GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N

Transkripsi

1 GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N SKRIPSI Dajua dalam raga meelesaa Stud Strata Satu utu mecapa gelar Sarjaa Sas Oleh Nama : M SOLIKIN ADRIANSAH NIM : Program Stud Jurusa : Matemata S : Matemata FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 006

2 ABSTRAK M Sol Adrasah, Gars da Bdag Dalam Ruag Eucld Berdmes N, Semarag, Srps, Jurusa Matemata, Faultas Matemata da Ilmu Pegetahua Alam, Uverstas Neger Semarag 006 Sstem geometr ag dpelajar dar seolah dasar hgga seolah meegah merupaa suatu sstem geometr ag dembaga oleh Eucldes, sehgga damaa Geometr Eucld atau dapat dsebut dega Geometr sepert ag ta eal searag. Mespu pada tgata uverstas dpereala sstem la dar geometr atu geometr o-eucld. Gagasa dguaaa pasaga blaga terurut lebh dar tga atau dalam ruag dmes-3, area para ahl matemata da fsa meadar bahwa tda harus berhet pada gada tga. Dau bahwa bahwa blaga blaga gada empat ( a, a, a 3, a 4 ) dapat dorespodesa sebaga tt tt dalam ruag dmes-4 da seterusa. Gars da bdag merupaa obe ag cuup petg utu dbahas da mejad pjaa awal dar geometr, sehgga osep gars da bdag serg dguaa dalam geometr. Perluasa gars da bdag pada ruag ag melebh dmes-3 dapat dlaua atu dega beerja melalu sfat sfat aaltsa da bua melalu sfat sfat geometrs. Smpula dar peulsa adalah bahwa persamaa gars lurus (real le) d R merupaa suatu persamaa parametr ag berbetu X a α t. Bdag datar dalam R merupaa suatu bdag datar- (hperplae) ag meml persamaa,a a.

3 HALAMAN PENGESAHAN

4 MOTTO da PERSEMBAHAN MOTTO Ilmu tu lebh cat dar magu ag cat, orag ag meutut lmu tu lebh mas dar madu, da ber amal dega lmu ag dml tu lebh sult dar met sehela rambut. (Usma b Affa) Seba ba ster adalah ja amu memadaga membuat hatmu seag, ja amu pertah da metaatmu, da ja amu tggal maa da aa mejaga utumu harta da dra. ( Ibu Jahr) PERSEMBAHAN Bapa da Mamah ag membera doa da ash saaga. M Lel, Bet, Drajat da Au. Someoe Somewhere, Wat me. Adt, Prlo, Bra, da Plar cape. Fa, Ash, Ist, Daa, Caha da Dew. M Tame da Ida. Raras thas for everthg. Tema tema 0. Ao berjuag! v

5 KATA PENGANTAR Segala puj haa bag ALLAH SWT atas segala lmpaha rahmat da hdaah-na, sehggga dapat meelesaa srps dega judul GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N. Terselesaaa srps tda lepas dar batua berbaga pha, oleh area tu dsampaa ucapa terma ash epada:. Prof. Dr. A. T. Soegto, SH, MM, Retor Uverstas Neger Semarag.. Drs. Kasmad Imam S, M. S, Dea FMIPA UNNES. 3. Drs. Suproo, M. S, Ketua Jurusa Matemata FMIPA UNNES. 4. Drs. Suhto, M. Pd, Dose pembmbg utama ag telah membmbg da membera masua dalam peulsa srps. 5. Drs. Am Suto, M. Pd, Dose pembmbg pedampg ag telah membmbg da membera masua dalam peulsa srps. 6. Bapa da Mamah ag selalu medoaa. 7. Kaau terma ash atas batuaa semoga au dapat melaua hal ag sama. 8. Tema tema agata 00 ag membera semagat utu terus berjuag dalam meelesaa srps. 9. Semua pha ag tda dapat am sebuta satu persatu ag telah membatu terselesaaa srps. v

6 Bagamaapu peulsa srps setdaa dapat membatu bag pembaca, oleh area tu dega segala eredaha hat peuls meerma rt da sara. Semoga peulsa srps dapat membera mafaat bag pembaca. Semarag, September 006 Peuls v

7 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... ABSTRAK... HALAMAN PENGESAHAN... MOTTO da PERSEMBAHAN...v KATA PENGANTAR...v DAFTAR ISI...v BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belaag Masalah... B. Permasalaha...4 C. Tujua Peulsa...3 D. Mafaat Peulsa...5 E. Peegasa Istlah...6 F. Sstemata Srps...7 BAB II LANDASAN TEORI...0 A. Ruag Lear.... Ruag Lear.... Ruag Baga dar Ruag Lear Ruag Lear Berorma Ruag Ier Product...5 B. Ruag Vetor.... Ruag Vetor... v

8 . Hasl Kal Dalam da Norm...3 C. Ruag Metr...3 BAB III METODE PENELITIAN...0 A. Kaja Pustaa... B. Perumusa Masalah... C. Pemecaha Masalah...3 D. Peara Smpula...56 BAB IV PEMBAHASAN...40 A. Tt... B. Gars Lurus Real.... Persamaa Gars lurus-.... Sudut Atara Dua Gars Lurus Jara Tt terhadap Gars Lurus Jara Atara Dua gars Lurus C. Bdag Datar Persamaa Bdag Datar-.... Persamaa Hesse Bdag Datar Jara Tt terhadap Bdag Datar Kedudua Dua Bdag Datar-...3 BAB V PENUTUP...45 A. Smpula... B. Sara... DAFTAR PUSTAKA... v

9 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaag Masalah Kata geometr berasal dar bahasa Yua ag berart uura bum. Masuda mecaup segala sesuatu ag ada d bum. Geometr uo sebaga dmula dar peguura prats ag dperlua utu pertaa orag-orag Babloa da Mesr. Kemuda hal tersebut dperluas utu perhtuga pajag ruas gars, luas da volum. Haslhasl serg dataa sebaga deret armeta ag secara emprs tda bear (Wallace dalam Mulat, ). Meurut trads, mempelajar geometr petg area geometr telah mejad alat utama utu megajar se berpr. Dega berjalaa watu, geometr telah berembag mejad pegetahua ag dsusu secara mear da logs. Geometr terutama terdr dar seragaa perataa tetag tt-tt, gars-gars, da bdag-bdag, da juga plaar (proes bdag) da beda-beda padat. Geometr dmula dar stlah-stlah ag tda terdefsa, defs-defs, asoma-asoma, postulat-postulat da selajuta teorema-teorema. Berdasara sejarah, geometr telah mempua baa peerapa ag sagat petg, msala dalam mesurve taah, pembagua jembata, pembagua stasu luar agasa da la sebagaa.

