BAB III TEORI PERRON-FROBENIUS

Transkripsi

1 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS 34 BB III EORI PERRON-FROBENIUS Pada Bab III aa dbahas megea eor Perro-Frobeus, yatu teor hasl otrbus dar seorag matematawa asal Germa, Osar Perro da Ferdad Georg Frobeus Perro meerbta tulsaya tetag sfat-sfat yag dml oleh matrs postf pada tahu 907 Kemuda pada tahu 92, Frobeus membera otrbus yag cuup besar dalam memperluas hasl yag telah dperoleh Perro dalam meyeld sfat-sfat dar matrs oegatf Jad, teor pada dasarya membahas megea sfat-sfat dar matrs postf da matrs oegatf berdasara sfat spetralya Sebelum ta memasu pada pembahasa megea eor Pero-Frobeus, berut aa deala otas yag aa dguaa dalam pembahasa selautya Msala matrs mx dega eleme-elemeya berupa blaga real, yatu = a utu setap =, 2,, m; =,2,, Matrs dsebut matrs oegatf (otas : 0 ) a utu setap eleme dar matrs berla oegatf ( a 0) Secara umum, B berart utu setap a b Matrs dsebut matrs postf (otas : > 0 ) a utu setap eleme dar matrs berla postf ( a > 0) Secara umum, > B berart utu setap a > b Sela tu, eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035)

2 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS otas, ta megealya utu meyataa la determa dar suatu matrs Namu, dalam bab, otas pada suatu matrs, msala matrs, yatu meyataa matrs dega elemeya adalah a Berut adalah teorema yag meduug beberapa teorema laya dalam bab sepert pada eorema 32 da eorema 36 eorema 3 Msala matrs da vetor uv,, maa peryataa berut bear (a) > 0 da u 0, u 0 u > 0 (b) 0, 0, da u > v> 0 u> v But (a) Msal = a > 0, utu setap, =, 2,, da msala pula u > 0, u 0, maa terdapat {,2,, } sehgga u = 0 apa megurag eumuma msala u = 0 maa [ ] u = u, utu setap =, 2,, = au, area u = 0 maa = = au > 0 = 2 But (b) Vetor u > v meyataa bahwa setap eleme pada vetor u lebh besar darpada eleme yag bersesuaa pada vetor v Ja setap eleme pada matrs oegatf ( 0 ) maa u > v aa megabata u > v, area selsh eleme e- adalah a u v > 0 = eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 35

3 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS 3 Matrs Postf Pada awal bab aa duraa sfat-sfat yag dml oleh matrs postf, hususya utu matrs perseg, yatu > 0 x dega eleme-eleme matrs yag berla postf uuaya adalah utu meyeld e arah maa perluasa dar sfat matrs postf yag dturua berdasara la araterst da vetor araterst dar matrs Perhata bahwa, > 0 ρ( ) > 0 (3) Karea a σ ( ) = {0} maa betu Jorda utu adalah sedr yag bersfat lpote da tda mug utu setap a 0 Hal berart dalam pembahasa selautya aa dhususa utu matrs postf yag mempuya spectral radus, area aa selalu bsa dormala oleh spectral radus Sebaga cotoh, > 0 ρ > 0 da ρ = r ρ( / r) = Berut adalah beberapa teorema yag merupaa sfat-sfat yag dml oleh matrs postf berdasara vetor araterst da la araterstya eorema 32 Ja > 0 x (a) ρ σ ( ) maa peryataa d bawah bear (b) a x = ρ( )x maa x = ρ x da x > 0 Dega ata la, ( ρ( ), v) dmaa v > 0 mempuya pasaga araterst dega betu But apa megurag eumuma, msala ρ ( ) = Ja ( λ,x) adalah pasaga araterst utu dmaa λ = maa eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 36

