Penelitian Operasional II Program Bilangan Bulat PROGRAM BILANGAN BULAT (INTEGER PROGRAMMING)

Transkripsi

1 Peelta Operasoal II Program Blaga Bulat 37 3 PROGRAM BILANGAN BULAT (INTEGER PROGRAMMING) 3 PENDAHULUAN : Formulas Program Blaga Bulat da Aplasya Program Lear (LP) Program Lear basa dormulasa secara matemats dega cara sebaga berut : (LP) edala : max cx A X b X 0 atau secara sgat dapat dtulsa mead : max { cx : AX b, X R + } Program Lear Blaga Bulat Lear Iteger Programmg (ILP) Program lear blaga bulat meml ormulas mrp dega (LP) haya saa edala bahwa peubah bebasya merupaa blaga real post dubah mead blaga bulat post, yatu : (ILP) edala : max cx A X b X 0 X Blaga Bulat Atau secara sgat dapat dtulsa mead : max { cx : AX b, X Z + } Bla batasa bahwa X harus merupaa blaga bulat dubah mead X {0,}, maa permasalaha mead Program Lear Blaga Ber (Lear Bary Iteger Programmg LBIP) Program Lear Blaga Bulat Campura Lear Mxed Iteger Programmg (MIP) Bla sebaga dar permasalaha memerlua pemecaha dalam blaga real da sebaga lag dalam blaga bulat, maa model matemat yag harus dbuat merupaa campura dar (LP) da (ILP), sebut sebaga (MIP), yatu : (MIP) max { cx + hy: AX + G Y b, X Z +, Y R + } dmaa A : matrs beruura m x G : matrs beruura m x p c : vetor beruura h : vetor beruura p b : vetor beruura m Peyelesaa dar (MIP) merupaa peyelesaa yag laya bla peyelesaa berada dalam hmpua laya : S = { (x,y) : x 0, y 0, x teger, A x + G y b } Saa Halm TIdustr UK Petra

2 Program Blaga Bulat 38 Peelta Operasoal II Da peyelesaaya dataa optmal bla: (x o, y o ) S sedema hgga (x,y) S : c x + h y c x o + h y o (MIP) dataa ta terbatas (ubouded) a : L R; (x,y ) S : c x + h y > L Beberapa aplas husus dalam (LP) selalu memperoleh peyelesaa blaga bulat yag optmal, msalya : malalah alra pada arga ppa (Networ Flow), Matchg TETAPI secara umum hal TIDAK BENAR!!! Cotoh 3 : S Pey Optmal (IP) Pey Optmal (LP) Cotoh 32 : Masalah Rasel (Kapsac Problem, 0-) Masalah dlham dar seorag petualaga yag heda beperga dega membawa satu rasel Da harus meetua barag-barag apa saa yag heda dbawaya dega meggat apastas dar rasel yag mampu dsadagya terbatas Sela tu masalah uga deal dega permasalah dega satu ugs tuua da satu edala saa, area tu a memerlua peyelesaa husus Pada dua dustr hal sergal mucul eta orag heda meetua proye apa yag harus deraa a detahu bahwa aggara total yag dmlya terbatas Permasalaha dapat dmodela sebaga berut : Msala terdapat buah proye, =,, a 0 : baya dar proye c 0 : la dar proye b > 0 : daa yag terseda Masalah : plhlah proye yag aa deraa sedema hgga umlah dar la proye tersebut masmal da baya yag deluara tda melebh daa yag terseda Model :, a proye dlasaaa X = 0, laya =,, Saa Halm TIdustr UK Petra

3 Peelta Operasoal II Program Blaga Bulat 39 Max c X = Kedala : a X = b X {0,}, =,, Cotoh 33:The Faclty Locato Problem Detahu N = {,2,,} adalah hmpua aclty locato yag potesal M={,2,,m} adalah hmpua dar peggua (clets) c : baya utu memlh sebuah asltas d loas, N h : baya utu memeuh permtaa dar peggua dar sebuah asltas yag dletaa d, dmaa I, N (asums : tap peggua haya meml satu permtaa utu suatu asltas tertetu) Masalah : Plhlah loas d N dmaa asltas tersebut aa dletaa da tugasalah peggua-peggua yag ada pada asltas tersebut sedema hgga total baya yag dperlua mmum Model : a sebuah asltas dletaa d loas X = 0 laya, =,2,, Kedala : (a) Permtaa dar peggua terpeuh Y = N Y : Baga permtaa dar peggua yag dpeuh oleh asltas (b) Peggua haya dapat dlaya dar loas, a asltasya dletaa d loas Y X 0 I, N Pemodela : M c X sdh N + N I N Y =, I h Y X 0 I, N (MIP) Y Y 0 I, N X {0,}, N Cotoh 34 : The Capactated Faclty Locato Problem Masalah hampr sama dega masalah pada cotoh 33 cuma saa apastas dar tap loas dbatas, sehgga model d atas aa sedt berubah Saa Halm TIdustr UK Petra

