Laporan Penelitian. Analisis Ketunggalan Polinomial Interpolasi untuk Aproksimasi Fungsi

Transkripsi

1 Lapora Peelta Aalss Ketuggala Polomal Iterpolas utu Aprosmas Fugs Peelt: Drs. Sahd, MSc. Jurusa Pedda Matemata Faultas Matemata da Ilmu Pebetahua Alam Uverstas eger Yogyaarta ============================================ Dlasaaa dega Daa DIK UNY Tahu 003, No. Kotra: 444/J35.3/PL/003

2 Abstra Peelta bertujua utu meyeld etuggala polomal terpolas, meetua galat polomal terpolas sebaga hampra la-la suatu fugs, da meyusu program omputer utu membetu da meghtug la-la polomal terpolas. Aalss teort memperlhata bahwa polomal terpolas Newto da polomal terpolas Lagrage det dega polomal terpolas betu bau. Dar hasl aalss perhtuga utu memperoleh oefse-oefse da perhtuga la-la polomal terplas dapat detahu bahwa polomal Newto (metode selsh terbag Newto) merupaa polomal terpolas yag palg mudah dbetu da palg efse dhtug, dbadg dega edua polomal terpolas yag la. Galat hampra la fugs dega megguaa etga polomal terpolas merupaa polomal yag perlauya tergatug pada tt-tt terpolas. Polomal terpolas betu bau da polomal Lagrage tda prats dguaa dalam terpolas dega cacah tt terpolas sema bertambah. Mespu dema polomal terpolas Lagrage dapat dguaa utu meujua eberadaa polomal terpolas. Karea dbetu secara reursf, polomal terpolas Newto sagat efse ja dguaa utu pembetua da perhtuga polomal-polomal terpolas dega cacah tt terpolas sema bertambah. Komputas umer dega megguaa program Matlab hasl mplemetas etga polomal terpolas memperlhata esesuaaya dega hasl aalss teorts.

3 Daftar Is Abstra... Kata Pegatar... v Bab I Pedahulua... A. Latar Belaag Masalah... B. Rumusa Masalah... 3 C. Tujua Peelta... 3 D. Mafaat Hasl Peelta... 3 E. Pembatasa Permasalaha... 4 Bab II Kaja Pusataa... 5 Bab III Metode Peelta... 9 A. Mater / Baha Peelta... 9 B. Cara Peelta... 9 Bab IV Hasl Peelta... A. Esstes da Ketuggala Polomal Iterpolas... B. Galat pada Polomal Iterpolas... 4 C. Perhtuga dalam Polomal Iterpolas Polomal Betu Bau Polomal Newto (Selsh Terbag) Polomal Iterpolas Lagrage... 7 D. Implemetas Polomal Iterpolas dega Matlab... 8 Bab V Kesmpula da Sara... 3 A. Smpula... 3 B. Sara... 4 Daftar Pustaa... 5 Lampra... 6 A. Fugs-fugs Matlab... 6 B. Perhtuga Aalt dega Maple utu Cotoh Komputas Kedua... 7

4 Kata Pegatar Puj syuur Alhamdulllah peuls pajata e Hadhrat Allah SwT. atas mat esehata da euata serta lmu yag dbera epada peelt, sehgga egata peelta da peulsa lapora peelta dapat dselesaa. Peelta merupaa peelta madr yag dlasaaa dega daa DIK UNY Tahu 003, No. Kotra: 444/J35.3/PL/003, da dlasaaa selama 6 (eam) bula. Peelt megucapa baya terma ash epada berbaga pha yag terlbat dalam peelta, ba lahsug maupu ta lagsug:. Dea FMIPA UNY, yag telah membera esempata epada peelt dega membera Daa sesua otra yag telah dsepaat edua belah pha.. Ketua Jurusa Pedda Matemata, yag telah membera layaa da fasltas yag dperlua peelt guaa melasaaa semar proposal da semar hasl peelta. 3. Para dose Jurusa Pedda Matemata, atas partspasya dalam semar proposal da semar peelta dega membera sara da masua yag terat dega peelta. Peelt berharap agar hasl peelta dapat dmafaata sebaga baha rujua, ba oleh peelt la, dose, maupu mahasswa utu egata pegajara mata ulah yag terat, msalya Metode Numer, atau utu peelta la dalam bdag serupa. Mespu dema, peelt meyadar bahwa tada gadg yag ta reta. Sara da masua dar berbaga pha, apabla d dalam lapora terdapat eelrua atau esalaha peulsa, peelt dega seag hat berseda meermaya utu eperlua publas selajutya. Yogyaarta, 5 Jauar 004 Peelt v

5 Bab I Pedahulua A. Latar Belaag Masalah Iterpolas adalah proses pecara da perhtuga la suatu fugs berdasara la-la fugs tersebut pada seumpula tt yag dbera (tabel la fugs). Nla-la fugs tersebut mug merupaa hasl esperme dalam sebuah percobaa atau dperoleh melalu pegamata da pecatata, msalya suhu d suatu tempat, cacah edaraa yag melewat sebuah ruas jala raya, cacah pedudu d suatu daerah. Dalam hal, rumus fugsfugs yag terat tda detahu secara esplst (msalya sebaga fugs watu), da pegamata/pecatata tda mug dlaua sepajag watu, melaa haya pada watu-watu tertetu. Utu megetahu la-la fugs pada watu-watu sela saat dlaua pegamata/pecatata dapat dguaa terpolas. Fugs terpolas basaya dplh dar seelompo fugs tertetu, salah satuya adalah fugs polomal yag palg baya dpaa. Fugs-fugs polomal baya dpaa dalam terpolas, area fugs-fugs tersebut mudah dhtug laya (haya megguaa empat operas artmeta dasar: pejumlaha/peguraga, perala/ pembaga). Sela tu, polomal mudah dturua, dtegrala, da perlauya ba - semua turuaya ada da otyu. Iterpolas dguaa utu meyelesaa berbaga masalah dalam bdag teor hampra yag lebh umum. Berut adalah beberapa masalah hampra (aprosmas) da emuga pemaaa terpolas utu meyelesaaya. () Dbera sebuah tabel la-la {( x, f ( x )) : = 0,,,3,4,5}, msalya {(0,.3), (,.0), (3,.53), (4,.50), (5,.75)}, terpolas dapat dguaa utu mecar lala fx () utu la-la x yag tda terdapat d dalam tabel. () Dbera seumpula data berupa tt-tt (oordat), sepert d atas, tetua sebuah fugs mulus f yag tda bergoyag (oslatf) da coco dega data tersebut ba secara esa maupu hampra. cos( x) (3) Dbera sebuah fugs f, msala f() x = e da dperlua suatu cara utu meghtug la-la fugs tersebut megguaa omputer. Oleh area omputer haya megguaa operas artmeta dasar (pejumlaha/peguraga da perala/pembaga), maa la-la fugs tersebut dhtug dega megguaa polomal hampra. (4) Utu megtegrala atau meurua suatu fugs secara umer, ta serg meggat fugs yag bersaguta dega espres hampra yag lebh sederhaa, yag basaya dperoleh dega megguaa terpolas. Beberapa metode umer utu meyelesaa persamaa dferesal yag dpaa secara luas dperoleh dar hampra terpolas. Polomal Px () yag meghampr fx () pada terval a x b dapat dcar dega empat macam metode: () polomal Taylor

