIDUTION O IDMPOTNT SMIRING ka Suslowat,1 da r Suparwato 2 1 Jurusa Matematka, Uverstas PGRI duaa, Suraaya 2 Jurusa Matematka, akultas MIP, Uverstas Gadjah Mada, Yogyakarta emal: ekasuslowat@malugmacd Dterma 4 Desemer 2015 dsetuju 4 Maret 2016 strak Semrg dempote legkap mempuya struktur yag sama dega lattce legkap Karea struk-tur yag sama dega lattce legkap, maka pertdaksamaa atas semrg dempote legkap dapat dperoleh solusya melalu teor resduas Salah satu pertdaksamaa yag dahas adalah pertdaksamaa X B dmaa matrk,x,b dega etr - etrya eleme dar semrg dempote legkap S Leh lajut, dperkealka dual produk, yatu merupaka operas er yag dlegkapka dalam semrg dempote legkap S da uka termasuk dalam de s stadar semrg dempote legkap Solus pertdaksamaa X B dapat dperoleh dega meggu-aka teor resduas Karea adaya jama ahwa utuk setap pemetaa soto pada lattce legkap selalu mempuya fxed pot, maka hal terseut juga terjam dalam semrg dempote legkap Dega demka, karakterstk yag dguaka utuk dapat memperoleh solus teresar X X B X Kata kuc: dual Kleee Star, dual produk, lattce legkap, semrg dempote legkap, teor resduas stract complete dempotet semrg has a structure whch s called a complete lattce Because of the same structure as the complete lattce the equalty of the complete dempotet semrg ca e solved a soluto y usg resduato theory Oe of the equalty whch s explaed s X B where matrces,x,b wth etres the complete dempotet semrg S urthermore, troduced dual product, e ary operato edowed a complete dempotet semrgs S ad ot cluded the stadard defto of complete dempotet semrgs soluto of equalty X B ca e solved y usg resduato theory Because of the guaratee that for each sotoe mappg complete lattce always has a fxed pot, the s also exst a complete dempotet semrgs Ths of the characterstcs s used order to ota the greatest soluto of equalty X X B X Keywords: complete lattce, complete dempotet semrg, dual Kleee Star, dual product, resduato theory Pedahulua Semrg dempote S merupaka se-mrg yag operas pejumlaha yag ersfat dempote Operas pejumlaha da pergadaa memlk eleme etral yag dotaska ε da e Semrg dempote dkataka legkap jka jumlaha tak hgga elemeya tertutup da operas pergadaa ersfat dstrutf terhadap jumlaha tak hgga [1]

2 44 ka dkk/ J Sas Dasar (1) Dega adaya sfat dempote terhadap pejumlahaya, semrg dempote dapat dlegkap dega relas uruta yag dotaska Semrg dempote legkap mempuya struktur yag sama dega lattce legkap Karea struktur yag sama dega lattce legkap, maka pertdaksamaa atas semrg dempote legkap dapat dperoleh solusya melalu teor resduas Sela dalam skalar, kosep resduas juga dapat dterapka utuk persamaa semrg dempote matrk Salah satu persamaa yag dahas adalah pertdak-samaa X B dega, X, B matrk dega etr - etrya eleme dar semrg dempote legkap S Solus teresar pertdaksamaa X B dapat dperoleh dega megguaka teor resduas walya, Baccell (1992) meelt agamaa solus teresar dar pertdaksamaa X B dega S da X S 1 Kemuda, peelta dlajutka megea solus teresar dar pertdaksamaa X B dega S da X S Selajutya, dtelt agamaa solus teresar dar pertdaksamaa X B, apala ukura semrg dempotet matrks duah mejad S p da X S p m Sepert yag telah dketahu, semrg