4 Program Blaga Bulat 40 Peelta Operasoal II Detahu N = {,2,,} adalah hmpua aclty locato yag potesal M={,2,,m} adalah hmpua dar peggua (clets) u : apastas dar sebuah asltas yag berloas d, N b : permtaa dar peggua, I c : baya utu memlh sebuah asltas d loas, N h : baya utu memeuh permtaa dar peggua dar sebuah asltas yag dletaa d, dmaa I, N (asums : tap peggua haya meml satu permtaa utu suatu asltas tertetu) Model : M c X sdh + N I N N h Y Y =, I b Y u X 0 I, N (MIP) Y 0 I, N X {0,}, N Cotoh 35 : Travellg Salesma Problem (TSP) Detahu : V = {,2,,N} hmpua Vertex /Kota E : hmpua Edge, merupaa pasaga terurut atara satu ota dega yag la yag meml hubuga dalam arga yag ada c : watu tempuh utu melaua peralaa dar ota e ota ;, V da (,) E Masalah : Mecar sebuah tour yag dmula dar ota pertama sedema hgga : () Tap ota harus duug seal da pada ahr peralaa harus embal lag e ota yag pertama (2) Total watu yag dperlua mmum Model : X a ota lagsug duug dar ota 0 laya,(, ) E Kedala : (a) Tap ota haya dtuu satu al : pada tour Dar ota meuu ota Saa Halm TIdustr UK Petra

5 Peelta Operasoal II Program Blaga Bulat 4 X {: (, ) E} =, V (b) Tap ota haya dtggala satu al : X {: (, ) E} =, V Kedala (a) da (b) tdalah cuup utu medesa sebuah tour, area edala-edala uga memeuh utu sebuah subtour, yatu Pegamata : Utu sebarag tour past terdapat edge dar {,2,3} e {3,4,5} da sebuah edge dar {4,5,6} e {,2,3} (c) X u V, 2 u V 2 {(, ) E, u, V\u} (TSP) :m c X (, ) E sdh (a), (b), (c) terpeuh X {0,}, (,) E Cotoh 36: The Assgmet Problem (Matchg Problem) Detahu : N = {,2,,} adalah hmpua peera M = {,2,,m} adalah hmpua peeraa c adalah baya a peera megeraa peeraa N, M Masalah : meetua peugasa yag tepat utu peera-peera yag ada pada peeraa-peeraa yag terseda sehgga baya eseluruha utu meyelesaa peeraa-peeraa yag ada mmum Model : a orag melaua pe er aa X = 0 laya m M c X = = Saa Halm TIdustr UK Petra

6 Program Blaga Bulat 42 Peelta Operasoal II sdh = m = X =, M tap orag harus melaua peeraa X, N tap orag dapat melaua peeraa X {0,}, M, N sebaya-bayaya satu 32 PROGRAM LINEAR RELAKSASI Betu program lear yag dperoleh dega megabaa pembatas blaga bulat dsebut sebaga progral lear (LP) relasas Pada (LP) relasas daerah laya utu (LIP) merupaa sub-ruag dar daerah laya (LP) 33 MENYELESAIKAN PERSOALAN(LIP-mur) DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK BRANCH-AND-BOUND Te mecar peyelesaa optmal dar suatu persoala LIP dega megeumeras tt-tt dalam daerah laya dar suatu sub-persoala Ja peyelesaa dar LP relasas meml seluruh peubah yag berharga blaga bulat, maa peyelesaa optmal dar LP relasas merupaa uga peyelesaa optmal dar LIP Prosedur Brach-ad-Boud : () Ja pecabaga dar suatu subpersoala tda dperlua, maa subpersoala dsebut Fathomed Ada 3 stuas yag mug yatu : (a) Apabla subpersoala tu tda laya (b) Apabla subpersoala tu membera peyelesaa yag optmal dmaa seluruh peubahya berharga blaga bulat (c) Apabla la z-optmal utu sub-persoala tu tda lebh ba dar la z-optmal dar subpersoala yag la (2) Suatu subpersoala dapat dabaa atau delmas dar pertmbaga selautya, apabla : (a) Tda laya (b) Batas bawah yag meyataa la z dar calao solus terba seurag-uragya berharga sama besar dega la z dar subpersoala yag bersaguta Saa Halm TIdustr UK Petra