10 Geometr adalah sstem pertama utu memaham de. Dalam geometr beberapa perataa sederhaa dasumsa, da emuda dtar mejad perataa-perataa ag lebh omples. Sstem sepert dsebut sstem dedutf. Geometr megeala tetag de oseues dedutf da loga ag dapat dguaa sepajag hdup. Dalam medefsa sebuah ata, pertama dguaa ata ag lebh sederhaa emuda ata ag lebh sederhaa pada glraa ddefsa mejad ata ag lebh sederhaa lag, sehgga pada ahra, proses tersebut aa berahr. Pada beberapa tgata, defs harus megguaa sebuah ata ag arta sudah sagat jelas, dareaa agar arta dterma tapa memerlua defs lag, dega ata la dapat dsebut dega stlah ta terdefsa (udefed term). Gars da bdag merupaa salah satu cotoh dar stlah ta terdefsa ag mejad pjaa awal dar geometr, sehgga osep gars da bdag serg dguaa dalam geometr. Msala adalah perpotoga dar dua bdag aa meghasla sebuah gars ag terleta pada dua bdag ag salg berpotoga. Kubus, balo da la sebagaa merupaa umpula dar bdag bdag, walaupu bdag merupaa perpotoga dar beberapa gars. Dar cotoh d atas dapat dpaham bahwa gars da bdag merupaa fator dasar geometr, tetua dega tda melupaa bahwa tt juga merupaa dasar dar geometr.

11 3 Sstem dar geometr ag dpelajar dar seolah dasar hgga meegah merupaa geometr ag ddasara atas postulat ataupu asoma ag demuaa oleh Eucldes ag basa dsebut geometr eucld, mespu pada tgat uverstas dpereala sstem la dar geometr atu geometr o-eucld. Gagasa dguaaa pasaga blaga terurut lebh dar tga, area para ahl matemata da fsa meadar bahwa tda harus berhet pada gada tga. Dau bahwa blaga gada empat (, a, a, a ) a 3 4 ruag dmes-4, gada lma (, a, a, a, a ) dapat daggap sebaga tt pada a sebaga tt pada ruag dmes-5 da seterusa. Walaupu vsualsas geometr tda melebh ruag dmes tga. Perluasa gars da bdag pada ruag ag melebh dmes-3 dapat dlaua atu dega beerja melalu sfat sfat aaltsa da bua melalu sfat sfat geometrs. Dar latar belaag d atas maa judul dar srps adalah GARIS DAN BIDANG DALAM RUANG EUCLID BERDIMENSI N B. Permasalaha Permasalaha ag daj dalam peulsa adalah. Bagamaa betu dar persamaa gars lurus- da bdag datar-?. Bagamaa persamaa edudua dua gars lurus- da dua bdag datar-?

12 4 3. Bagamaa persamaa sudut dua gars lurus- da dua bdag datar? 4. Bagamaa persamaa jara atara sebuah tt dega gars lurus- da jara atara dua gars lurus-? 5. Bagamaa persamaa jara atara sebuah tt dega bdag datar? C. Tujua Peulsa Tujua peulsa adalah utu megetahu persamaa dar gars lurus- da ddag datar- serta relas ag terat dega gar lurus da bdag datar- D. Mafaat Peulsa Dar hasl peulsa dharapa dapat dguaa sebaga sumbaga pemra bag mahasswa Uverstas Neger Semarag, hususa Jurusa Matemata ag g megembaga peulsa. E. Peegasa Istlah. Gars Sebuah gars (gars lurus) dapat dbaaga sebaga umpula dar tt tt ag memajag secara ta terhgga e edua arah. ( Koh, 003 : 4 )

13 5. Bdag Sebuah bdag dapat daggap sebaga umpula tt ag jumlaha ta terhgga ag membetu permuaa rata ag melebar e segala arah sampa ta terhgga. ( Koh, 003 : 4 ) 3. Ruag Eucld Dmes N Ja blaga bulat postf maa hmpua dar blaga real (,,..., ) adalah sebuah tt atau vetor pada dmes ag dotasa dega R (,,..., ) lear R da ruag vetor {,,..., R }. Ruag product da dotasa dega { R,, } dmes (Eucldea -space). R ag dlegap oleh suatu er dsebut ruag Eucld ( Rucle, 96 : 3 ) F. Sstemata Srps Bab I Pedahulua Bab bers tetag latar belaag masalah, peegasa stlah, permasalaha, tujua, mafaat da sstemata dar peulsa srps. Bab II Ladasa Teor Pada bab bers poo-poo, dasar-dasar da teorema ag aa dguaa sebaga pedoma dalam pembahasa.

14 6 Bab III Metode Peelta Bab bers lagah-lagah ag dguaa dalam peusua srps. Bab IV Pembahasa Bab bers gars da bdag ag terdr dar persamaa gars da bdag, edudua dua gars da dua bdag serta jara gars da bdag dalam ruag Eucld berdmes Bab V Peutup Bab bes smpula da sara ag dperoleh dar hasl pembahasa.

15 BAB II LANDASAN TEORI A. Ruag Lear. Ruag Lear Defs A. Sebuah ruag lear atas lapaga F adalah sebuah hmpua E ag dlegap dega operas pejumlaha E E E da operas perala F E E dmaa edua operas tersebut harus memeuh asoma-asoma berut. a. Utu semua,, z d E berlau ( z) ( ) z. b. Utu semua, d E berlau. c. Ada eleme dettas 0 d E sehgga 0 utu setap d E. d. Utu semua d E, ada eleme d E sehgga (- ) 0. e. Utu semua a, b d F da d E berlau a ( b) ( ab). f. Utu semua a, b d F da d E berlau ( a b) a b. g. Utu semua a d F da, d E berlau a ( ) a a. h. Utu semua d E berlau. ( Rucle, 96 : 3 )

16 8 Cotoh A.. Seld apaah R dega operas pejumlaha da perala merupaa ruag lear atas lapaga R. Peelesaa : R R R R... R (,,..., ) {,,..., R}. Ambl sembarag (,,..., ), (,,..., ) da z ( z, z,..., z ) R a). Jelas ( z) (,,..., ) (,,..., z, z,..., z ) b). Jelas ( z, z,..., z ) (,,..., ) (z, z,..., z ) ( ) z. (,,..., ) (,,..., ) (,,..., ) (,,..., ). c). Plh 0 (0, 0,..., 0 ) R Jelas 0 (,,..., ) (0, 0,..., 0 ) 0 (,,..., ). d). Plh (-, -,..., - ) R Jelas ( ) (,,..., ) (-, -,..., - ) ( -, -,..., - ) 0.

