Analisa Probabilistik Algoritma Routing pada Jaringan Hypercube

Transkripsi

1 Aalsa Probablst Algortma Routg pada Jarga ypercube Zuherma Rustam Jurusa Matemata Uverstas Idoesa Depo 644. E-mal : rustam@maara.cso.u.ac.d Abstra Algortma routg pada suatu arga teroes suatu measme utu meetua rute yag harus dlalu oleh suatu pacet yag berasal dar suatu ode sumber e ode destas pada arga tersebut.tuua utama dar algortma routg memlh rute, yag yag meghubuga ode org dega ode destato, dega total delay setap pacet mmal. Maalah membahas hasl aalsa probablstc tetag dua buah algortma routg yatu Algortma Determst Bt Fxg da Algortma Radomzed Routg. Dega megguaa teorema Cheroff dapat detahu probabltas suatu pacet mecapa ode tuua.. Pedahulua Komputer paralel terdr dar seumlah proses yag salg berteras. Komuas atara prossesor dlaua melalu tercoecto etwor, sedaga formas yag drma atar prosessor dapat berupa seumpula data bary, yag damaa dega pacet. Utu merepresetasa teras atar prosessor dguaa suatu graph atau topology. ode dar graph tersebut meuua prosessor sedaga edge yag meghubuga sepasag ode meuua adaya alur omuas atara edua prosessor.topolog atau Graph yag basa dguaa atara la : Lear Array, ypercube, Mesh da Fat Tree. Topolog Lear Array merupaa topolog yag sederhaa da baya dguaa utu omputer paralel dega umlah prosesor yag sedt. Geeras pertama omputer paralel ( Itel PSC da CM ) megguaa topolog hypercube. Geeras berutya sepert Itel Parago da Wrap megguaa topolog mesh.[ Bertseas,989] Jarga Lear Array, ypercube, Mesh da Fat Tree dgologa edalam statc tercoexto etwors, hal dsebaba area prosessor dhubuga satu sama la dega megguaa fxed coecto. Algortma Routg utu suatu Jarga Iteroes suatu measme utu meetua rute ltasa yag harus dlalu oleh suatu pacet dar suatu ode sumber e ode destas. Tuua utama algortma routg memlh rute pada arga sedema sehgga total delay utu setap paet mmum. Dalam maalah aa dbahas dua algortma routg yatu Bt-Fxg Routg da Radomzed Routg pada arga ypercube. Sstmata maalah sebaga berut : baga edua membahas defs da teorema dasar yag berata dega Topolog ypercube, baga etga membahas tetag algortma Bt-Fxg, baga terahr dar maalah membahas algortma Radomzed Routg.. Topolog ypercube Suatu arga hypercube berdemes ( dsebut uga dega cube ), terdr dar = ode. Setap ode ber-degree, dega perataa la setap ode terhubug dega buah ode laya.. Setap ode mempuya bt address. Address dar ode e dyataa dalam betu (,,..., ) {0, }. Edge e meghubuga sepasag ode da a ara ammg atara (,,..., ) da (,,..., ) berla. Topolog hypercube dtau berdasara omputas lebh ba dbadga dega mesh, hal dtada dega fata bahwa omputas yag deraa dega satu lagah d mesh dapat deraa dega satu lagah pada hypercube, sedaga ebalaya tda berlau. A-05