dempote legkap memlk sfat operas pergadaa dstrutf terhadap pejumlaha Secara umum, dalam se-mrg dempote legkap, sfat operas dstrutf terhadap tdak terpeuh, karea haya erlaku ahwa a ( c) (a ) (a c) Sfat dstrutf terhadap dalam semrg dempote legkap dapat terpeuh apala derka syarat cukup, yatu eleme a mempuya vers, maka a ( c) = (a ) (a c) Dega adaya kods terseut, maka dapat ddefska suatu operas aru yag memlk sfat operas pergadaaya dstrutf terhadap Hardou memperkealka dualty dar operas pergadaa yatu dual produk yag memlk sfat operas dstrutf terhadap Sela dual produk pada semrg dempote, derka juga dual produk pada semrg dempote matrk yag dotaska X, ddefska operas X = k = 1,2, K, ak xkj dega ( ) ( ) j merupaka atas awah teresar Selajutya, megea persamaa fxed pot dalam lattce legkap juga dapat dterapka dalam semrg dempote legkap pala derka semrg dempote legkap S da pemetaa soto f : S a S maka dapat dhmpu hmpua tak kosog { x S f ( x) = x} Karea adaya relas uruta pada S, maka dapat pula dhmpu hmpua tak kosog { x S f ( x) x} da { x S f ( x) x} Dalam kasus matrk, juga dapat dhmpu hmpua tak kosog X S m f ( X ) = X, X S m f ( X ) X da { X S m f ( X ) X } dega f pemetaa soto pala seelumya dtelt megea solus pertdaksamaa X B dega medefska pemetaa soto L : X a X maka dega sfat soto pemetaa L, dapat dhmpu hmpua tak kosog { X S m L ( X ) = X} da hmpua tak kosog { X S m L ( X ) X} Peelta dlajutka tetag agamaa solus terkecl dar pertdaksamaa X B dega medefska pemetaa soto : X a X maka dega sfat soto pada pemetaa dapat dhmpu hmpua tak { X S X X} { X S m X X} = da hmpua kosog m ( ) tak kosog ( ) Dega terjamya adaya X yag memeuh pertdaksamaa L ( X ) X da ( X ) X serta adaya karakterstk X X X \ X X = X X = \ X da X B X X B X X = B X X = B X, maka peuls dapat meelt agamaa karakterstk solus X yag memeuh pertdaksamaa X X B X Metode Peelta Pertama, dpelajar megea teor semrg terutama pada pegerta da sfat dar semrg dempote legkap S Kemuda dtelt apakah ada huuga atara semrg dempote legkap da lattce legkap Setelah dketahu teryata kesamaa struktur atara semrg dempote legkap da lattce legkap, dpaham teor resduas yag erlaku dalam lattce legkap, khususya defs pemetaa lower semcotuous da pemetaa upper-semcotuous, defs da sfat pemetaa resduas da dual pemetaa resduas Karea adaya kesamaa struktur atara semrg dempote legkap da lattce legkap, maka erdasarka defs

3 ka dkk/ J Sas Dasar (1) pemetaa lower sem-cotuous da pemetaa upper-semcotuous yag erlaku dalam lattce legkap, juga dapat ddefska dalam semrg dempote legkap Begtupula dega sfat - sfat pemetaa resduas da dual pemetaa resduas erlaku dalam semrg dempote legkap Dega demka, teor resduas dapat dguaka utuk memperoleh solus teresar dar pertdaksamaa X B da solus terkecl dar pertdaksamaa X B dega matrks, B, X atas semrg dempote legkap Selajutya, ddefska pemetaa closure da sfatya dguaka utuk memperoleh solus terkecl pertdaksamaa X B Peelta kemuda dlajutka mecar solus teresar dar pertdaksamaa X B dega megguaka sfat sfat dar pemetaa resduas Pertama dtelt terleh dahulu teresar dar pertdaksamaa X B dmaa matrks S 1 da X S Selajutya, dtelt solus teresar dar pertdaksamaa X B dmaa matrks