17 9 Ambl sembarag a, b R e). a ( b) a ( b, b,..., ) b a ( b (,,..., )) ( ab ). f).( a b) ( a b) (,,..., ) a (,,..., ) b (,,..., ) a b. g). a() a {(,,..., ) (,,..., ) } a (,,..., ) a (,,..., ) a a. h). (,,..., ) (,,..., ) Jad (,,..., ), (,,..., ) da ( z, z,..., z ) R da a, b R maa R merupaa ruag lear atas R.. Ruag Baga dar Ruag Lear Ja V ruag lear atas F. Ja B φ da B V. B dega sfat, utu setap vetor, d V da salar α, β d F berlau α β d B maa B dsebut ruag baga dar ruag lear. ( Wurato, 003 : 36 )

18 0 Cotoh A.. Tujua utu setap blaga asl m, dega m maa R m merupaa ruag baga dar ruag lear terhadap R. Peelesaa : Dpua R m R R R... R (,,..., ) {,,..., R} m m. m Ambl sembarag (,,..., m ), (,,..., m ) R da ambl sembarag salar α, β d R Jelas R m merupaa ruag vetor atas R sedr da utu setap, d R m da a, b d R sehgga berlau α(,,..., m ) β(,,..., m ) (α β, α β,..., α m β m ) R. Jad R m merupaa subruag dar R. 3. Ruag Lear Berorma Dpua V ruag Lear atas R. Ja terdapat fugs. :V R ag memeuh : a. α α b. 0 da 0 θ dega θ vetor ol d V c. maa fugs. dsebut orma pada V. ( Wurato, 003 : 36 )

19 Cotoh A..3 D pua fugs R R ag ddefsa utu setap vetor (,,..., ) R adalah suatu orm pada ruag eucld R. Tujua fugs tersebut merupaa suatu orm pada ruag eucld R? Peelesaa : Ambl sembarag vetor (,,..., ), (,,..., ), z (z,z,..., z ) a. Jelas α α R da salar α R memeuh: Karea α α α α α b. 0 da 0 0 sebab, 0. ( ) ja 0 maa 0 utu setap (,,...,), ag berabat 0. ( ) ja 0 maa dpua 0, sehgga utu setap da, haruslah 0 ag berabat 0. Karea 0 utu setap (,,...,) berarat 0.

20 c.. Dtujua sebaga berut Karea utu setap (,,...,) berlau ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) maa dega memafaata teorema Cauch-Shcwarstz ddapat ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dalam hal 0 maa dperoleh ( ) ( ) ( ) Dega ata la dperoleh. Berdasara etga pot a, b da c maa fugs R R ag ddefsa utu setap vetor (,,..., ) R adalah ruag lear berorma.

21 3 4. Ruag Hasl Kal Dalam (Ier Product Space) Dpua V ruag lear atas lapaga real R. Ja terdapat fugs, :V V R sehgga utu setap vetor,,z V da salar α R memeuh: a.,, b. α, α, c., z,, z d., 0 da, 0 θ (θ vetor ol d V) Sehgga, merupaa ruag er product. ( Wurato, 003 : 36 ) Cotoh A..4 R terhadap perala tt ag ddefsa, merupaa ruag er product. Dtujua bahwa perala tt tersebut adalah suatu er product. Dbetu fugs, dar R R R ag ddefsa, utu setap vetor (,,..., ), (,,..., ) d R. Fugs tersebut merupaa suatu er product pada d R sebab, utu setap vetor (,,..., ), (,,..., ) R da salar real α memeuh: a. Jelas,, oleh sebab,,,.

22 4 b. Jelas α, α, oleh sebab, α, α α α,. c. Jelas, z,, z area, z ( z ) ( z ) z,,z. d., 0 oleh sebab, > 0. Jad berdasara a, b da c maa R terhadap perala tt ag ddefsa, utu,,...,. B. Ruag Vetor. Ruag Vetor Defs B. Sebuah ruag vetor V adalah sebuah hmpua dar obje,, z,... ag dsebut vetor. Satu vetor ag deal damaa vetor ol ag dotasa dega θ. Utu setap vetor dmaa deal sebuah vetor, damaa vers dar. Asoma asoma ag megut agar asums dar ruag vetor terpeuh adalah a. Utu setap sepasag vetor, dmaa pejumlaha vetor dar, dotasa. Pejumlaha dar vetor harus memeuh: )..

23 5 ). ( ) z ( z ). ). 0 v). (- ) 0. b. Utu setap salar da setap vetor dmaa perala vetor dar oleh dotasa. Perala vetor oleh salar harus memeuh: ). ( ) ). ( j) j ). (j) (j ) v). Pada b.) smbol meml dua art atu utu pejumlaha salar da vetor. Pada b.) meml dua art atu perala dua salar atau perala sebuah salar da sebuah vetor. Cotoh B.. Tujua R merupaa ruag vetor. Peelesaa : ( Berbera, 96 : ) Ambl sembarag (,,..., ), (,,..., ) da z (z, z,..., z ) R (a) Jelas (,,..., ) (,,..., )

24 6 (... ) (... ) (,,..., ) (,,..., ). ( ) ( z, z,..., ) (b) ( ) z (,,..., ) (,,..., ) z ( (,,..., ) (,,..., ) ( z, z,..., z ) ) (,,..., ) ( (,,..., ) ( z, z,..., z ) ) ( z ). (c) Plh 0 (0, 0,..., 0 ) Jelas 0 R 0 (0, 0,..., 0 ) (,,..., ). (d) Plh (-, -,..., - ) R Jelas (- ) (,,..., ) (-, -,..., - ) Ambl sembarag, j R ( -, -,..., - ) 0. { } (e) ( ) (,,..., ) (,,..., ) (,,..., ) (,,..., ). (f) ( j) ( j) (,,..., ) (,,..., ) j (,,..., ) j.