2 A-06 Proceedgs Komputer da sstem Itelee(KOMMIT00) Audtorum Uverstas Guadarma, Jaarta, Agustus 00 Defs : Msala dbera suatu arga dega ode, dmaa setap ode memuat suatu pacet yag harus drma e suatu ode destas, a ode destas membetu suatu permutas π :, dar ode maa masalah routg damaa masalah Permutas Routg. Algortma yag dguaa utu meyelesaa masalah damaa algortma Permutas Routg. Defs : Setap algortma routg, dmaa rute setap pacet dtetua berdasara haya pada address dar ode destas, damaa algortma oblvous-routg. Algortma megguaa rute tetap utu setap pasag ode sumber da destas. Pada ode atara, eputusa yag harus dlaua memlh rute yag harus dlalu suatu pacet, berdasara address ode destas. Teorema 3 : [Motwa et all,997] Komplestas algortma Permutas Routg pada arga dega ode, berdegree, Ω( ). 3. Algortma Bt-Fxg Routg Algortma Bt-Fxg merupaa algortma oblvous-routg determst. Pada ode termedate, eputusa routg utu suatu pacet, haya ddasara pada adrress dar ode destas.msala suatu pacet aa drma dar ode sumber ber-address π( e ode destas ber-address η( ) melalu ode termedate ber-address σ(. Pertama seal harus dbadga address π( ) dega σ(,dmula dar r e aa, da dtetua d poss maa edua address tersebut berbeda. Selautya pacet drma e ode beraddress η( dmaa η( ) dega σ( haya berbeda pada poss tersebut. Msala dbera arga ypercube berdmes, terdr dar = ode da setap ode berdegree ( geap). Msala da bt-strg dega paag da operator merupaa operator oateas. Da dmsala setap ode d hypercube tersebut dyataa dalam betu ( ) da setap ode merupaa eleme berbeda dar matrs A, beruura. Berdasara data-data tersebut maa meghtug traspose dar matrs A sama artya dega proses routg setap elemet e ode destas yag berbeda sedema sehggga elemet yag dsmpa d ode ( ) d rma e ode (. Karea ode destas membetu suatu permutas maa masalah damaa masalah permutas routg, atau traspose permutas. Permutas datas dperlua utu membahas omplestas dar algortma bt-fxg algorthm utu ypercube. Dega megguaa teorema 3 aa meghasla corollary berut : Corallary 4 : Komplestas dar algortma Bt-Fxg-routg pada arga hypercube dega ode berdegree Ω( ). But : Í, {0,,..., } permutas traspose memerlua routg elememt yag dsmpa pada ode

3 Aalsa Probablst Algortma Routg pada Jarga ypercube A-07 sumber ( ) e ode destas (. Msala utu = 0, ( terdapat buah ode dega = 0 ), Í { 0,,..., } dlaua routg utu elemet yag dsmpa pada ode sumber ( 0) e ode destas ( 0 dega megguaa algortma Bt-Fxg. Setap elemet harus melalu ode (0 0). Ja merupaa blaga gal terdapat ode dar ode yag meml address ( 0). Sehgga berdasara traspose permutas terdapat elemet yag aa meltas edge, yag meghubuga ode ( 0) da ( 0 0). Karea haya ada sebuah eleme pada saat yag bersamaa yag dapat megguaa edge yag sama, maa hal memrlua lagah. Sehgga permutas traspose memerlua Ω( ) lagah. 4. Algortma Radomzed-Routg Utu meylesaa masalah permutas routg pada hypercube, Les Valat membetu algortma radomzed routg, utu megrma suatu pacet. Algortma Valat tersebut terdr dar dua phase yatu:[ Vallat,98]. Pada setap dplh secara radom, ode termedate σ( ) dar {,,..., } da rma pacet v dar e σ( dega megguaa Bt-Fxg Routg. Ja pacet telah sampa d ode atara σ(, rma pacet tersebut dar ode termedate σ( ) e ode destas π( dega megguaa Bt-Fxg Routg Lemma 5 : Ja algortma Bt-Fxg dguaa utu megrma pacet v dar e σ( da megrma pacet v dar e σ( ) maa rute eduaya tda aa meltas rute yag sama a aa eduaya sudah berpsah. But : Msala da l masg-masg meuua ode dmaa edua path berpsah da bergabug. Karea rute pada btfxg utu masg-masg pacet v da pacet v tergatug haya pada address dar ode da ode l maa edua pacet tersbut harus melau rute yag sama. Selautya aa dbahas tetag omplestas algortma Radomzed-Routg.Msala p = ( e, e } ltasa yag dlalu oleh pacet v da ddefsa hmpua S sebga berut : S = { v, v meltas palg sedt sebuah edge d p = ( e, e } }. Utu suatu pacet v, eterlambata (lag) dar pacet v relatf terhadap p dyataa sebaga t -. Keterlambata terad a pada saat t, pacet tersebut sudah sap utu meltas edge e. Lemma 6: Batas atas eterlambata pacet But : v S