4 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS x = λ x = λx = x x = x x x (32) Msala z = x da y = z x, maa persamaa (32) aa megabata y 0 daa y 0, artya terdapat y > 0 da berdasara persamaa eorema 3(a) maa y > 0 da z > 0, serta terdapat ε > 0 sehgga y > ε z atau z > z + ε uls B z > z, dmaa B = Dega megala edua ruas dega B da + ε berdasara persamaa eorema 3(b) maa z z z z z z z z B > B >, B > B >, B > utu setap, 2, etap, lm B 0 = area = ρ( B ) = ρ = < berdasara + ε + ( ε) eorema 225, maa dperoleh 0 > z (otrads) batya, 0= y = x x, dmaa x adalah vetor araterst utu yag bersesuaa dega la araterst = ρ( ) Karea x 0, x 0, da > 0, maa x = x > 0 berdasara eorema 3(a) Pada teorema sebelumya telah dtuua bahwa ρ ( ) > 0 adalah la araterst utu > 0 Lagah selautya adalah meyeld des dar la araterst tersebut yag aa duraa pada teorema berut eorema 33 Ja x > 0 maa peryataa d bawah bear (a) ρ( ) adalah satu-satuya la araterst pada lgara spetral (b) Ides( ρ ( )) = Dega ata la, ρ( ) adalah la araterst semsmple eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 37

5 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS But apa megurag eumuma, msala ρ ( ) = Ja ( λ, x) adalah pasaga araterst utu eoerma 32(b) Jad, 0< x = x = a x sehgga = dmaa λ = maa 0< x = x berdasara atau λ ( λx) ( x) = = = x = x = = = a x, a x = a x = a x = Berdasara eorema 22, maa utu suatu α > 0, berlau ax = α ( ax) atau x = π x, dega α a π = > 0 Dega ata la, a a λ =, maa x = x p, dmaa p = π2 π > 0, maa λx = x λp= p= p = λp = λ p λ = da λ = merupaa satu-satuya la araterst pada lgara spetralya Msala, des( λ = ) = m >, maa a area terdapat blo Jorda J * m m, yatu dega betu Jorda J = P P yag serupa, maa J sehgga J, abatya * J = P P P P, maa P J P Msala = a da msala pula meyataa bars e- dmaa = a Kta megetahu bahwa terdapat vetor p > 0 sehgga p = p, maa utu suatu vetor araterst, ( m ) ( m ) p p = a p a p p = eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 38

6 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS Namu, hal tda mug area p adalah vetor osta, maa pemsala des() > salah Jad haruslah des() = eorema 34 Ja 0 maa ma ( ρ ( )) = Dega ata la, spectral > radus dar dsebut la araterst smple dar Jad, ( ( ρ I) ) = ( ρ ) = ( ) dm N mg ma ρ But apa megurag eumuma, msala ρ ( ) = da msala pula ma λ = = m > Kta megetahu bahwa λ = adalah la araterst semsmple, yatu ma mg =, maa terdapat m buah vetor araterst yag bebas ler yag berorespodes dega λ = Ja x da y adalah pasaga vetor araterst yag salg bebas ler yag berorespodes dega λ =, maa x αy utu setap α Plh eleme ta ol dar vetor y, msal y 0 da tuls z = x ( x / y )y Karea z = z maa z = z > 0 etap, hal otrads area z = x ( x / y ) y = 0 Jad, haruslah m = Karea N ( ρ I ) adalah ruag vetor berdmes satu yag bsa dspa dega suatu v > 0, maa terdapat vetor araterst tuggal p N( ρ I ), sehgga p > 0 da p = (dperoleh dar ormalsas p = v/ v ) Vetor araterst p dsebut dega vetor Perro dar matrs dega la araterst yag berorespodes r = ρ( ) dsebut aar Perro utu eorema 35 Ja > 0 maa terdapat vetor p > 0 tuggal sehgga p = ρ p da p = eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 39