25 7 (g) (j) (j) (,,..., ) ( j (,,..., )) (j ). (h) (,,..., ) (,,..., ). Karea asoma ruag vetor R dpeuh, maa R merupaa ruag vetor. Teorema B. Ja,, z adalah vetor-vetor dalam R da adalah sebarag salar, maa: a... b. ( ). z. c. ( ). (. ). z d.. 0. Selajuta. 0, ja da haa ja 0 But : Ambl sembarag (,,..., ), (,,..., ) da w (w, w,..., w ) (a). Jelas (b). Jelas ( ). z (,,..., ). (z, z,..., z ) ( ) z ( ) z,...,( ) z

26 8 ( z z... z )( z z... z ). z. z (c). Jelas ( ). (,,..., ). (,,..., ) (,,..., ). (,,..., ) (... ) (. ) (d). Kta mempua Selajuta esamaa tersebut bear ja da haa ja... 0, atu ja da haa ja 0.. Hasl Kal Dalam (Ier Product) da Norm Defs B. Ja V suatu ruag vetor, maa er product adalah fugs dar V V e R, ddefsa dega (, ),,, V memeuh asoma berut. a., 0, V. b., 0 ja da haa ja 0. c.,., V. d., z, z, z,, z V. e. a, a,,a.

27 9 Ruag vetor ag dlegap dega hasl al dalam (er product) damaa ruag hasl al dalam. ( Rochmad, 000 : 4 ) Cotoh B.. R terhadap perala tt ag ddefsa. merupaa ruag hasl al dalam. Dtujua perala tt tersebut adalah suatu er product. Dbetu suatu fugs R R R ag ddefsa,. utu setap vetor (,,..., ), (,,..., ) da salar a d R maa fugs tersebut merupaa suatu er product sebab memeuh asoma dar ruag er product. But a.,. sebab,..,. b. a, a, sebab, a, ( a.) a a a(.) a,. c., z, z, z sebab, z. ( z) ( z ) ( z )..z..z z

28 0 d. Jelas, (. ) 0 ja da haa ja 0. e., > 0, adaa bua vetor ol area,. > 0 Jad R perala tt ag ddefsa. merupaa ruag hasl al dalam. Defs B.3 Ja V suatu ruag vetor, maa orm pada V adalah fugs dar V e R dataa dega ag memeuh a. 0 da 0 θ dega θ vetor ol d V. b. α α c. Ruag vetor ag dlegap dega orm damaa ruag berorm. Pajag suatu vetor serg dsebut sebaga orm da dataa dega,, Teorema B. ( Ketasamaa Cauch Schwartz ) ( Rochmad, 000 : 4 ) Msala V suatu ruag er product dalam R. Utu setap vetor da d V berlau,. But: a. Utu 0 dpua, 0.

29 b. Utu 0 Ambl vetor dega da vetor z, Sehgga ddapat 0 z z, z,,,,, Dperoleh,, Utu vetor dega > 0, sehgga dperoleh., atau, Jad teorema datas terbut. Dega megguaa etasamaa Cauch Schwartz datas dapat ddefsa cosus sudut atara dua vetor. Msala, d R maa blaga cos θ,. dsebut cosus sudut atara vetor da vetor da θ dsebut sudut atara vetor da vetor Dar pegerta cosus sudut datas dapat ddefsa, ja dua vetor da dataa salg tega lurus ja, 0.

30 Telah detahu ja dua vetor d R tetap dapat dlhat sebaga dua vetor ag terleta dalam sebuah bdag d R. Maa dar tu dpua teorema sebaga berut. Teorema B.3 (Ketasamaa Segtga) Msala da dua vetor ag terleta d R. Maa berlau But: Dega megguaa teorema B. dperoleh Atau ( ) Dega megambl aara dperoleh etasamaa segtga. Defs B.4 Dua tt (vetor), R dataa searah (sejajar) ja ada blaga R, 0 sehgga. Dega ata la da ta bebas lear. Pasaga blaga real {, α α } arah vetor 0 ja α dsebut blaga,..., α : α : Λ : α : : Λ :.

31 3 Dega ata la, ada blaga l ± ( α α α )... Sehgga, terdapat vetor α (, α α ) α ag ompoea,..., terdr dar blaga arah vetor ag dsebut vetor arah bag vetor. Secara husus, pasaga blaga real {, λ λ } λ dsebut,...,,e,e cosus arah vetor ja λ cosθ utu setap e,,..., da (, θ θ ) θ dsebut sudut arah vetor.,..., Teorema B.4 Ja (, λ λ ) But : λ cosus arah vetor 0 maa,..., λ λ λ... λ l. Detahu dega (,e,..., ),e e e dega bass e orthoormal stadart pada R, ddapat,, e e,,e e, e Karea 0 dperoleh l ( λ ) ( 0),e

32 4 Atau λ λ λ... λ l. Selajuta vetor λ { λ, λ λ } vetor.,..., Ja vetor λ { λ, λ λ } λ l.,..., dsebut vetor cosus arah bag merupaa vetor cosus arah, maa Jad utu setap R, 0 berlau : :...: λ : λ :...:. λ Selajuta ada blaga h sehgga... λ λ λ h, dega h ±. Dar pemahama tersebut datas, dsmpula sebaga berut: (a). Dua tt (vetor), R searah (sejajar) ja da haa ja da mempua sudut arah ag sama ja da haa ja blaga arah sebadg dega blaga arah. (b). Terlhat bahwa (vetor) R mempua baa seal blaga arah, tetap setap dua blaga arah sebadg. Oleh area tu, ja vetor (,,..., ) dega salah satu blaga araha adalah (, α α ) α da cosus arah vetor,..., α, e λ adalah{ λ, λ,..., λ } dega λ cos θ berart α α α : α : Λ : α λ : λ : Λ : λ. e

33 5 Defs B.5 dar ruag er product,,..., R Hmpua { } dsebut hmpua orthoormal ja hmpua tersebut adalah hmpua orthogoal da, d. ( Arf, 00 : 06 ) Defs B.6 dega 0 dar ruag er Hmpua {,,..., } R product dsebut hmpua orthogoal ja, utu setap j. ( Arf, 00 : 06 ) Teorema B.5 Setap hmpua orthogoal, bebas lear But: Betu α α... α 0, dega α, α,..., α R. Ambl sembarag L, dega ( ), dperoleh: j ( ) ( ) ( ) ( ), α α... α,0 0 Karea ( ), j 0, utu j da () () j (), 0, utu j. () Dperoleh α 0 da berabat α Karea sembarag, dperoleh α α,..., α 0 Dega ata la ( ) ( ) ( ) {,,..., }, bebas lear. 0 utu L datas.