S da X S da solus teresar dar pertdaksamaa X B dmaa matrks S X S Kemuda dtjau megea operas pergadaa yag dlegkapka dalam semrg dempote Karea sfat dstrutf operas pergadaa terhadap operas, maka ddefska operas aru yag damaka dual produk pada suatu semrg da dual produk pada matrks atas semrg Peelta dlajutka megea solus terkecl pertdaksamaa p da p m X B dega memetuk dual pemetaa resduas X a X Setelah tu, duktka megea karakterstk solus dar pertdaksamaa X X B X Dalam memahas megea karakterstk solus dar pertdaksamaa X X B X, dperluka pemahama megea persamaa da pertdaksamaa fxed pot, maka dtjau terleh dahulu defs da sfat dar persamaa da pertdaksamaa fxed pot Dalam jural yag dahas Hardou da Ouergh memahas megea solus teresar dar pertdaksamaa X X B X da X G amu dsyaratka matrks B etr - etrya dalam grup retculated Hal dkareaka adaya sfat dstrutf operas pergadaa terhadap operas yag terjam dalam grup retculated Namu, dalam tess telah ddefska operas dual produk yag memlk sfat dstrutf terhadap operas, maka syarat matrk B yag etr - etrya dalam grup retculated dapat dperlemah mejad matrk yag etr - etrya semrg dempote legkap Sehgga memuculka teorema aru akat perlemaha syarat etr - etr matrk pada pertdaksamaa X X B X Teor Teor Resduas Resduas ertujua utuk mecar solus tuggal persamaa f ( x) = dega megguaka proses vers ("vertg") pemetaa soto f dar semrg dempote legkap C ke semrg dempote legkap D 1 f tdak surjektf f ( x) = tdak mempuya solus utuk suatu la 2 f tdak jektf f ( x) = mempuya solus tdak tuggal Solus f ( x) = merupaka susolus f ( x) =, yatu la x yag memeuh f ( x) da supersolus f ( x) =, yatu la x yag memeuh f ( x) Berkut merupaka lagkah - lagkah yag dguaka dalam mecar susolus f ( x) = : 1 Hmpua susolus tdak kosog 2 Plh atas atas dar hmpua susolus 3 Jka atas atasya ada, maka perlu dcek apakah atas atas terseut merupaka susolus f ( x) = Dega kata la, hmpua aga susolus f ( x) = memuat eleme maksmum, yag selajutya dotaska f ( ) sehgga dapat dperoleh f ( ) = x da f ( f ( )) { x f ( x) } 4 Setelah memperoleh eleme maksmum dar hmpua aga susolusya, dapat dcek apakah eleme maksmumya, dalam hal f ( ), memeuh persamaa f ( x) = Jka ya, maka f ( ) merupaka solus persamaa f ( x) = Sela dega mecar susolus f ( x) =, dalam mecar solus f ( x) = dapat juga dega mecar supersolus f ( x) =, yatu la x yag memeuh f ( x) dega lagkah - lagkah seaga erkut : 1 Jka hmpua aga supersolus tdak kosog, maka dapat dplh atas awah dar hmpua supersolus f ( x) =

4 46 ka dkk/ J Sas Dasar (1) Jka atas awahya ada, maka perlu dcek apakah atas awah terseut merupaka supersolus f ( x) = Dega kata la, hmpua aga supersolus f ( x) = memuat eleme mmum, yag selajutya dotaska f ( ) sehgga dapat dperoleh f ( ) = x da f ( f ( )) { x f ( x) } 3 Setelah memperoleh eleme mmum dar hmpua aga supersolusya, dapat dcek apakah eleme mmumya, dalam hal f ( ), memeuh persamaa f ( x) = 4 Jka ya, maka f ( ) merupaka solus persamaa f ( x) = Defs 31 Derka hmpua teru-rut D da da relas uruta Pemetaa yag megawetka uruta f:d dkataka pemetaa resduas jka utuk setap y, atas atas terkecl dar x D f x y ada da { } hmpua aga ( ) merupaka aggota dar hmpua aga terseut(eleme