Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pembelajarannya. Jurusan Matematika, FMIPA UM. 13 Agustus 2016

Transkripsi

1 Prosdg Semar Nasoal Matemata da Pembelajaraya. Jurusa Matemata, FMIPA UM. Agustus 06 METODE NUMERIK STEPEST DESCENT DENGAN ARAH PENCARIAN RERATA ARITMATIKA Rumoo Bud Utomo Uverstas Muhammadyah Tagerag Abstra Peelta megaj tetag Metode umer Stepest Descet dega arah pecara Rerata Artmata. Peelta dlaua dega memaham terlebh dahulu magea metode umer Stepest Descet dega arah pecara grade beserta algortmaya. Setelah tu dostrus metode umer Stepest Descet dega arah pecara Rerata Artmata beserta algortmaya. Dalam pelta juga dbera cotoh pegguaa edua metode umer dalam meyelesaa masalah optmsas tapa edala beserta aalsya. Kata uc: metode umer steepest descet, arah pecara grade, rerata artmata PENDAHULUAN Tda selamaya solus aalt dar suatu permasalaha matemata hususya masalah optmsas dapat dega mudah dtemua. Teradag dtemua edala yag cuup rumt sehgga solus aalt dar permasalaha optmsas tersebut tda mudah dtemua. Berdasara hal tersebut solus umer merupaa sesuatu hasl yag cuup realsts utu dcar mes haslya merupaa hampra atau pedeata. Metode umer merupaa suatu metode pedeata (approxmato) dar solus sejat, da berdasara hal tersebut terdapat besarya aga esalaha (eror) yag dhasla oleh perhtuga umer. Kesalaha lebh serg dabata ba area pemotoga suu atau pembulata la. Masalah optmsas merupaa persoala yag baya megguaa metode umer dalam mecar solus peyelesaa tatala solus aalt sult dtemua. Meurut edalaya (costra), masalah optmsas dbag dua ya masalah optmsas dega edala da tapa edala, sedaga meurut varabel bebasya masalah optmsas juga dbag atas dua, ya masah optmsas dega satu varabel bebas da baya varabel bebas. Masalah optmsas juga dbag atas dua baga berdasara bayaya fugs objetf yag doptmala, ya masalah optmsas dega satu fugs objetf da baya fugs objetf. Metode umer utu meyelesaa masalah optmsas dega edala dapat megguaa metode Kuh-Tucer atau pegal Lagrage, sedaga utu masalah optmsas tapa edala dega satu varabel bebas dapat megguaa metode Golde Raso, Fboacc, Bses, Dchotomus da Secat. Lebh lajut utu meyelesaa masalah optmsas dega lebh dar satu varabel bebas dapat megguaa metode Asal, Newto, Hoo ad Jeeves, Stepest Descet, Arah Kojugas, da Roseberg. Utu meyelesaa masalah optmsas dega baya fugs objetf dapat megguaa program lear mult objetf, amu hal tersebut tda dbahas dalam tulsa Maalah membahas megea metode umer Steepest Descet dega arah pecara (drecto) berupa rerata artmata. Detahu bahwa metode Steepest Descet pada d Z, sedaga pada umumya megguaa arah pecara grade basa peelta arah pecara dmodfas mejad rerata artmata d Z da

2 Z Z d. Peelta dlaua dega memaham terlebh dahulu megea metode umer Steepest Descet dega arah pecara grade basa emuda meyusu algortma utu metode Steepest Descet dega arah pecara rerata artmata Dalam tulsa juga aa dbera cotoh perhtuga umer utu metode Steepest Descet dega edua arah pecara tersebut beserta aalss da perbadga eaurata solus atara eduaya. PEMBAHASAN Defs Ruag Vetor Hmpua ta osog V merupaa ruag vetor apabla x, y, z V da hgga memeuh asoma-asoma sebaga berut:. x y V. x y y x. x y z x y z v. 0 V 0V V 0 0 0V x x 0 v. v. ax V v. ax y ax ay v. a b x ax bx x. ab x abx x. x x Defs Norm Dbera Y, a, b R sedema sembarag dua vetor. Sembarag blaga rl damaa orm dar apabla memeuh asoma-asoma sebaga berut. 0. a 0 0. a a, a R v. Y Y Defs Ruag Baga Hmpua baga W dar V dsebut ruag baga dar V ja W ruag vetor dega operas jumlah da al sama sepert V Defs Kombas Lear Msala, m vetor-vetor d V maa dsebut ombas lear dar vetor-vetor ja m a Defs Bebas Lear Vetor, m aggota-aggota V dsebut ta bebas lear ja da haya ja terhadap blaga-blaga rl ta semuaya ol sedema hgga haya a 0, maa vetor-vetor tersebut dataa bebas lear. m a 0. Apabla pembuat ol