7 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS But Msala da p merupaa vetor-vetor yag memeuh p 2 p = ρ p, p > 0, da p α p2 p dm I =, maa p = Karea ρ = utu suatu α > 0 p = p2 =, maa = = Jad, p = p2 α p 2 α Karea 0 > > 0 da ρ = ρ( ), elas bahwa a > 0 maa utu pasaga araterst Perro araterst Perro yag berorespodes q ( r, p ) utu ( rq, ) utu = rq Vetor q > 0 dsebut vetor Perro r utu terdapat pasaga Karea eorema 36 da ada vetor araterst oegatf laya dar sela vetor Perro p da elpata postfya > 0 But Ja ( λ,y) adalah pasaga araterstr dar, dmaa y 0, da x> 0 adalah vetor Perro dar matrs, maa xy> 0 (eorema 3(a)), sehgga ρx = x ρx y = x y= λx y ρ( ) = λ Berut adalah teorema yag meyataa cara la dalam mecar aar Perro Formula dtemua oleh matematawa ebagsaa Germa yag berama Lothar Collatz Formula selautya dguaa oleh Helmut Weladt utu membagu eor Perro-Frobeus Oleh area tu, eorema 37 deal pula dega eorema Collatz-Weladt eorema 37 ar Perro dar r = max f(x), dmaa x N > 0 dbera oleh f (x) = m x 0 [ x] x da N = { x/x 0,x 0} eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 40

8 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS But Msal ξ = f (x), maa 0 ξ x x utu setap x N Msala pula p da q berturut-turut adalah vetor Perro aa da vetor Perro r dar yag berorespodes dega 3(a), ta peroleh qx> 0, maa x x qx q x rqx r f(x) r (aar Perro) Berdasara eorema ξ ξ = ξ r, utu setap x N Karea f ( p) = r da p N, abatya r = max f(x) x N Berdasara beberapa teorema yag telah duraa sebelumya megea sfat-sfat dar matrs postf, berut merupaa raguma sfat-sfat tersebut yag deal dega eorema Perro, yatu msala r = ρ (a) r > 0, maa peryataa berut bear (b) r σ ( r dsebut aar Perro dar ) (c) ma( r ) = (d) erdapat vetor araterst x> 0 sehgga x= rx x > 0 dega (e) Vetor Perro adalah vetor tuggal yag ddefsa oleh p = rp, dmaa p > 0 da p = Kecual utu vetor elpata dar p, tda (f) ada vetor araterst oegatf laya dar ar Perro merupaa satu-satuya la araterst dalam lgara spetralya (g) ar Pero dar dbera oleh f (x) = m x 0 [ x] x r = max f(x), dmaa x N da N = { x/x 0,x 0} eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 4

9 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS 32 Matrs Noegatf Pada subbab sebelumya telah duraa megea sfat-sfat yag dml oleh matrs postf berdasara la araterst da vetor araterstya Dalam subbab, ta aa melhat bagamaa a dalam matrs tersebut terdapat eleme berla ol Dega ata la, matrs yag ta hadap adalah matrs oegatf eorema 38 Msala Ja 0 x dega r = ρ ( ), maa peryataa berut bear (a) r σ, berlau pula utu r = 0 (b) z = rz (c) utu suatu = { x/x 0, x 0} r = max f(x) x N dega z N f (x) = m x 0 [ x] x da N = { x/x 0,x 0} E> 0 dmaa But (a)&(b) Perhata barsa matrs postf = + E adalah matrs dega elemeya adalah satu Msal r da p berturutturut adalah aar Perro da vetor Perro dar matrs Kta megetahu bahwa { } p = adalah hmpua terbatas area hmpua tersebut termuat dalam ut -sphere (Defs 23) d R Berdasara eorema Bolzao Werstrass, ta peroleh bahwa { p} = mempuya subbarsa yag overge * * * Msala lm p = p dmaa p 0, p 0 (area p > 0 da p = ) Dar eorema 220, ta peroleh bahwa a Jad, { } > 2 > 3 > > maa r > r > 2 r > 3 > r r adalah barsa mooto postf dega batas = bawahya adalah r, artya lm r r r * * = r ada da Secara husus, lm r * = r r eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 42