maksmumya ada), eleme f y leme x yag maksmumya dotaska ( ) memeuh persamaa ( ) susolus persamaa f(x) = y f x y damaka Defs 32 Pemetaa g dkataka dual pemetaa resduas jka utuk setap y, atas awah x D g x y { } teresar dar hmpua aga ( ) ada da merupaka aggota dar hmpua aga terseut(eleme mmumya ada), eleme mmumya dotaska g (y) leme x yag g x y damaka memeuh persamaa ( ) supersolus persamaa g ( x) = y Teorema 33 Jka derka pemetaa soto f : a dega, adalah semrg dempote legkap, eleme ottom dar dotaska ε, eleme top dar dotaska Τ maka peryataa erkut ekuvale : 1 Pemetaa f merupaka pemetaa resduas f ε ε f x = f x 2 ( ) = da ( ) ( ) x X x X utuk setap X ( yatu f merupaka lower semcotuous) f y = f y f Τ = Τ da ( ) ( ) 3 ( ) utuk setap Y y Y ( yatu y Y f merupaka upper semcotuous) Teorema 34 Jka derka pemetaa soto g : a dega, adalah semrg dempote legkap, eleme ottom dar dotaska ε, eleme top dar dotaska Τ maka peryataa erkut ekuvale : 1 Pemetaa g merupaka dual pemetaa resduas g T g x = g x 2 ( Τ ) = da ( ) ( ) x X x X utuk setap X ( yatu g merupaka upper semcotuous) g ε ε g y = g y 3 ( ) = da ( ) ( ) y Y utuk setap Y ( yatu lower semcotuous) Pemetaa Closure y Y g merupaka Dalam aga, duraka megea pemetaa closure da huugaya dega pemetaa resduas da dual pemetaa resduas Defs 35 Derka semrg dem-pote S da pemetaa soto h : S a S Jka ho h = h Id S maka h merupaka pemetaa closure Jka ho h = h Id S maka h merupaka dual pemetaa closure Teorema 36 Derka semrg S Jka pemetaa h : S a S merupaka pemetaa resduas, maka erlaku sfat erkut : 1 h merupaka pemetaa closure h merupaka dual pemetaa closure ho h = h h o h = h Solus Teresar Pertdaksamaa X B dega S p da B S m Utuk mecar solus pertdak-samaa X B dega S p da B S m megguaka teor resduas Dalam memperoleh solus pertdaksamaa X B dega S p da B S m seaga erkut: Derka semrg dempote legkap S, matrk S p da B S m Ddefska pemetaa L S p S m yatu : L : X a X (1)

5 ka dkk/ J Sas Dasar (1) Secara umum, solus pertdaksamaa X B utuk S p, X S p m da B S m adalah L ( B) = j 1 ( j \ jk ) k = = [ \ B ] k Karea utuk setap B S m, terdapat eleme maksmal L ( B) yag X B maka dapat detuk pemetaa soto L : S m S p m Selajutya, pemetaa L yag ddefska utuk setap X S m L : S m S p m X a \ X dega [ \ X ] j= 1 ( j \ x jk ) k = dkataka resdual pemetaa L dega S p Solus Terkecl Pertdaksamaa X B dega S p da B S m Dual Produk Sfat dstrutf pergadaa terhadap tdak terpeuh dalam semrg dempote secara umum, dperluka syarat cukup ahwa semrg dempote merupaka semfeld Hal memuculka defs operas yag damaka dual produk Defs 51 Derka semrg dempote legkap S Dual produk dalam S dotaska merupaka operas er yag dasumska memlk sfat 1 Operas memeuh sfat asosatf 2 (S, ) mempuya eleme etral e 3 Operas ersfat dstrutf terhadap dar eleme tak hgga, a S a = a, I I yatu ( ) ( ) 4 leme top Τ seaga eleme peyerap terhadap operas, yatu a S, Τ a = a Τ = Τ ( ) Selajutya, aka derka defs dual produk matrk seaga erkut : Defs 52 Derka semrg dempote legkap S Matrk S p,b S p m, maka B ddefska seaga erkut: B = K a ( ) k= 1,2,, p ( k kj ) j utuk setap = 1, 2, K, da j = 1, 2, K, m Solus Terkecl Pertdaksamaa X B dega S p da B S m Teorema 53 Derka semrg