3 Prosdg Semar Nasoal Matemata da Pembelajaraya. Jurusa Matemata, FMIPA UM. Agustus 06 Defs Bass Ortoormal. Bass ortoormal d l,0 T ddefsa sebaga l 0, T da, sedaga utu T T T l l l bass ortoormal ddefsa sebaga,0,,0, 0,,,0,, 0,0,, Defs Hubuga Dua Vetor Dbera dua buah vetor dega { x, x,..., x } day { y, y,..., y }. Peryataa berut dapat dbuta bear. ja da haya ja x y,,,...,. ja da haya ja x y,,,...,. ja da haya ja x y,,,..., Defs Bola Terbua Y Dbera Y Y x 0 serta Y, 0. Hmpua Bx0, x x0 x atau dsebut bola terbua dega pusat persetara dar Defs Tt Dalam Tt x0 dsebut tt dalam (teror pot) dar hmpua B x 0, Defs Tt Batas x merupaa da radus dsebut tt batas (boudary pot) dar hmpua. ja 0 sehgga Tt 0 ja setap setar dar memuat beberapa tt yag berada d da beberapa tt yag tda berada d Defs Kompleme Suatu Hmpua Ja,maa hmpua yag memuat semua tt-tt yag ada d amu tda dar dsebut ompleme dar. Defs Hmpua Terbua Hmpua dsebut hmpua terbua ja setap tt dar merupaa tt dalam dar. Lebh lajut hmpua hmpua terbua. Defs Hmpua Tertutup Hmpua dsebut hmpua tertutup ja hmpua tersebut memuat semua tt batasya. Teorema Hmpua Tertutup Sebarag rsa dar hmpua tertutup adalah tertutup. Y merupaa hmpua tertutup ja merupaa ompleme dar Defs Hmpua Terbatas Hmpua S dataa terbatas ja terdapat M 0 sehgga x S, berlau x M Defs Hmpua Terbatas Ke atas Hmpua S dataa terbatas e bawah ja y dega semua ompoeya berhgga sedema hgga x S, y x, sebalya S dataa terbatas e atas Defs Betu Kuadrat F( ) c x c x... cx c xx c, xx... cx x... dega c j R,, j, dsebut fugs betu uadrat dega varabel bebas x, x,..., x Defs Fugs Deft T T Betu uadrat A dsebut postf (egatf) deft ja A ( )0 utu semua T 0 da terdapat seuragya satu vetor ta ol sedema hgga A 0. Apabla tda memeuh eduaya, maa betu uadrat tersebut dataa defte

4 Teorema Fugs Deft Suatu matrs A dataa. Postf deft ja da haya ja.. v. dega Negatf deft ja da haya ja 0 0 Postf sem deft ja da haya ja Negatf sem deft ja da haya ja seurag-uragya satu 0 0 merupaa la-la ege dar matrs j. Lebh lajut apabla matrs A dsebut defte Defs Mmum Global Fugs dataa meml mmum global d Fx ( ) Defs Mmum Loal Relatf Fugs dataa meml mmum loal d Fx ( ) A da etdasamaa dcapa utu tda memeuh butr,,, da v maa dalam S ja f ( x) f ( x0 ) dalam S ja terdapat setar dar sedema hgga f ( x) f ( x0 ) utu setap x d dalam persetara tersebut. Defs Deret Taylor Deret Taylor utu fugs {,,..., } ddefsa sebaga F( ) dega x x x ' ( ) F( x) F( ) F( ) H( )( x) dega merupaa suu berderajat besar, da H( ) merupaa metr Hessa yag ddefsa sebaga Syarat perlu agar F F F x xx xx F F F H xx x xx..... F F F xx xx x F adalah F ( ) 0 dega merupaa tt estrm dar fugs ( ) F F F F( ),,..., x x x Algortma Stepest Descet Dbera Z F( ) F( x, x,., x ) da aa dtetua la { x, x,., x } yag memmala fugs F( ) tersebut. Ambl { x, x,., x} R yag merupaa sembarag tt awal da 0 yag merupaa suatu ostata postf yag meyataa besarya esalaha eror yag dtoleras. Z Z Z Z,,, x x x. Dbetu fugs gradet laua utu Z. Apabla Z da tetua Z serta, maa teras berhet, sebalya teras dlajuta