34 6 Abat dar teorema B. 5 Setap hmpua orthoormal bebas lear. But: Betu hmpua orthoormal ( e,e,..., ) dega ( ) e e terdr dar vetor 0,0,...,,0,...,0 R. Kompoe e- sama dega L. Dperoleh pegerta bahwa utu setap vetor (,,..., ) R. Sehgga (, 0,...,0) (0,,...,0)... (0, 0,..., ) (, 0,...,0) (0,,...,0)... (0, 0,...,) e, e,..., e e Jad hmpua orthoormal (,e,..., ) ( e,e,..., ) e e membagu R. Oleh area e bebas lear, maa da merupaa bass bag R. Karea hmpua orthoormal mempua eleme sebaa maa dperoleh bahwa ruag vetor R berdmes. Selajuta hmpua orthoormal (,e,..., ) orthoormal stadart bag ruag vetor R. Abat e dsebut bass e Setap () vetor d dalam R ta bebas lear. Teorema B.6 Utu setap vetor (,,..., ) R, dega ( e,e,..., e ) bass orthoormal stadart, maa,e,.

35 7 But: Dambl sebarag e ( ) Dega er product R, dperoleh,e e e e,e... e,e e,e Teorema B.7 Setap R dapat dtulsa mejad,e e But: Det ( e,e,..., ) e bass orthoormal stadart R, maa utu setap (,,..., ) R dega,,..., R berlau e e... e e Karea, e utu setap ( ). Dperoleh,e Telah detahu bahwa d dalam ruag berdmes, sebarag vetor (tt) dapat dhadra sebaga ombas lear dar vetor (tt) ag termasu d dalam bass ruag R. Berut aa dhadra megea vetor (tt) ag dhadra sebaga ombas lear dar dua vetor (tt). Hal dtuaga dalam teorema berut.

36 8 Teorema B.8 Ja dbera dua vetor (tt) ada vetor-vetor, R, R tda sama dega ol maa sehgga utu suatu salar, da, lebh lajut dega da, -. Gambar. But : Dasumsa teorema datas berlau Jad aa dtetua blaga R dega da vetor-vetor ag salg orthogoal sehgga dapat dtuls, R sebaga, berart ddapat. Selajuta dlaua er product atara vetor vetor, ddapat,,,,

37 9 Karea maa, 0, sehgga persamaa meghasla, Karea, dperoleh Dega dema dperoleh juga, -. C. Ruag Metr Defs C.. Msala X φ. Fugs d : X X dsebut metr pada X ja memeuh asoma - asoma sebaga berut. (M) d(,) 0, utu setap, X, d(,) 0. (M) d(,) d(,), utu setap, X. (M3) d(,) d(,z) d(z,), utu setap,, z X. ( Rucle, 96 : 47 ) Cotoh C.. Buta bahwa fugs d: R R R ag ddefsa d(,) ( ) memeuh semua sfat metr. Peelesaa :. d memeuh M, sebab

38 30 d(,) ( ) 0, jelas area ( ) 0 ( ) dpua d(,) 0, dtujua. area d(,) ( ) berabat ( ) 0 berabat ( ) 0,,..., > sebab adaa ( ) 0 berabat 0 ( - ) 0 > dperoleh fata 0 > 0, otrads. jad 0,,..., Jad. ( ) dpua, dtujua d(,) 0 area maa,,..., berabat 0,,..., berabat ( ) 0 berabat ( ),,..., 0 berabat ( ) jad d(,) 0. 0

39 3 Jad d memeuh M.. Dtujua d memeuh M d(,) d(,) utu setap, d R dpua d(,) ( ) maa d(,) ( ) 3. Dtujua d memeuh M3 ( ( )) ( ) d(,). d(,) d(,z) d(z,), utu setap,, z R dpua d(,) ( ) z z - z Jad d memeuh M3. Jad d(,) ( ) z - d(, z) d(z, ). ( z ) ( z - ) merupaa suatu metr.

40 BAB III METODE PENELITIAN A. Kaja Pustaa Terdapat mater ag mear terat dega bdag geometr ag mug perah dsggug dalam perulaha tap tda dagat dalam betu tulsa atu megea gars da bdag dalam ruag berdmes. Dega melaua telaah pustaa dar berbaga referes ag ada da melaua ofrmas da osultas dega dose ag membdag masalah tersebut membuaha gagasa utu meulsaa dalam betu srps. B. Perumusa Masalah Dega meemua tema ag coco, lagah selajuta adalah merumusa masalah dar tema ag dagat tersebut sesua dega bahasa ag aa dguaa dega batua dose pembmbg. Perumusa masalah dataa dalam betu perataa ag sgat da jelas sehgga mudah utu dpaham. C. Pemecaha Masalah Pada tahap, dlaua aalss dar permasalaha ag telah drumusa dega ddasar teor da argumetas ag tepat. Pemecaha

41 34 masalah melput pejelasa tema ag telah dtetapa da pembahasa megea masalah ag telah dugapa sebeluma secara legap dega ladasa teor ag ada, tetua dega megguaa referes ag ada d sampg hasl olaha aja peuls sedr dserta osultas dega dose pembmbg. Dalam proses pemecaha masalah, dteraga berbaga cara meelesaa masalah dega pedeata ag dtetapa sebeluma berdasara ladasa teor ag sudah ada. D. Peara Kesmpula Hasl dar pembahasa dtuaga dalam betu smpula ahr ag mempula secara umum pemecaha masalah tersebut. Smpula djada sebaga hasl aja ahr da merupaa hasl ahr dar proses peulsa srps.