dempote legkap S da matrk S p Pemetaa p m m : S S a X a X merupaka dual pemetaa resduas da dual resdualya dapat dotaska m p m : S a S X a X dega defs operas [ X ] = j k = 1 ( k xkj ) (2) serta Τ x = ε, ε x = Τ,da ε ε = ε Hasl da Pemahasa Persamaa da Pertdaksamaa xed Pot Defs 61 Derka hmpua da fugs f : a leme a dkataka fxed pot dar fugs f jka f ( a) = a Leh lajut, a dapat dkataka solus atau peyelesaa dar persamaa fxed pot x = f ( x) Ketka hmpua dlegkap dega relas uruta, dapat ddefska prefxed pot dar fugs f, yatu a dkataka prefxed pots dar fugs f jka f ( a) a Sela tu, dapat juga ddefska post-fxed pot dar fugs f, yatu a dkataka post-fxed pots dar fugs f jka f ( a) a Karea semrg dempote legkap S merupaka hmpua terurut dega relas uruta maka dapat ddefska persamaa fxed pot dar pemetaa soto f : S S seaga erkut: f ( x) = x (3) da pertdaksamaa fxed pot dar pemetaa soto f : S S seaga erkut: f ( x) x (4) Kleee Star f ( x) x (5) Defs 62 Derka semrg dem-pote legkap S Kleee star merupaka pemetaa k : S a S, a a a = = 0 a

6 48 ka dkk/ J Sas Dasar (1) dega a +1 = a a da a 0 = e Kleee star juga dapat daplkaska ke matrk ujur sagkar dalam semrg dempote legkap Defs 63 Derka S semrg dem-pote legkap Kleee Star dar matrk S ddefska dega 0 k = k 1 a a = = 0 K : S S, =, matrk dettas da Sfat 64 Derka S semrg dem-pote legkap Matrk S da X S p Pemetaa L : S p S p, X a X merupaka pemetaa closure, oleh karea tu, X = X Seaga akatya, peryataa erkut ekuvale : X = X X Im L (3) Lemma 65 Derka semrg dempote legkap S da matrk S da X S p Peryataa erkut ekuvale : 1X \ X 2X X 3X = X 4 X = \ X Dual Kleee Star Dalam defs Kleee Star djelaska Kleee Star merupaka jumlaha tak hgga suatu eleme dalam semrg dempote legkap, Berkut dualty dar Kleee Star yatu dual Kleee Star yag merupaka meet tak hgga suatu eleme dalam semrg dempote legkap Defs 66 Derka semrg dem-pote legkap S Dual Kleee Star merupaka pemetaa l : S a S, a = = 0 1 dega + 0 = da = e Selajutya, pedefsa dual star dapat pula daplkaska dalam kasus ma-trk, seagamaa djelaska megea dual star pada matrk Defs 67 Derka S semrg dem-pote legkap Dual Kleee Star dar ma-trk B S ddefska: k B = B k= 0 1 dega B + = B B da B 0 = Sfat 68 Derka B S Pemetaa B merupaka pemetaa upper semcotuous da meurut Defs 56, pemetaa : p p B S a S, X a B X merupaka dual pemetaa closure Oleh karea tu, B B X = B X (4) Sehgga erakat X = B X X Im B (5) Proposs 69 Derka semrg S da matrk B S da X S p, maka peryataa ekuvale : 1 X B X 2 X B X 3 X = B X 4 X = B X Proposs 610 Derka semrg dempote legkap S da, B S da X S m Peryataa erkut ekuvale : Im Im X X B X X L B Proposs 611 Derka semrg dempote legkap S, da matrk, B, G S Solus teresar X yag memeuh X X B X da X G adalah = (( ) ) X B \ G Bukt : 1 ka dtujukka X X B X da X G X Xˆ Berdasarka Proposs 610, X X B X X Im L Im B Hal erart X harus memeuh X = B ( X ) X = B ( X ) X = B X ( ) ) X = B X (( ) ) \