6 ( ) f () c P ( x) = å ( x - c), a c b,! = 0 () metode terpolas (oloas), ya bahwa urva polomal y = P() x melewat sejumlah tt pada urva y = f() x, (3) metode mmax, ya bahwa polomal Px () memeuh max m derajad ( p) derajad ( P) a x b P( x) = { f( x) - p( x) }, da (4) metode uadrat terecl, ya bahwa polomal Px () memeuh b m b ò [ f( x) - P( x)] dx = ò [ f( x) - p( x)] dx. a derajad ( p) derajad ( P) Metode uadrat terecl megarah epada pemaaa polomal Legedre, metode mmax megarah epada polomal Chebyshev, sedaga polomal-polomal terpolas dapat dhtug dega beberapa cara. Polomal Taylor dapat membera hampra yag cuup aurat sesua rtera yag dbera, amu tda prats ja dpaa utu meghtug hampra la fugs d beberapa tt. j Sebagamaa detahu dalam aljabar, bahwa ja detahu buah tt yag berlaa dapat dbetu sebuah polomal yag berderajad palg tgg -. D dalam metode umer terdapat beberapa metode (rumus) utu medapata polomal yag megterpolasa sejumlah tt. D dalam buu-buu tes metode umer, polomal dapat dyataa dalam setdaya tga macam betu. Msala detahu + tt yag berlaa {( x, y ) =,,3,..., + ; x ¹ x ja ¹ j}. Polomal yag megterpolasa + tt tersebut dapat dhtug dega salah satu cara sebaga berut. () Polomal betu bau, 3 + a P ( x) = a + a x + a x a x, () dega oefse-oefse a dperoleh dar peyelesaa sstem persamaa ler æ x L x ö æ a ö æ y ö x x a y ç L ç ç =. M M O M M M x x a y çè + ø è + ø è L ç + x+ ç ø ç () () Polomal Newto (Atso, 993: 4-5; Mathews, 99: 30): æ ö Q ( x) = y + ç f[ x, x,..., x ] ( x - x ) çè ø + = dega f [ ] meyataa selsh terbag Newto (3) Polomal Lagrage å Õ (3) =

7 + å 3 + =, ¹ + =, ¹ ( x - x ) R ( x) = y L ( x) dega L ( x) =. = ( x - x ) Adalah suatu hal yag mear, ya meyeld esamaa, efses da efetvtas etga polomal P ( x), Q ( x), da R ( x ). Apabla teryata etga polomal tersebut det, maa dapat dplh polomal maa yag palg mudah dpaa da palg efse utu meghtug hampra la-la fx. () Peelta bermasud utu melaua peyelda tersebut. B. Rumusa Masalah Permasalaha yag heda daj dalam peelta melput: () Apaah polomal terpolas Newto da Lagrage det dega polomal terpolas dalam betu bau? () Polomal terpolas maaah yag palg mudah dbetu (memerlua palg sedt operas htug utu meetua oefse-oefseya)? (3) Polomal terpolas maaah yag palg efse dhtug (memerlua palg sedt operas htug utu meghtug laya)? (4) Berapaah galat hampra la fugs yag dperoleh dega megguaa polomal terpolas? C. Tujua Peelta Peelta dlasaaa dega tujua sebaga berut: () utu memperlhata bahwa polomal terpolas Newto da Lagrage det dega polomal terpolas dalam betu bau; () utu megaalss omplestas (sebaga fugs bayaya tt terpolas) dalam betu etga polomal terpolas; (3) utu megaalss omplestas (sebaga fugs bayaya tt terpolas) perhtuga hampra la suatu fugs dega etga polomal terpolas; (4) utu megaalss galat hampra la fugs yag dperoleh dega megguaa polomal terpolas; (5) meyusu program omputer yag dapat dguaa utu meghtug oefseoefse polomal terpolas da meghtug la polomal terpolas. D. Mafaat Hasl Peelta Hasl peelta aa dapat membera pejelasa yag terperc tetag etuggala polomal terpolas, yag pada beberapa buu tes Metode Numer basaya tda djelasa secara terperc. Sela tu, program omputer yag dsusu sagat bermafaat utu meetua oefse-oefse da meghtug la-la polomal yag megterpolasa sejumlah tt pada suatu terval. Program dapat dguaa oleh sapa saja yag meghadap masalah terpolas. Dega dema hasl peelta aa dapat meambah wawasa bag pembaca tetag sfat-sfat polomal terpolas, sehgga dapat memlh polomal terpolas yag tepat utu meghtug hampra la suatu fugs. Peelta juga dapat mejad cotoh utu peelta-peelta la dalam metode umer, hususya tetag polomal terpo- Õ Õ (4)

8 las sebaga salah satu metode hampra fugs. Pada ahrya aa terbua luas hasaah peelta dalam metode umer. Sela mafaat teorts, mafaat prats hasl peelta adalah tersedaya program omputer utu meyelesaa masalah terpolas dega megguaa polomal. E. Pembatasa Permasalaha Mespu terdapat beberapa polomal yag dapat dguaa sebaga hampra fugs pada suatu terval, amu dalam peelta haya aa dbahas polomal terpolas, yag dsusu berdasara data sejumlah tt (la-la fugs yag aa dterpolasa). Peelta tda pembahas hampra fugs dega polomal Taylor maupu hampra fugs dega metode mmax da uadrat terecl. Pembatasa la adalah bahwa fugs-fugs yag dbahas dalam peelta adalah fugsfugs rl dega doma hmpua blaga rl. Peelta tda membahas terpolas fugs omples. 4

9 Bab II Kaja Pusataa Pembahasa metode umer utu mecar hampra la fugs pada suatu terval memerlua beberapa pegerta dasar sebaga berut. Defs (Aar Persamaa, Pembuat Nol Fugs, Mathews, 99: 55) Msala f adalah suatu fugs otyu. Setap blaga r pada doma f yag memeuh fr ( ) = 0 dsebut aar persamaa fx ( ) = 0, atau juga dsebut pembuat ol fx. () Defs (Derajad Aar Persamaa, Atso, 993: 94; Mathews, 99: 76) Msala r adalah aar persamaa fx ( ) = 0. Ja terdapat blaga asl m da fugs otyu h dega hr ( ) ¹ 0, sedema hgga fx () dapat dyataa sebaga f( x) = ( x - m r) h( x), (5) maa r dsebut aar berderajad m. Dar (5) terlhat bahwa ja r pembuat ol fx () yag berderajad m, maa f r f r f r f r ( m- ) m ( ) = '( ) =... = ( ) = 0, da ( ) ¹ 0. Ja m =, maa r dsebut aar sederhaa. Ja m >, maa r dsebut aar gada. Utu m =, maa r dsebut aar dobel, dst. Defs 3 (Betu bau polomal, Cote & de Boor, 98: 3) Suatu polomal P () x yag berderajad urag atau sama dega dalam betu bau adalah suatu fugs yag dtulsa dalam betu P ( x) = a + a x + a x a x (6) 3 + dega oefse-oefse a, a,..., a + blaya yata. Apabla a 0 + ¹, maa polomal tersebut dataa berderajad (tepat). Defs 4 (Perala tersarag, Cote & de Boor, 98: 33-34; Gerald & Wheatly, 994: 56) Salah satu metode utu meghtug la polomal (6) adalah megguaa te perala tersarag P ( x) = a + x( a + x( a x( a + a x)...)). (7) 3 + Dar (7) dapat dsusu suatu algortma perala tersarag utu meghtug la polomal P () x d suatu tt z sealgus hasl bagya oleh ( x - z), ya dega medefsa barsa 5