42 BAB IV PEMBAHASAN A. Tt Tt adalah betu ag palg sederhaa dar geometr, dareaa tt haa dguaa utu meujua poss. Dalam ruag eucld dmes tt dsmbola sebaga pasaga terurut blaga real ag basa dotasa dega, msala tt A pada R atu A(,,..., ). Telah dtujua bahwa d: R R R ag ddefsa d(,) ( ) memeuh semua sfat metr. Jad jara atara dua tt R da R adalah d(,) ( ) ( ) ( )... ( ). Cotoh A.4.. Msal A(, 5, 8) da B(4, 5, 6) htug jara atara tt A da B. Peelesaa : d(,) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 ( 4) ( 5 5) ( 8 6) 5.. Msal A(4, 6, 8, 0) da B(3,, 5, 4) htug jara atara dua tt tersebut.

43 36 Peelesaa : d(,) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 3) ( 6 ) ( 8 5) ( 0 4 ) 6. B. Gars Lurus Real (Real Le). Persamaa Gars Lurus- Dbera X adalah ruag Eucld da, X atas lapaga R. Hmpua G { X : - t( ) da t R} dsebut gars lurus (real le), dega sarat eaggotaaa adalah - t ( ) da t R Jad t( ) da t R. Ja X R, () ( ) ( ) ( ) a, a,..., a R da b, b,..., b R maa persamaa gars real ag melalu ( ) da ( ) adalah - ( ) ( ) ( ) t ( ) (,..., ) ( a,...,a ) t ( b,...,b ) ( a,...,a ) { } ( - a,..., a ) t{ ( b a,..., b )} a ( ) a,..., a t ( b a,..., b a ) ( a) ( b - a ) ( a ) ( b - a ) ( a ) ( b - a ) t....

44 37 Dar persamaa d atas dapat dpaham bahwa gars lurus- ag melalu atau memuat tt ( ) da mempua blaga arah{ α, α,..., α } mempua persamaa dalam betu parametr adalah a αt a t α... X a α t. Jad persamaa parametr gars lurus d R adalah X a α t. Cotoh B.4. a. Tuls persamaa parametr utu gars h ag melalu tt A(3, 0, -, ) da tt B(, -, 4, 6). Peelesaa : Karea blaga arah α AB (-, -, 5, 4) sejajar g da A(3, 0, -, ) terleta pada g, maa persamaa parametra gars g adalah 3 t, t, z 5t da w 4t b. Tuls persamaa parametr utu gars g ag melalu tt A(, 4, -) da tt B(5, 0, 7). Peelesaa : Karea blaga arah α AB (3, -4, 8) sejajar gars g da A(, 4, -) terleta pada gars g, maa persamaa parametra 3t, 4 4t da z 8t

45 38. Sudut Atara Dua Gars Lurus- Dbera dua gars lurus- g da h dega blaga araha berturut-turut adalah ( α, α α ) da ( β, β β ),...,,...,. Selajuta, ja, g da u, v h maa vetor - da vetor u-v berturut-turut sejajar dega blaga arah ( α, α α ) da ( β, β β ),...,,...,. Oleh area tu, sudut atara g da h sama dega sudut atara vetor - da vetor u-v. Jad, ja θ sudut atara g da h dperoleh rumus α, β α β α β... α β cosθ. α β α β Dega da β β α α Dega dema dperoleh hubuga sebaga berut a. Gars lurus- g da gars lurus- h sejajar (g // h) ja da haa ja mempua blaga arah ag sebadg. α α β β α.... β b. Gars lurus- g da gars lurus- h salg tega lurus (g h) ja da haa ja α β 0 atau α β α β... α β 0., Cotoh B.4. ). Tetua besar sudut dua gars lurus-, ja detahu g: 3t, 4 4t, z 8t, w 3 6t h: 4t, 5t, z 3 7t, w 5 t

46 39 Peelesaa: Karea blaga arah g: (3, 4, 8, 6) da gars h: (4, 5, 7, ) maa cosθ α, β α β α β... α β α β α β 3 ( 3 4) (( 4) 5) ( 8 ( 7) ) ( 6 ) ( 4) ( 7) 5 0 0,48 8,69.,8 9,69 ). Dbera persamaa parameter gars g: 3 t, t, z 5t, w 4t da gars h: 5t, t, z 4 3t, w 6 t. Tetua besar sudut atara edua gars tersebut? Peelesaa: Blaga arah g: (-, -, 5, 4) da gars h: (-5, -, 3, ) sehgga cos θ α, β α β α β α β... α β α β (( ) ( 5) ) (( ) ( ) ) ( 5 3) ( 4 ) ( ) ( ) 5 4 ( 5) ( ) ,66 48,66. 6,56 6 3). Tujua gars g da h sejajar ja 6 3t, 4 t, z 4t, w 4 6t adalah persamaa parametr gars h da persamaa parametr gars g adalah 6t, 4 4t, z 8t, w 6 t.

47 40 Peelesaa: Blaga arah dar g adalah (3,, 4, 6) da h adalah ( 6, 4, 8, ). Maa Jad edua blaga arah tersebut sebadg sehgga gars g da h sejajar. 4). Tujua gars g da h tega lurus ja t, 4 8t, z 3 9t adalah persamaa parametr gars h da 6t, 4 3t, z t persamaa parametr gars g. Jawab: Blaga arah dar g adalah (, 8, 9) da h adalah ( 6, 3, ). Kedua gars tersebut tega lurus ja α, β 0. Dperoleh α, β ( ( 6) ) ( 8 3) (( 9) ) 0 Jad edua gars tersebut salg tega lurus. 3. Jara Tt terhadap Gars Lurus- Jara atara sebuah tt a R dega sebuah gars lurus- g adalah jara terdeat atara tt a dega setap tt g, ag dotasa d( a,g) f { d( a, ) : g} Jad terdapat. g sehgga ( a,g) d( a, ) bahwa vetor a salg tega lurus dega arah g. d. Perlu dgat

48 4 a. d ( a,g).b g Gambar 4. Teorema 3. Ja dbera sebuah tt a R dega sebuah gars lurus- g dega blaga arah ( α, α α ) atara tt a da g adalah,..., da suatu tt b g, maa jara a - b, α d( a,g) ( a - b) α α But Aa dtetua jara atara tt a da gars lurus- g (dtuls: d( a,g)). Detahu tt b g. Dbetu vetor a b 0, maa d( a,g) adalah besar (orm) dar ompoe orthogoal vetor a b terhadap vetor arah α dega a b α α α α, 0., Dega ata la dperoleh a - b, α d( a,g) ( a - b) α. α Terbut.

