METODE NUMERIK ROSENBERG DENGAN ARAH PENCARIAN TERMODIFIKASI PENAMBAHAN KONSTANTA l k

Transkripsi

1 Prma: Jural Program Stud Pedda da Peelta Matemata Vol. 6, No., Jauar 07, hal P-ISSN: METODE NUMERIK ROSENBERG DENGAN ARAH PENCARIAN TERMODIFIKASI PENAMBAHAN KONSTANTA l UNTUK BEBERAPA NILAI 0 Rumoo Bud Utomo Pedda Matemata, FKIP, Uverstas Muhammadyah Tagerag Emal: rumoo.bud.u@mal.ugm.ac.d l Abstra Maalah megaj teor metode umer Roseberg varabel dega arah pecara termodfas. Arah pecara termodfas d s merupaa peambaha ostata l utu beberapa la l atara 0 sampa dega dega,,.., pada metode Roseberg basa. Peelta dlaua dega memaham terlebh dahulu metode Roseberg, emuda memodfas arah pecaraya utu meetua solus umer dar suatu permasalaha optmsas. Pada maalah turut dsertaa cotoh perhtuga umer atara metode Roseberg da Metode Roseberg termodfas beserta aalss perhtugaya. Kata uc: Metode Roseberg, Arah Pecara, Metode Roseberg Termodfas Pedahulua Tda selamaya permasalaha matemats hususya pada model optmsas dapat dselesaa dega metode aalt. Teradag pada ods tertetu, solus aalt dar permasalaha matemats tersebut tda dapat dtemua sehgga dperlua metode umer. Metode Aalt merupaa metode peyelesaa model matemata dega rumusrumus aljabar yag telah bau atau lazm [] sedaga metode umer merupaa metode hampra atau pedeata. Karea metode umer merupaa metode pedeata atau hampra, maa solus yag dhasla bualah la sesugguhya, amu merupaa solus yag cuup deat dega solus aslya atau aalt. Apabla berbcara megea solus hampra atau pedeata maa erat ataya dega seberapa aurat solus umer yag dperoleh dega solus aalt, dega dema pembcaraa megarah pada seberapa besar esalaha atau eror yag dapat dtoleras. Masalah optmsas berdasara jumlah elearaya dbag atas baga, ya lear da olear, sedaga berdasara jumlah varabel bebasya masalah optmsas dbag atas baga pula ya varabel bebas da baya varable bebas []. Baya seal metode umer yag dapat dguaa utu meyelesaa masalah optmsas tersebut, msalya

2 8 P-ISSN: utu meyelesaa masalah optmsas dega varabel bebas dapat megguaa metode Golde Raso, Fboacc, Bses, Dchotomus, Secat dll []. Lebh lajut, utu meyelesaa masalah optmsas dega lebh dar varabel bebas dapat dguaa metode umer sepert Asal, Hoo ad Jeeves, Arah Kojugas, Steepest Descet da Roseberg []. Masg-masg metode umer meml ecepata pecara solus (Bg Oh) yag berbeda-beda bergatug pada algortma dar metode tersebut [5]. Dalam Maalah peuls megaj da megembaga metode Roseberg dar ss arah pecara drecto ya dega cara meambaha ostata l utu beberapa la l dar ol sampa satu. Peelta bertujua utu melhat solus umer dar suatu permasalaha optmsas dega megguaa metode Roseberg termodfas serta membadgaya dega metode Roseberg basa. Aalss perhtuga dsaja sebaga pelegap utu meympula metode yag lebh cepat dalam mecar solus permasalaha optmsas datara metode Roseberg basa da yag telah termodfas.. Ruag Vetor Defs. Tjaua Teorts Hmpua ta osog V merupaa ruag vetor apabla x, y, z V da a, b R sedema hgga memeuh asoma-asoma sebaga berut: [6]. x y V. x y y x. x y z x y z v. terdapat 0 V sedema hgga 0V V 0 0 v. terdapat x V v. ax V sedema hgga x x 0 v. a x y ax ay da v. ab x abx x. x x Cotoh. a b x ax bx merupaa ruag Eucld berdmes merupaa ruag vetor Prma, Vol. 6, No., Jauar 07, 7-59.

