Metode Numerik Stepest Descent Dengan Arah Pencarian Negatif Sigma Gradien

Transkripsi

1 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 6 Metoe Numer Stepest Descet Dega Arah Pecara Negatf Sgma Grae Rumoo Bu Utomo Uverstas Muhammayah Tagerag rumoo.bu.u@mal.ugm.ac. Abstra Peelta megaj tetag metoe umer stepest escet ega arah pecara egatf sgma grae. Peelta laua ega memaham terlebh ahulu megea metoe umer Stepest Descet ega arah pecara egatf grae beserta algortmaya. Setelah tu ostrus metoe umer Stepest Descet ega arah pecara egatf sgma grae beserta algortmaya. Dalam pelta juga bera cotoh pegguaa eua metoe umer alam meyelesaa masalah optmsas satu fugs tujua tapa eala beserta aalss haslya. Kata uc:stepest escet, arah pecara egatf sgma grae I. PENDAHULUAN PM - Dalam meyelesaa suatu masalah ua yata (real problem), lagah awal yag laua para matematawa aalah meyataa masalah ua yata tersebut ealam pegerta matemats. Lagah melput etfas varabel-varabel yag terja paa masalah, a membetu hubuga atar varabel-varabel tersebut[]. Lagah selajutya aalah mejabara varabel-varabel, merumusa asums-asums yag perlua a membuat eraga moel sebelum ahrya merumusa moel matemats yag masu. Moel matemats merupaa suatu formula matemata yag mejelasa atau merepresetasa sstem fs atau masalah alam ua yata alam peryataa matemat. Moel matemat apat berbetu moel statst, stoast, persamaa feresal tergatug bag yag guaa alam meyusu moel matemats tersebut. Setelah memperoleh moel matemats, lagah selajutya yag laua matematawa aalah berusaha memperoleh solus peyelesaa ar moel matemats yag telah hasla. Solus peyelesaa apat berupa solus sejat (aalytc) maupu hampra (umerc). Solus aalt merupaa solus sejat ar suatu moel matemats seaga solus umer merupaa solus hampra atau peeata (approxmate) ar solus sejat []. Karea merupaa solus hampra, maa terapat besarya esalaha atau galat ar solus umer terhaap solus sejat. Besarya esalaha atau galat smbola ega ostata postf epslo. Kostata postf epslo yag meyataa galat ta boleh terlalu besar area aa megabata solus umer yag hasla aa jauh ar solus sejat, utu hal ema besarya epslo harapa seeat mug ega ol. Kesalaha atau galat yag ml oleh solus umer umumya sebaba oleh ua fator ya area pemotoga (cuttg) espas suu yag terlalu pajag, a pembulata (roug) gt aga esmal. Mespu meml galat, bua berart metoe umer (solus umer) ta meja plha, atau haya seaar meja plha eua alam meyelesaa moel matemats. Dalam beberapa asus, metoe umer serg meja plha utama tatala moel matemats yag hasla sagat sult temua solus sejatya. Dalam ehupa sehar-har, salah satu masalah ua yata yag serg temua aalah pegoptmala atau masalah optmsas. Beberapa cotoh masalah optmsas yag serg jumpa aalah masalah perguaga (vetory) utu meetua seberapa besar barag yag harus pesa ar prouse, masalah memmala baya prous suatu perusahaa, sampa epaa aspe yag lebh jauh ar paa tu sepert optmsas paa jarga lstr, abel, a rute perjalaa. Masalah optmsas sepert jelas memerlua moel matemats yag tepat utu memperoleh solus yag optmal. Secara umum masalah optmsas berasara fugs tujua yag g optmala bag atas ua jes ya masalah optmsas sgle objetf a masalah optmsas mult objetf. Masalah optmsas sgle objetf haya meml satu fugs tujua yag optmala, seaga masalah optmsas mult objetf meml seuragya ua fugs objetf yag optmala. Meurut eala (costra), masalah optmsas juga bag atas ua, ya masalah optmsas ega a tapa eala. Berasara varabel bebas (epeet) masalah optmsas terbag atas ua jes ya masalah optmasas ega satu a baya varabel bebas.