7 ka dkk/ J Sas Dasar (1) Dega demka, X X B X da X G X = (( B ) ) \ X da X G Dperhatka ahwa erdasarka Teorema 65, X = (( B ) ) \ X ( B ) X X ( ) Karea B X X da X G maka X Xˆ = (( B ) ) \ G 2 ka dtujukka Xˆ G, Xˆ = Xˆ Pertama aka dtujukka X ˆ Im L yag ekuvale dega Xˆ = Xˆ = \ Xˆ Berdasarka Lemma 65, ˆX memeuh ˆ ˆ ( B ) X X ( B ) \ Xˆ (9) Karea L pemetaa soto da Xˆ ( B ˆ ) \ X, maka Xˆ (( B ˆ ) \ X ) Sehgga ddapat \ Xˆ \ (( B ˆ ) \ X ) Dperhatka ˆ \ (( B ) \ X ) = (( B ) ) \ Xˆ = B Xˆ ( ( )) \ = ( B ˆ ) \ X katya, ddapat \ Xˆ ( B ˆ ) \ X Meurut pertdaksamaa 9, ( B ˆ ˆ ) \ X X katya, \ Xˆ ( B ˆ ˆ ) \ X X Jad dperoleh \ Xˆ Xˆ Selajutya, Xˆ \ Xˆ (karea ) maka \ Xˆ = Xˆ, yatu Xˆ Im L Kedua, aka dtujukka Xˆ Im B, yatu X ˆ = B ˆ ˆ X = B X Dar persamaa 9 ddapat Xˆ ( B ˆ ˆ ˆ ) X = B ( X ) = B X (karea Xˆ = Xˆ ) D ss la, B Karea pemetaa soto, maka B ˆ ˆ X X Dega demka, ddapat Xˆ B ˆ X Sehgga Xˆ = B Xˆ = B Xˆ karea B B G G Ketga ( ) B ( ), maka katya, ddapat ( B ) \ G G Jad ˆX G Smpula Secara gars esar, dapat dsmpulka ahwa kesamaa struktur semrg dempote legkap dega lattce legkap memerka ayak keutuga dalam meyelesaka pertdaksamaa atas semrg dempote dega megguaka teor resduas Derka S semrg dempote legkap, maka ddapat 1 Solus pertdaksamaa X B dega p S da m B S adalah ( \ ) [ \ ] j= 1 j jk = B k 2 Solus pertdaksamaa X B dega S m B S adalah ( X ) = ( x ) p da j k = 1 k kj 3 Solus pertdaksamaa X X B X da X G dega, B, G S dapat dperoleh dega megguaka formula ˆ X = (( B ) ) \ G Pustaka [1] Baccell,, Cohe, G, Olsder, J, da Quadrat, JP, 1992, Sychrozato ad Learty, lgera for Dscrete vet Systems, Joh Wley ad Sos, New York [2] Gauert, S, 1997, Methodes ad pplcato of (max,+) Lear lgera, Rapport de Recherche [3] Hardou, L, Cotteceau, B, Le Corroc,, 2010, Cotrol of ucerta (max,+)-lear system order to decrease ucertaty, Uversty of gers [4] Hardou, L, Cotteceau, B, Le Corroc,, 2010, O The Dual Product ad The Dual Resdua-to over Idempotet Semrg of Itervals, Uversty of gers, Peracs [5] Judso, TW, 2010, stract lgera : Theory ad pplcatos, Stephe ust State Uversty [6] Lhommeau, M, Hardou, L, Cot-teceau, B, 2009, Dsturace Decouplg of Tmed vet Graphs y Output eedack Cotroller, Uversty of gers [7] Houss, L, Lahaye, S, da Bomod, JL, (2008), Cotrol of (Max,+) - Lear Sys-tems Mmzg Delays, Uversty of gers, Peracs

8 50 ka dkk/ J Sas Dasar (1) [8] Lhommeau, M, Hardou, L, Cot-teceau, B, Maa, C, 2010, Oserver Desg for (max,plus) Lear Systems, I Trasacto o utomatc Cotrol vol 55-2 [9] Ouergh, I, da Hardou, L, 2006, Cotrol Sythess for P-Temporal vet Graphs, Iteratoal Workshop o Dscrete vet Systems, ror, US [10] Tarsk,, 1955, Lattce Theoretcal xed Pot Theorem ad Its pplcatos, Pac c Joural of Mathematcs 5 o [11] derse, M H, 2002, Max plus lgera: Propertes ad pplcatos, Lamare, WY [12] Bruch, T, Hardou, L, da Rasch, J, 2011, Modelg Cotrol of Nested Maufacturg Processes Usg Dod Models, I Peprts of the 3rd Iteratoal Workshop o Depedale Cotrol of Dscrete Systems, Jerma [13] Bruch, T, Hardou, L, Bout, O, Cotteceau, B, Rasch, J, 2013, Dscrete vet Systems a Dod ramework: Cotrol Theory, Cotrol of Dscrete vet Systems, Volume 433 of Lecture Notes Cotrol ad Iformato Sceces, Sprger, Berl [14] Brusch, T, 2014, Dssertato : Modelg ad Cotrol of Complex Systems Dod ramework, Berl [15] Cohe, G, Gauert, S, da Quadrat, JP, 1998, Max plus lgera ad System Theory : Where We re ad Where to Go Now, IC Coferece o Systems ad Cotrol