5 Prosdg Semar Nasoal Matemata da Pembelajaraya. Jurusa Matemata, FMIPA UM. Agustus 06 v. v. Nla Tetua dega cara mecar tt estrm Z d medervatfa fugs Z d pecara d Z dtetua dega d ya dega cara da meyamadegaa ol dega arah Berdasara algortma Stepest Descet dga arah pecara grade d Z dembaga suatu metode Stepest Descet dega arah pecara rerata artmata., aa Algortma Stepest Descet Dega Arah Pecaraa Rerata Artmata Dbera fugs Z F( ) F( x, x,., x ) da aa dtetua { x, x,., x } yag memmala fugs tersebut F( ). Ambl { x, x,., x} R tt sembarag tt awal da postf yag meyataa besarya esalaha eror yag dtolerass. Z Z Z Z,,, emuda tetua utu, x x x,,,. Dbetu. Apabla Z v. 0 suatu ostata Z, maa teras berhet, sebalya teras dlajuta Car dega cara mecar tt estrm Z d medervatfa Z d ya dega cara da meyamadegaa ol dega atrah pecara Z Z Z d da d Cotoh Numer Tetua la { x, x} yag memmala Z( x, x) x x x x dega megguaa metode Stepest Descet dega toleras esalaha 0.0 Solus Stepest Descet dega Arah Pecara Grade Ambl sebarag tt awal {, } R. Berdasara masalah optmsas d atas dapat dtetuaz 7,0. Karea orm Z maa teras dlajuta dega 7 arah pecara d Z 7,0 da berdasara hal tersebut dapat dperoleh. Apabla dcar lebh lajut, aa dperoleh la, dega la grade Z. Berdasara hal tersebut teras berhet Z 0,0 da orm sehgga la x, x,. 0 yag memmala masalah optmsas d atas adalah 5

6 hal megdasa bahwa solus umer sama dega Karea Z 0 solus aaltya. Pada peyelesaa masalah optmssas tapa edala d atas, terlhat bahwa utu la awal {, } R d Z, solus umer yag da arah pecara dhasla sama dega solus aalt ya mebutuha dua teras., da lagah pegerjaaya haya Solus Stepest Descet dega Arah Pecara Rerata Artmata Tetap dambl sebarag tt awal {, } R. Berdasara masalah optmsas d atas dapat dtetuaz 7,0. Karea orm Z maa teras dlajuta dega 7 arah pecara d Z 7,0 da berdasara hal tersebut dapat dperoleh. Apabla dcar lebh lajut, aa dperoleh la, dega Z 0,0 da dega arah pecara rerata sebaga berut Z Z Z 7 d,0. Karea Z 0, teras tetap harus berhet da solus umerc steepest descet dega arah pecara rerata artmata sama dega solus dar metode steepest descet dega arah pecara grade basa ya, Cotoh Numer Padag embal cotoh umerc. Apabla dambl {,} R dlaua dega metode Steepest Descet dega edua jes arah pecara. Solus Stepest Descet dega Arah Pecara Grade Z 7,, peyelesaa aa coba Berdasara hal tersebut dperoleh dega orm Z 50. Karea orm mash lebh besar dar, maa teras dlajuta. Arah pecara 50 d Z da berdasara hal tersebut dapat dperoleh. Apabla dcar 7, 76 7 lebh lajut, dperoleh, da la orm dega Z 0.070,0.9 Z 0.98, berdasara hal tersebut teras dlajuta. Dega cara yag sama, dperoleh d Z 0.070, 0.9 dperoleh 0.9. Lebh lajut dperoleh la 0.7,0.50 Z 0.07,0.008 da la orm adalah Z sehgga berdasara hal tersebut dapat dega la grade 6