2 ISBN. Berbaga metoe peyelesaa apat guaa utu meyelesaa berbaga jes masalah optmsas. Cotohya utu meyelesaa masalah optmsas sgle objetf ega satu varabel bebas apat guaa metoe raso emas (gole rato), Fboacc, a bses, seaga utu meyelesaa masalah optmas sgle objetf ega beberapa (mult) varabel bebas apat guaa metoe umer Asal, Newto, Hoo a Jeeves, Rooseberg a Stepest Descet []. Utu meyelesaa masalah optmsas mult objetf apat megguaa Pegal Lagrage a Kuh-Tucer.Paa Masalah optmas mult objectf ta bahas a peelt lebh memfousa aja paa masalah optmsas sgle objetf tapa eala. Metoe umer Stepest Descet merupaa salah satu metoe yag apat guaa alam meyelesaa masalah optmsas sgle objetf tapa eala ega baya varabel bebas. Metoe umer Stepest Descet beerja ega megambl sembarag tt awal arah pecara (recto) egatf graet Z R ega megguaa []. Metoe umer Stepest Descet serg guaa area solus umer yag hasla ceerug aurat ega solus sejat, baha alam beberapa asus, solus umer yag hasla apat et ega solus sejat atau ega ata la solus umer tapa galat. Mespu ema, peelta lebh lajut paa metoe umer terus embaga, salah satuya ega memetu arah pecara (recto) yag la. Sebagamaa etahu perbeaaa yag measar ar metoe-metoe umer utu meyelesaa masalah optmsas sgle tapa eala aa paa arah pecaraya. Metoe umer Asal, msalya meml arah pecara vertor ormal, seaga metoe umer arah ojugas melbata matrs Hessa alam arah pecaraya. Peelta megaj a membahas megea metoe umer Steepest Descet ega arah pecara (recto) berupa egatf sgma grae Z. Peelta bertujua utu melhat proses teras alam memperoleh solus umer ega megguaa metoe Stepest Descet ega arah pecara yag la alam hal egatf sgma grae. Peelta laua ega memaham terlebh ahulu megea metoe umer Steepest Descet ega arah pecara egatf grae basa emua meyusu algortma utu metoe Steepest Descet ega arah pecara egatf sgma graet.buu-buu yag guaa alam meujag peelta atara la A Itroucto to Optmzato arya Ew K.P.Chog a Staslaw H Za, Theory of Multobjectve Optmzato arya Yoshazu Sawarag, Hrotaa Naayama a Tetsuzo Tao, Nolear Programmg Theory a Algorthm arya Mochtar S Bazaraa, Haf D Sheral a C.M Shetty, A Itroucto to Moel Bulg arya Waye L Wsto, Metoe Numer arya Ral Mur, Dtat ulah Optmsas arya Salmah a buu-buu laya yag apat lhat paa aftar pustaa. Dalam peelta pulaaa bera cotoh perhtuga umer utu metoe Steepest Descet ega eua arah pecara tersebut beserta aalss a perbaga eaurata solus atara euaya. II. HASIL DAN PEMBAHASAN Defs Norm Dbera Y, sembarag ua vetor. Sembarag blaga rl amaa orm ar apabla memeuh asoma-asoma sebaga berut.. a. a a, a R v. Y Y Defs Kombas Lear [] Msala, m vetor-vetor V maa sebut ombas lear ar vetor-vetor ja m a Defs Betu Kuarat [6] F( ) c x c x... c x c x x c x x... c x x..., ega cj, j, sebut fugs betu uarat ega varabel bebas x, x,..., x R,

3 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 6 Defs Fugs Postf Betu uarat T T A sebut postf (egatf) eft ja ( ) T a terapat seuragya satu vetor ta ol seema hgga A euaya, maa betu uarat tersebut ataa Ta efte. Teorema Fugs Deft Suatu matrs A ataa. Postf eft ja a haya ja. Negatf eft ja a haya ja. Postf sem eft ja a haya ja v. Negatf sem eft ja a haya ja ega A utu semua. Apabla ta memeuh merupaa la-la ege ar matrs A a etasamaa capa utu seuraguragya satu j. Apabla ta memeuh butr,,, a v maa matrs A sebut Ta efte. Defs Mmum Global [7] Fugs Fx ( ) ataa meml mmum global x alam S ja f ( x) f ( x ) Defs Mmum Loal Relatf Fugs Fx ( ) ataa meml mmum loal x alam S ja terapat setar ar x f ( x) f ( x ) utu setap x alam persetara tersebut. seema hgga Algortma Stepest Descet eganegatf Grae a Negatf Sgma Grae[8],[9],[] Dbera suatu fugs objetf Z F( ) F( x, x,., x ) {,,., } yag memmalaatau memasmala fugs Z F( ) tersebut x x x. Dbetu fugs graet Z a aa tetua la. Ambl { x, x,., x} R sembarag tt awal a suatu ostata postf yag meyataa besarya esalaha atau galat yag toleras. Z Z Z,,, a tetua Z ega x x x,,, yag meyataa poss teras. Apabla Z v. Tetua,,,, maa teras berhet, sebalya teras lajuta ega cara mecar tt estrm Z meervatfa fugs Z egatve grae Z,,,, v. Nla tetua ega ya ega cara a meyamaegaa ol ega arah pecara Berasara algortma Stepest Descet ega arah pecara egatfgrae Z,,,, aa embaga suatu metoe Stepest Descet ega arah pecara egatf sgma graet. Algortma Stepest Descet ega arah pecara egatve sgma grae meml lagah yag sama ega metoe umer steepest escet ega arah pecara egatfgrae, amu alam hal arah pecara efsa sebaga Z Z a teras berhet eta la orm

