Interpretasi Kombinatorial Bilangan Euler. Rektor Sianturi 1. Abstrak

Transkripsi

1 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga Iterpretas Kombatoral Blaga Euler Retor Satur 1 bstra Kombatoral blaga Euler alah suatu proses yag meghtug bayaya alteratf permutas ar hmpua blaga ega umlah geap. Iterpretas ombatoral blaga Euler membutuha pemahama asar megea peurua (escet) a eaa (ascet) alam permutas. Beberapa artel a buu membahas tetag blaga Euler, ombatoral blaga Euler, barsa blaga Euler, betu umum blaga Euler ega berbaga metoe. Dalam peelta aa membahas lebh laut bagamaa betu umum terpretas ombatoral blaga Euler yag efsa paa progres artmata umum {a, a +, a + 2, } emua membetu algortmaya. Kata uc : Blaga Euler, Kombatoral, Permutas. 1 Retor Satur, Mahasswa S2 Matemata, FMIP, Uverstas Sumatera Utara, Emal: retors@yahoo.co. ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju

2 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga Peahulua Kombatoral (Combatorc) aalah cabag matemata yag mempelaar pegatura obe-obe tapa harus megeumeras terlebh ahulu. Solus yag g peroleh aalah umlah cara pegatura obe-obe tertetu alam hmpuaya. Pegatura yag masu aalah bagamaa obe-obe apat ombasa alam berbaga susua atau uruta yag meghasla output yag berbea. Kosep ombatoral yag uguaa alam peelta salah satuya aalah permutas. Permutas aalah salah satu betu umum ar ombatoral. Permutas r ar eleme aalah umlah emuga uruta r buah eleme yag plh ar buah eleme, ega r, yag alam hal, paa setap emuga uruta ta eleme yag sama. Sela tu, terapat pula betu permutas yag lebh husus yatu ombas. Kombas r eleme ar eleme, atau C (, r), aalah umlah pemlha yag ta terurut r eleme yag ambl ar buah eleme. Dalam ataya ega ombator, blaga Euler mucul husus eta meghtug bayaya alteratve permutas ar hmpua blaga ega umlah geap. Iterpretas ombatoral blaga Euler apat peroleh setelah memaham pegerta peurua (escet) alam permutas. Msala p = p 1, p 2, p 3,.., p aalah sebuah permutas, ataa suatu peurua (escet) ar pha p a p >p +1, yag sama uga berlau ataa a (ascet) a p < p +1. Descet meotasa poss p bua etr ar p (Boa, 2004). Kombatoral Blaga Euler Sea tahu 1950a, ahl matemata telah berhasl megterpretas blagablaga Euler uo a q-blaga Euler secara ombatoral. Kombatoral blaga Euler apat paham melalu tahapa efs eaa (ascet), cara perhtuga eaa (ascet) sepert paa Defs 1 a 2. Defs 1. Dbera suatu blaga bulat postf, a efsa sebaga hmpua semua permutas ar [] = {1, 2, 3,..., }. Paa suatu permutas = p 1 p 2 p 3...p, sebut sebuah eaa (ascet) ar a p 1 < p +1 ; sebut elebha yag lemah ar a p 1. Perlu etahu bahwa suatu blaga Euler uo, merupaa bayaya permutas yag mempuya buah elebha yag lemah (Rora, 1958) a, memeuh pegulaga : (1 ) 1, 1, 1, 1 (1) Sela rumus reursf paa persamaa (1), apat htug secara lagsug melalu rumus aalt berut (Boa, 2004) : 1 1 ( 1) ( ) (1 ), 0 (2) Dalam setap permutas, fsa umlah peurua (escet) atau eaa (ascet) sebaga : Defs 2. Dbera suatu permutas = p 1 p 2 p 3...p, efsa fugs: ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju

3 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga ma, (3) p p 1 (,, ) = { ma = & meml eaa (ascet)} Sea tahu 1950a, Carltz (1954, 1975) telah membetu geeralsas hasl peelta Euler e-q barsa {1, q, q 2, q 3,...}. berasara efs Carltz, q-blaga Euler, (q) bera sebaga: ( m 1 ) ( m 1 )( m ) / 2 2 ( q ) q a (,, ) q (4), 0 Dmaa fugs a(,, ) efsa alam Defs 2. Iterpretas Kombatoral Blaga Euler Umum Kosep-osep a sfat-sfat yag guaa utu megterpretasa ombatoral blaga Euler aalah sebaga berut : Defs 3. efsa bahwa L, aalah hmpua permutas ega elebha yag lemah. Selautya efsa L, =, (ya bayaya permutas ega elebha yag lemah sama ega blaga Euler uo). Kemua, paa sebuah permutas = p 1 p 2 p 3...p, msala Q () = 1 maa P =. Sebuah permutas apat tuls sebaga sebars = p 1 p 2 p 3...p, atau apat uga tuls sebaga gabuga yag salg lepas ar cycle-cycle yag berbea. Ja tuls alam suatu betu cycle, maa selautya apat megguaa represetas staar melalu peulsa. (Staley, 1996): (a) Setap cycle bermula ar eleme terbesarya (b) Cycle beraa alam uruta a ar eleme terbesarya Peelasa legapya, a bera permutas tuls alam suatu betu cycle represetas staar, efsa fugs f sebaga f() mea permutas yag peroleh ar melalu peghapusa taa urug. Kemua f eal sebaga fugs betf fuametal ar e rya ser (Boa, 2004). Sela tu, vers pemetaa f -1 ar fugs fuametal f uga eal alam lustras hubuga atara eaa (ascet) a elebha lemahya (Boa, 2004). Proposs 1. Fugs f -1 membera bes atara hmpua permutas paa [] eaa a hmpua L, +1 (Xog et al., 2014). Cotoh : Represetas staar permutas = aalah (2)(43)(7615) 7 a f() = ; Q 7 () = 5; = mempuya 3 buah eaa, semetara f -1 () = (5243)(716) = W 7,4 mempuya = 4 elebha yag lemah area p 1 = 6 > 1, p 2 = 4 > 2, p 3 = 5 > 3, a p 6 = 7 > 6. Peelasa cotoh: sesua ega peelasa alam Staley (1996), bahwa suatu permutas apat tulsa alam betu cycle staar sehgga = mempuya salah satu permutas (2)(43)(7615) (berbetu cycle), masg-masg cycle bermula ar eleme terbesarya, perhata f -1 () = (5243)(716)(cycle) = (taa urug hapus). Permutas mempuya 4 peurua (escet) yatu 6 e 4, 5 e 3, 3 e 2, a 7 e 1. Sela tu, meml 4 elebha ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju

4 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga yag lemah area p 1 = 6> 1, p 2 = 4 > 2, p 3 = 5 > 3, a p 6 = 7 > 6. Searag aaa aa betu barsa yag terr ar bar vertal a blaga bulat postf. Kemua bar vertal membag blaga bulat postf tersebut e alam + 1 baga. Dalam setap baga, ta terapat satupu bolaga atau terapat semua blaga yag aftar alam uruta meuru, perhata Defs 4 (Boa, 2004). Defs 4. Suatu bar sebut asg a : (a) Segera ut oleh bar yag la, atau (b) Setap baga ssa ba osog atau bers blaga bulat beraa alam uruta meuru a bar hapus. Cotoh: Msala = 7, = 4 maa susuaya sebaga berut : , bar pertama, eua a eempat salg asg. Sehgga peroleh terpretas ombatoral blaga Euler, (a, ) ega catata pertama bahwa :, 1 0 ( 1) [( 1 ) a ] 1 (5) meyrata bahwa, (a, ) merupaa polomal homoge bereraat yag berhubuga e a a. Sela tu,, 0 ( a, ) 0 ( 1) [( 1 )( (6) ( 1) [( 1 ) a ] a ) ( ) a ] ( 1) [( 1 ) ( ) x ( a ) C Dmaa C ( ) ( a ), ( ) ( 1) ( 1 ) ( ), (0, ) 0 a 1 (7) Berut peelasa tetag terpretas ombatoral utu oefse C, () (0 ) aa blaga Euler, (a,) tuls sepert paa persamaa (7), maa C, () = f { L,+1,( < Q () )} + f{ L,, (1 < Q () )} (8) Persamaa (8) apat buta utu ua la = 0 a = aalah bear sehgga peroleh : Ja = 0, C, (0) = ; 1, 1 Ja =, C, () = 0 1 1, Oleh area tu, persamaa (8) bear utu = 0, a = Secara umum, utu (1 1), tulsa bar ega + 1 baga ataraya. Tempata setap eleme ar [] e alam suatu baga. Ja ta terapat bar asg, maa susua pasaga e permutas ega eaa. Msala B hmpua susua ega palg baya satu bar asg paa baga uug a ta terapat blaga bulat {1, 2, 3,..., } alam baga ahr. a tuua bahwa C, () = B. Tuua apat tercapa ega megguaa Prsp Ilus Eslus. a a ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju

5 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga (+1) - cara meletaa blaga e alam +1 baga ega eleme-eleme {1, 2, 3,..., ) yag meghar baga-baga ahr. Msal B, meotasa bayaya susua blaga ega cr-cr sebaga berut : (1) ta aa {1, 2, 3,..., } alam baga ahr (2) setap susua blaga B palg set meml satu bar asg (3) alam setap susua B, aa bar asg yag letaa ta salg bersebelaha satu sama la. Selautya, prsp Ilus a Eslus meuua bahwa: B = (+1) - - B 1 + B (-1) B (9) Searag, pertmbaga la B, ega syarat (1 ). aa bahwa aa +1- baga ega bar ataraya, sehgga aa ( + 1 ) - ( - ) cara memasua blaga e alam + 1 baga ega meghar blaga bulat pertama masu e baga ahr a aftar ompoe blaga bulat yag beraa alam uruta meuru. Kemua masua bar asg secara terpsah e alam +1 poss, sehgga peroleh: B = ( + 1 ) - ( ) 1 (10) Substtus persamaa (10) e alam persamaa (9), maa peroleh C, () = B Dbera susua B, hapus bar sehgga peroleh permutas. Oleh area tu, haya guaa otas yag sama yatu utu merepresetas eua susua hmpua B a permutas paa []. Searag utu B, yag la : 1. (Kasus 1) ta terapat bar asg a {1, 2, 3,..., } ta beraa paa baga ahr atau 2. (asus 2) haya aa satu bar asg baga ahr Ja beraa alam asus 1, maa mempuya buah eaa area setap bar ta salg asg a paa baga ahr ar ta osog. Oleh area tu, cycle ahr fugs f -1 () mea (...p 9 ). Dega ata la, Q (f -1 ()) = p 9 > area ta terapat (1,2...,) paa baga ahr. Berasara proposs 1. f -1 ()L,+1. Ja beraa alam asus 2, maa mempuya 1 eaa area haya bar ahr yag asg. Dega catata bahwa alam asus, susua ega ta aaya eleme (1, 2,...,) alam baga ahr atau baga ahr yag ta osog telah hapus ega megguaa Prsp Ilus Eslus. Dega art yag sama, palg set satu blaga ar (1, 2,...,) harus beraa alam baga eua e baga ahr. Ja, cycle fugs f -1 () mea (...p ) a Q (f -1 ()) = p berasara proposs 1. f -1 ()L,. Gabuga semua hasl paa asus 1 a 2, membuta persamaa (8) bear. Berut meelasa beberapa sfat petg oefse C,. Msala oefse C, sepert yag tulsa paa persamaa (8), maa: 0, 1. C ( )! utu 0 ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju

6 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga 2. C, () = C, - ( - ) utu semua 0, Koefse C, membutuha lemma persamaa (11) sebaga : Lemma 1. Ja terapat blaga postf maa: F{ L, & Q () = } = f{ L,+1- & Q () = + 1 } (11) ega syarat 1,. Pembuta. Lagah awal, bera blaga bulat postf, efsa fugs g : Utu = p 1,p 2,...,p g() = ( + 1 p 1 ) ( + 1 p 2 )... ( + 1 p ) (12) utu tgat pertama, = g() = 53214, g merupaa fugs betf ar e rya ser. Searag utu varabel tetap 1,, aggap S = { W, &Q () = } a T = { W,+1- &Q () = + 1 }. Utu sebarag S tuls alam betu represetas cycle staar. Ja = (p u...)...(...) a f() = p u... mempuya (-1) eaa (ascet). Searag omposs fugs f() ega fugs betf g terefs. Kemua g (f()) mempuya + 1- elebha yag lemah sehgga f -1 g(f()) L, +1. Suatu catata bahwa cycle ahr f - 1 g(f()) telah mea (...+1 ). Oleh area tu, f -1 g(f()) T. Oleh area eua fugs f a g aalah fugs betf, f -1 gf uga betf atara S a T. Dega ema, oefse C, yag C ( )! utu 0 a C, () 0, = C, - ( ) utu semua 0 apat buta ega cara : Lagah pertama, melalu persamaa (8), peroleh: C ( ) f { L, Q ( ) },, f { L,1 Q ( ) } + 0 (13) Lagah eua, C, () = f { L f { L, }!,, Q ( ) } f { L, Q ( ) m }, 1, 1 m 1 { f { L, Q ( ) 1 }, 1 m 1 L, 1 Q () = + 1 m} Oleh lemma 4.5 = f{ L,,1 Q () } + { L,+,- < Q () }=C, - ( ) (14) Hasl Pembahasa Berasara ulasa-ulasa blaga Euler a ombatoralya yag telah abara sebelumya peroleh bahwa blaga Euler uo, merupaa bayaya permutas yag mempuya buah elebha yag lemah (Rora, 1958) a, memeuh pegulaga :, memeuh pegulaga :,1 = 1, ( 1), = 0, ( > ) ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju

7 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga, = -1, + ( +1- ) -1, -1 (1 ) apat betu e alam suatu permutas emua efsa: ma = p p 1 Selautya, guaa represetas staar melalu peulsa setap cycle bermula ar eleme terbesarya a cycle beraa alam uruta a ar eleme terbesarya. Perhata bar asg ega atura bahwa bar tersebut segera ut oleh bar yag la, atau setap baga ssa ba osog atau bers blaga buat beraa alam uruta meuru a bar hapus. Oleh area tu, peroleh terpretas ombatoral blaga Euler umum sebaga : 1, = ( 1) [( 1 ) a ] 0 0 1, (a,) = ( 1) [( 1 ) a ] = 0 = ( 1) [( 1 )( 0 0 = C 0 ega C, () ( 1) ( 1 ) ( ) ( a ), a ) ( ) a ] ( ) x ( a ) 1 = ( 1) [( 1 ) ( ), (0 ) 0 a a Koefse C, mempuya C )! 0, ( utu 0 a C, () = C -, ( ) utu semua 0, Hasl peelta meuua bahwa blaga Euler apat represetasa alam betu ombatoral, cycle, pemsaha blaga ega megguaa bar asg sehgga lebh muah paham. lgortma Iterpretas Kombatoral Blaga Euler Iterpretas ombatoral blaga Euler yag telah abara sebelumya, aa lebh formatf a tuaga alam suatu algortma. Tuuaya alah memuaha pemahama bagamaa terpretas ombatoral blaga Euler. lgortmaya aalah sebaga berut: lgortma Iput : Permutas = { = p 1 p 2...p } Output : terpretas ombatoral blaga Euler 1. Lagah 1 : efsa, sebaga baya permutas yag mempuya elebha yag lemah 2. Lagah 2 : Htug ma sebaga bayaya peurua (escet) alam permutas 3. Lagah 3 : Guaa represetas staar peulsa permutas alam betu cycle maa setap cycle bermula ar eleme terbesarya a cycle beraa alam uruta a ar eleme terbesarya. 4. Lagah 4: Perhata aaya bar asg ega atura bahwa bar tersebut segera ut bar la, atau setap baga ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju

8 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga ssa ba osog ataupu bers, blaga bulat beraa alam uruta meuru a bar tu hapus. 5. Lagah 5 : Dperoleh terpretas ombatoral blaga Euler secara umum sebaga :, 1 0 ( 1) [( 1 ) a ] 1 6. Guaa prsp lus-eslus utu meabara lagah 5 sehgga tuua ahr peroleh Berasara lagah-lagah algortma tersebut, utu mempermuah memaham ombatoral blaga Euler apat guaa algortma terpretas ombatoral blaga Euler. Peutup Dalam tess, peuls megulas betu ombatoral blaga Euler, mula ar pegulasa blaga Euler uo yag telah telt oleh lmuwa terahulu a meuaga hasl peelta sebaga berut : 1. Dperoleh terpretas ombatoral blaga Euler secara umum:, 1 0 ( 1) [( 1 ) a ] 1 2. Utu mempermuah memaham ombatoral blaga Euler apat guaa algortma terpretas ombatoral blaga Euler. ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju

9 Retor Satur, Iterpretas Kombatoral Blaga Daftar Pustaa Boa, M, 2004, Combatorcs of Permutatos.Dscrete Mathematcs a ts pplcatos. Boca Rato : Chapma & Hall/CRC. Carltz, L Q-beroull a Eulera Numbers. Trasacto of the merca Mathematcal Socety, 76: Carltz, L Combato Property of q-eulera Numbers. The merca Mathematcal Mothly, 82:51-54 Khattr, S.K., Wtows, Euler s Number a Some Meas*. Tamsu Oxfor Joural of Iformato a Mathematcal Sceces, 28(4) : Rora, J Itroucto of Combatoral alyss. Wley Publcato Mathematcal Statstcs. New Yor : Joh Wley & Sos. Staley, R.P Eumeratve Combatorcs, vol 1. Of Cambrge Stues vace Mathematcs, Cambrge Uversty Press, Cambrge, UK. Xog, T. Tsao, H.P. a Hall, J.I. 2013, Geeral Eulera Numbers a Eulera Polyomals, Joural of Mathematcs, rtcle ID , 9 pages. Xog, T. Tsao, H.P a Hall, J.I Combatoral Iterpretato of Geeral Eulera Numbers, Joural of Dscrete Mathematcs, rtcle ID , 6 pages. ISSN Volume VI Nomor 1. Jauar Ju