7 Prosdg Semar Nasoal Matemata da Pembelajaraya. Jurusa Matemata, FMIPA UM. Agustus 06 Proses dlajuta sehgga dperoleh arah pecara d Z 0.5.Berdasara hal tersebut dperoleh, Z 0,0 da Z merupaa solus aalt , da dega la grade sehgga teras berhet da solus umerya juga Solus Stepest Descet dega Arah Pecara Rerata Artmata Dambl {,} R sebarag la awal. Berdasara hal tersebut dperoleh la grade Z 7, dega orm Z maa teras dlajuta. Karea arah pecara d Z tersebut dapat dperoleh dega la gradet Z 0.070, Karea orm mash lebh besar dar, 7, maa berdasara hal Apabla dcar, maa aa dperoleh la, Z Nla arah da orm Z Z pecara d tersebut dperoleh Z.65, 0.77 sehgga dapat dtemua la 0.786,0.7 Lebh lajut Z 0.,0.86 dega orm Z..Berdasara hal Karea orm mash lebh besar dar, maa teras dlajuta. Dega cara yag sama aa dperoleh d.6, 0.66 dega sehgga dapat dtemua 0.785,0.7 dega Z 0.,0.86 da orm Z Iteras dlajuta sehgga dperoleh d.66, 0.66 da dperoleh la ,0.79 dega la gradet Z ,0.78 Z Terlhat bahwa la x. Berdasara hal dema da sema mejauh la aslya ya x 0.75 amu utu x terlhat medeat la aslya ya.5 mes membutuha teras yag pajag. Dega dema dega cara, teras aa tetap berhet Z, dega la saat halya dega d x x yag sema aurat dega solus asl amu tda sama yag justru mejauh la aslya. Lebh lajut apabla arah pecara rerata artmata ddefsa dega Z Z Z Z Z d hal tersebut dperoleh 0.00, maa aa dperoleh la arah pecara Z.55, 0.5. Berdasara. sehgga dapat dtemua la 0.759,0.78 Lebh lajut Z 0.06,0.96 dega Z Karea orm mash

8 lebh besar dar, maa teras dlajuta. Dega cara yag sama dperoleh d.68, 0.00 dega la sehgga dapat dtemua la dega Z 0,0.96 da Z 0.75,0.78 terlhat bahwa la x telah sama dega la aslya ya Dar s x 0.75, amu x terlhat mejauh la aslya. Iteras tetap aa berhet d suatu eadaa area la Z sema ecl medeat la epslo. KESIMPULAN DAN SARAN Peelta membera beberapa esmpula da sara yag duraa dalam beberapa po dbawah Kesmpula Dar peelta yag telah dlaua, terdapat beberapa hal yag dapat dsmpula:. Dalam suatu masalah optmsas dua varabel tapa edala dega la awal tertetu, solus umer Stepest Descet dega arah pecara grade basa da artmata. aa meghasla solus yag det dega solus aalt pada masalah optmsas yag dbahas dalam tulsa. Solus masalah optmsas dega metode steepest descet dega arah pecara rerata artmata meghasla salah satu la dar yag mejauh a aslya. x,, Z Utu metode steepest descet dega arh pecara d meghasla la x yag justru mejauh la aslya. Sedaga utu Steepest Descet dega arah pecara x yag sema aurat dega solus asl amu tda sama halya dega Z Z d aa terbetu la x yag telah sama dega la aslya ya x 0.75, amu x terlhat mejauh la aslya. Terlepas dar hal tersebut, suatu saat teras aa berhet d suatu ods area la Z yag sema ecl medeat la epslo. Sara Perlu dostrus arah pecara rerata artmata yag pas agar ba la x maupu dhasla dapat meuju pada la yag seharusya, ya medeat atau sama dega solus asaltya. Lebh lajut perlu dseld utu masalah optmsas yag la dega la awal tertetu agar dtemua esmpula umum megea ecepata teras meemua solus pada metode umer Steepest Descet dega arah pecara gradet basa dega grade rerata artmata. x yag 8

9 Prosdg Semar Nasoal Matemata da Pembelajaraya. Jurusa Matemata, FMIPA UM. Agustus 06 DAFTAR RUJUKAN Ato, Howard. 99. Aljabar Ler Elemeter: Peerjemah Patur Slaba. Jaarta: Erlagga Bober, Wllam. 0. A Itroducto to Numercal ad Aalytcal Methods wth Matlab for Egeers ad Scetst. Lodo: Taylor ad Fracs Group Bazaraa. S. Mochtar Nolear Programmg Theory ad Algorthms. Lodo: Joh-Wlley Iter Scece Epperso, James. 0. A Itroducto to Numercal Methods ad Aalyss. USA: Joh Wlley ad Sos. Ic K.P.Chog,, Edw..00. A Itroducto to Optmzato. USA: Joh Wley & Sos, Ic. Mur, Rald Metode umer. Badug:Iformata Otto, S.R. ad Deer, J.P A troducto to Programmg ad Numercal Methods Matlab. Lodo: Sprger-Verlag Corless, Robert,M. ad Fllo, Ncholas. 0. A Graduate Itroducto to Numercal Methods. Lodo: Sprger-Verlag Salmah.0. Dtat Optmsas. Yogyaarya: FMIPA UGM Sawarag, Yoshazu Theory of multobjectve optmzato. Lodo: Academc Press Ic. 9