7 Peelta Operasoal II Program Blaga Bulat MENYELESAIKAN PERMASALAHAN (MIP) DENGAN BRANCH- AND-BOUND Te peyelesaa dar permasalaha hampr sama dega te peyelesaa yag telah dbahas pada subbab 33, haya saa pecabaga haya dlaua pada peubah-peubah yag harus berharga blaga bulat 35 MENYELESAIKAN PERMASALAHAN RANSEL DENGAN BRANCH- AND-BOUND Permasalaha Rasel (Kapsac Problem) dapat dtulsa secara mamemts dalam betu sebaga berut : Max z = c X + c 2 X c X sdh a X + a 2 X a X b X {0,} =,2,, Dua aspe pedeata brach-ad-boud: () area tap peubah harus berharga ol atau satu maa pecabaga pada X aa meghasla cabag X = 0 da X = (2) LP relasas dlaua dega memersa la c /a yag merupaa perwuuda dar maaat yag dperolah dar tap ut sumber yag dguaa oleh barag e-i 36 MENYELESAIKAN PERMASALAHAN IP DENGAN METODE ENUMERASI IMPLISIT Dguaa utu meyelesaa permasalaha BIP (LIP 0-) Ada 3 hal poo yag aa dlaua yatu : () Melaua peyempuraa terba bag suatu ode dega cara : (a) dlaua dega meada peubah bebas berharga 0 atau sedema hgga dperoleh la ugs tuua optmal (b) a peyempuraa ode laya, maa pecabaga berutya tda perlu dlaua (2) Megelmas suatu ode dar pertmbaga selautya (a) Suatu ode aa dabaa apabla setelah dlaua peyempuraa terba terhadap ode tu, dperoleh la ugs tuua yag lebh buru darpada la ugs tuua calo peyelesaa sebelumya (3) Megu ada tdaya peyempuraa yag laya dar suatu ode (a) Apabla peyempuraa suatu ode tda memeuh pembatas yag ada, maa past tda aa ada peyempuraa yag laya dar ode tersebut terhadap permasalaha semula Saa Halm TIdustr UK Petra

8 Program Blaga Bulat 44 Peelta Operasoal II 37 MENYELESAKAN PERMASALAHAN (LIP) DENGAN TEKNIK CUTTING PLANE Pada te pedeata yag dguaa adalah membuat pembatas tambaha yag memotog ruag laya dar LP relasas sehgga dapat megelmas peyelesaa yag bua merupaa blaga bulat TETAPI tda semua permasalaha dapat dselesaa dega te, area tu te arag dguaa 37 Algortma Pecaha (Blaga bulat mur) Syarat : Semua oese pembatas da ruas aaya harus merupaa blaga bulat Alasa: Koese pecaha pada pembatas aa meyebaba harga dar peubah slac aa mead pecaha uga Algortma : () Selesaa permasalaha dega LP (2) Ja peyelesaa optmum sudah merupaa blaga bulat -! Berhet (3) Ja tda laua lagah berut : Perhata Tabel Optmum dar LP : Bass X X X m Solus Z C C β 0 X 0 0 α α α X 0 0 α α α X m 0 0 α m α m α m Peubah-peubah X : bass, =,2,, m : obass =,2,, Asumsa X bua blaga bulat X = β - α () = Msala : β = [β ] +,[ β ] : blaga bulat tersebesar sedema hgga [β ] β α =[α ] +, 0 < <, 0 < < Maa persama () berubah mead : X = [β ] + - [ α ] = = = X - [β ] + [ α ] = = C β β β m Saa Halm TIdustr UK Petra

9 Peelta Operasoal II Program Blaga Bulat 45 Ruas r harus merupaa blaga bulat dema pula dega ruas aa 0, 0 berart 0 area < berart merupaab bl bulat = Tambaha peubah slac ddapat : - + S = 0 = - = = - < - 0 S I = - lah yag dsebut sebaga ractoal cut = = Karea pada tabel ahr ddapat bahwa = 0 berart S = mead tda laya area tu guaa metode dual smplex utu meyelesaaya Ja peyelesaaya sudah merupaa blaga bulat -! berhet, a belum ulag embal prosedur Cotoh 37 Selesaa permasalaha berut : Max Z = 7 X + 9 X 2 Kedala : - X + 3 X X + X 2 35 X, X 2 blaga bulat ta egat Peyelesaa : Tabel Smplex LP: Bass X X 2 X 3 X 4 Solus Z / 5/ 63 X 2 0 7/22 /22 7/2 X 0 -/22 3/22 9/2 Terlhat bahwa X da X 2 bua blaga bulat, area tu plhlah pertdasamaa yag uat utu mempercepat pecapaa peyelesaa blaga bulat optmum, yatu : Msalya : terdapat 2 pertdasamaa = = da (2) (3) Saa Halm TIdustr UK Petra