10 sehgga dperoleh da b = a, da b = a + b z, utu =,( - ),...,, (8) P () z = b, (9) P ( x) = b + ( x - z) q( x) (0) dega qx () adalah polomal hasl bag P () x oleh ( x - z) da dapat dyataa dega q( x) = b + b x + b x b x -. () Dar (9) da (0) terlhat bahwa apabla z adalah aar (pembuat ol) polomal P () x, ya P ( ) 0 z =, maa Lemma berut mejelasa asus umum dar (). P ( ) ( ) ( ) x = x - z q x. () Lemma. ( Cote & de Boor, 98: 35) Apabla z, z,..., z adalah aar-aar berlaa polomal Px (), maa utu suatu polomal rx (). P( x) = ( x - z )( x - z )...( x - z ) r( x) (3) Msala p( x) da q( x ) adalah dua buah polomal berderajad urag atau sama dega da p( z ) = q( z ) utu =,,..., + dega z ¹ z ja ¹ j. Selajutya, ddefsa polomal d( x) = p( x) - q( x). Jad, z, z,..., z + adalah aar-aar berlaa polomal dx (), sehgga dapat dyataa dalam betu (3) utu suatu polomal rx (). Dalam hal, ruas aa dx () memuat + fator dalam x sela fator rx (), padahal dx () adalah selsh dua polomal berderajad urag atau sama dega, sehgga derajad dx () adalah urag atau sama dega. Hal tdalah mug ecual dx ( ) = 0, yag berart p( x) = q( x ). Hal dyataa sebaga abat Lemma d atas, sebaga berut. j Abat (Cote & de Boor, 98, 36) Ja p( x) da q( x ) adalah dua buah polomal berderajad urag atau sama dega da p( z ) = q( z ) utu =,,..., + dega z ¹ z utu ¹ j, maa p( x) da q( x ) det. j Lemma. ( Cote & de Boor, 98: 36) Apabla z, z,..., z adalah aar-aar (mug ada yag sama) polomal Px (), maa utu suatu polomal rx (). P( x) = ( x - z )( x - z )...( x - z ) r( x) (4) 6

11 Abat (Cote & de Boor, 98, 37) Ja p( x) da q( x ) adalah dua buah polomal berderajad urag atau sama dega da p( z ) = q( z ) utu =,,..., +, maa p( x) da q( x ) det. Defs 5 (Selsh Terbag Newto, Atso, 993: -; Mathews, 99: 9) Selsh terbag Newto tgat pertama da edua fugs f terhadap smpul-smpul a,, b c ddefsa berturut-turut sebaga da secara reursf ddefsa 3 f[ a, b] = f[ a, b, c] = f[ x, x, x,..., x ] = f( b) - f( a) b- a, (5) f[ b, c] - f[ a, b], (6) c - a f[ x, x,..., x ] [,,..., ] 3 - f x x x -. (7) x - x Teorema (Teorema Nla Rata-rata, Mathews, 99: 5) Ja f adalah fugs otyu pada terval [ ab, ] da f '( x ) ada utu semua a < x < b, maa terdapat sebuah blaga c, dega a < c < b, sedema hgga f( b) - f( a) f '( c) =. b- a Utu asus f( a) = f( b), teorema la rata-rata mejad Teorema Role. Lemma 3. ( Atso, 993: -) Msala f da dua turua pertamaya otyu pada terval yag memuat tt-tt x, x, da x. Dar defs (5) da (6) dapat dturua sfat-sfat 3 f[ x, x ] = f '( x), (8) dega x adalah blaga atara x da x, da f "( z) f[ x, x, x ] =, (9) 3 m( x, x, x ) z max( x, x, x ). dega 3 3 But: Sfat (8) dapat dperoleh dega megguaa Teorema Nla Rata-rata, ya oleh area f da f ' otyu pada terval yag memuat x da x, maa terdapat blaga x atara x da x sedema hgga f f( x )- f( x ) '( x) = = f[ x, x ], x - x 7

12 da esamaa terahr dperoleh dar defs (5). Selajutya, sfat (9) dapat dbuta sebaga berut. Defsa fugs-fugs Et () da Gt () sebaga berut: da E( t) = ( t - x )( t - x ) f[ x, x, t], (0) ( t - x )( t - x ) G t E t E x ( ) = ( )- ( ). 3 ( x - x )( x - x ) 3 3 Fugs-fugs Et () da Gt () tersebut memeuh sfat-sfat sebaga berut:. Karea f, f ' da f " otyu, maa G( t), G '( t) da G "( t ) juga otyu pada terval yag sama. E( x ) = E( x ) = 0 sehgga G( x ) = G( x ) = G( x ) = Dega megguaa Teorema Nla Rata-rata dapat dperoleh la x atara x da x da x atara x da x sedema hgga G'( x ) = G'( x ) = 0. Dega megguaa Teorema Nla Rata-rata lag pada G'( t ), dapat dperoleh z atara x da x, atau 3 m( x, x, x ) z max( x, x, x ), sedema hgga G "( z ) = Selajutya, dega sedt perhtuga aljabar dapat dtujua bahwa E "( t) = f "( t), sehgga E( x ) E( x ) G t E t f t ( x - x )( x - x ) ( x - x )( x - x ) 3 3 "( ) = "( )- = "( ) Dar (0) da () da dega meggat G "( z ) = 0, dperoleh sehgga dperoleh (9). f "( z) ( x - x )( x - x ) f[ x, x, x ] = E( x ) = ( x - x )( x - x ), (3) () () 8