10 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS But (c) Msal q adalah vetor Perro r dar Utu setap x N da > 0, maa q > 0 da 0 f(x)x x x f(x) qx qx = rq x f(x) r * ( area r) f (x) r r r = area f ( z ) = r da z N, abatya r = max f(x) x N Haya sampa seauh eorema Perro bsa dgeeralsasa pada matrs 0 oegatf tapa perlu adaya tambaha hpotess Sebaga cotoh, = 0 0 meuua bahwa eorema Perro (a), (c), da (d) tda berlau secara 0 umum utu matrs oegatf da = 0 meuua bahwa pada eorema Perro (f) uga tda berlau Berdasara hal tersebut, Frobeus melhat bahwa masalah bua haya terleta pada ada atau tdaya la ol sebaga eleme dalam matrs oegatf tetap poss dar eleme ol Sebaga cotoh, eorema Perro (c) da (d) tda berlau utu 0, tetap teorema tersebut berlau utu = = 2 0 (33) Keeusa Frobeus adalah melhat perbedaa atara matrs da 2 dalam stlah da meghubuga hal dega sfat spetral pada matrs oegatf Berut merupaa defs dar teredus da graf yag aa data dega sfat pada matrs oegatf tersebut eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 43

11 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS x Defs 39 Matrs dsebut matrs teredus a terdapat matrs X Y permutas P sehgga B= P P=, dmaa X da Z adalah matrs 0 Z perseg Ja matrs tda teredus maa dsebut matrs ta teredus Matrs B dsebut matrs permutas smetr dar Efeya adalah meuar bars da olom yag bersesuaa bat 30 G = G B utu setap P matrs permutas But Ja bars (da olom) pada matrs 2 berdasara permutas π =, maa π π2 π batya, graf π a PBP B( e e ) e e π π π B π e π P adalah vetor ut yag mucul e = = = = b π π a 0 a da haya a b 0 maa graf G B sama dega ππ G ( ) ecual tt setap =, 2,, N pada G ( ) adalah tt N π pada G B utu Defs 3 Graf { } G dar adalah graf berarah utu buah tt N, N2, N3,, N dmaa terdapat ltasa yag meghubuga dar tt N e N a da haya a a 0 G terhubug uat a utu setap pasaga tt ( N, N terdapat ltasa yag meghubuga dar tt N e N ) eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 44

12 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS eorema 32 Matrs ta teredus a da haya a G terhubug uat But a dbuta dega otrapostf, yatu a G tda terhubug uat teredus a da haya Ja teredus maa terdapat matrs permutas P sehgga X Y PP= Msala matrs beruura, maa utu m 0 Z X mxm > graf G ( PP ) tda mempuya ltasa dar tt batya graf G( PP) = G N tda terhubug uat e N utu m ( ) Ja G ( ) tda terhubug uat maa terdapat dua tt d G ( ) sehgga tda terdapat ltasa dar tt yag satu e tt yag la apa megurag eumuma, msala edua tt tersebut adalah dmaa N tda tda dapat dases dar N Msala pula terdapat tambaha tt yag tda dapat dases dar N (ecual N sedr) Sebut tt tersebut N 2 N, N,, N, sehgga hmpua tt-tt yag tda dapat dases dar (ecual r da N sedr) adalah P= { N2, N3,, Nr} Sebut ssa dar tt tersebut adalah tt yag dapat dases dar {,, } r+ r+ N N N dalam hmpua Q= N N N batya tda ada tt pada P yag dapat dases dar tt pada Q Ja tda maa tt pada P dapat dases dar tt N melalu tt pada Q Dega ata la, a N r + Q da Nr+ N P maa 2 N Nr+ N (tda mug) rtya, a π = adalah π π2 π permutas yag dbagu dar maa a = 0 utu setap ππ = r+, r+ 2,, da =, 2,, r batya, a B= P P dmaa P eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 45

13 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS adalah matrs permutas yag berorespodes dega permutas π maa X Y B= P P= dmaa beruura 0 Z X r r da Z beruura r r sehgga teredus Sebaga cotoh, matrs pada (33) teredus area 0 utu PP = = 0 P 0 Sepert yag terlhat pada Gambar berut, G ( ) tda terhubug uat area tda terdapat ltasa yag meghubuga dar tt e tt 2 Namu, matrs ta teredus da 2 terlhat pada Gambar G terhubug uat sepert yag G( ) G( 2 ) Gambar Cotoh Graf dar Matrs eredus da Matrs a eredus Sampa dega tahap, ta bsa perhata bahwa beberapa sfat pada eorema Perro dapat dperluas utu matrs oegatf Hal berlau dega catata bahwa eleme ol pada matrs berada pada poss yag tepat utu memasta sfat ta teredus dar suatu matrs Utu membuta bahwa hal tersebut berlau, maa teorema berut aa dperlua eorema 33 Msal matrs 0 serta N da x G erdapat ltasa dega paag dalam G ( ) dar N adalah tt dalam graf N da N eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 46