49 4 4. Jara Atara Dua Gars Lurus- Defs Jara atara dua gars lurus- adalah jara terpede atara tt tt pada salah satu gars lurus- dega tt tt pada gars lurus- laa. Dar defs datas ja detahu dua gars lurus- g da h, maa jara atara g da h dapat dtuls d(g,h) f { d(, ) : g, h} a. Jara atara dua gars lurus- ag sejajar Ambl dua gars lurus- ag sejajar g da h. Msal g : a tα, t R h : b tα, t R. Ambl satu tt d g da h, msal a g da b h. Dbetu vetor b a dega vetor arah α dperoleh b - a, α d( a,h) ( b - a) α. α Dega ata la, ddapat jara atara gars lurus- g da h adalah d(g,h) d( a,h). b. Jara atara dua gars lurus- ag berslaga Ambl dua gars lurus- ag berslaga g da h. Msal g : a tα, t R da h : b tβ, t R. Ambl satu tt d g, msal a g

50 43 Karea pada setap tt d gars lurus- h dapat dbuat gars lurus- ag sejajar g da melalu tt b sehgga dapat dbetu hmpua sebaga berut Dmaa h { R : b t, t R } α h utu setap (,, 3,... ) adalah gars lurus- ag memotog h da sejajar g. Sehgga jara gars lurus- g da gars lurus- h adalah g d ( a, ) ( - b ) d (, ) h Dega ata la d (, ) h h g f { ( a, h )} d. a - b, α a α α Cotoh B.4.3 z H G A(4, 0, 0) E(4, 0, 8) E F B(4, 6, 0) F(4, 6, 8) A D B C C(0, 6, 0) G(0, 6, 8) D(0, 0, 0) H(0, 0, 8) Gambar 4. ). Pada sebuah balo pada gambar 4. htug (a). Jara tt A terhadap gars BC. (b). Jara gars BC terhadap gars AD.

51 44 Peelesaa: (a). Msal gars BC g Maa blaga arah g (0, 6, 0) - (4, 6, 0) ( 4, 0, 0) α. Karea ( a b) AC ( a b) ( 0, 6, 0) ( 4, 0, 0) ( 4, 6, 0) a - b, α Jad d(a, BC) d ( a, g) ( a - b) α α (,6,0) ( 4,6,0),( 4,0,0) ( 4) ( 4,6,0) ( 4,0,0) ( 4,6,0) ( 4,0,0) ( 0,6,0) 6 ( 4,0,0) 6. (b). Msal BC g da AD h Sehgga blaga arah g (0, 6, 0) - (4, 6, 0) ( 4, 0, 0) α () da blaga arah h (0, 0, 0) - (4, 0, 0) ( 4, 0, 0) ( ) α. Ambl satu tt d g da h, msal a g da b h Karea ( b a) AB ( b a) ( 4, 6, 0) ( 4, 0, 0) ( 0, 6, 0) b - a, α Jad d( a,h) ( b - a) α α

52 45 ( ) ( 0,6,0),(- 4, 0, 0) 0,6,0 ( 4) 0 0 ( 4,0,0) ( 0,6,0) C. Bdag Datar-. Persamaa Bdag Datar- Dbera R, da ( - a) Hmpua V { R,( - a) a } R : ( - a),a Karea - a,a 0, dega a adalah vetor tetap d R. { 0 } Dsebut hperplae d R,a a,a 0,a a,a,a a... dsebut persamaa bdag datar- (hperplae). Ja (,,..., ) da a ( a, a,..., ) a maa persama bdag datar- berbetu a a... a a a... a a γ.

53 46 Cotoh C.4. (a) Tuls persamaaa bdag datar d Peelesaa: Persamaa bdag datar d 3 R, 4 R, 5 R 3 R, arta 3 dperoleh a 3 3 a a γ A B Cz D. Persamaa bdag datar d 4 R, arta 4 dperoleh a a a a γ A B Cz Dw E. Persamaa bdag datar d 5 R, arta 5 dperoleh a a a 33 a 4 4 a 55 γ A B Cz Dw Eu F.. Persamaaa Hesse Bdag Datar- Persamaa Hessee bdag datar- adalah persamaa bdag datar- dega orm vetor arah sama dega satu. Ja bdag datar- V dega persamaa a, c a a, c a a a, c a λ, p Jad persamaa Hesse : λ, p dega λ cosθ a, e a 3. Jara Tt terhadap Bdag Datar- Ja a adalah vetor arah da sealgus tt ag termuat d V, maa persamaa bdag datar- V mejad

54 47 V : a, a 0 atau V : a, a a Jad persamaa Hesse dar V adalah a a, a Hal meujua bdag jara tt O terhadap bdag datar- d ( O, V) a. a. Jara tt O terhadap bdag datar- V Ja bdag datar- V mempua persamaa umum a, c, maa jara V terhadap tt O adalah d ( V) O, c a b. Jara tt a R terhadap bdag datar- V Dbera sebarag tt a R da bdag datar- V: α, γ c Maa jara atara tt a dega V adalah d ( a, v) α,a γ α But: Bdag datar- V : α, γ c λ, γ p 0 d(a,v) d a V a dega λ α α da p c α α gambar 4.3 V

55 48 Dtetua d(a,v) Melalu a dbuat bdag datar- V // dega V Jara V da V terhadap O sebut d Jad persamaa bdag datar- V adalah V λ, p ± d 0 Bdag datar- melalu a, dperoleh V λ, a p ± d 0 Karea d(a,v) d, dperoleh d λ, p d( a,v) α,a a c. Terbut d R 3 : V A B Cz D 0 da P(,, z ) maa jara P terhadap V d(p,v) A B Cz D A B C d R 4 : V A B C 3 D 4 E 0 da P(v,,, z ) maa jara P terhadap V d(p,v) Av B C Dz E A B C D

56 49 Cotoh C.4.3 E z H F G A(4, 0, 0) E(4, 0, 4) B(4, 4, 0) F(4, 4, 4) C(0, 4, 0) G(0, 4, 4) D C D(0, 0, 0) H(0, 0, 4) A B Gambar Kubus 4.4 (a) Tetua jara tt E terhadap bdag BDG pada ubus 4 satua? Peelesaa: Persamaa Bdag BDG a CE ( 4, -4, 4 ) (, -, ) da Sehgga a, ( b) 0 ( a, ) ( a, b) 0 a BDG a, a, b (, -, ), (, -, ), ( 4, 4, 0 ) (, -, ), 0 Jara tt E terhadap bdag BDG : d( E, BDG ) (, -,), ( 4, 0, 4) ( )