13 Bab III Metode Peelta A. Mater / Baha Peelta Peelta merupaa peelta matemats da omputas, yag derjaa dega cara melaua aalss matemats megguaa peara esmpula secara dedutf. Kesmpula dar hasl pealara dedutf bersfat determtf, bua probablst, sehgga tda dperlua peguja hpotess secara statsta. Hasl-hasl omputas dguaa utu megofrmasa hasl-hasl aalss matemats. Oleh area tu, mater peelta berupa defs, asoma, da fata-fata matemata la dalam metode umer, hususya osep-osep yag terat dega polomal da terpolas. Iformas-formas tersebut basaya terdapat d dalam buu-buu tes matemata secara umum, atau Metode Numer hususya, da jural-jural matemata da / atau metode umer. Sela formas terceta, juga terdapat formas ole, ya Iteret, yag merupaa sumber formas melmpah utu meduug egata peelta. Aalss matemats (pealara dedutf) dlaua d atas ertas, sehgga dperlua ertas da pea utu melaua peelta. Komputas dlaua dega megguaa batua omputer da program omputer (software). Program omputer yag aa dsusu utu meghtug oefse-oefse da la-la polomal terpolas dtuls dega megguaa software MATLAB, yag merupaa paet spesf matemata yag coco utu eperlua omputas umer. Peelta tda memerlua strume yag berupa aget, formulr, soal-soal tes, da alat-alat pegambla data statsta sejes. Dalam peelta tda dperlua data statsta yag dperoleh dega megguaa strume-strume peelta tersebut maupu data statsta seuder. B. Cara Peelta Peelta merupaa peelta matemata yag bersfat dedutf. Kesmpulaesmpula yag dperoleh merupaa hasl proses pealara secara dedutf berdasara fata-fata matemata yag berupa defs, asoma, otas matemata, da teoremateorema yag sudah dbuta. Dalam peelta tda dlaua aalss statsts utu pegambla esmpula, sehgga tda dperlua populas da pegambla sampel. Secara terperc, lagah-lagah peelta melput:. Pegumpula defs da asoma yag dperlua, hususya tetag pegerta terpolas da polomal terpolas;. Aalss dedutf utu medapata polomal terpolas dalam betu bau; 3. Aalss dedutf utu medapata polomal terpolas Newto; 4. Aalss dedutf utu medapata polomal terpolas Lagrage; 5. Aalss dedutf utu meujua esamaa polomal terpolas dalam betu Newto da Lagrage dega betu bau; 6. Aalss dedutf utu medapata galat hampra la fugs dega megguaa polomal terpolas; 9

14 7. Aalss dedutf utu membadga efetvtas da efses etga betu polomal terpolas utu meghtug hampra la fugs; 8. Peyusua program MATLAB yag dapat dguaa utu meetua oefseoefse da meghtug la polomal terpolas; da 9. Pegguaa program-program MATLAB tersebut utu meyelesaa beberapa masalah terpolas da membadga haslya dega la-la fugs yag sebearya. 0

15 Bab IV Hasl Peelta A. Esstes da Ketuggala Polomal Iterpolas Msala detahu hmpua + tt: {( x, y ) =,,3,..., + ; x ¹ x ja ¹ j}. j Tt-tt tersebut berlaa. Kta aa membetu suatu polomal Px () berderajad urag atau sama dega yag megterpolasa + tt tersebut, ya memeuh: P ( x ) = y, utu =,, 3,..., +. Utu tujua ta plh polomal betu Lagrage (4), yag teryata memeuh sehgga + Õ ( x - x ) í, ja = =, ¹ L ( x ) = = ï,,,3,..., + ì = +, ï 0, ja ¹ ( x - x ) ïî Õ =, ¹ + å = R ( x ) = y L ( x ) = y utu =,,3,..., +. I meujua bahwa polomal () R x megterpolasa + tt yag detahu ter- L x merupaa haslal fator ler, sehg- sebut. Selajutya, dar (4) terlhat bahwa () ga a merupaa suatu polomal berderajad tepat. Dega dema () merupaa suatu polomal berderajad tepat area a merupaa jumlah R x juga + polomal berderajad tepat. Jad, dapat dsmpula bahwa terdapat sedtya sebuah polomal berderajad urag atau sama dega yag megterpolasa + tt d atas. Semetara tu, dar Abat dapat detahu bahwa terdapat palg baya sebuah polomal berderajad urag atau sama dega yag megterpolasa + tt berlaa. Kesmpula dar edua hal tersebut dyataa dalam teorema berut. Teorema (Esstes da Ketuggala Polomal Iterpolas) j Terdapat tepat sebuah polomal berderajad urag atau sama dega yag megterpolasa + tt berlaa {( x, y ) =,,3,..., + ; x ¹ x ja ¹ j}. Polomal terpolas dapat dyataa dalam betu Lagrage (4). Selajutya aa dtjau polomal bau () da polomal Newto (3). Dar () dperoleh, utu =,,3,..., +, P ( x ) = a + a x + a x a x = y 3 + area oefse-oefse a merupaa peyelesaa dar (). Sstem persamaa ler () djam mempuya peyelesaa area matrs oefseya merupaa matrs

16 Vadermode o-sgular, meggat x ¹ x ¹ x ¹... ¹ x 3 + sehgga setap persamaa bebas terhadap persamaa-persamaa yag la. Jad, polomal betu bau P () x yag ddefsa pada () megterpolasa + tersebut d atas. Jelas bahwa P () x berderajad urag atau sama dega. Berutya, aa dtjau polomal Newto (3). Searag aa dtujua bahwa (3) bear-bear megterpolasa + tt tersebut d atas. Utu tujua dperlua lemma d bawah. Lemma 4 (Rumus Esplst Selsh Terbag Newto) Ja detahu + tt berlaa {( x, y ) =,,3,..., + ; x ¹ x ja ¹ j} dega y = f( x ) utu =,,3,..., +, maa But: f[ x, x, x,..., x, x ] = 3 + j y + å. (4) + = ( x x ) j j= Õ -, j¹ But (4) dapat dbera secara dutf terhadap la-la. Utu =, dperoleh Msala (4) berlau utu f( x ) - f( x ) y - y y y f[ x, x ] = = = + x - x x - x x - x x - x = r, ya f[ x, x, x,..., x, x ] = 3 r r + Selajutya, utu = r + ta lhat f[ x, x, x,..., x ] = 3 r + r + å = r + Õ j =, j ¹ f[ x, x,..., x ]- f[ x, x,..., x ] 3 r+ r+ x - x r + y. ( x - x ) í ü r+ y r+ y = ï ì - ï r+ r+ ý x x å å - r + = = ( x - x ) ( x - x ) Õ j Õ j ïî j=, j¹ j=, j¹ ïþ íï ï - y y é( x - x )- ( x - x ù = + x ï êë r + úû ì r + r + - x r + Õ ( x - x ) ( x - x ) ï j Õ j j= j=, j¹ ïî üï y é( x x ) ( x x ù r y ê ú r + + ë û ï r+ r+ ý ïï Õ ( x - x ) Õ( x - x ) j ï ïïþ j r + j=, j¹ 3 j= j.