3 Prma ISSN: Defs. Dbera Ydua, buah vetor. Sembarag blaga rl damaa orm dar apabla memeuh asoma-asoma sebaga berut. 0. a 0 0. a a, a R v. Y Y Cotoh. x, x... x merupaa Norm yag selajutya deal dega Norm Eucld Defs. Hmpua baga W dar V dsebut ruag baga dar V ja W ruag vetor dega operas jumlah da al sama sepert V Defs. Msala, m vetor-vetor d V maa dsebut ombas lear dar vetorvetor ja Defs.5 Vetor m a, m aggota-aggota V dsebut ta bebas lear ja da haya ja terhadap blaga-blaga rl ta semuaya ol sedema hgga a 0. Apabla pembuat ol haya a 0, maa vetor-vetor tersebut dataa bebas lear Defs.6 Dbera vetor Ydega, { x, x,..., x } da Y { y, y,..., y }. Y ja da haya ja x y,,,...,. Y ja da haya ja x y,,,...,. Y ja da haya ja x y,,,...,. Betu Kuadrat Da Tt Estrm Defs. F( ) c x c x... c x c x x c x x... c x x..., Metode umer roseberg dega arah pecara termodfas peambaha ostata utu beberapa la 0 l Utomo

4 50 P-ISSN: dega c j R,, j dsebut fugs betu uadrat dega varabel x, x,..., x Perlu dcatat bahwa betu uadrat selalu dapat dbawa e dalam betu t F( ) aj j A dega A merupaa metr smetrs da (, ) t Cotoh. F x x, F xx, da F x x x x x merupaa dua cotoh fugs yag berbetu uadrat. Defs. Betu uadrat t t A dsebut postf (egatf) deft ja A ( )0 utu semua t 0da terdapat seuragya satu vetor ta ol sedema hgga A 0. Apabla tda memeuh eduaya, maa betu uadrat tersebut dataa defte Teorema. Suatu matrs A dataa. Postf deft ja da haya ja 0. Negatf deft ja da haya ja 0. Postf sem deft ja da haya ja 0 v. Negatf sem deft ja da haya ja 0 dega merupaa la-la ege dar matrs A da etdasamaa dcapa utu seurag-uragya satu j. Lebh lajut apabla tda memeuh,,,v maa matrs A dsebut defte Defs. Fugs Fxdataa ( ) meml mmum global d x 0 dalam S ja f ( x) f ( x0) Defs. Fugs Fxdataa ( ) meml mmum loal (relatf) d x0 dalam S ja terdapat setar dar x 0 sedema hgga f ( x) f ( x0) utu setap x d dalam persetara tersebut. Defs.5 Msala F da semua turuaya, ' '' F, F,..., meerus d dalam selag, ab Msala x [ a, b], maa dapat ddefsa deret Taylor sebaga berut: F( x x) F( x) F ( x) x ( x) dega merupaa suu berderajat besar ' F '' ( x) Prma, Vol. 6, No., Jauar 07, 7-59.

5 Prma ISSN: Defs.6 Deret Taylor utu fugs F( ) dega { x, x,..., x } ddefsa sebaga F( x) F( ) F( ) H( )( x) dega merupaa suu berderajat besar, da ' ( ) H( ) metr Hessa yag ddefsa sebaga F F F x x x x x F F F H xx x xx..... F F F xx xx x Syarat perlu agar merupaa tt estrm dar fugs F( ) adalah F( ) 0, F F F F( ),,..., x x x. Metode Roseberg Metode Roseberg merupaa salah satu metode umer yag dapat dguaa utu meyelesaa masalah optmsas ba dega atau tapa edala dega varabel bebas dsampg metode laya sepert asal, Hooe ad Jeeves, Stepest Descet da Arah ojugas. Terdapat beberapa esamaa metode dega metode laya, dataraya adalah memula dar la awal { x, x,., x} R da peetua rtera teras berhet, ya eta sepert halya, metode Hoo ad Jeeves da metode arah ojugas dega 0 merupaa sebarag ostata postf yag merepresetasa esalaha atau eror yag dapat dtoleras [8], Perbedaa metode Roseberg dega metode laya terleta pada arah pecara drecto. Sebaga cotoh pada metode asal da hooe ad jeeves, arah pecara atau drecto dtetapa sebaga d,0,0,...,0,d 0,,0,...,0,...,d 0,0,0,...,.Lebh lajut Arah pecara pada metode steepest descet da arah ojugas masg-masg ddefsa sebaga d Z ( ) da d ( ) t d Hd dega Z merupaa gradet fugs objetf Z yag heda dmasmala atau dmmuma da H adalah metr Hessa dega,,..., Metode umer roseberg dega arah pecara termodfas peambaha ostata utu beberapa la 0 l Utomo