14 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS a da haya a 0 But Dega megguaa dus, utu m =, trval Selautya, utu 2 m = 2, = [ ] [ ] = aa, utu setap, {,2,, } = =, 2 sehgga 0 a da haya a palg sedt satu des, yatu la a da a ta ol Hal sama saa artya dega a da haya a terdapat ltasa dega paag dua dalam G ( ) dar N e N Secara umum, msala m= q bear, aa dtuua utu m= q+ bear, q+ q q = [ ] = = = a 0 a da haya a palg sedt satu des q, yatu la da a ta ol Hal evale dega meyataa bahwa terdapat ltasa dega paag dar N e N da terdapat ltasa dega paag satu dar N e N Dega ata la, terdapat ltasa dega paag q + dar N da N eorema selautya merupaa teorema yag meuua bagamaa megubah matrs oegatf ta teredus mead matrs postf x 0 eorema 34 Ja matrs ta teredus maa + I > 0 But Karea ta teredus maa G terhubug uat, sehgga utu setap pasaga tt (, ) N N terdapat ltasa dega paag (dega ) dar N e < N Berdasara eorema 33, ta mempuya ( a ) > 0 da hal meam bahwa eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 47

15 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS ( + ) = = 0 I a > = 0 = 0 Pada eorema 35 da eorema 36 berut merupaa teorema peduug utu mecar sfat la araterst da vetor araterst matrs oegatf ta teredus pada eorema 37 eorema 35 Msal x da λ > λ2 > >λ adalah la-la araetrst utu utu, maa λ+, λ2 +,, λ + adalah la araterst I+ da ρ( I+ ) + ρ( ) Ja 0 maa ρ( I+ ) = + ρ( ) But Ja λ σ dega multplstas alabarya adalah, maa λ adalah aar dar persamaa araeterst p ( t) ( t ) = det I = 0 dega multplstasya etap λ + adalah aar dar persamaa ( p+ I s = det si + I )= 0 dega multplstasya area ( t ) = ( t+ ) ( + ) det I det I I, maa λ +, λ 2 +,, λ + adalah la araterst utu I+ batya ρ I+ = max λ + max λ + = ρ + Selautya, + adalah la araterst bag Jad, ρ( + ) = + ρ I+ area 0 sehgga ρ x = ρ x + I x = + x I ρ eorema 36 Ja 0 da > 0 utu suatu, maa adalah la araterst smple utu x ρ ( ) eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 48

16 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS But Ja λ > λ2 > >λ adalah la-la araetrst utu λ > λ2 > >λ adalah la araterst utu Selautya, adalah la araterst utu, maa ρ ( ) dar eorema 38(a), sehgga a ρ ( ) adalah la araterst multple utu, maa ρ = ρ( ) adalah la araterst multple utu etap, hal tda mug area ρ ( ) adalah la araterst smple utu Jad, haruslah ρ la araterst smple utu berdasara eorema Perro (c) eorema 37 Msala x 0 ta teredus, maa (a) r = ρ adalah la araterst smple utu (b) erdapat vetor araterst x> 0 sehgga x= rx p > p = ρ (c) terdapat vetor 0 tuggal sehgga p da p = But (a) Ja ρ adalah la araterst multple utu, maa + ρ = ρ I+ (berdasara eorema 35) adalah la araterst multple utu eorema 34, sehgga I+ etap, + 0 I+ > 0 I da dar + ρ ( ) adalah la araterst smple utu I+ berdasara eorema 36 Jad, ρ ( ) uga merupaa la araterst smple utu But (b) Dar eorema 38, ta peroleh bahwa terdapat x 0 sehgga x= rx Selautya, I+ x = + ρ ( ) x da area matrs ( I+ ) > 0 berdasara eorema 34, maa ( ) x = + ρ I+ x > 0 eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 49