4 ISBN. Cotoh Numer [] Dbera suatu fugs Z( x, x ) 6x x x x x x 6 { x, x } metoe Stepest Descet, tetua pembuat mmum {,} R toleras esalaha., ega megguaa apabla bera tt awal Solus Stepest Descet ega Arah Pecara Negatf Grae Dalam soal etahu ambltt awal R ega toleras esalaha. {,}. Berasara hal tersebut apat tetua la grae Z,.Karea la orm Z maa teras lajuta ega arah pecara Z a peroleh,.9 (Iteras ). Apabla car lebh lajut, aa peroleh la 6.9,.86 Z.67,. a la orm ega la grae Z Berasara hal tersebut teras lajuta ega arah pecara Z.67,. a.9 (Iteras ). Paa Iteras peroleh.79,.7 ega grae Z.86,.88 a orm Z.6. Nla arah pecara Z.86,.8 ega.8. Paa teras, la.96,.8 ega la grae Z.,.6 a la orm Z.6. Nla arah pecara peroleh Z.,.6 ega.8. Paa Iteras, Dega megguaa lagah yag sama peroleh.99,. ega grae Z.7,. a la orm Z. Karea la orm. Z, maa teras berhet a solus umer utu masalah optmsas paa cotoh aalah Iteras {.99,.} R. Peyaja perhtuga saja alam tabel berut. Tabel. Perhtuga Numer Stepest Descet ega Arah Pecara Negatf Grae Z Z {,},.9,.86.79,.7.86,.88.96,.8.,.6.99,..7,..67, ,.67,..86,.8., Dar tabel atas, terlhat bahwa solus umer utu masalah optmsas paa cotoh satu aalah x a x.. Apabla laua pegecea lebh lajut, solus sejat utu masalah.99 optmsas paa cotoh aalah x a x yag hasla utu x aalah.6 a x aalah.., berasara hal tersebut galat ar solus umer

5 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 6 Solus Stepest Descet ega Arah Pecara Negatf Grae Paa baga aa coba pecara solus umer masalah optmsas ega cara Stepest Descet ega arah pecara egatf sgma grae. Paa teras, tetap laua pegambla tt awal R ega., selajutya peroleh Z, ega Z {,}. Lebh lajut arah pecara Z, a.9. Apabla car lebh lajut, aa peroleh la 6.9,.86 ega la grae Z.67,. a la orm Z.6. Berasara hal tersebut teras lajuta ega arah pecara Z 9.8,. a.99 (Iteras ). Paa Iteras peroleh.,.76 ega grae Z.678,.86 la ormperoleh Z a.69. Nla arah pecara peroleh Z 7.696, 8.9 ega.7. Paa Iteras peroleh.,.66 ega grae Z.998,.789 la orm peroleh Z a.988. Nla arah pecara peroleh Z.6898,.979 ega.. Paa Iteras, ega megguaa lagah yag sama peroleh.876,.88 grae Z.8,.7 a la orm Z pecara peroleh Z.66,.76 ega.76.nla arah ega. 6.8,.8. Hasl perhtuga saja alam tabel bawah. a la Iteras Tabel. Perhtuga Numer Stepest Descet ega Arah Pecara egatf sgma grae. Z Z {,},.9,.86.67,..6, 9.8,..9.,.76,678, , , ,, ,.979.