4 A-08 Proceedgs Komputer da sstem Itelee(KOMMIT00) Audtorum Uverstas Guadarma, Jaarta, Agustus 00 Setap pacet yag meggala ltasa p = ( e, e } dega lag sebesar l, aa lag dar pacet tersebut aa deaa pealt sebesar satu satua, sehgga lag dar pacet tersebut mead l +. Msala t saat terahr suatu pacet berada d hmpua S dega eterlambata sebesar l. Karea umlah lagah hgga maa ada pacet yag aa megguaa pada saat t sedema sehgga t = l. Karea pacet v aa megguaa edge e da pada saat yag bersamaa suatu pacet sedag berada d edge e, maa dua terdapat w dua plha utu pacet w yatu harus meggala p pada saat t atau w meuggu utu meltas edge e pada saat t +. al aa megabata beberapa pacet harus meltas + e pada saat t +.al bertetaga dega masmaltas dar l. Berdasara lemma 5, w + tda aa perah embal e ltasa p. Sehgga setap pacet yag berada d S palg sedt megalam pealt palg sedt satu al. Selautya aa dbahas espeat watu utu metrasfer seluruh pacet pada arga ypercube., a e p p Msala ddefsa varabel radom =, 0, a tda dema da d meuua total delay yag dalam oleh pacet v. Berdasara lemma 6, aa berlau d, da E[ d ] E[ ] = E[ ]. Msala T (e) varabel radom yag meuua bayaya rute yag meltas edge e. Ja p ( e, e,..., e } maa T ( e ). Karea setap rute harus melalu palg = = sedt sebuah edge d p = ( e, e }, msala edge tersebut el.karea edge el edge yag dltas oleh setap rute tersebut utu membawa suatu pacet aggota S maa e E[ ] E[ = T ( e )] = = T ( e )] () Karea edge pada ypercube smetrs, maa utu el da em berlau E T ( e )] = E[ T ( e )]. Jumlah edge pada dgraph maa espetas paag suatu rute [ l m da espetas paag total rute. Dega perataa la E [ T ( e)] =, Íe E. Dega megguaa persamaa (), maa aa berlau : E[ ] () Karea rute utu suatu pacet dplh bebas secara radom.utu suatu la,, merupaa percobaa Poso sehgga utu meghtug batas-batas probablst dar dapat dguaa Teorema Cheroff, yatu Teorema Cheroff : Ja X = X dmaa X suatu meuua outcome dar percobaa bebas Posso, maa berlau μ μ Pr[ X > ( + ) ) <, dmaa ostata da + ( + )

5 Aalsa Probablst Algortma Routg pada Jarga ypercube A-09 μ = E [ X ] = p. Selautya,a > e maa aa berlau : Pr[ X > ( + ) μ) ( + ) + + μ ( + ) + + μ (+ ) ( ) μ (+ ) 6 Dega meetapa ( + ) μ = 6 maa Pr[ > 6). Karea total bayaya pacet maa probabltas, bahwa suatu delay yag 6 terad lebh besar 6, lebh ecl dar. Berdasara aalsa datas maa aa dhasla proposs berut : Proposs 7 : 5 Dega probabltas urag dar, suatu pacet v aa mecapa ode σ( dalam 7 lagah atau urag dar tu. Phase edua pada algortma Radomzed-Routg Vallat det dega phase pertama a ode sumber da ode destas dpertuara. Sehgga aalsa datas uga berlau utu phase edua. Dega dlaua pertuara pera dar ode source da ode destas maa dega probabltas lebh ecl dar =, suatu paet gagal utu mecapa ode destas pada salah satu phase 5+ tersebut, urag dar. Atau dapat dyataa dyataa dalam proposs dbawah : Proposs 8: Dega probabltas lebh ecl dar dalam 4 lagah atau urag dar tu. 5. Daftar Pustaa, suatu pacet tda aa mecapa destasya []. D.P. Bertseas ad J.. Tstsls, Parallel ad Dstrbuted Computato, Pretce all Ic, 989. []. R.J Motwa et all, Radomzed Approxmato Algorthms Combatoral Optmzato, PWS, 997 [3]. L.G. Vallat, A Scheme for Fast Parallel Commucato, SIAM J. Computatos, Vol :350-36,98