17 y y y 3 f[ x, x, x,..., x ] = r + r + r + r + ( x - x ) ( x - x ) ( x - x ) = Õ Õ Õ j j 3 j j= j=, j¹ j=, j¹ 3 r + å = r + Õ j=, j¹ y. ( x - x ) j r Õ j= y r + ( x - x ) r + j Perhtuga d atas dlaua dega megelompoa suu-suu yag memuat y, y, y 3,, y r+. Searag aa dbuta teorema d bawah. Teorema 3 (Keberadaaa Polomal Iterpolas Newto) j Ja detahu + tt berlaa {( x, y ) =,,3,..., + ; x ¹ x ja ¹ j} dega y = f( x ) utu =,,3,..., +, maa polomal Q () x yag megterpolasa + tt tersebut dapat dyataa dalam betu Q ( x) = Q ( x) + f[ x, x, x,..., x ] ( x x ) Õ - (5) dega Q () x megterpolasa ( x, y ) utu =,, 3,...,. - But: Q () x adalah polomal berderajad urag atau sama dega dega Q ( x ) = y utu =,,3,..., + da Q () x adalah polomal berderajad urag atau sama dega - ( - ) dega Q ( x ) = y utu =,, 3,...,. Selajutya, defsa polomal - g ( x ) = Q ( x ) - Q ( x ). Jelas bahwa gx () adalah suatu polomal berderajad palg tgg, da mempuya aar x, x, x,..., x 3, area g( x ) = Q ( x ) ( ) 0 - Q x = y - y = utu =,, 3,...,. - Dega dema gx () dapat dtulsa dalam betu utu suatu ostata pegal A (lhat Lemma da Lemma ), sehgga = - g( x) = A ( x - x ) Õ = = Q( x) = Q ( x) + A ( x x ) - Õ -. Jad, A merupaa oefse x meggat Q () x berderajad urag atau sama dega - ( - ) da Q () x adalah polomal berderajad urag atau sama dega. Semetara tu, pada Teorema sudah dbuta bahwa polomal terpolas bersfat tuggal da dapat dyataa dalam betu Lagrage (4). Koefse x pada polomal terpolas betu La- 3

18 grage (4) adalah y + å. Meggat etuggala polomal terpolas, maa + = ( x - x ) j j= Õ, j¹ dega megguaa hasl pada Lemma 4 dperoleh y A f[ x, x, x,..., x ] + = = = ( x - x ) j j=, j¹ å Õ, da (5) pu telah terbut. Dega memperhata persyarata polomal (5), jelaslah bahwa polomal Q () x tda la adalah polomal Newto (3). Dar syarat-syarat Q () x pada Teorema 3 dapat detahu fata-fata sebaga berut: Q ( x ) = y da Q ( x ) = y Q ( x ) = y, Q ( x ) = y, da Q ( x ) = y Oleh area Q () x adalah polomal berderajad urag atau sama dega yag dapat dbetu secara reursf dega rumus (5) da oefse x pada Q () x adalah A f [ x, x, x,..., x = ] yag tda la adalah oefse x pada polomal terpolas 3 Newto (3), maa (5) det dega (3). j Jad polomal terpolas Newto (3) megterpolasa + tt berlaa sebagamaa dmasuda semula, ya {( x, y ) =,,3,..., + ; x ¹ x ja ¹ j}, da dapat dperoleh recara reursf dega rumus (5), dega polomal terpolas awal Q ( x) = y + ( x - x ) f[ x, x ] da y = f( x ), utu =,,3,..., +. Dar uraa d atas telah jelas bahwa ba polomal betu bau (), polomal Newto (3), maupu polomal betu Lagrage (4) megterpolasa + tt yag dmasud semula. Jad meurut Teorema, bahwa polomal terpolas tuggal, etga polomal tersebut det. B. Galat pada Polomal Iterpolas Msala f adalah fugs rl yag ddefsa pada suatu terval I = [ a, b], da msala P () x adalah polomal terpolas berderajad urag atau sama dega yag megterpolasa + tt berlaa pada I, ya {( x, f( x )) x Î I, =,,3,..., + ; x ¹ x ja ¹ j}. j Galat terpolas e () x pada polomal terpolas P () x dbera oleh e ( x) = f( x) - P ( x). (6) Sudah tetu dar persyarata polomal terpolas ta tahu bahwa e ( x ) = 0 utu =,,3,..., +. Permasalahaya bagamaa megetahu la galat e () x utu sebarag x Î I. 4

19 Msala x Î I da berlaa dega x, x, x,..., x 3 +. Apabla P () x adalah polomal + berderajad urag atau sama dega ( + ) yag megterpolasa x, x, x,..., x, x, 3 + maa P ( x ) = f ( x ), sedaga meurut (5), + sehgga Jad, + P ( x) = P ( ) [,,...,, ] ( ) x + f x x x x x x + + Õ -, = + f( x) = P ( x) = P ( ) [,,...,, ] ( ) x + f x x x x x x + + Õ r -. + e ( x) = f[ x, x,..., x, x] Õ ( x - x ), " x Î I, x ¹ x, x,..., x. (7) = + + = Ruas aa pada (7) memperlhata bahwa galat polomal terpolas "mrp suu terahr" dalam polomal terpolas Newto. Utu meghtug galat (7) dperlua formas la fx, () gua meghtug f[ x, x,..., x, x]. Aa tetap, sepert dtujua pada Lemma 3, bahwa selsh terbag + Newto dapat dhtug megguaa turua. Teorema berut merupaa geeralsas Lemma 3. Teorema 4 (Hubuga Selsh Terbag Newto da Turua) Msala f adalah fugs rl yag otyu da mempuya turua sampa e- + yag otyu pada suatu terval I = [ a, b]. Ja x, x, x,..., x 3 + adalah + tt berlaa pada I, maa terdapat x Î ( ab, ) sedema hgga ( ) f () x f[ x, x, x,..., x ] =. (8) 3 +! But: Utu asus = da = ebeara (8) sudah dtujua pada Lemma 3. Utu membuta asus umum, msala P () x adalah polomal berderajad urag atau sama dega yag megterpolasa x, x, x,..., x 3 +. Selajutya, ddefsa fugs g, 5 + g( t) = f( t) - P ( t) - CÕ ( t - x ), " t Î I, dega C adalah suatu ostata yag heda dcar. Meggat f( x ) = P ( x ), maa gx ( ) = 0 utu =,,3,..., +. Msala C dplh sedema hgga gx ( ) = 0 utu suatu x Î I yag berlaa dega + tt yag detahu, ya C = = = f ( x) - P ( x). (9) + ( x - x ) Õ Jad g( t) = 0 utu t = x, x,..., x, x. Dar defsya dapat detahu bahwa fugs g + otyu da mempuya turua sampa e- + yag otyu, area f dema da