57 50 (b) Tetua jara tt A terhadap bdag BDG pada ubus 4 satua? Jawab: Persamaa Bdag BDG BD (-4, -4, 0), BG (4, 0, 4) da DG (0, 4, 4) Msala a (, a, ) a da a BDG a 3 Sehgga berlau a, BD 0 a, BG 0 a, DG 0 Maa (- 4, - 4, 0), ( a, a, a ) 4a 4a 0...() a, BD 3 ( 4, 0, 4), ( a, a, a ) 4a 4a 0.() a, BG 3 3 ( 0, 4, 4), ( a, a, a ) 4a 4a (3) a, DG 3 3 Dar (), () da (3) dperoleh a ( a, a, ) a Sehgga, ( d) 0 ( a, ) ( a, d) 0 a 3 (, -, ) a, a, d

58 5 (, -, ), (, -, ), ( 0, 0, 0 ) (, -, ), 0 Jara tt A terhadap bdag BDG : d( A, BDG ) (, -,), ( 4, 0, 0) ( ) (c) Tetua jara A(, 4, -3, 0) terhadap bdag ag melalu empat tt atu B(, 3, -5, ), C(3, 4, -, 4), D(4, -,, 0) da E(, 4, -3, 0)? Peelesaa: Persamaa bdag datar- d R 4 BC (,, 4, ), BD (3, -, 6, ) CD (, -,, -4), BE (,,, ) Msala a (, a, a, ) a da a BCDG 3 a 4 Sehgga berlau a, BC 0 a, DE 0 a, BE 0 a, BD 0 Maa a , BC (,, 4, ), ( a, a, a, a ) a a 4a a 0 a , BD ( 3, -, 6, ), ( a, a, a, a ) 3a a 6a a 0 a , BE (,,, ), ( a, a, a, a ) a a a a 0 a , CD (, -,, - 4), ( a, a, a, a ) a a a 4a 0

59 5 Dar (), (), (3) da (4) dperoleh a ( a, a, a, ) Bdag BCDG: (, -, -, ) 3 a 4 (, -, -,), (, -, -, ), (, 4, - 3, 0 ) a, C (, -, -,), - Jara tt A terhadap bdag BCDG d R 4 : d(a, BCD) (, 4, - 3, 0), (, -, -,) ( ) Kedudua dua bdag datar- Msal dbera dua bdag datar- V :, a α U :, b β θ adalah sudut atara U da V sehgga ( π - ) cos θ cos θ a, b a. b a. Dua bdag tega lurus U V θ π ( π -π ) cos π cos a, b a. b a, b 0 a b.

60 53 b. Dua bdag sejajar U / / V θ 0 ( ) cos 0 cos π a, b a. b a, b a. b Ambl sebarag α a b sehgga a, α a a. α a α a, a α. a α a α. a.

61 BAB V PENUTUP A. Smpula Dar hasl pembahasa dapat dtar smpula sebaga berut.. Persamaa gars lurus- da bdag datar- (hperplae) a. Gars lurus- adalah X a α t. b. Bdag datar- adalah,a a.. Kedudua atara dua gars lurus- da dua bdag datar- (hperplae) a. Kedudua atara dua gars lurus- ). Dua gars lurus- g da h dataa sejajar ja da haa ja mempua blaga arah ag sebadg. α α β β α.... β ). Gas lurus- g da h dataa salg tega lurus ja da haa ja α β 0 atau α β α β... α β 0., b. Kedudua atara dua bdag datar- ). Dua bdag datar- tega lurus U V θ π ( π -π ) cos π cos a, b a. b a, b 0 a b.

62 54 ). Dua bdag sejajar U / / V θ 0 ( ) cos 0 cos π a, b a. b a, b a. b Ambl sebarag α a b sehgga a, α a a. α a α a, a α. a α a α. a. 3. Persamaa sudut atara dua gars lurus- da bdag datar- a. Sudut atara dua gars lurus- α, β α β α β... α β cosθ. α β α β b. Sudut atara dua bdag datar- a, b cos θ cos ( π -θ ). a. b 4. Persamaa jara atara sebuah tt dega gars lurus- da jara atara dua gars lurus- ). Jara atara sebuah tt dega gars lurus- adalah a - b, α d( a,g) ( a - b) α. α a - b, α d α. α ). Jara atara dua gars lurus- adalah ( a,g) ( a - b)

63 55 5. Persamaa jara sebuah tt terhadap bdag datar- adalah d( a, v) α,a γ. α B. Sara. Dharapa peulsa dapat dguaa utu membatu dalam pemecaha soal soal geometr pada ruag dmes 3 hususa gars da bdag.. Dar hasl peulsa dharapa dapat dguaa sebaga sumbaga pemra bag mahasswa Uverstas Neger Semarag, hususa Jurusa Matemata ag g megembaga peulsa.

64 DAFTAR PUSTAKA ARIFIN, Achmad. 00. Aljabar Lear. Badug : ITB BERBERIAN, Sterlg. K. 96. Itroducto to Hlbert Space. New Yor : Oford Uverst Press CARICO, Charles. C Aaltc Geometr. New Yor : Joh Wle & Sos CHOW, Wug Yug Lear Geometr Eucldea 4-Space. Sgapore : SEAMS CLEMENTS, Stale. R Geometr Wth Applcato ad Problem Solvg. USA : Addso-Wesle Publshg Compa GANS, Davd A Itroducto to o-eucldea Geometr. New Yor : Academc Press Ic KOHN, Ed Clffs Quc Revew Geometr. Badug : Paar Kara MARSDEN, Jerrold. E Basc Multvarabel Calculus. New Yor : Sprger- Verlag MULYATI, Sr.. Geomer Eucld. Malag : JICA SUHITO Geometr Aalt Raguma Hasl Peelta / Magag. Yogaarta. UGM ROCHMAD. 00. Aalss Real II. Semarag : UNNES RUCKLE, Wllam. H Moder Aalss. Bosto : PWS KENT Publshg Compa WURYANTO Aalss Real I. Semarag : UNNES 56