17 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS Selautya, utu pembuta eorema 37 (c) dapat dlhat pada pembuta eorema 35 Berdasara beberapa teorema yag telah duraa sebelumya megea sfat-sfat dar matrs oegatf, dapat ta peroleh eorema Perro Frobeus Pada dasarya, sfat-sfat dar eorema Perro-Frobeus mash sama dega beberapa sfat pada eorema Perro, yatu a 0 ta teredus maa berlau sfat (a), (b), (c), (d), (e), da (g) pada eorema Perro pada halama 4 x Satu-satuya sfat pada eorema Perro yag tda dapat dpertahaa adalah sfat (f) d halama 4 yag meyataa bahwa r adalah satu-satuya la 0 araterst pada lgara spetral Sebaga cotoh, = oegatf 0 ta teredus, tetap meml dua buah la araterst pada lgara spetral yatu ± Berdasara eberadaa la araterst pada lgara spetral yag terdr dar satu buah la araterst atau lebh, ta bsa membag matrs oegatf ta teredus mead dua baga Defs 38 Matrs oegatf ta teredus yag mempuya satu la araterst r = ρ pada lgara spetralya dsebut matrs prmtf Matrs oegatf ta teredus yag mempuya h > buah la araterst pada lgara spetralya dsebut matrs mprmtf Ja ta meml matrs prmtf maa matrs tersebut aa overge e dalam betu tertetu yag dbera pada eorema 39 Sebalya, a ta meml matrs mprmtf maa matrs tersebut tda aa overge Namu, matrs mprmtf meml lmt Cesaro yag dbera pada eorema eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 50

18 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS 323 Karea matrs prmtf overge maa matrs prmtf uga aa meml lmt Cesaro eorema 39 Matrs oegatf ta teredus dega r = ρ prmtf a da haya a pq lm ( / r) ada, dega lm = G = > 0, dmaa r q p p da q adalah vetor Perro utu da N( ri) sepaag R( ri ) G adalah proyetor pada But Berdasara eorema Perro-Frobeus ta tahu bahwa = ρ ( ) r adalah la araterst smple utu r Jelas bahwa prmtf a da haya a = ρ ( r prmtf Dega ata la, prmtf a da haya a r ) adalah satu-satuya la araterst pada lgara spetral Berdasara eorema 226, ρ = Selautya, ta aa meuua bahwa a da haya a lm ada r ( / r) adalah proyetor pada N( ri ) sepaag R( ri ) Karea q p> 0 da p( q p) q ( q p)( q p) 2 pq G = = > 0, maa G adalah proyetor Hasl peta utu q p setap z adalah { } = ( ) R spa p N r G Gz = α p dega q z q p α =, maa G I da ( R) = = N( r ) ( G) = ( I) R N r Msal, N = R( G) da dm dm G I q ( r ) q G I, maa I = 0 I G = 0 Jad, R ( r ) R( ) = N N R( r ) I I G G G I eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 5

19 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS Selautya perhata dmes dar N ( G ), yatu dm( N) = dm( R) = = dm( N( r )) = dm( R( r )) G G I I, maa N = R( r ) G I eorema 320 berut merupaa teorema peduug dalam pembuta eorema 32 eorema 320 Msal 0 dega r = ρ ( ) Ja rz z utu z 0 x maa rz = z da z > 0 But daa utu rz < z, maa dega megguaa vetor Perro q > 0, maa ta peroleh ( ri) z > 0 q ( ri ) z > 0 Kotrads, area q ( r ) = 0 I Jad, haruslah rz = z da area z harus merupaa elpata dar vetor Perro utu, maa ta peroleh z > 0 Berut merupaa dua teorema petg yag dtemua oleh Helmut Weladt pada tahu 950 yag membuta bahwa la araterst pada lgara spetral dar matrs mprmtf adalah aar e- h dar spectral radus-ya eorema 32 Ja B x, dmaa adalah matrs ta teredus maa ρ( B) ρ( ) Selautya, ρ = ρ B (yatu, μ = ρ e φ ρ( B ) utu suatu φ ) a da haya a φ B = e DD, utu suatu θ e θ 2 = e D θ e eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 52