20 P () x adalah polomal berderajad urag atau sama dega. Jad ta dapat megguaa teorema Rolle secara berulag pada g, g ', g '',..., g +. Ahrya, dapat dtemua suatu ( ) x Î ( ab, ) yag memeuh + ) + ( + ) ( + ) 0 = g ( x) = f ( x) - P ( + ) ( x) - C ( t - x ) ( + ) t= x dt = d Õ. Selajutya, area P () t adalah polomal berderajad urag atau sama dega, maa turua e-( + )-ya pastlah ol. Dema pula, + Õ ( t - x ) merupaa suatu polomal berderajad tepat + de-ga oefse t + adalah, maa turua e-( + )-ya adalah ( + )!. Dega dema dperoleh ( + ) ( + ) 0 ( x) ( x) 0 ( )! = = g = f C atau C = Apabla hasl terahr dmasua e dalam (9) maa dperoleh atau ( + ) f x f x - P x = + ( + )! ( ) ( ) ( ) = Õ = ( x - x ) ( + f ) () x. ( + )! ( + ) + f () x e ( x) = Õ ( x - x ), " x Î I, x ¹ x. (30) ( + )! Ja rumus galat (30) dgabug dega rumus galat (7) maa dperoleh atau f () x ( + ) + + ( )! ( x - x ) = f[ x, x,..., x, x] ( x - x ), " x Î I, x ¹ x, x,..., x + Õ Õ + + = = f[ x, x,..., x, x] = + ( + ) f () x. ( + )! Dega meulsa x = x da rumus terahr dterapa pada + + tt pertama, maa dperoleh (8). Dar but d atas teryata telah dperoleh rumus la utu meghtug galat polomal terpolas, ya persamaa (30). Dar rumus (30) dapat dhtug batas-batas galat polomal terpolas. C. Perhtuga dalam Polomal Iterpolas Perhtuga yag berata dega polomal-polomal terpolas melput dua macam, ya: () perhtuga utu membetu polomal terpolas, da () perhtuga lala polomal tersebut. 6

21 . Polomal Betu Bau Utu polomal betu bau (), perhtuga oefse dlaua dega meyelesaa suatu sstem persamaa ler husus (), yag mempuya matrs oefse berupa matrs Vadermode. Pembetua matrs oefse sedr memerlua ( - )( )( + )/ perala. Selajutya, utu meyelesaa sstem persamaa lear dega uura matrs oefse megguaa metode elmas Gauss da peyulha mudur dperlua ( - )( + 5)/6 operas pejumlaha/peguraga da ( )/3 operas perala/pembaga (Atso, 00: 54-55). Setelah oefse-oefse polomal terpolas betu bau dperoleh, perhtuga la-la polomal tersebut dapat dlaua secara efse megguaa algortma perala tersarag, yag haya memerlua pejumlaha/ peguraga da perala. Polomal betu bau tda dapat dguaa utu membetu polomal terpolas baru apabla tt terpolasya dperbaya. Jad, pemaaa polomal terpolas betu bau tda efse apabla dguaa utu memperoleh polomal-polomal terpolas dega cacah tt terpolas sema bertambah baya.. Polomal Newto (Selsh Terbag) Pembetua polomal terpolas Newto (3) juga memerlua perhtuga oefseoefse, yag tda la adalah selsh-selsh terbag Newto. Polomal Newto (3) dapat dtulsa dalam betu Q ( x) = D + D ( x - x ) Perhtua la-la D dlaua sebaga berut: ). Isalsas: D = y = f( x ), utu =,,3,..., + ). Utu =,3,4,..., +, laua Utu j = +,, -,...,, htug ulag D = ( D - D )/( x - x ). j j j- j j- + å + Õ. (3) = = Pada ahr perhtuga aa dperoleh la-la D = y da D = f[ x, x,..., x ], utu + =,3,4,..., +. Perhtuga la-la D tersebut memerlua operas htug sebaya + ( ) pejumlaha/peguraga da + ( )/ perala/pembaga. Setelah lala D tersebut dperoleh, perhtuga la-la polomal Newto dapat dlaua secara efse megguaa algortma perala tersarag, yag haya memerlua pejumlaha/ peguraga da perala. Oleh area sfatya yag reursf, polomal terpolas Newto sagat efse dguaa utu membetu polomal-polomal terpolas dega cacah tt terpolas sema bertambah. Pembetua polomal terpolas baru yag berderajad lebh tgg dega adaya peambaha tt terpolas baru dapat dlaua dega megguaa polomalpolomal berlerajad lebh redah yag sudah dperoleh. 3. Polomal Iterpolas Lagrage Mespu tda dlaua secara esplst, pembetua polomal terpolas Lagrage (4) juga memerlua perhtuga oefse-oefse, ya perhtuga peyebut pada L () x 7 (3)

22 memerlua pejumlaha/peguraga da - perala. Selajutya, utu meghtug la L () x dperlua pejumlaha/peguraga da perala/pembaga. Setelah la-la polomal L () x dhtug, ahrya utu meghtug la polomal terpolas Lagrage R () x dperlua + perala da pejumlaha. Jad, utu meghtug la-la polomal terpolas Lagrage R () x dar data terpolas dperlua da ( + ){ + } + = + 3 pejumlaha/peguraga (+){-+}+(+)= + perala/pembaga. Sebaga alteratf la utu membetu da meghtug polomal terpolas Lagrage R () x dapat dlaua dega cara meyataa R () x sebaga + + R ( x) = l ( x - x ) dega l = å = Õ =, ¹ + Õ =, ¹ y. (33) ( x - x ) Dar (33) jelas terlhat bahwa perhtuga la oefse-oefse l dapat dlaua dega megguaa ( + ) pejumlaha/peguraga da ( + ) perala/pembaga. Setelah la-la l dperoleh, utu meghtug la R () x dperlua ( + ) + pejumlah-a/peguraga da ( + ) perala, sehgga total operas yag dperlua utu membetu da meghtug la R () x adalah sepert hasl aalss pada paragraf sebelumya. 4( ) 4 5 D. Implemetas Polomal Iterpolas dega Matlab + + = + operas, sama Sepert pada uraa d atas, perhtuga dalam terpolas polomal melput dua macam, ya perhtuga oefse-oefse da perhtuga la-la polomal terpolas (sebaga hampra la fugs yag detahu data atau rumusya). Dalam mplemetas, prosedur utu meghtug oefse-oefse polomal terpolas da prosedur utu meghtug la polomal perlu dpsaha, sehgga perhtuga lebh efse tda setap heda meghtug la polomal harus meghtug oefse-oefseya. Pada polomal betu bau, perhtuga oefse dperoleh dega meyelesaa sebuah SPL yag mempuya matrs oefse husus, ya matrs Vadermode. Pada Matlab terdapat fugs vader utu meghasla matrs Vadermode dar data yag dbera. Aa tetap, area d dalam Matlab polomal dtuls dar suu berpagat tertgg, maa ta perlu mecerma matrs/vetor-vetor pada Matlab. Hal dapat dlaua dega pertah flplr (utu vetor bars) atau flpud (utu vetor olom). Perhtuga polomal de-ga perala tersarag pada Matlab juga sudah dmplemetasa dalam fugs polyval. Dega dema etga fugs Matlab tersebut dapat dguaa dalam perhtuga polomal terpolas betu bau. Program (fugs) Matlab utu meghtug oefse-oefse polomal terpolas betu umu adalah terpolum.m, dsaja pada Lampra A. Pemaaa fugs tersebut dlaua dega meulsa pertah d bawah pada bars pertah Matlab. a=terpolum(x,y) 8