6 5 P-ISSN: Defs. Suatu masalah optmsas olear tapa edala dedefsa sebaga Mmala Z F( ), F : R R Fugs Z F( ) merupaa fugs tujua yag heda dmmuma laya, emuda hmpua yag memmala Z F( ) dsebut peyelesaa optmal. Algortma Roseberg Dbera Z F( ) F( x, x,., x ) da aa dtetua { x, x,., x } yag memmala fugs F( ) tersebut}. Ambl { x, x,., x} R tt sembarag tt awal da 0 suatu ostata postf yag meyataa besarya esalaha eror yag dtolerass.. Arah pecara d a a a da d b b b.,,..., pecara ddefsa sebaga b sedaga utu d, gajl arah,,..., dega,,..., b d a, a,., a b a a a R da d da d geap arah pecaraya ddefsa sebaga d a, a..., a, 0 dega ata la d d, d d da seterusya l Tetua dega cara mz ( ) da la d v. Iteras berhet eta orm Metode Peelta Metode utu melaua peelta adalah stud lteratur, ya dega membaca da memaham osep teor metode umer utu meyelesaa masalah optmsas hususya Roseberg. Buu yag dguaa utu melaua peelta atara la buu-buu sepert, a troducto to optmzato arya Edw K.P.Chog da Staslaw H Za, theory of multobjectve optmzato arya Yoshazu Sawarag, Hrotaa Naayama da Tetsuzo Tao, olear programmg theory ad algorthm arya Mochtar S Bazaraa, Haf D Sheral da C.M Shetty, a troducto to model buldg arya Waye L Wsto, da metode umer arya Rald Mur. Setelah memaham metode umer Roseberg, dembaga metode umer yag baru turua dar Roseberg ya dega memodfas arah pecaraya meambaha ostata 0. Kemuda dsusu algortma Roseberg yag baru hasl modfas arah pecara. Terahr dlaua smulas l Prma, Vol. 6, No., Jauar 07, 7-59.

7 Prma ISSN: perhtuga mecar solus umer dar masalah optmsas varabel dega cara Roseberg da Roseberg termodfas. Hasl da Pembahasa Berdasara algortma Roseberg, aa dembaga suatu metode baru yag merupaa turua dar metode Roseberg, yag dsebut metode umer Roseberg termodfas ya dega meambaha l pada arah pecara dega 0l. Algortma Roseberg Termodfas Dbera fugs Z F( ) F( x, x,., x ) da aa dtetua { x, x,., x } yag memmala fugs F( ) tersebut}. Ambl { x, x,., x} R tt sembarag tt awal da 0 suatu ostata postf yag meyataa besarya esalaha eror yag dtolerass.. Arah pecara d a a a da d b b b.,,..., pecara ddefsa sebaga dega a, a,..., a R da sedaga utu d, gajl arah,,..., b d a, a,., a b ddefsa sebaga d a, a..., a d d da seterusya b l d da d geap arah pecaraya, 0 dega ata la d d, Tetua dega cara mz ( ) da la d v. Iteras berhet eta orm a. Smulas Numer Cotoh Tetua la { x, x} yag memmala megguaa metode Roseberg dega toleras esalaha 0.0 Solus I Roseberg Ambl sembarag tt awal {0,} l Z( x, x ) x x x x dega R dega arah pecara d da,0 d 0,. Nla dapat dcar dega mz ( ) serta dervatfa Z(,) da sama Metode umer roseberg dega arah pecara termodfas peambaha ostata utu beberapa la 0 l Utomo

8 5 P-ISSN: degaa ol, sehgga dperoleh. Berdasara hal tersebut d, Karea orm 0.0 maa teras dlajuta. Dega cara serupa dperoleh da, dega orm 0.0 jad teras b dlajuta. Utu mecar dperlua d da la dega megguaa d b dega b d d sehgga dperoleh d,. Berdasara hal tersebut, dega Karea maa teras berhet sehgga solus umer yag memmuma Z F( ) adalah,. Perlu dperhata bahwa area orm da sama dega ol, maa dalam hal solus umer juga sebaga solus aalt. Solus II Roseberg Termodfas Proses serupa dega metode Roseberg sampa dega la,. Utu mecar b dperlua d dega d d. Nla b dcar dega b l d ld dega d l, l[0,] da dambl sampel 0, 0., 0., 0.6, 0.8,. Hasl perhtuga b dega beberapa la l da l dsaja sebaga berut: Tabel. Perhtuga la b b ,0 0, 0. 0, 0.5 0, 0. 0, 0. 0, ,0 0.5, , , , , ,0 0., 0. 0., 0. 0., 0. 0., 0. 0., ,0 0.5, , , , , ,0 0.6, , , , , ,0 0.75, , , , , 0.5 Prma, Vol. 6, No., Jauar 07, 7-59.

