Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal

Transkripsi

1 Vol 5, No, 9-98, Jauar 9 But Teorema Ssa Cha dega egguaa deal asmal Abstra Sstem perogruea yag dapat dcar peyelesaaya secara teor blaga dasar teryata dapat dbuta melalu teor-teor strutur aljabar hususya dega deal masmal Kata Kuc : deal masmal, system ogrue, teorema ssa Pedahulua sala dpuya system perogruea x r mod a, x r mod a mod, x r a Dega teor blaga dapat dtetua solusya Dalam tulsa, solus system perogruea d atas pu dapat dtetua dega megguaa osep-osep strutur aljabar hususya dega osep deal masmal pada gelaggag dega usur da osep homomorfsma gelaggag Pembahasa Defs sala R gelaggag R deal dsebut deal masmal ja tda ada deal J, J subgroup ormal R sedema sehgga J R Teorema somorfsma sala f : R S homomorfsma gelaggag maa : R er f f R terdefes dega ba da merupaa somorfsma Ja S R da R maa S / S / S sala R maa pemetaa semua deal R yag memuat e dalam hmpua semua deal R merupaa bjes Lebh lajut ja J R maa R / J R J Proposs berut lebh memperjelas bagamaa deal masmal Proposs sal R gelaggag da R deal R maa peryataa berut evale a deal masmal Jurusa atemata FPA Uverstas Hasaudd aassar

2 9 But: b x x R utu setap x R \ c R gelaggag sederhaa Ja x R \ maa x merupaa deal yag lebh besar da tda sama dega, Ja masmal berart x R Sebalya, ja x R meujua bahwa peryataa a megabata b utu setap x R \ maa tda ada deal sejat R yag sepeuhya memuat berart masmal Terahr evales peryataa a da c merupaa abat lagsug teorema somorfsma d atas Pada gelaggag omutatf dega usur, x Rx Cotoh deal masmal dar Z adalah deal-deal p pz dega p blaga prma C gelaggag seua fugs-fugs otu f : R R utu setap x R, sal R hmpua x f CR f x merupaa deal masmal C R pemetaa f f x merupaa homomorfsma pada R R Dega dema CR R x megabata bahwa x deal masmal Lebh lajut, C dega erel x / suatu lapaga da juga gelaggag sederhaa yag Hasl berut mejam sumbaga besar deal masmal dalam gelaggag dega usur Proposs sal R gelaggag dega usur da R R deal R maa termuat dalam deal masmal But: sala deal d R dega R sal µ := { J subgroup ormal R J memuat da J subset sejat R } area merupaa hmpua terurut parsal dega relas sal C sebarag rata d Defsa K J, maa utu setap J C, J K JC Aa dtujua K Utu setap J C, J K da J deal d R J dega dema K sala x, y K da r R sebarag, maa dapat dcar J, J C sedema sehgga x J, y J Karea C rata, maa berlau J J atau J J Dega dema terdapat J masj, J C sedema sehgga x, y J

3 95 Karea J deal maa x, y J K, rx J K Jad K deal d R Utu setap J C, J K, jad K Adaa K R, maa K Abatya ada J C sehgga J da J R Hal bertetaga dega J J R Jad K R K Karea utu setap J, J K maa Berdasara,,, dsmpula bahwa K merupaa batas atas C Berdasara Lemma Zor, maa meml usur masmal sala Perhata bahwa J deal d R dega J R da J termuat dalam suatu deal masmal J usur masmal d J deal masmal Jad Defs Dua deal da J pada gelaggag R dsebut KOAXAL ja J R Teorema Ssa Ca (Chese Remader Theorem) sala R gelaggag da,, deal-deal d R sedema sehgga R R utu setap Ja,, KOAXAL sepasag-sepasag, yatu ja r s R utu semua r s, maa : R R x x R r r,, r erupaa homomorfsma pada dega erel But: Aa dtujua homomorfsma Ambl x, y R, x y x y J,, x y x y,, x y x, x y,, y x y xy xy,, xy x y,, x y x,, x y,, y x y Jad pemetaa homomorfsma Aa dtujua Ambl x er sebarag, maa x,, padahal x x x, x sehgga x, x,, x,, er,,,

4 96 abatya x utu setap, atau x Ker Sebalya ja x utu setap x x, x x Jad maa, =,, Jad x Ker da Ker Ker Dsmpula bahwa Aa dtujua pada Klam bahwa R Jelas R R Tetap, R R x utu setap Dega dema Da seterusya, sehgga dperoleh R (lam) Dega cara yag sama R sala Dapat dcar r,, r sebarag a da v b v sedema sehgga r a b aa r : b b b r modulo yag merupaa jala la utu meyataa r r, r,, r Hasl terlhat abstra, tap eta dhususa utu deal-deal d Z, dperoleh hasl petg teor blaga dasar yag meyagut peyelesaa dar sstem perogruea Cotoh sala bahwa blaga-blaga asl Dbera sebarag blaga bulat sedema sehgga a,,a relatf prm r,,r sehgga dapat dtetua blaga bulat m

5 97 Lebh jauh, ja m da a a a m r m r mod mod a a m r mod a * ' m dua solus dar sstem perogruea d atas But: Dega megaplasa teorema ssa cha dega * maa ' m m mod R Z da a Z utu medapata * Perhata bahwa az az az aa a Z, area a,,a ' relatf prm Sehgga dperoleh m m mod a a a Cotoh Tetua semua blaga bulat x Z dega x (mod ), x (mod ) da x (mod 5) deal yag terlbat Z egut but teorema ssa cha dperoleh blaga-blaga a, b Z sedema sehgga a b dega a Z da b 5Z, a b dega a Z da b Z da a b dega a 5Z da b 6Z Ambl a, b 6, 5 a, b 8, a b 5,8, aa x : b b b adalah solus, da semua solus yag la adalah dega Z Kesmpula Dar pemapara d atas dapat dtar beberapa esmpula: Lapaga pecaha dar suatu gelaggag evaluas sama dega lapagaya sedr Gelaggag evaluas aa selalu juga merupaa gelaggag loal deal-deal dar suatu gelaggag evaluas dapat duruta dega megguaa uruta hmpua baga Begtu juga sebalya, ja dealdeal dar suatu gelaggag dapat duruta, maa gelaggag tesebut adalah gelaggag evalus Ja suatu gelaggag sealgus merupaa gelaggag evaluas da Noethera, maa gelaggag tersebut merupaa daerah deal utama

6 98 Daftar Pustaa Lag, S, Algebra, Addso-Wesley 965 Passma, D S, A Course Rg Theory, Wadsworth, c Belmot, Calfora, 99 Spdler, K, Abstract Algebra wth Applcatos, Volume, arcel Deer, c, 99