23 Masua (argume) utu fugs terpolum adalah pasaga vetor x da y, eduaya harus beruura sama da eleme-eleme vetor x tda ada yag sama. Haslya berupa vetor a yag eleme-elemeya merupaa oefse-oefse polomal a z + a z a z + a. - + Selajutya, utu meghtug la-la polomal terpolas dapat dguaa pertah (fugs) Matlab polyval dega masua vetor a, hasl fugs terpolum, da z, msalya y=polyval(a,z). Program Matlab utu meghtug oefse-oefse da la-la polomal terpolas Newto (metode selsh terbag) adalah terpolst.m da lapol.m, dsaja pada Lampra A. Kedua fugs tersebut ddasara pada algortma (3) da perala tersarag utu rumus (3). Pertah Matlab D=terpolst(x,y) meghasla vetor D yag bers selsh-selsh terbag Newto. Selajutya, utu meghtug la-la polomal terpolas dapat dguaa pertah (fugs lapol) dega cara meulsa, msalya y=lapol(d,z). Yag terahr, program Matlab utu meghtug oefse-oefse da la-la polomal terpolas Lagrage yag ddasara pada (33) adalah terpolag.m da lapolag.m, dapat dlhat pada Lampra A. Format umum pemaaa edua fugs tersebut adalah sebaga berut lambda=terpolag(x,y) y3=lapolag(lambda,z). Berut adalah dua cotoh data utu terpolas yag dselesaa dega etga polomal terpolas d atas. Pada cotoh pertama, data fugs tda detahu rumusya sedaga pada cotoh edua, rumus fugs detahu. >> x =[ ]; >> y =[ ]; >> a=terpolum(x,y)' a = >> polyval(a,.5) as = >> D=terpolst(x,y) D = >> lapol(d,x,.5) as = >> l=terpolag(x,y) l = >> lapolag(l,x,.5) as =

24 Dar hasl perhtuga d atas terlhat bahwa etga polomal terpolas mempuya la yag sama d x=.5. Hal sesua dega hasl aalss teorts sebelumya bahwa etga polomal terpolas adalah det. Fata aa lebh jelas ja urva etga polomal dgambar, etgaya aa tampa bermpt, sepert pada Gambar, yag dhasla dar pertah-pertah sebaga berut. >> t=0:.:4; >> y=polyval(a,t); >> y=lapol(d,x,t); >> y3=lapolag(l,x,t); >> plot(t,y,'.',t,y,'+',t,y3,'-.') >> grd o Gambar Ketga urva polomal terpolas berdasara data (0,.90), (0.5,.39), (.0,.7), (.5,.98), (.0, 3.0), (3.0, 3.0), (3.5,.98), (4.0,.74) Esperme edua dlaua terhadap fugs 0 0x f( x) = x - + e - dega data terpolas la-la f d x = -, - 0.7, - 0.4, - 0., 0., 0.5, 0.8. Berut adalah pertahpertah Matlab yag dguaa utu meghasla urva fugs tersebut da etga polomal terpolas. >> f=le('*x-+exp(-0*x.^)') f = Ile fucto: f(x) = *x-+exp(-0*x.^) >> x=-:.3: x = >> y=f(x) y = >> A=terpolum(x,y)'

25 A = >> D=terpolst(x,y) D = >> L=terpolag(x,y) L = >> T=-:.:; >> f0=f(t); >> f=polyval(a,t); >> f=lapol(d,t,t); >> f3=lapolag(l,x,t); >> f=lapol(d,x,t); >> plot(t,f0,'-',t,f,'.',t,f,'+',t,f3,'-.') >> grd o Hasl pertah-pertah d atas dperlhata pada Gambar. Dar gambar tersebut dapat detahu bahwa:. Ketga urva polomal terpolas tampa bermpt. Ketga polomal terpolas coco dega fugs aslya pada baga tegah terval d maa terpolas dlaua, sedaga d baga ujug terval polomal terpolas urag coco dega fugs aslya. Gambar Kurva fugs 0x f( x) = x - + e - da etga polomal terpolas berdasara la-la f d x = -, - 0.7, - 0.4, - 0., 0., 0.5, 0.8

26 Hasl (pegamata) omor d atas sebearya tda terlepas dar perlau polomal pada fugs galat (30), ya ( x - x )( x - x )...( x - x ). Utu sub-subterval yag berjara + sama da la-la yag cuup besar, msalya ³ 5, la-la polomal berubah a turu secara cepat pada terval terpolas. Utu tt-tt terpolas yag berjara sama, perubaha d ujug-ujug terval jauh lebh besar darpada perubaha d baga tegah terval terpolas (Atso, 00:9). Hal juga tampa pada aalss aalt dega batua Maple utu asus edua d atas, yag dsaja pada Lampra B. Sema besar la, sema besar perubaha a-turu la polomal pada galat tersebut. Dega dema, rumus galat (30) sebearya membera pergata bahwa sesugguhya galat pada polomal terpolas ampaya aa lebh ecl pada baga tegah terval terpolas. Jad, agar dperoleh polomal terpolas yag cuup aurat utu suatu fugs yag detahu rumusya, perlu dtetua smpul-smpul terpolas x, x, x,..., x 3 + yag memmuma masmum ( x - x )( x - x )...( x - x ). Pedeata yag serg + dsebut pedeata ear-mmax, yag sudah d luar jagaua peelta.

27 Bab V Kesmpula da Sara A. Smpula Berdasara hasl aalss teort da omputas umer pada bab sebelumya, dapat dsmpula beberapa hal yag berata dega rumusa masalah pada bab I sebaga berut.. Telah dtujua bahwa polomal terpolas Newto da polomal terpolas Lagrage det dega polomal terpolas betu bau.. Hasl aalss perhtuga utu memperoleh oefse-oefse da perhtuga lala polomal terplas dapat dragum pada Tabel. Dar tabel tersebut dapat detahu bahwa polomal Newto (metode selsh terbag Newto) merupaa polomal terpolas yag palg mudah dbetu da palg efse dhtug, dbadg dega edua polomal terpolas yag la. Tabel Raguma Cacah Operas pada Perhtuga Polomal Iterpolas Polomal Iterpolas. Betu umum: P ( x) = a + a x + a x a x 3 + Nla oefse-oefse a dperoleh dega meyelesaa (). Polomal Newto (selsh terbag): Q ( x) = D + D ( x - x ) + = = å Õ D dhtug megguaa (3) 3. Polomal Lagrage: + + R ( x) = l ( x - x ) å Õ = =, ¹ l dhtug megguaa (33) Cacah operas htug yag dperlua Perhtuga Perhtuga la oefse Total polomal 3 ( - )( )( + )/ ( - )( + 5)/6 6 ( )/3 + ( ) + ( )/ ( + ) ( + ) ( + ) + ( + ) Besar galat hampra la fugs dega megguaa etga polomal terpolas tersebut adalah sama, area etga polomal det, da dyataa oleh rumus (30). Galat juga merupaa polomal yag perlauya tergatug pada tt-tt terpolas. Sela esmpula sebaga jawaba rumusa masalah tersebut, dapat pula dsmpula sebaga berut: Polomal terpolas betu bau da polomal Lagrage tda prats dguaa dalam terpolas dega cacah tt terpolas sema bertambah. Mespu dema polomal terpolas Lagrage dapat dguaa utu meujua eberadaa polomal terpolas. Karea dbetu secara reursf, polomal terpolas Newto sagat efse ja dguaa utu pembetua da perhtuga polomal-polomal terpolas dega cacah tt terpolas sema bertambah.