20 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS But Berdasara eorema 220 sebelumya, telah dtuua bahwa ρ ( B) ρ ( ) Ja ρ( B) = r = ρ( ), da a (,x) μ adalah pasaga araterst utu B dmaa μ = r, maa r x = μ x = μx = Bx B x x B x = r x Berdasara eorema 320, x = r x da x 0 > batya ( ) x 0 B =, tetap ( ) 0 B da x > 0, maa B = x Karea x / x berada pada lgara satua da x / x = e θ utu suatu θ uls θ e θ 2 e D = da x = D x Karea μ = r maa terdapat φ R θ e sehgga μ = re φ batya, Msala, φ φ φ BD x = Bx = μx = re x = re D x e D BD x = rx = x φ C= e D B D maa = = C B sehgga = ( ) 0 C C x Perhata baga real dar persamaa tersebut, yatu 0= Re etap, C Re( C ) da x > 0, maa ( C) Re = C da 2 2 ( c ) c ( c ) ( c ) ( c ) Re = = Re + Im Im = 0 Im C = 0 batya, C= Re( C) = C = sehgga B= e φ DD C C x ( ) Msal B= e φ D D maa, φ φ φ BD x = e D x Bx = e Dr x μx = re x abatya, μ = ρ e φ ρ B μ = re φ eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 53

21 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS eorema 322 Msal 0 ta teredus da meml h buah la x araterst pada lgara spetral, maa peryataa berut bear (a) ma λ =, utu = 0,,, h (b) { } 2 λ, λ,, λ h adalah aar e- dar 2 h { rr,, r, r } ω ω ω 2 /, dmaa ω = e π h h r = ρ dbera oleh But Msal {, } h S r re θ,, re θ pada lgara spetral = meyataa hmpua la araterst Dega megguaa eorema 32, dmaa B= da μ = re θ, maa terdapat matrs dagoal sehgga = B= e D D θ θ Hal meuua bahwa e serupa dega Karea r adalah la araterst smple utu (eorema Perro Frobeus), maa re θ θ adalah la araterst smple utu e Karea matrs serupa meml la araterst yag sama maa merupaa la araterst bag D re θ uga Msala, D D utu suatu D s, maa θ s = e s s batya, s ( θ + θ ) s = e D e D D D = e D D D D ( θ ) ϕ θ s s s s s re θ + uga merupaa la araterst pada lgara spetral θ Dega ata la, {, } θ h S = r re,, re tertutup terhadap operas perala, θ artya {, } θh =,, R e e tertutup terhadap operas perala, sehgga adalah group omutatf berhgga dega orde h Dalam alabar, pagat e- h setap eleme dalam group berhgga dega orde h adalah dettas yag R merupaa eleme dalam group batya, h ( e θ ) = utu setap 0 h Jad S adalah hmpua aar semesta e- h, e π ( 0 h ), sehgga S adalah aar e- h dar r 2 / h eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 54

22 BB III : EORI PERRON-FROBENIUS Kta telah megetahu pada Defs 38 bahwa a matrs prmtf da G a adalah proyetor yag berorespodes dega r = ρ, maa G > 0 Hal berlau uga utu matrs mprmtf Dega ata la, a G adalah proyetor yag berorespodes dega matrs oegatf ta teredus, maa G > 0 r = ρ utu sebarag eorema 323 Msala adalah matrs mprmtf, maa dmaa ( r) ( r) I+ + + lm = G, G adalah proyetor spetral pada N( r ) I sepaag R( r ) I But Dega megguaa eorema 233 megea Cesaro Summable utu maa r ( r) ( r) I+ + + lm dmaa G adalah proyetor spetral pada ( ) = ( I) = G ( ) = ( ) N r I N ri sepaag R r I R r Karea r adalah la aratest smple, maa dega cara yag sama sepert pada eorema 37, ta peroleh bahwa pq G = > 0 q p dega p da q adalah vetor Perro utu da eor Perro-Frobeus utu Matrs Stoast Madoa Yuta (003035) 55