6 ISBN..876,.88.8, , , Paa tabel atas, terlhat bahwa teras ta mug berhet areaa la orm Z selalu lebh besar ar epslo. Hal taa ega la grae Z sema membesar a la,,,, yag sema membesar. Hasl perhtuga la terlhat bahwa la x sema mejau ar la aslya ya x, begtupu paa x yag juga mejauh ar la aslya ya x mespu sampa teras e, terlhat la x seolah meuju la aslya, amu hal ema ta bear ega melhat paa teras selajutya maa la x justru mejauh la ol. III. SIMPULAN DAN SARAN Smpula Terapat beberapa hal yag meja esmpula alam peelta, atarya:. Masalah optmsas berasara fugs ojetfya bag atas jes ya masalah optmsas sgle objetf a masalah optmsas mult objetf.. Meurut varabel bebasya masalah optmsas bag atas jes ya masalah optmsas ega satu varabel bebas a mult varabel bebas. Lebh lajut, meurut ealaya masalah optmsas juga bag atas jes ya masalah optmsas ega a tapa eala. Masalah optmsas sgle objetf tapa eala ega satu varabel bebas apat selesaa ega metoe umer gole raso, Fboacc, bses l, seaga masalah optmsas sgle objetf tapa eala ega mult varable bebas apat selesaa salah satuya ega metoe umer Stepest Descet. Metoe umer Stepest Descet mula ega megambl sembarag { x, x,., x } ega arah pecara egatf grae Z Z,,,, yag. Iteras berhet eta orm. Metoe umer Stepset Descet ega arah pecara egatf sgma graet juga mula ega megambl { x, x,., x }, amu megguaa arah pecara Z. Iteras berhet eta la orm Z,,,, 6. Paa cotoh alam peelta, terlhat bahwa utu masalah optmsas sgle objetf tapa eala memmala Z( x, x ) 6x x x x x x 6 ega toleras esalaha., solus umer yag hasla melalu Stepest Descet ega arah egatf graet aa berhet paa teras e ya ega la x.99 a x ega la orm Z... Galata atau esalaha yag hasla utu x aalah.6 a x aalah.. 7. Berbea ega solus umer yag hasla oleh Stepest Descet ega arah pecara egatf graet, solus umer yag hasla ega metoe umer egaf sgma graet justru ta aa berhet utu la teras berapapu. Hal apat sebaba la grae Z a,,,, aa sema membesar serg bertambahya teras. Hal ema terlhat cotoh atas ega la yag sema mejau ar la aslya. 6

7 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 6 Sara Terapat beberapa hal yag meja sara alam peelta, atarya:. Umumya metoe umer Stepest Descet ega arah pecara egatf grae suah cuup ba alam meyelesaa masalah optmsas sgle objetf tapa eala, amu peelta utu megembaga arah pecara yag la tetap perlua agar lagah teras utu mecar solus umer meja lebh sgat a meja sema aurat.. Beraca paa hasl Stepest Descet ega arah pecara egatf sgma grae yag justu meghasla solus yag ta optmal, maa perlu embaga lag arah pecara yag la agar solus umer ar masalah optmas meja lebh aurat a ega lagah yag lebh set. UCAPAN TERIMA KASIH Ucapa termaash peuls ucapa epaa Retorat Uverstas Muhammayah Tagerag a Departeme S Matemata ITB atas batua fasal sehgga peuls apat meyelesaa paper a megut semar asoal matemata a pembelajara matemata UNY paa taggal November 6 Daftar Pustaa []Wowat, Sutm, Pemoela Matemata: Aalss aaplasya, Semarag, Peerbt Up Press: []Mur, Ral. Metoe Numer, Baug, Iformata: 8 []Epperso, James, A Itroucto to Numercal Methos a Aalyss, New Yor: Joh Wlley a Sos. Ic: []Otto, S.R. a Deer, J.P, A troucto to Programmg a Numercal Methos Matlab, Loo, Sprger-Verlag: []Ato, Howar, Aljabar Ler Elemeter: Peerjemah Patur Slaba, Jaarta, Erlagga: 99 [6]Bazaraa, S. Mochtar,Nolear Programmg Theory a Algorthms, Loo, Joh-Wlley Iter Scece: 6 [7]Salmah, Dtat Optmsas, Yogyaarya, FMIPA UGM: [8]Bober, Wllam, A Itroucto to Numercal a Aalytcal Methos wth Matlab for Egeers a Scetst, Loo: Taylor a Fracs Group: [9]K.P.Chog,Ew, A Itroucto to Optmzato, New Yor, Joh Wley & Sos: Ic. []Corless, Robert, M, a Fllo, Ncholas. A Grauate Itroucto to Numercal Methos,Loo, Sprger-Verlag: []La, Metoe Numer Stepest Descet: Soal UAS FKIP UMT, 6 7