28 B. Sara. Aalss etuggala polomal terpolas dapat dlajuta apaah haslya tetap osste utu terpolas pada bdag (fugs dua varabel).. Utu eperlua prats terpolas dega polomal berderajad tgg dega tt-tt terpolas berjara sama tda dajura, area sfat fugs galatya yag flutuatf. Sebaga alteratf dapat dcar polomal terpolas dega pedeata mmax atau ear-mmx (Tetag hal perlu dseld lebh lajut). 4

29 Daftar Pustaa Atso, Kedal (993). Elemetary Numercal Aalyss. secod edto. Joh Wley & Sos, Sgapore. Atso, Kedal (00). Elemetary Numercal Aalyss. revso edto (Chapter 8). dowload dar Atso, Kedal (993). Elemetar Numercal Aalyss. secod edto. Joh Wley & Sos, Sgapore. Borse, G.J (997). Numercal Methods wth MATLAB, A Resource for Scetests ad Egeers. PWS Publshg Compay, Bosto. Cote, Samuel D. & Carl de Boor (98). Elemetary Numercal Aalyss, A Algorthmc Approach. 3 rd edto. McGraw-Hll Boo Compay, Sgapore Gerald, Curts F. & Patrc O. Wheatly (994). Appled Numercal Aalyss. 5 th edto. Addso-Wsley Pub. Co., Sgapore Jacques, Ia & Col Judd (987). Numercal Aalyss. Chapma ad Hall, New Yor. Mathews, Joh H (99). Numercal Methods for Mathematcs, Scece, ad Egeerg. secod edto. Pretce-Hall, Ic. Eglewood Clffs, New Yor. Sched, Fracs (989). Schaum's Outle Seres Theory ad Problems of Numercal Aalyss. /ed. McGraw-Hll Boo Compay, Sgapore. Volov, E. A (990). Numercal Methods. Hemsphere Publshg Compay, New Yor. 5

30 Lampra A. Fugs-fugs Matlab fucto a= terpolum(x,y) % meghtug la-la a_, a_,..., a_{+} % yag memeuh y=a_+a_x+a_3x.^+...+a_{+}x.^ % x da y adalah vetor olom/bars dega cacah eleme sama (=+) % eleme-eleme pada vetor x TIDAK boleh ada yag sama (otrolya?) % Kotrol ebeara masua: [m,] = sze(y); f (arg~=)>0 fd((sze(x)~=[m,]))>0 (m(m,)~=)>0, error('salah megguaa fugs!'), ed % Perhtuga oefse: V=flplr(vader(x)); f m==, a=v\y'; else a=v\y; ed %ce apaah y berupa vetor olom/bars % vetor a yag ddapat d atas perlu dcerma agar tda ebal % ja dpaa utu meghtug la polomal d z dega fugs 'polyval(a,z)' % area Matlab megasumsa oefse polomal dar suu berpagat tertgg a=flpud(a); fucto D=terpolst(x,y); % meghtug la-la selsh terbag Newto D % pada oefse-oefse polomal terpolas % Newto : Q(x)=D+ D(x-x)+D3(x-x)(x-x)+...+D+(x-x)(x--x)...(x-x) % dega D=y[x,x,...,x(+)] % eleme-eleme pada vetor x TIDAK boleh ada yag sama (otrolya?) % Kotrol ebeara masua: [m,] = sze(y); f (arg~=)>0 fd((sze(x)~=[m,]))>0 (m(m,)~=)>0, error('salah megguaa fugs!'), ed D=y; =legth(d); for =: for j=:-:, D(j)=(D(j)-D(j-))/(x(j)-x(j-+)); ed ed fucto Q=lapol(D,x,z) % meghtug la polomal terpolas Newto pada z % vetor x harus sama dega yag dguaa % utu meghtug D=terpolst(x,y) % ja tda dema, perhtuga ta berart!!! % eleme-eleme pada vetor x TIDAK boleh ada yag sama (otrolya?) =legth(d); Q=D()*oes(sze(z)); for j=-:-: Q=D(j)+Q.*(z-x(j)); ed fucto lambda=terpolag(x,y) % meghtug oefse-oefse % polomal terpolas Lagrage % eleme-eleme pada vetor x TIDAK boleh ada yag sama (otrolya?) % Kotrol ebeara masua: [m,] = sze(y); f (arg~=)>0 fd((sze(x)~=[m,]))>0 (m(m,)~=)>0, 6

31 error('salah megguaa fugs!'), ed =legth(x); for =: p=x()-x; lambda()=y()/prod(p(fd(p))); ed fucto R=lapolag(lambda,x,z) % meghtug la polomal terpolas Lagrage pada z % vetor x harus sama dega yag dguaa % utu meghtug lambda=terpolag(x,y) % ja tda dema, perhtuga ta berart!!! % eleme-eleme pada vetor x TIDAK boleh ada yag sama (otrolya?) [m,]=sze(z); R=zeros(m,); q=legth(x); for =:m for j=: for =:q L=lambda(); for r=:q f r~= L=L*(z(,j)-x(r)); ed ed R(,j)=R(,j)+L; ed ed ed B. Perhtuga Aalt dega Maple utu Cotoh Komputas Kedua > f:= proc(x) *x-+exp(-0*x^); ed; > f(t); > plot([f(t)],t=-..); t e ( 0 t) > df7:=proc(x) local t; eval(dff(f(t),t$7),t=x)/7!; ed; > factor(df7(t)); 7

32 t 0 t ) e( ( 40 t 680 t t 6 ) > wth(lalg):x:=[-, -.7, -.4, -.,.,.5,.8]; x := [-, -.7, -.4, -.,.,.5,.8] > p:=proc(t,x) local,p; p:=; for from to ops(x) do p:=p*(t-x[]); ed do; ed; > p(t,x); # polomal galat polomal terpolas berderajad 6 utu f(t) ( t ) ( t.7 ) ( t.4 ) ( t. ) ( t. ) ( t.5 ) ( t.8 ) > plot(p(t,x),t=-..); # terlhat galat terpolas relatf ecl d baga tegah terval terpolas > maxmze(df7(t),t=-..): M:=evalf(%); M := > mmze(df7(t),t=-..): m:=evalf(%); m :=