9 Prma ISSN: Selajutya perhtuga la d utu la l da l datas dsaja dalam tabel sebaga berut Tabel. Perhtuga la d d ,0 0, 0. 0, 0. 0, 0. 0, 0. 0, ,0 0.8, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0.60,0 0.99, , , , , 0.55 Berdasara perhtuga la d d datas selajutya perhtuga la utu la l da l datas dsaja dalam tabel sebaga berut Tabel. Perhtuga la Tabel perhtuga datas utu la d berapapu la l da l la adalah 0, sehgga la, dega 0. Hal dareaa la, telah megdasa bahwa la dega ata la la umer sama dega la aaltya. Cotoh Padag embal cotoh Solus Metode umer roseberg dega arah pecara termodfas peambaha ostata utu beberapa la 0 l Utomo

10 56 P-ISSN: Kal aa coba dambll sembarag tt awal d da,0 d 0, serta 0.0 {,} R dega arah pecara la dapat dcar dega mz ( ) serta dervatfa Z(,) da sama 7 degaa ol, sehgga dperoleh. Berdasara hal tersebut d, Karea orm maa teras dlajuta.dega cara serupa dperoleh da, dega orm 0.0, jad teras dlajuta.dega melhat bahwa la, hal megdasa la juga, dega dema solus sama sepert cotoh.. Lebh lajut apabla dambl {0,} d, da R dega arah pecara d, serta 0.0 dperoleh da d, dega orm Dega cara serupa dperoleh da, dega 0.7.Lebh lajut aa dperoleh 0.06 dega 0.79, 0.70 dega Iteras dlajuta da ddapata serta , 0.9 dega Kemuda Apabla derjaa dega metode Roseberg termodfas lagah sama sampa 7 dega, 9 9, emuda utu memperoleh aa dcar terlebh dahulu la b, da hasl perhtugaya dsaja sebaga berut Tabel. Perhtuga la b b ,0 0.0, , , , , , , , , , , , , 0. 0., 0. 0., , , 0.55 Prma, Vol. 6, No., Jauar 07, 7-59.

11 Prma ISSN: , 0. 0., , , , , , , , , , , , , , , , , Selajutya perhtuga la d utu la l da l datas dsaja dalam tabel sebaga berut Tabel 5. Perhtuga la b d , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 0.58 Berdasara perhtuga la d d datas perhtuga la utu la l da l datas dsaja dalam tabel sebaga berut Tabel 6. Perhtuga la Berdasara tabel 6 d atas, maa la dapat dcar da haslya dsaja dalam tabel 6 dbawah Tabel 7. Perhtuga la , 0.7, , , , , , , , , , ,0.7 Metode umer roseberg dega arah pecara termodfas peambaha ostata utu beberapa la 0 l Utomo

12 58 P-ISSN: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0.7 dega orm dsaja dalam tabel berut: Tabel 8. Perhtuga la orm Apabla dambl 0.0, maa la yag memeuh adalah 0.759,0.50 da 0.777,0.7 dega masg-masg orm adalah 0.09 da Smpula da Sara Dalam metode Roseberg, arah pecara dtetapa arah pecara d ( a, a,..., a ) da d ( b, b,..., b ) sedaga utu d, gajl arah pecara ddefsa sebaga b d a a a (,,., ) dega b ( a, a,., a ) R da b d sedaga utu metode Roseberg termodfas sebaga d a, a..., a d b l d da d geap arah pecaraya ddefsa, 0. Namu apabla, dambl arah pecara,0,0,,0, d 0,,0,,0 l metode umer aa meghasla metode aalt da dalam hal metode Roseberg aa detc dega Roseberg termodfas, Lebh lajut utu arah pecara la haslya tda selau detc dega solus aalt sepert terlhat pada cotoh. Pada cotoh, solus umerc yag dhasla adalah 0.759,0.50 atau 0.777,0.7 sedaga la aaltya adalah,. Adaya perbedaa la solus Prma, Vol. 6, No., Jauar 07, 7-59.

13 Prma ISSN: dareaa dalam Roseberg dambl arah pecara d,, 0 da d,, 0. Namu dalam pegerjaaya metode Roseberg termodfas lebh ba dar Roseberg basa area cuup melaua perhtuga sampa dbada metode Roseberg yag harus dhtug sampa 5 Daftar Pustaa [], [] Mur, Rald Metode umer. Badug: Iformata [],[],[5], K.P.Chog,, Edw..00. A Itroducto to Optmzato. USA: Joh Wley & Sos, Ic. [6] Ato, Howard. 99. Aljabar Ler. Peerjemah. Slaba Patur. Jaarta: Erlagga [7] Sawarag, Yoshazu Theory of multobjectve optmzato. Lodo: Academc Press Ic. [8]Bazaraa. S. Mochtar Nolear Programmg Theory ad Algorthms. Lodo: Wlley Iterscece Metode umer roseberg dega arah pecara termodfas peambaha ostata utu beberapa la 0 l Utomo