10 Program Blaga Bulat 46 Peelta Operasoal II Persamaa (2) lebh uat dar persamaa (3) a : Des euata dguaa pada pembatas baru yag dturua dar bars yag mempuya : (a) max ( )! bars dega pecaha terbesar (b) max! bars dega raso = = terbesar Pada cotoh soal d atas : β = 9/2! 4+ ½ β 2 = 7/2!3 + ½ berart = 2 = ½ ( atura (a) tda berlau) Guaa atura (b) α 3 2 = 7/22 = 0 + 7/22! 23 = 7/22 α 4 2 = /22 = 0 + /22! 24 = /22 α 3 = -/22 =-+2/22! 3 = 2/22 α 4 = 3/22 = 0 + 3/22! 4 = 3/22 / 2 / 2 max = = 7 / 22 > + / 22 2/ / 22 berart plh persamaa X 2 = 7/22 X 3 + /22 X 4 ½ X 2 + 7/22 X 3 + /22 X 4 = 3 ½ X 2 +(0+ 7/22) X 3 + (0+/22) X 4 = 3 + ½ Persamaa pembatas baru : S - 7/22 X 3 - /22 X 4 = - ½ Tabel Smples baru : Bass X X 2 X 3 X 4 S Solus Z / 5/ 0 63 X 2 0 7/22 /22 0 7/2 X 0 -/22 3/22 0 9/2 S 0 0-7/22 -/22 -/2 Dega Dual Smples d dapat : Bass X X 2 X 3 X 4 S Solus Z X X 0 0 /7 -/7 4 /7 X /7-22/7 4/7 Saa Halm TIdustr UK Petra

11 Peelta Operasoal II Program Blaga Bulat 47 Mash terdapat peyelesaa yag bua blaga bulat, buat lag pembatas baru : X + (0 + /7) X 4 + (- + 6/7) S = 4 + 4/7 S 2 /7 X 4 6/7 S = -4/7 Bass X X 2 X 3 X 4 S S 2 Solus Z X X 0 0 /7 -/7 0 4 /7 X /7-22/7 0 4/7 S /7-6/7-4/7 Hasl dar dual Smples Bass X X 2 X 3 X 4 S S 2 Solus Z X X X X Peyelesaa ahr d dapat hasl blaga bulat dega X = 4, X 2 = 3 da Z = Algortma Campura Asums : X peubah blaga bulat dar masalah campura X = β - α = [β ] + - α = X - [β ] = - α = = Igat : beberapa peubah bua merupaa blaga bulat Supaya X berharga blaga bulat maa : X [β ] atau X [β ] + Berart : = = α (4) α (5) Tetua : J + : hmpua dar subsrp utu α 0 J - : hmpua dar subsrp utu α < 0 Dar (4) da (5) ddapat α (6) + J Saa Halm TIdustr UK Petra

12 Program Blaga Bulat 48 Peelta Operasoal II J α (7) Semua pembatas tda terad secara smulta maa persamaa (6) da (7) dapat dombas mead : S α + α } = - (Potoga Campura) {+ J J Guaa dual smples (Karea = 0! tda laya) Cotoh 38 Dar cotoh 37 d atas, msalaa X harus merupaa blaga bulat X /22 X 3 + 3/22 X 4 = ( 4+ ½) J - = {3}; J + = {4}, = ½ Potoga campura : / 2 S {3/22 X 4 + / 2 (-/22) X 3 } = -/2 S /22 X 3 3/22 X 4 = -/2 Tabel : Bass X X 2 X 3 X 4 S Solus Z / 5/ 0 63 X 2 0 7/22 /22 0 7/2 X 0 -/22 3/22 0 9/2 S 0 0-7/22 -/22 -/2 Dual Smples : Bass X X 2 X 3 X 4 S Solus Z / X 2 0 0/33 0 -/3 0/3 X 0 -/ 0 4 X /3-22/4 /3 Peyelesaa optmal : X = 4, X 2 = 0/3 Z = 58 Saa Halm TIdustr UK Petra